17.2用公式法分解因式　讲义　2025-2026学年人教版数学八年级上册

17.2 用公式法分解因式 【学习目标】 1．知道平方差公式的特点，能较熟练地应用平方差公式分解因式． 2．知道完全平方公式的特点，能较熟练地应用平方差公式分解因式． 3．理解整式乘法与因式分解的互逆关系，并会用乘法公式进行因式分解． 4．能综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解（指数为正整数），提升运算能力． 【新知探究】 知识梳理1 用平方差公式分解因式 知识梳理2 用完全平方公式分解因式 知识梳理3 系数为1的二次三项式的因式分解 知识梳理4 因式分解的应用 知识梳理1 用平方差公式分解因式 1．平方差公式的等号两边互换位置，得 ． 文字语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 2．特点： （1）等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反； （2）等号右边是两个数的和与这两个数的差的积． 【例1】　（2025春•高州市月考）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2﹣y2 B．x2﹣4y2 C．﹣x2﹣y2 D．（x+y）2﹣y2 【例2】　（2025•宿迁校级一模）分解因式：x2﹣9＝　　 ． 【例3】　（2025•内江）分解因式：a2﹣1＝　　 ． 【例4】　（2025•海州区一模）分解因式：a2﹣25＝　　 ． 【例5】　（2025•市中区校级模拟）把多项式4m2﹣n2因式分解的结果是 　　 ． 知识梳理2 用完全平方公式分解因式 1．完全平方公式的等号两边互换位置，得 ，． 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方． 2．特点： （1）等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可． （2）等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差）的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方． 3．公式法的定义： 如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法． 【例6】　（2025春•白银期末）若9x2+（k﹣2）x+16能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　） A．±24 B．±26 C．26或﹣22 D．﹣26或22 【例7】　（2025•甘肃）因式分解：x2﹣6x+9＝　　 ． 【例8】　（2025•定西一模）因式分解：x2+4y2﹣4xy＝　　 ． 【例9】　（2025•翁牛特旗模拟）因式分解：9m2+6m+1＝　　 ． 【例10】　（2025•溧阳市校级模拟）因式分解：9a2﹣6a+1＝　　 ． 知识梳理3 系数为1的二次三项式的因式分解 对于二次项系数为1的二次三项式，如果能把常数项q分解成两个因数a，b的积，并且a＋b为一次项系数p，那么它就可以运用公式 因为 因为， 所以． 分解因式，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． 【例11】　（2025春•工业园区校级月考）如果x2+mx﹣15＝（x+3）（x+n），那么m+n的值为　　 ． 【例12】　（2025春•莲池区期末）若多项式x2+mx﹣21可以分解为（x+3）（x﹣7），则m＝　　 ． 【例13】　（2025•海门区校级模拟）因式分解：x2﹣x﹣6＝　　 ． 【例14】　（2025•博山区三模）因式分解：a2+2a﹣3＝　　 ． 【例15】　（2025春•资中县校级月考）分解因式：（x+y）2﹣12（x+y）+35＝　　 ． 知识梳理4 因式分解的应用 利用因式分解可以解决整除问题，拼图问题，判断三角形的形状等． （1）利用因式分解解决整除问题，就是设法将已知的代数式利用乘法公式进行因式分解，写成几个因式乘积的形式，在几个因式中凑出想要整除的那部分，即可解决问题． （2）因式分解与拼图的结合，是将几何图形与代数的解法结合起来，数形结合更利于学生对因式分解和乘法公式的理解，用图形去演绎某个代数式因式分解的结果，体现了逆向思维． （3）因式分解还可能与三角形等知识点结合进行综合考查．将等式化为右边等于0，左边（或左边的部分代数式）进行因式分解，结合题意判断三角形的形状． 【例16】　（2024秋•济南期末）小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（　　） A．a2+2ab+b2＝（a+b）（a+b） B．a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b） C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b） 【例17】　（2025春•寿县校级月考）若k为自然数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　） A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除 【例18】　（2025春•滕州市校级月考）已知△ABC的三边长a、b、c满足条件：a4﹣b4+b2c2﹣a2c2＝0．