第1章 三角形 同步训练 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

第1章 三角形 一、单选题 1．如果两个图形全等，那么这两个图形必定是（    ） A．形状和大小均相同 B．形状相同，大小不同 C．形状和大小均不相同 D．大小相同，形状不同 2．如图，在中，的垂直平分线交于E，则的周长是（   ） A．10 B．9 C．8 D．6 3．在直角中，若是直角，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，则的周长为（   ） A．8 B．11 C．16 D．17 5．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．如图， 在中，，，平分交于D，于E，若，则的周长是 （    ）       A． B． C． D． 7．如图，在中，，点在的延长线上．若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．如图，在中，，，，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A． B．5 C． D．6 二、填空题 9．如图，已知四边形中，，平分，点E在边上且，连接，若，，，则，，之间的数量关系是 ． 10．如图，在中，，是的中点，直线是线段的垂直平分线，是上的一个动点，的面积为，，则的最小值为 ． 11．如图，有三块菜地，，分别种植三种蔬菜，点为与的交点，平分，，，菜地的面积为96，则菜地的面积是 ． 12．如图，在中，，E为的中点，D为上一点，交的延长线于点F．若，与之间的距离为5，则四边形的周长的最小值是 ． 13．如图，在中，两点在上，且有．若，，则的度数为 ． 三、解答题 14．如图，已知在中，，为边上的中点，过点作，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 15．如图，在中，，点是的中点，点在上，求证：是等腰三角形． 16．如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点． (1)求证：是线段的中点； (2)求证：； (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 17．如图，在中，，点，分别在边，上，且，平分，过点作于点，作于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 18．如图，在 中， 点在的延长线上，于点，，平分 (1)求证：； (2)若是的中点，，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查图形全等的性质，根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，所以如果两个图形全等，那么这两个图形必定是形状和大小均相同． 【详解】解：如果两个图形全等，则这两个图形必定是形状和大小均相同． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质可得，利用三角形的周长计算即可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于E， ∴， ∴的周长是， 故选：C． 3．B 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，得到，解答即可． 本题考查了直角三角形两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据直角三角形的两个锐角互余，得到， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长， 故选：B． 5．A 【分析】根据两边之和大于第三边判断即可． 本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵，与两边之和大于第三边一致， ∴A符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴B不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴C不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴D不符合题意； 故选：A． 6．D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质．先利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后求出，进而可得的周长． 【详解】解：， ， 平分， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ， 所以，的周长为． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查等腰三角形三线合一的性质，含30度角的直角三角形的性质，作于点E，由三线合一可得，再证，由30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，作于点E， 中，，， ，即， ，， ， ， ， ， 故选C． 8．A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，垂线段最短，正确进行转化是解题的关键．延长到点，使，连接，过点作于点，连接，，由得到当点重合，且点共线时，最小，即为的长，再由即可求解． 【详解】解：如下图所示，延长到点，使，连接，过点作于点，连接，， ，， 是的垂直平分线，， ∴， ∴， 当点重合，且点共线时，最小，即为的长， ， ， 解得：． 故选：A ． 9． 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据得，证明和全等得，，设，则，再证明得，得到①，再根据，得②，①+②即可得出答案． 【详解】解：，， ， 平分， ， 在和， ， ， ，， 设， 则， ，， ， ， ，， ， 即①， ， 即②， ②+①，得：， 故答案为： 10．6 【分析】连接，由三线合一及线段中点的定义可得，，由三角形的面积公式可得，由此即可求出的长，由“直线是的垂直平分线”可得点关于直线的对称点为点，由“轴对称的性质——最短路线问题”可知，的长即为的最小值． 【详解】解：如图，连接， ，是的中点， ，， ， ， 直线是的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点，， ∴，当点M在上时取得最小值 的长为的最小值， 的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，三线合一，三角形的面积公式等知识点，找出点关于直线的对称点为点以及熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 11．32 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线是解题的关键． 由三角形中线的性质得到，过点作，交的延长线于，于，由角平分线的性质可得，由三角形的面积关系可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 过点作，交的延长线于，于， ∵平分，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，将问题转化为求的最小值是解答本题的关键，由已知条件可证，则有，则四边形FBCD的周长为，由此只需最小即可得到最小的周长，由垂线段最短可知，当，即时，四边形FBCD的周长最短，据此即可解答． 【详解】解：E为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当时最短，此时四边形的周长取最小值， 与之间的距离为5，， 当时，， ∴四边形周长的最小值为． 故答案为：16． 13．/110度 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据“边边边”证明，根据对应角相等可得，即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 14．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，准确分析计算是解题的关键． （）已知，，所以，根据等腰三角形的性质，得到，根据为边上的中点，得到，根据即可证明，根据三角形全等的性质对应边相等，得； （）根据，，判定是等边三角形，得到，再根据为边上的中点，得到，计算的周长即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， 为等边三角形， ∵为边上的中点， ∴， ， 的周长为． 15．证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定，解答本题的关键是证明，利用三线合一的性质进行证明．根据等腰三角形的三线合一，从而得出，根据证明，再得出，即可得证． 【详解】证明：∵，是的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)为等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）先证明，，进一步证明，再结合等腰三角形的性质可得结论； （2）先证明，可得，结合，可得，进一步可得结论； （3）先证明，结合，可得，可得，从而可得结论． 【详解】（1）证明： ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ∴，即E是线段的中点． （2）证明：由（1）可得． ，D为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即． （3）解： 为等腰三角形． 理由：如图，连接， ∵E是线段的中点，， ， 由（2），得， ， ， ∴为等腰三角形． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 17．(1)证明过程见解析 (2)的长为 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）由角平分线的性质可得线段长度相等，结合已知可证得，对应角相等，即可证得结论； （2）在边上截取，可证得，对应边相等，结合已知可得等边三角形，等量代换，代入已知条件计算即可． 【详解】（1）证明：∵，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，在边上取一点，使得． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． ∴． 18．(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据，，得，再根据平分得，由此可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）连接，根据点是的中点得，依据“”判定和全等得，由此即可得出的面积． 【详解】（1）根据，， 得， 平分， ， ， 在和中， ， ， ； （2）连接，如图所示： 点是的中点，， ， 在△和△中， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$