1.3.1空间直角坐标系课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3.1　空间直角坐标系 第一章 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 学习目标 1.了解空间直角坐标系,能在空间直角坐标系写出点、向量的坐标. 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 索引 知识点梳理 例题探究 课堂即时练 学习安排 知识点梳理 一、新知填空(预习教材P16~P18后填空) 1.空间直角坐标系:在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k},以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:__________________,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. x轴、y轴、z轴 2.相关概念:____叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过______________的平面叫做坐标平面,分别称为________平面,________ 平面,________ 平面,它们把空间分成八个部分. O 每两条坐标轴 Oxy Oyz Ozx 知识点梳理 (1)基向量的模: |i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°. (3)建立的坐标系均为右手直角坐标系. 温馨提醒 4 3.点的坐标:在单位正交基底{i,j,k}下与向量=xi+yj+zk对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作________,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的________. 4.向量的坐标:在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组________叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作___________. A(x,y,z) 竖坐标 (x,y,z) a=(x,y,z) 知识点梳理 5 (1)过点P作垂直于坐标轴的平面,与x轴、y轴、z轴分别交于点A、点B和点C,实际上就是作点P在各条坐标轴上的投影,即从点P向坐标轴引垂线,垂足分别为点A,B,C.设点A,B,C的坐标分别为(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z),则点P的坐标为(x,y,z). 温馨提醒 (2)坐标轴或某平面上点的坐标 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z) 6 例题探究 7 如图所示,在正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,O,O1分别为底面ABCD,底面A1B1C1D1的中心,AB=6,AA1=4,M为B1B的中点,点N在C1C上,且C1N∶NC=1∶3. (1)以O为原点,分别以OA,OB,OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,求图中各点的坐标; 例1 一、空间直角坐标系及点的表示 在正方形ABCD中,AB=6, ∴AC=BD=6,从而OA=OC=OB=OD=3. 8 ∴各点坐标分别为A(3,0,0),B(0,3,0),C(-3,0,0), D(0,-3,0),O(0,0,0),O1(0,0,4),A1(3,0,4),B1(0,3,4), C1(-3,0,4),D1(0,-3,4),M(0,3,2),N(-3,0,3). 同理,A(6,0,0),B(6,6,0),C(0,6,0),D(0,0,0),A1(6,0,4),B1(6,6,4), C1(0,6,4),D1(0,0,4),O(3,3,0),O1(3,3,4),M(6,6,2),N(0,6,3). (2)以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,求图中各点的坐标. 9 (链接教材P22复习巩固2)在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标; 例2 二、空间点的对称问题 由于点P关于x轴对称后,它在x轴的分量不变,在y轴、z轴的分量变为原来的相反数, 所以对称点坐标为P1(-2,-1,-4). 10 由点P关于Oxy平面对称后,它在x轴、y轴的分量不变,在z轴的分量变为原来的相反数, 所以对称点坐标为P2(-2,1,-4). (链接教材P22复习巩固2)在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4). (2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标; 11 设对称点为P3(x,y,z), 则点M为线段PP3的中点, 由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6, y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12, 所以P3的坐标为(6,-3,-12). (链接教材P22复习巩固2)在空间直角坐标系中,已知点P(-2,1,4). (3)求点P关于点M(2,-1,-4)对称的点的坐标. 12 反思总结 （1）点P(x,y,z)在空间直角坐标系中关于坐标轴与坐标平面的对称点： 1.关于坐标原点的对称点为P1(-x,-y,-z). 2.关于横轴(x轴)的对称点为P2(x,-y,-z). 3.关于纵轴(y轴)的对称点为P3(-x,y,-z). 4.关于竖轴(z轴)的对称点为P4(-x,-y,z). 5.关于xOy坐标平面的对称点为P5(x,y,-z). 6.关于yOz坐标平面的对称点为P6(-x,y,z). 7.关于zOx坐标平面的对称点为P7(x,-y,z). （2）关于对称点问题的记忆方法为“关于谁对称谁不变,其余坐标为相反”. 13 例3 三、空间向量的坐标 (链接教材P18例1)在直三棱柱ABO-A1B1O1中,∠AOB=,AO=4, BO=2,AA1=4,D为A1B1的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,,的坐标分别为　　　　　　　　　　.  设与,,同向的单位向量分别为i,j,k. 因为=-=-(+)=- =---=-2i-j-4k, 所以=(-2,-1,-4). 因为=-=-(+)=--=-4i+2j-4k, 所以=(-4,2,-4). (-2,-1,-4);(-4,2,-4) 14 反思总结 用坐标表示空间向量的步骤 15 课堂即时练 1.已知点A(-3,0,-4),点A关于原点的对称点为B,则点B的坐标是 A.(3,0,-4) B.(-3,0,4) C.(-4,0,-3) D.(3,0,4) √ 因为点(x,y,z)关于原点的对称点坐标为(-x,-y,-z),所以点A(-3,0,-4)关于原点的对称点B的坐标是(3,0,4). 16 课堂即时练 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AD的中点,AB=1,则向量的坐标为　　　　　　　　　　　　　　 .  以A为坐标原点,,,为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系, 设=i,=j,=k. ∵=++=--+=---+ =---=-i-j-k, ∴=. 17 课堂小结 1.知识清单 （1）空间直角坐标系的概念 （2）空间点的坐标 （3）空间向量的坐标 2.方法归纳：数形结合、多写多练 3.常见误区：混淆空间点的坐标和向量坐标的概念，只有起点在原点的向量的坐标才和终点的坐标相同。 课后作业 1、完成课后习题P18-19的课后习题 2、完成学校发的习题资料（大小本） $$