那么△ABC的形状为（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【例19】　（2025春•龙川县校级期末）若△ABC的三边长分别是a、b、c，且满足a2﹣2bc＝c2﹣2ab，则△ABC的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【例20】　（2025•金水区模拟）对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（　　） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【课后巩固】 一、选择题（共11小题） 1．（2025春•萧县校级月考）若x2+mx+9能用完全平方公式进行因式分解，则常数m的值为（　　） A．6 B．﹣6 C．6或﹣6 D．不能确定 2．（2025春•路南区校级月考）下面是课堂投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上序号处缺少的内容．下列回答错误的是（　　） 分解因式：2a（x2﹣1）﹣2b（x2﹣1）． 解：原式＝2（x2﹣1）①____ ＝②____ A．①填（a﹣b） B．②填（x+1）（x﹣1） C．该过程用到了提公因式法 D．该过程用到了公式法 3．（2024秋•孝南区期末）下列多项式能用平方差公式分解因式的是（　　） A．x2+y2 B．﹣x2﹣y2 C．x2﹣y3 D．﹣x2+y2 4．（2024秋•西安期末）下列各式不能运用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．﹣a2+b2 B．﹣x2﹣y2 C．49x2﹣z2 D．16m2﹣25n2 5．（2025春•包河区期中）在多项式1﹣4x2中添加一个单项式，使其成为一个多项式的完全平方，则添加的单项式正确的是（　　） A．﹣4x B．4x C．4x4 D．﹣4x4 6．（2025春•青岛期末）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A．x2+9 B．x2﹣6x+9 C．4x2﹣25 D．x2+4x+4 7．（2025•绥江县一模）对4x2﹣4进行因式分解，正确的是（　　） A．4x2﹣4＝4（x+1）（x﹣1） B．4x2﹣4＝4（x2﹣1） C．4x2﹣4＝4（x+2）（x﹣2） D．4x2﹣4＝（2x+2）（2x﹣2） 8．（2025春•甘州区校级期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20m C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9 9．（2024秋•江油市期末）下列各式中，属于完全平方式的是（　　） A．a2+2ab+1 B．a2+4a+4 C．a2﹣3a+9 D．a2+2a﹣1 10．（2024秋•巩义市期末）关于x的多项式9x2+ax+1是完全平方式，则实数a的值是（　　） A．3 B．±3 C．±6 D．6 11．（2025春•兴庆区校级期中）下列因式分解中，结果正确的是（　　） A．ax+ay+a＝a（x+y） B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） C．4x2+9＝（2x+3）2 D． x2﹣x﹣6＝（x+2）（x﹣3） 二、填空题（共9小题） 12．（2025春•寿县校级月考）因式分解：4ma2﹣9mb2＝　 　 ． 13．（2025春•雁塔区校级月考）若多项式x2﹣（m+1）x+9是一个完全平方式，则m＝　 　 ． 14．（2025•新郑市模拟）因式分解：x2﹣1＝　 　 ． 15． （2024秋•阎良区期末）若多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m＝　 　 ． 16． （2025春•胶州市校级月考）已知x2﹣kxy+64y2是一个完全平方公式，则k＝　 　 ． 17． （2025春•成都期末）若y2﹣my+4是一个完全平方式，则m2的值为 　 　 ． 18． （2025•龙华区二模）若x2﹣1＝（x+m）（x+n），则mn＝ 　 　 ． 19． （2025春•未央区校级月考）若x2+（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m的值等于 　 　 ． 20． （2025•樟树市校级三模）分解因式：6x2﹣54＝　 　 ． 三、解答题（共8小题） 21．（2025春•榆阳区校级月考）因式分解：x2（3x﹣2）+（2﹣3x）． 22．（2025春•高唐县校级月考）把下列各式因式分解． （1）3（x﹣3）2﹣12； （2）﹣4x2y+16xy﹣16y； （3）25﹣10（x+y）+（x+y）2； （4）6（x+y）2﹣2（x﹣y）（x+y）． 23．（2025春•娄星区月考）因式分解： （1）9x2﹣4y2； （2）a3﹣4a2+4a． 24．（2025春•金凤区校级期中）因式分解： （1）2x2y﹣8xy+8y； （2）x2（x﹣y）+y2（y﹣x）． 25．（2024秋•崇川区校级期末）分解因式： （1）a3b2﹣4a； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 26． （2025春•大荔县校级期末）分解因式：（x﹣3）（x﹣5）+1． 27．（2025春•莘县校级月考）因式分解： （1）﹣12x2y+6xy﹣18xy2； （2）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）． 28．（2024秋•江岸区期末）因式分解： （1）x2﹣25； （2）ab2+2ab+a． 学科网（北京）股份有限公司 $$