专题01 等腰三角形的性质与判定（专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题01等腰三角形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等腰三角形等边对等角（常考点） 1 题型二、等腰三角形“三线合一”（重点） 2 题型三、等边三角形及其性质（常考点） 4 题型四、等腰三角形相关的综合探究（难点） 5 题型五、等腰三角形的判定（常考点） 7 题型六、角平分线+平行线的等腰三角形模型（常考点） 8 题型七、等边三角形的判定 10 题型八、等腰三角形的存在性问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等腰三角形等边对等角 1.（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2.（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰中，，是的角平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D在上，且，则的度数为 ． 4.（2025·浙江温州·三模）如图，已知四边形中，，平分，点E在边上且，连接，若，，，则，，之间的数量关系是 ． 5.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点D，且，求的度数． 6.（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形中，，点D在内部，且．求的度数． 题型二、等腰三角形“三线合一” 1.（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 2.（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．1 B．3 C．5 D．6 3.（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，是的中线，已知，则的度数是 ． 4.（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，D为底边的中点，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为 ． 5.（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： (1)； (2)点A在的垂直平分线上． 题型三、等边三角形及其性质 1.如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 2.如图，把等边纸片沿折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如图，等边中，D为内部一点，且，E为外一点，且，连接和，则下列结论：①，②， ③，其中正确的有（    ） A．① B．①③ C．② D．①②③ 4.（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在等边三角形中，，点在边上，当线段的值最小时，的长为 ． 5.（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在等边中，点分别在边上，且，与交于点．则 度． 6.（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，点B、C、D在同一直线上，与均为等边三角形． (1)说明的理由 (2)若，则与垂直吗？请说明理由． 题型四、等腰三角形相关的综合探究 1.（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，已知，点，…在射线上，点，…在射线上，，…均为等边三角形．若，则的边长为（   ） A．6 B．12 C．32 D．64 2.（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，是等边三角形，点在射线上，且，分别以为腰在射线上方作等腰，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3.（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，是一个钢架，，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如，，……若焊接的钢管的长度都与的长度相等，则 （1） ； （2）最多能焊接 根． 4.（25-26七年级上·全国·课后作业）仿照图①，请你再设计一种不同的分法，将等腰三角形分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（图②、图③供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明，要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）． 5.（24-25八年级上·浙江·期中）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (3)在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数． 题型五、等腰三角形的判定 1.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，平分且于点的周长为22，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2.（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ． 3.（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 4.（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，，，点D，E分别在，上，且，，过E作于F，过点D作于G． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，求点D到的距离． 题型六、角平分线+平行线的等腰三角形模型 1.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，，交于点D，，交于点E．图中等腰三角形共有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2.（24-25八年级上·广东东莞·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与另外一把直尺边缘的交点为，点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.（25-26七年级上·全国·课后作业）把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ． 4.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知在中，与的平分线相交于点，过点作，分别交于点．若，则的周长为 ． 5.