17.1用提公因式法分解因式　讲义　2025－2026学年人教版数学八年级上册

17.1 用提公因式法分解因式 【学习目标】 1．理解因式分解的意义，能辨析因式分解与整式乘法的区别与联系． 2．掌握公因式的确定方法（系数取最大公约数，字母取最低次幂）． 3．熟练运用提公因式法分解含单项或多项式公因式的式子． 【新知探究】 知识梳理1 因式分解 知识梳理2 用提公因式法分解因式 知识梳理3 利用因式分解简化计算 知识梳理1 因式分解 1．定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式． 2．注意： （1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式； （2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式； （3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止； （4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算． 【例1】　（2025春•成都校级月考）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 B．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y） C．x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1 D．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 【例2】　（2025春•浙江期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．2x（x+1）＝2x2+2x B．（x+1）（x+1）＝x2+2x+1 C．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2 D．x2+2x+4＝x（x+2）+4 【例3】　（2025春•萧县期末）下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A．x（a+b）＝ax+bx B．a2+4a+4＝（a+2）（a﹣2） C．10a2+5a＝5a（2a+1） D．a2﹣16+3a＝（a+4）（a﹣4）+3a 【例4】　（2025春•菏泽期末）下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　） A．x2﹣x＝x（x﹣1） B． C．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 D．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 【例5】　（2025春•萧山区期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（m+2n）（m﹣2n）＝m2﹣4n2 B． C．8a2b＝2a•4ab D．4my﹣2y＝2y（2m﹣1） 知识梳理2 用提公因式法分解因式 1．公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫作这个多项式各项的公因式． 2．提公因式法的定义： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法． 3．提公因式法分解因式的一般步骤： （1）确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数； （2）提公因式：依据为乘法分配律 （3）确定另一个因式：用多项式除以公因式，所得的商就是提公因式后剩下的另一个因数； （4）写成积的形式：相同因式的乘积写成幂的形式． 4．注意 （1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式． （2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样． （3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数． 5．怎样确定公因式（五看）： 一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数； 二看字母：公因式的字母是各项相同的字母； 三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的； 四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开； 五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负． 【例6】　（2025春•三水区校级月考）因式分解：7a2﹣21ab＝　　 ． 【例7】　（2025春•临渭区期中）用提公因式法分解因式：3x﹣12x2． 【例8】　（2025春•碑林区校级期中）因式分解：x2y﹣2xy． 【例9】　（2024春•留坝县期末）因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）． 【例10】　（2024春•咸阳期末）﹣ab+a2b2﹣a3b2． 知识梳理3 利用因式分解简化计算 把相同的数看成同一字母，把算式看成多项式，利用因式分解改变运算顺序以减少运算量． 【例11】　（2024秋•吉首市校级月考）计算（﹣3）2001+（﹣3）2002结果为（　　） A．3 B．2×32001 C．﹣32001 D．32002 【例12】　（2024春•晋州市期末）计算（﹣2）2025+（﹣2）2024所得的结果是（　　） A．﹣2 B．﹣22025 C．22024 D．﹣22024 【例13】　（2024秋•万州区校级月考）计算：（﹣2）100+（﹣2）99的值是（　　） A．﹣2100 B．﹣299 C．2100 D．299 【例14】　（2023秋•淄川区期末）计算（﹣5）2013+（﹣5）2014的结果是（　　） A．4×52013 B．﹣5 C．﹣4×52013 D．﹣4 【例15】　（2024春•达川区期中）利用因式分解计算：（﹣2）101+（﹣2）100+299＝　　 ． 【课后巩固】 一、选择题（共10小题） 1．（2024秋•平潭县期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2 2．（2025春•天桥区期末）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A．m2﹣3m﹣4＝m（m﹣3）﹣4 B．（m+2）（m﹣2）＝m2﹣4 C．m2﹣4n2＝（m+2n）（m﹣2n） D．m2﹣4m﹣1＝（m﹣2）2﹣5 3．（2025春•钟山区校级月考）小红和小华在用提公因式法对多项式2x2﹣4x进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（　　） A．2 B．x C．2x D．2x2 4．（2025春•深圳期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2 B．x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）﹣1 C． D．x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2 5．（2025•新蔡县三模）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y） 6．（2025春•礼泉县期末）多项式6ab2﹣cb的公因式是（　　） A．b B．ab C．b2 D．C 7．（2025春•兰溪市期末）把5（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（　　） A．5﹣m B．5+m C．m﹣5 D．﹣m﹣5 8．（2025春•渭城区期末）多项式xy﹣x的公因式是（　　） A．x B．x﹣1 C．y D．Xy 9．（2025春•平顶山期末）利用“提公因式法”对多项式2y3﹣6y2进行因式分解，正确的是（　　） A．y2（2y﹣6） B．2（y3﹣3y2） C．2y（y2﹣3y） D．2y2（y﹣3） 10．（2025春•诸暨市期末）已知（2x﹣8）（3x﹣4）﹣（3x﹣4）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），则a+2b的值是（　　） A．1 B．6 C．7 D．8 二、填空题（共10小题） 11．（2025•肇源县二模）分解因式：4x2y﹣12xy＝　 　 ． 12． （2025•平遥县一模）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝　 　 ． 13． （2025•绿园区校级三模）将整式3a2﹣9a分解因式结果正确的是 　 　 ． 14． （2025•新泰市二模）因式分解：ab2﹣ab＝　 　 ． 15． （2025•宁波三模）分解因式：a2+4a＝　 　 ． 16． （2025春•海原县期末）把多项式a2+2a分解因式得　 　 ． 17． （2025•白山模拟）分解因式：a2﹣6ab＝　 　 ． 18． （2025春•湖州期末）一个长、宽分别为a、b的长方形的周长为20，面积为24，则a2b+ab2的值为　 　 ． 19． （2025春•富平县期末）写出一个公因式为b的多项式：　 　 ．（写一个即可） 20． （2025春•昌黎县期末）化简：（﹣2）2025+（﹣2）2026＝　 　 ． 三、解答题（共6小题） 21．（2025春•新城区校级期中）分解因式 （1）12a3b4c2﹣18a2b5； （2）15x（x﹣y）﹣12（y﹣x）2． 21． （2025春•临渭区期中）用提公因式法分解因式：3x﹣12x2． 23．（2025春•长清区期中）因式分解： （1）4mx﹣6my+2m； （2）（a﹣b）2+b（b﹣a）． 24． （2025春•雁塔区校级月考）因式分解：a（x﹣3）+2b（x﹣3）． 25．（2024春•永寿县月考）如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值： （1）a2b+ab2； （2）3a3b+6a2b2+3ab3． 26．（2024春•福鼎市期中）因式分解：（x﹣1）2+3（x﹣1）． 学科网（北京）股份有限公司 $$