1.2空间向量基本定理课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.2　空间向量基本定理 第一章、空间向量与立体几何 学习目标 1.理解空间向量基本定理及其意义. 2.会用基底去表示空间向量. 3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法. 索引 一、知识梳理(预习教材P11~P14后填空) 1.空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c________,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得______________________. 2.基底:我们把{a,b,c}叫做空间的一个______,a,b,c都叫做基向量. 3.单位正交基底:如果空间的一个基底中的三个基向量__________,且长度都为____,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示. 不共面 p=xa+yb+zc 基底 两两垂直 1 知识点梳理 4.正交分解:由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使_____________.像这样,把一个空间向量分解为三个__________的向量,叫做把空间向量进行正交分解. a=xi+yj+zk 两两垂直 2 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示. (2)一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量. (3)若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量. 温馨提醒 3 二、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) 1.只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底.( ) 提示　空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 2.若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c全不是零向量.( ) 3.单位正交基底中的单位是指三个基向量的长度都是1.( ) 4.正交是指三个基向量两两垂直.( ) × √ √ √ 4 例题探究 5 [链接教材P12练习3(1)]已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,= -3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{,,}能否作为空间的一个基底. 例1 一、空间向量的基本定理 假设,,共面,则存在实数λ,μ使得=λ+μ, 故e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3. ∵e1,e2,e3不共面, ∴此方程组无解, ∴,,不共面, ∴{,,}可以作为空间的一个基底. 6 反思总结 （1）判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底,关键是要判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底. （2）在立体几何实际应用中，我们通常从一个顶点出发的三条棱对应的方向向量作为基底。 7 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点. (1)用基底{a,b,c}表示,; 例2 二、用基底表示空间向量 如图,连接AC, =+=-+-=a-b-c, =+=+=-(+)+(+) =-=a-c. 8 =(+)=(-+)=(-c+a-b-c)=a-b-c, 又=xa+yb+zc, 所以x=,y=-,z=-1. (2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值. 9 反思总结 基底的选择与使用 (1)空间中,任一向量都可以用一个基底表示,且只要基底确定,则表示形式是唯一的. (2)用基底表示空间向量时,要结合图形,运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则,以及数乘向量的运算法则。 (3)在空间几何体中选择基底时,通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底,一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底. 10 (链接教材P15拓广探索7)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD. (1)证明:EF⊥B1C; 例3 三、空间向量基本定理的应用 设=i,=j,=k,则{i,j,k}构成空间的一个正交基底. 所以=+=-k+=i+j-k,=+=-i-k, 所以·=·(-i-k)=-|i|2+|k|2=0, 所以EF⊥B1C. 11 ∵=i+j-k,=+=-k-j, ||2==|i|2+|j|2+|k|2=3,||=, ||2==|k|2+|j|2=4+=,||=, ∴cos<,>====. 即EF与C1G所成角的余弦值为. (2)求EF与C1G所成角的余弦值. 12 如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G分别是A'D',DD',D'C'的中点,请选择恰当的基底向量证明: (1)EG∥AC; 训练3 取基底{,,}, 因为=+=+, =+=2,所以∥, 又EG,AC无公共点,所以EG∥AC. 13 反思总结 （1）证明平行、共面问题的思路 1.利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行 2.利用空间向量基本定理去证明 （2）求异面直线所成的角、证明线线垂直的方法 利用数量积的定义a·b=|a||b|cos<a,b>，求异面直线所成角的大小<a,b>。 14 1.在正四面体P-ABC中,M是PA上的点,且PM=2MA,N是BC的中点,若=x+y+z,则x+y+z的值为　　　　. 如图所示, =+=-+=-++. 由空间向量基本定理得:x=-,y=,z=. 故x+y+z=. 课堂即时练 15 课堂即时练 2.如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=AD= AA1=1,∠BAD=∠BAA1=120°,∠DAA1=60°,则线段AC1的长度是　　　　.  设=a,=b,=c, 则{a,b,c}构成空间的一个基底, ∵=a+b+c, ∴||2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c =1+1+1+2×1×1×+2×1×1×+2×1×1×=2, ∴AC1=. 16 课堂小结 课后作业 1、完成课后习题P15之前所有的课后习题 2、完成学校发的习题资料（大小本） $$