（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知 ，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 6.（24-25八年级下·河南许昌·开学考试）如图，已知是延长线上一点，的平分线与的平分线交于点，过作的平行线，交于，交于．求证：． 题型七、等边三角形的判定 1.（25-26八年级上·全国·课前预习）下列条件中，不一定是等边三角形的是（   ） A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个外角相等的等腰三角形 D．三边都相等的三角形 2.（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列说法中，正确的有（    ）个 ①有一个外角为的等腰三角形是等边三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 ③三个外角都相等的三角形是等边三角形 ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 ⑤的三边为，满足，则这个三角形是等边三角形 A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在等边三角形中，，垂足分别是点E，F，D．若．求证：是等边三角形． 4.（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结， (1)求证：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 5.（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，为线段上一点，分别以，为边，在的同侧作等边三角形和等边三角形，交于点，交于点． 求证： (1)； (2)为等边三角形； (3)． 题型八、等腰三角形的存在性问题 1.如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 2.（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，中，，在直线上找一点，使或为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 3.如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．    4.已知：如图中，，，在射线上找一点，使为等腰三角形，则的度数为 ． 5.如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？ 6.如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 7.（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列三角形中，不一定是等边三角形的是（   ） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于的三角形 C．一边上的高也是该边上的中线的三角形 D．有一个外角等于的等腰三角形 2．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，点为上一点，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到，下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个测平仪，在这个测平仪中，，边的中点处挂了一个重锤，小明将边与木条重合，观察此时重锤是否过点，如果过点，那么这根木条就是水平的，他作出判断的依据是（   ） A．垂线段最短 B．三角形三条高所在的直线交于一点 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．等腰三角形“三线合一” 5．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 6．（2025·湖北武汉·二模）如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，① ；② ；③ ；④ ，则上述结论中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，点E在线段上，，连接，若，则的度数为 ． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）周长为13，那么边长为整数的等腰三角形共有 个． 11．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 12．（2021七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是 ． 13．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，，则线段的长为 ． 14．（21-22八年级上·重庆忠县·期末）如图，在中，，，平分，交的延长线于点，若，则 ． 15．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 16．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 17．（24-25八年级下·广东江门·开学考试）如图，是等边三角形，．动点P，Q分别从点A、B同时出发，动点P以的速度沿向终点C运动．动点Q以的速度沿射线运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．点P出发后，过点P作交于点E，连结，以为边作等边三角形，连结，设点P的运动时间为． (1)用含t的代数式表示的长为________； (2)求的长（用含t的代数式表示）； (3)当的边与垂直时，求出此时t的值． 18．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，为等边三角形，点、分别是边、所在直线上的动点，若点、以相同的速度，同时从点、点出发，分别沿、方向运动，直线、交于点． (1)如图1，求证：； (2)在点、点运动过程中，______°； (3)如图2，点为边中点，连接，，当点、分别在线段、上运动时，判断与的数量关系，并证明你的结论． 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01等腰三角形的性质与判定 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等腰三角形等边对等角（常考点） 1 题型二、等腰三角形“三线合一”（重点） 5 题型三、等边三角形及其性质（常考点） 8 题型四、等腰三角形相关的综合探究（难点） 13 题型五、等腰三角形的判定（常考点） 18 题型六、角平分线+平行线的等腰三角形模型（常考点） 22 题型七、等边三角形的判定 27 题型八、等腰三角形的存在性问题 31 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等腰三角形等边对等角 1.（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）在中，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等边对等角即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 2.（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰中，，是的角平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点．根据等腰三角形的性质，得到，再根据是的角平分线得到，然后利用三角形外角性质计算即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：A． 3.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D在上，且，则的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可求的度数． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， 故答案为． 4.（2025·浙江温州·三模）如图，已知四边形中，，平分，点E在边上且，连接，若，，，则，，之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据得，证明和全等得，，设，则，再证明得，得到①，再根据，得②，①+②即可得出答案． 【详解】解：，， ， 平分， ， 在和， ， ， ，， 设， 则， ，， ， ， ，， ， 即①， ， 即②， ②+①，得：， 故答案为： 5.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点D，且，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质．在上截取，连接；根据证得，再利用全等三角形的对应边，对应角相等，可得到，；又由等量代换，证得是等腰三角形，利用等边对等角，即可求得与的关系，由三角形的内角和是，即可求得结果． 【详解】解：如图，在上截取，连接． ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵为的外角， ∴， ∴， 在中，， 即，解得， ∴． 6.（25-26八年级上·全国·单元测试）等腰三角形中，，点D在内部，且．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质得出，设，由三角形内角和定理可得解． 【详解】解：∵ ∴； 设，则； ∴． 题型二、等腰三角形“三线合一” 1.（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，是等腰三角形的顶角平分线．下列叙述中，不正确的是（   ） A．把分成了两个直角三角形 B．一定大于 C．垂直平分线段 D．平分的面积 【答案】B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一进行分析即可得到答案． 【详解】解：∵是等腰三角形的顶角平分线． ∴，垂直平分线段，， ∴把分成了两个直角三角形，平分的面积， 故选项A、C、D叙述正确，不符合题意；不一定大于，故B选项叙述不正确，符合题意； 故选：B 2.（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，证明是解答本题的关键．先证明，即有，再根据“三线合一”的性质即可求解． 【详解】解：∵，是底边上的高线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵根据题意有，， ∴， 故选：B． 3.（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，是的中线，已知，则的度数是 ． 【答案】/85度 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，三角形的外角性质．因为是的中线，所以是等腰三角形，，求得，结合，利用三角形的外角性质即可作答． 【详解】解： 是的中线， 是等腰三角形，， ， ， ， 故答案为：． 4.（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，D为底边的中点，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，中垂线的性质，得到，进而得到，三线合一结合三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点M，交于点N， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， ∵，D为底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 5.（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： (1)； (2)点A在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后利用垂直于同一条直线的两条直线平行，即可解答； （2）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用等角对等边可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 题型三、等边三角形及其性质 1.如图，在等边中，，垂足为D，E是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，由等边三角形的性质推出垂直平分是解题的关键．由等边三角形的性质推出，，由线段垂直平分线的性质推出，得到，判定是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数． 【详解】解： 是等边三角形，， ，， 垂直平分， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故选：A． 2.如图，把等边纸片沿折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠的性质得到，根据外角的定义得到，即可得到结论． 本题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】由折叠可知， 又， 是等边三角形， ， ． 故选：B． 3.（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）如图，等边中，D为内部一点，且，E为外一点，且，连接和，则下列结论：①，②， ③，其中正确的有（    ） A．① B．①③ C．② D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、全等三角形的性质和判定的应用．熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解题的关键．根据等边三角形的性质，得到等边三角形的边角关系，然后利用“边边边”证明，从而可证明结论①正确；利用“边角边”证明，从而可证明结论③正确；由，则有，根据对顶角相等有，根据三角形的内角和定理可得，若，则，而不一定等于，故结论②错误； 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ，； 结论①正确； ， ， ，， ， ． 结论③正确； ，， ， ， 又 ， 若，则， 而不一定等于，故结论②错误； 故①③正确． 故选：B． 4.（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在等边三角形中，，点在边上，当线段的值最小时，的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂线段最短，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由垂线段最短可得当时，的值最小，由等边三角形的性质可求解． 【详解】解：点在边上， 当时，的值最小， 又是等边三角形， ， 故答案为：3． 5.（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在等边中，点分别在边上，且，与交于点．则 度． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，由等边三角形的性质可得，，即可得，得到，再根据三角形的外角性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵为的一个外角， ∴， 故答案为：． 6.（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，点B、C、D在同一直线上，与均为等边三角形． (1)说明的理由 (2)若，则与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1)理由见解析； (2)，理由见解析； 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得， ，则，即可证明，则，所以，则； （2）由全等三角形的性质得，则，所以，则，由，求得，因为，所以，则． 【详解】（1）解：∵与均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）得， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型四、等腰三角形相关的综合探究 1.（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，已知，点，…在射线上，点，…在射线上，，…均为等边三角形．若，则的边长为（   ） A．6 B．12 C．32 D．64 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和外角定理，难度不大，需要运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，并总结规律，才能得出结论．先根据等边三角形的性质得：，，再利用外角定理求，则，由等角对等边得：，得出的边长为1，再依次同理得出：的边长为2，再进一步可得答案． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的边长为1， 同理得：， ∴， ∴的边长为2， 同理可得：的边长为：， 的边长为：， ∴的边长为：， ∴的边长为； 故选：C． 2.（24-25八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，是等边三角形，点在射线上，且，分别以为腰在射线上方作等腰，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，图形类变化规律问题，根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质得出底角的变化特点，根据变化规律得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∵，，，…均为等腰三角形，且，，，…为腰， ∴，，，……以此类推， ． 故选：B． 3.（24-25八年级上·河北廊坊·期中）如图，是一个钢架，，为使钢架更牢固，需在其内部焊接一些钢管，如，，……若焊接的钢管的长度都与的长度相等，则 （1） ； （2）最多能焊接 根． 【答案】 30 5 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴； 故答案为：30； （2）由（1）可得：， ∵， ∴， ∴， 同理可得， 如图， ∴， ∴， ∴最多能焊接5根； 故答案为：5． 4.（25-26七年级上·全国·课后作业）仿照图①，请你再设计一种不同的分法，将等腰三角形分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形（图②、图③供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明，要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）． 【答案】答案不唯一，答案见解析． 【分析】本题考查的是应用与设计作图，熟知等腰三角形的性质及三角形内角和定理是解答此题的关键．根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】解：如图所示： 5.（24-25八年级上·浙江·期中）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． (1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (2)图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； (3)在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)的度数为或或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，三角形的内角和与三角形的外角性质，解题的关键是数形结合、分类讨论． （1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求； （2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解； （3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可． 【详解】（1）解：如图即为所求： （2）如图即为所求： （3）当，时，， ， ， ； 当，时，， ， ； 当时，， ， ， ； 当，时，，， ， ， 此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意； 综上所述，的度数为或或． 题型五、等腰三角形的判定 1.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，平分且于点的周长为22，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，角平分线定义. 先根据角平分线定义及三角形内角和定理求出，进而的得，然后说明，接下来结合，的周长为可得答案. 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 即， ∴. ∵， ∴. ∵，的周长为， ∴的周长为， 解得. 故选：C. 2.（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段和差计算．通过构造辅助线得到和全等是解决本题的关键． 首先通过延长中线构造全等三角形，将已知的边和角进行转化，然后利用等腰三角形等角对等边的性质来求出线段的长． 【详解】解：延长到点M，使，连接，如图． 已知，， 所以． 因为是的中线， 所以． 在和中： ， 所以≌． 所以，． 又因为， 可得． 因为，且， 可得． 所以， 又因为， 所以． 故答案为：． 3.（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是进一步得到，利用即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）如图，连接， 平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 4.（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，中，，，点D，E分别在，上，且，，过E作于F，过点D作于G． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)若，求点D到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点． （1）由题意得，根据证明，得，根据等腰三角形的三线合一性质可得结论； （2）根据等腰三角形的三线合一性质可得，即可得平分； （3）先证明是等腰直角三角形得到，再根据全等三角形对应边上的高相等可得结论． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：由（1）得，，， ∴， ∴平分； （3）解：∵， ∴，又， ∴是等腰直角三角形， ∴， 过点D作，垂足为H， ∵， ∴中边上的高与中边上的高相等，即， ∴点D到的距离． 题型六、角平分线+平行线的等腰三角形模型 1.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形的三条角平分线相交于点O，，交于点D，，交于点E．图中等腰三角形共有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定．①如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形；②如果一个三角形有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形；③如果三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合，那么这个三角形是等腰三角形． 根据题中条件，结合图形可得共7个等腰三角形． 【详解】解：①∵为等边三角形， ∴， ∴为等腰三角形； ②∵分别是三个角的角平分线， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ③为等腰三角形； ④为等腰三角形； ⑤∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形； ⑥∵， ∴， ∵， ∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO， ∴为等腰三角形； ⑦为等腰三角形． 故选：B． 2.（24-25八年级上·广东东莞·期末）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与另外一把直尺边缘的交点为，点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则的长度是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查求线段长，涉及角平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关几何性质与判定是解决问题的关键．先过点作，如图所示，由题意可知为的角平分线，结合角平分线性质、平行线的性质及等腰三角形的判定与性质得到，再由即可确定答案． 【详解】解：过点作，如图所示： 由题意可知，，且， 为的角平分线， 则， ， ， 则， ， 点在这把直尺上的刻度读数分别是2，5， ，则， 故选：B． 3.（25-26七年级上·全国·课后作业）把一张长方形纸片如图折叠，则的形状是 ． 【答案】等腰三角形 【分析】该题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握折叠前后角度不变是解题的关键．根据折叠的性质得到，而，即可得，证得，从而得到的形状． 【详解】解：在长方形纸片中， ∴， 根据折叠可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 4.（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知在中，与的平分线相交于点，过点作，分别交于点．若，则的周长为 ． 【答案】30 【分析】本题考查等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，掌握等角对等边是解题的关键． 根据平行线的性质和角平分线的定义证，再根据等角对等边可得，据此求解． 【详解】如图，分别是与的平分线， ． 又， ，， ， ， 的周长． 又， 的周长． 故答案为：30． 5.（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知 ，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 6.（24-25八年级下·河南许昌·开学考试）如图，已知是延长线上一点，的平分线与的平分线交于点，过作的平行线，交于，交于．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义以及平行线的性质．首先根据角平分线的定义和平行线的性质进行角之间的等量代换，得到，，根据等角对等边得到是等腰三角形，然后进行边之间的等量代换即可证明结论． 【详解】证明：、是与的角平分线， ，． ， ，， ，， ， ． 题型七、等边三角形的判定 1.（25-26八年级上·全国·课前预习）下列条件中，不一定是等边三角形的是（   ） A．有两个角是的三角形 B．有一个角是的等腰三角形 C．有两个外角相等的等腰三角形 D．三边都相等的三角形 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和，解决本题的关键是熟记等边三角形的定义和判定定理．根据等边三角形的定义和判定定理逐项判定即可解答． 【详解】解：A、两个内角为，因为三角形的内角和为，可知另一个内角也为，故该三角形为等边三角形，故本选项不符合题意； B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； C、两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意； D、三边都相等的三角形是等边三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2.（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列说法中，正确的有（    ）个 ①有一个外角为的等腰三角形是等边三角形 ②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 ③三个外角都相等的三角形是等边三角形 ④有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形 ⑤的三边为，满足，则这个三角形是等边三角形 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，根据等边三角形的判定定理及等腰三角形的判定和性质逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①因为有一个外角为，则与之相邻的内角为，故这个等腰三角形是等边三角形，该说法正确； ②因为等腰三角形底角的外角相等，所以有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误； ③因为三个外角都相等，则三个内角都相等，为，故这个三角形是等边三角形，该说法正确； ④因为等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合，所以有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，该说法错误； ⑤的三边为，满足，可得或或，得到或或，所以这个三角形是等腰三角形，该说法错误； 综上，正确的说法有个， 故选：． 3.（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在等边三角形中，，垂足分别是点E，F，D．若．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，由全等三角形的性质得到是解决本题的关键． 由等边三角形的性质可得，再由角边角的判定证明和全等，由此可得，再结合有一个角为的等腰三角形为等边三角形证明即可． 【详解】证明：是等边三角形， ． 又， ，且， ． 在和中， ， ≌， ． ． 是等边三角形． 4.（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结， (1)求证：； (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)是等边三角形，理由见解析． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可证，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，然后利用证明，从而可得，结合（1）中的平行，等边三角形的判定方法，即可解答． 【详解】（1）证明：∵ 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由： ∵是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 5.（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，为线段上一点，分别以，为边，在的同侧作等边三角形和等边三角形，交于点，交于点． 求证： (1)； (2)为等边三角形； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据等边三角形的性质可得，再证出，然后根据定理即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，则可得，再根据全等三角形的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据等边三角形的判定即可得证； （3）先根据等边三角形的性质可得，，再根据平行线的判定即可得证． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． （3）证明：∵是等边三角形， ∴， 由（2）已证：为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 题型八、等腰三角形的存在性问题 1.如图，已知中，，．在直线或上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有（    ）处．    A．6 B．7 C．8 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，根据题意，画出图形结合求解． 【详解】如图，第1个点在上，作线段的垂直平分线，交于点P，则有； 第2个点是以A为圆心，以长为半径截取，交延长线上于点P； 第3个点是以A为圆心，以长为半径截取，在上边与延长线上交于点P； 第4个点是以B为圆心，以长为半径截取，与的延长线交于点P； 第5个点是以B为圆心，以长为半径截取，与在左边交于点P； 第6个点是以A为圆心，以长为半径截取，与在右边交于点P； 故符合条件的点P有6个点． 故选：A． 2.（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）已知：如图，中，，在直线上找一点，使或为等腰三角形，则符合条件的点的个数有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的存在形问题，根据题意，画出图形，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：以为圆心，的长为半径画圆，得到为等腰三角形， 以为圆心，的长为半径画圆，得到为等腰三角形， 作的中垂线，得到为等腰三角形，即，以为边的等腰三角形有4个， 同理：以为边的等腰三角形也有4个； 故总共有8个等腰三角形； 故选B． 3.如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．    【答案】或或或 【分析】画出图形，分四种情况分别求解． 【详解】解：若， 则；    若， 则， ∴；    若，且三角形是锐角三角形， 则；    若，且三角形是钝角三角形， 则．    综上：的度数为或或或， 故答案为：或或或． 4.已知：如图中，，，在射线上找一点，使为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或50°或 【分析】分三种情形分别求解即可. 【详解】中，∵，， ∴∠BAC=40º， 如图，为等腰三角形有三种情形： ①当时， ∵，∠BAC=40º， ∴=， ∴=； ②当时， ， ∴； ③当时， ∵，∠BAC=40º， ∴， ∴=； 故答案为：或50°或 5.如图，，是延长线上一点，若，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形？ 【答案】6或18 【分析】分点P在线段OC上和点P在线段OB上两种情况，分别根据等腰三角形的定义列出等式，求解即可得． 【详解】解：由题意，分以下两种情况： （1）点P在线段OC上时，若ΔPOQ是等腰三角形，则只有OP=OQ才满足 因此有18−2t=t 解得t=6(s) （2）点P在线段OB上时，若ΔPOQ是等腰三角形， ∵ ∴ΔPOQ也是等边三角形 因此有2t−18=t 解得t=18(s) 综上，当t等于6s或18s时，ΔPOQ是等腰三角形 故答案为：6或18． 6.如图，在中，，所在的平面上有一点（如图中所画的点），使，， 都是等腰三角形，问：具有这样性质的点有几个（包括点）？在图中画出来． 【答案】图见解析，10 【分析】根据等腰三角形的两边相等，可通过作线段的垂直平分线得出满足条件的点； 【详解】解：如图，在的边的中垂线上有，，和四个点满足条件，而这样的对称轴有三条，且三条对称轴都经过点， ， 所以满足条件的点共有个． 7.（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，直线、交于点，为直线上一定点，为直线上一动点，．若以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，回答下列问题：    (1)如图1，当时，满足条件的等腰三角形有______个； (2)如图2，当时，满足条件的等腰三角形有______个． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定． （1）分4种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可； （2）分2种情况画图讨论，根据等腰三角形的判定作答即可． 【详解】（1）如图1，当时，满足条件的等腰三角形有4个，理由如下：    当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：4； （2）如图2，当时，满足条件的等腰三角形有2个，理由如下：    当时，是等边三角形， 当时，； 故答案为： 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列三角形中，不一定是等边三角形的是（   ） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于的三角形 C．一边上的高也是该边上的中线的三角形 D．有一个外角等于的等腰三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，准确分析判断是解题的关键；根据等边三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、三个角都相等的三角形是等边三角形，故A不符合题意； B、有两个角等于的三角形是等边三角形，故B不符合题意； C、一条边上的高也是这条边的中线的三角形是等腰三角形，不一定是等边三角形，故C符合题意； D、有一个外角等于的等腰三角形，则其相邻的内角为，有一个内角是的等腰三角形是等边三角形，故D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，，点为上一点，连接，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键． 由可得，由可得，由，可得，在中利用三角形内角和定理可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到，下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．依据折叠即可得到，进而得出的形状． 【详解】解：由题可得，与可重合，即， ∴是等腰三角形，， 故A选项正确，不符合题意； ∵与可重合，折痕是 ∴，，， 故B、C选项正确，不符合题意； 根据已知条件无法得出，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平，他拿来一个测平仪，在这个测平仪中，，边的中点处挂了一个重锤，小明将边与木条重合，观察此时重锤是否过点，如果过点，那么这根木条就是水平的，他作出判断的依据是（   ） A．垂线段最短 B．三角形三条高所在的直线交于一点 C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．等腰三角形“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质；其中要注意等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线，高线，顶角平分线重合． 根据等腰三角形的性质可知，当重锤过A点时，也是边上的高，即，即这根木条是水平的． 【详解】解：∵，D为边的中点， ∴为等腰的底边上的高． 又∵自然下垂， ∴处于水平位置． 故他作出判断的依据是等腰三角形“三线合一” 故选D． 5．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，，是边上的中线，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一、三角形内角和定理是解题的关键． 由三线合一得，进而求出，由得，求出即可求解． 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．（2025·湖北武汉·二模）如图，在四边形中，为正三角形，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰梯形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练计算角的和差是解题的关键． 先证得四边形是等腰梯形，可得，由等边三角形的性质得，根据角的和差得出，，再由等边对等角得出，，再根据角的和差计算可得答案． 【详解】解：∵四边形中，， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵为正三角形， ∴， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 7．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称—最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，从而可确定，即最小时，最小．再根据垂线段最短可知的长即为最小时，最后根据三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴直线是图形的对称轴， 如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N， ∴， ∴， ∴最小时，最小． 当时最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值是4． 故选C． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，① ；② ；③ ；④ ，则上述结论中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等边三角形的性质． 先根据等边三角形的性质得到，，，则，则根据“”可证明，从而可对①进行判断；再证明，则可根据“”判断，从而可对②进行判断，所以，接着根据“”证明，从而可对③进行判断；由于不是等边三角形，为等边三角形，从而可对④进行判断． 【详解】解：和均为等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ，所以①正确； ， ， ， 在和中， ， ，所以②正确； ， 在和中， ， ，所以③正确； ， 不是等边三角形， 而为等边三角形， 与不能全等，所以④错误． 故选：B． 9．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，点E在线段上，，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查平行线的性质，等边对等角，根据平行线的性质求出，再根据等边对等角结合三角形内角和求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为． 10．（25-26八年级上·全国·单元测试）周长为13，那么边长为整数的等腰三角形共有 个． 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边长关系，二元一次方程的应用； 设腰长为x，底边长为y，列出二元一次方程，结合腰长为x，底边长为y都是整数，且任意两边之和大于第三边，即可求解． 【详解】解：设腰长为x，底边长为y， 则，即， ∵腰长为x，底边长为y都是整数，且任意两边之和大于第三边， ∴， ∴， ∴，或，或， ∴周长为13，那么边长为整数的等腰三角形共有3个． 故答案为：3． 11．（24-25八年级上·河北邢台·期末）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，利用等边三角形性质得到，结合题意进而得到，再根据三角形外角性质得到，即可解题． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（2021七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D，E分别是线段BC、AC上的一点，且AD＝AE．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是 ． 【答案】∠1＝2∠2． 【分析】根据三角形的外角的性质，得出∠AED＝∠CDE+∠C，∠ADC＝∠B+∠BAD，再利用等腰三角形的性质，等量代换和等式的性质即可求得． 【详解】∵是△ABD的外角，是△DEC的外角， ∴∠AED＝∠2+∠C，∠ADC＝∠B+∠1， 又∵AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE， ∴, ∴, 即, ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， , 即∠1＝2∠2, 故填：∠1＝2∠2． 13．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，，则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到，则可得的长，同理可得，据此求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 故答案为：3． 14．（21-22八年级上·重庆忠县·期末）如图，在中，，，平分，交的延长线于点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据CD平分∠ACB，BD⊥CD，CD=CD，先证△BCD≌△FCD，得到△BCF为等腰三角形，BF=2BD，再证△BAF≌△CAE，即可得答案． 【详解】解：如下图：延长BD与CA的延长线交于F点， ∵CD平分∠ACB，BD⊥CD， ∴∠BCD=∠FCD，∠BDC=∠CDF=90°， 又∵CD=CD， ∴△BCD≌△FCD， ∴BC=CF， ∴△BCF为等腰三角形， ∴BF=2BD， ∵∠BAC=90°，∠BDC=90°，∠DEB=∠AEC， ∴∠FBA=∠ECF， 在△BAF和△CAE中， ∴△BAF≌△CAE， ∵BF=CE， ∵BF=2BD， ∴CE=2BD， ∵BD=， ∴CE=2， 故答案为：2． 15．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． (1)求证：； (2)用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：如图，即为所求作． 16．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握相关知识是解题的关键； 对于（1），根据等腰三角形的性质得是的垂直平分线，可得，再根据线段垂直平分线的性质得，即可得，此题可解； 对于（2），根据等腰三角形的性质可求，再根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 【详解】（1）证明：∵，点D是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，点D是的中点，， ∴． 在中，． 17．（24-25八年级下·广东江门·开学考试）如图，是等边三角形，．动点P，Q分别从点A、B同时出发，动点P以的速度沿向终点C运动．动点Q以的速度沿射线运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．点P出发后，过点P作交于点E，连结，以为边作等边三角形，连结，设点P的运动时间为． (1)用含t的代数式表示的长为________； (2)求的长（用含t的代数式表示）； (3)当的边与垂直时，求出此时t的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解一元一次方程等知识，结合图形分析是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）分两种情况讨论：点Q在线段上，点Q在射线上； （2）证明，从而得到，求出即可； （3）分两种情况，和进行求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 是等边三角形， ． 分两种情况∶ 当点Q在线段上时，； 当点Q在射线上时， ； 的长为或 ； （2）解：是等边三角形， ，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 是等边三角形， ，． ， ，即． ． ． ，，， ； （3）解：当时， 是等边三角形， 是高，也是中线． ． ， ，解得：； ②当时，如图， ，， ． ， ． ． ，， ， 解得∶ 综合上述，当的边与垂直时，t的值为或． 18．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，为等边三角形，点、分别是边、所在直线上的动点，若点、以相同的速度，同时从点、点出发，分别沿、方向运动，直线、交于点． (1)如图1，求证：； (2)在点、点运动过程中，______°； (3)如图2，点为边中点，连接，，当点、分别在线段、上运动时，判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2) (3)与的数量关系为，理由见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得：，，根据题意得：，即可得证； （2）由可得，由为等边三角形得，根据三角形的外角性质即可求解； （3）延长到，使，连接，以为边作等边，连接，证明得到，，推出，得到，证明得到，，推出，证明得到，即可判断． 【详解】（1）证明： 为等边三角形， ，， 点、以相同的速度，同时从点、点出发，分别沿、方向运动， ， 在和中， ； （2） 为等边三角形， ， ， ， 是的外角， ， 故答案为：； （3）与的数量关系为，理由如下∶ 延长到，使，连接，以为边作等边，连接，如图2所示∶ ， 、、三点共线， 点为边中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 1 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $$