第4章 一元一次方程 单元测试-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版2024新教材）

第4章 一元一次方程 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列选项中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若与是同类项，则的值为（   ） A．4 B．3 C． D．4 3．下列等式变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．解方程时，去分母的步骤如图：则“□”内填的数是（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 5．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知足．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，”若设有牧童人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则的值为（    ） A．3 B． C． D．或 7．在如图所示日历中，任意平行四边形框出的四个数之和不可能是（   ） A．22 B．48 C．78 D．106 8．关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．若与互为相反数，则x的值为 ． 10．若是方程的解，则值为 ． 11．【等量代换】某益智节目有这样一个问题：如图所示，两个天平都平衡，根据图示回答三个球的质量等于 个正方体的质量． 12．定义新运算：，例如：．若，则的值为 ． 13．甲乙两城市相距400千米，摩托车与轿车分别从甲乙两城市同时出发，相向而行．已知摩托车每小时行35千米，轿车每小时行65千米，两车相遇时距甲城市 千米． 14．幻方起源于中国，如图是一个已经填好部分数字的幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这个和称为幻方和，则图中x表示的值为 ． 15．已知关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 16．如图，在长方形中，，，点是上一点，且，点从点出发，以的速度沿匀速运动，最终到达点．设点的运动时间为，若的面积为，则的值为 ．    三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．解方程： (1) (2)． 18．已知整式，，其中是常数，若整式的值与的取值无关，求的值． 19．小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 20．今年植树节，力旺高一九班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．求该班的学生人数． 21．甲、乙两种商品，成本共2200元．甲商品按的利润定价，乙商品按的利润定价．后来都按定价的9折打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是多少元? 22．试根据图中信息，解答下列问题： (1)购买5根跳绳需_____元，购买15根跳绳需_____元． (2)小红比小明多买3根，付款时小红反而比小明少9元，请求出小红购买跳绳的根数． 23．对于有理数a，b满足，我们称使等式成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为．如满足：；满足：；所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)若是“相伴有理数对”，求x的值； (2)若是“相伴有理数对”，求 的值． 24．【观察思考】 如图，春节期间在某广场上摆放多盆红梅花黑色圆点和黄梅花白色圆点，组成“中国结”系列图案． 【发现规律】 根据上述图案的摆放规律填空： （1）第个图案中黄梅花的盆数为______； （2）第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，，第个图案中红梅花的盆数可表示为______； 【解决问题】 （3）若按照上述规律摆放的第个“中国结”图案中红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍多盆，求的值． 25．将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”．已知是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，折线数轴上点C对应的数是14，点A、B两个点表示的数分别对应为a、b． 有一动点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，当运动到点O和点B之间时速度变为原来的一半，经过点B后恢复原速；同时另一动点Q从点C出发以1个单位长度/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，当运动到点O和点B之间时速度变为原来的两倍，经过点B后也立刻恢复原速．设运动时间为t秒． (1) ； ； (2)当t为何值时，P、Q两点相遇时，并求出相遇时点P在“折线数轴上对应的数”． (3)是否存在t值，使得？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 一元一次方程 单元测试 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列选项中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是方程，故此选项不符合题意； B、没有未知数，不是方程，故此选项不符合题意； C、是不等式，不是方程，故此选项不符合题意； D、是一元一次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 2．若与是同类项，则的值为（   ） A．4 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据同类项的定义，即所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类型，来确定的值．本题主要考查了同类项的定义，熟练掌握同类项中相同字母的指数相同是解题的关键． 【详解】解：与是同类项 故选：． 3．下列等式变形不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的基本性质．根据等式两边同时加减同一数或式子，等式仍成立；同时乘或除以同一不为零的数，等式仍成立．需逐一分析各选项是否满足条件． 【详解】解：A. 若，两边加1得，符合等式性质，正确； B. 若，两边乘（）得，正确； C. 若，两边除以（）得，正确； D. 若，当时，和无意义，变形不成立，错误． 故选：D． 4．解方程时，去分母的步骤如图：则“□”内填的数是（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程的去分母．根据去分母的步骤进行解答即可． 【详解】解： 两边同乘以6得到， 故“□”内填的数是12， 故选：D 5．我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知足．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿，”若设有牧童人，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键根据题意．设有牧童人，根据竹竿的总数不变即可列出方程． 【详解】解：设有牧童人， 则， 故选：A． 6．已知，，则的值为（    ） A．3 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，求代数式的值，正确理解绝对值的性质是解题的关键． 首先化简绝对值得到，，然后分情况分别代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上所述，的值为或． 故选：D． 7．在如图所示日历中，任意平行四边形框出的四个数之和不可能是（   ） A．22 B．48 C．78 D．106 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设其中最小的一个数为，根据月历表知，这四个数分别为，，，，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】设其中最小的一个数为，根据月历表知，这四个数分别为，，，， 这四个数的和为： 当时，解得：，不符合题意， 当时，解得：不是整数，不在日历表中，符合题意， 当时，解得：，不符合题意， 当时，解得：，不符合题意， 故选：B． 8．关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程适当变形是解答本题的关键．方程可变形为：，再根据两个方程的特点得出，据此求解即可． 【详解】解：方程可变形为：， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程的解为， 解得：． 故选：D． 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．若与互为相反数，则x的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此可得关于x的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由相反数性质可知， ∴， 故答案为：6． 10．若是方程的解，则值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了方程的解以及代数式的运算，得到“”是解决本题的关键． 先将代入方程，可得，再整体代入代数式求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：2024 ． 11．【等量代换】某益智节目有这样一个问题：如图所示，两个天平都平衡，根据图示回答三个球的质量等于 个正方体的质量． 【答案】 【分析】本题考查的是等式的性质，根据图可得个球的质量等于个圆柱质量，个正方体质量等于个圆柱质量；再进一步可得答案． 【详解】解：由图可得：个球的质量等于个圆柱质量，个正方体质量等于个圆柱质量； ∴个球的质量等于个圆柱质量，个正方体质量等于个圆柱质量； ∴个球的质量等于个正方体质量， 即3个球的重量等于5个正方体的重量． 故答案为5． 12．定义新运算：，例如：．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，由新定义可得，进一步解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．甲乙两城市相距400千米，摩托车与轿车分别从甲乙两城市同时出发，相向而行．已知摩托车每小时行35千米，轿车每小时行65千米，两车相遇时距甲城市 千米． 【答案】140 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设两车经过x小时相遇，由题意列出方程可求出x，则计算的值可得出答案． 【详解】解：设两车经过x小时相遇，由题意得， ， 解得， ∴两车相遇时距甲城市的距离为（千米）， 故答案为：140． 14．幻方起源于中国，如图是一个已经填好部分数字的幻方，它的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这个和称为幻方和，则图中x表示的值为 ． 【答案】0 【分析】根据题意，利用第一列与第二行数字之和相等即可求解．本题关键是读懂题意，然后列出方程即可求解． 【详解】由题可知第一列与第二行数字之和相等， ∵有一个相同的数字，故剩下两个数字之和相同，即，求得． 故答案为：0． 15．已知关于的方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先根据一元一次方程的解法求出，然后根据一元一次方程有整数解求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当，即时，方程的解是， 关于的方程有整数解，为整数， 或或或或或或或， 或或或或或或1或6， 满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 16．如图，在长方形中，，，点是上一点，且，点从点出发，以的速度沿匀速运动，最终到达点．设点的运动时间为，若的面积为，则的值为 ．    【答案】或 【分析】分下列三种情况讨论，如图1，当点P在上，即时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点P在上，即时，由列方程求解即可；如图3，当点P在上，即时，由列方程求解即可． 【详解】解：如图1，当点P在上，即时，    ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴，解得：； 如图2，当点P在上，即时，    ∵， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍去）； 当点P在上，即时，，    ∴，解得：． 综上所述，当的值为或时的面积会等于24． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的运用、三角形面积公式的运用、梯形面积公式的运用、动点问题、分类讨论等知识点，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤，准确计算． （1）先去括号，然后移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后将未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 未知数系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 未知数系数化为1得：． 18．已知整式，，其中是常数，若整式的值与的取值无关，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则． 根据整式的加减运算法则进行化简，然后令含x的项的系数为零即可求出答案． 【详解】解： ， ∵整式的值与的取值无关， ∴， 解得：，． 19．小林在解方程去分母时，方程右边的忘记乘8，因而得到方程的错解．你能由此判断出的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】能，，方程正确的解为 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．由题意得，小林得到的方程为，代入，求出的值，再对原方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求出方程正确的解． 【详解】解：由题意得，小林得到的方程为， 代入得，， 解得：， 原方程为：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∴方程正确的解为． 20．今年植树节，力旺高一九班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵．求该班的学生人数． 【答案】45 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，寻找等量关系是解题的关键； 设该班有学生人，根据题意，列一元一次方程，解方程即可． 【详解】设该班有学生人，由题得， 解得． 答：该班的学生人数为45人． 21．甲、乙两种商品，成本共2200元．甲商品按的利润定价，乙商品按的利润定价．后来都按定价的9折打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是多少元? 【答案】甲商品的成本是1200元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列方程是正确解答本题的关键．设甲商品的成本是元，那么乙商品的成本则是元，根据题意列出关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：设甲商品的成本是元，那么乙商品的成本则是元，根据题意得： ， 解得：． 答：甲商品的成本是1200元． 22．试根据图中信息，解答下列问题： (1)购买5根跳绳需_____元，购买15根跳绳需_____元． (2)小红比小明多买3根，付款时小红反而比小明少9元，请求出小红购买跳绳的根数． 【答案】(1)75，157.5 (2)小红购买跳绳12根 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）根据题意列出算式即可； （2）设小红购买跳绳根，根据题意列出方程进而求解． 【详解】（1）解：∵（元），（元）， ∴购买5根跳绳需75元，购买15根跳绳需元； 故答案为：，； （2）解：设小红购买跳绳根，则小明购买跳绳根， 根据题意得： ， 解得：． 答：小红购买跳绳12根． 23．对于有理数a，b满足，我们称使等式成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为．如满足：；满足：；所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)若是“相伴有理数对”，求x的值； (2)若是“相伴有理数对”，求 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，整式的混合运算，解题的关键是正确理解题目所给“相伴有理数对”的定义． （1）根据题目所给的“相伴有理数对”的定义，列出方程求解即可； （2）根据题目所给的“相伴有理数对”的定义，得出，将化简，再将代入，即可解答． 【详解】（1）解：∵是“相伴有理数对”， ∴， 解得：； （2）解：∵是“相伴有理数对”， ∴， ∴ 把代入得： 原式 ． 24．【观察思考】 如图，春节期间在某广场上摆放多盆红梅花黑色圆点和黄梅花白色圆点，组成“中国结”系列图案． 【发现规律】 根据上述图案的摆放规律填空： （1）第个图案中黄梅花的盆数为______； （2）第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，第个图案中红梅花的盆数可表示为，，第个图案中红梅花的盆数可表示为______； 【解决问题】 （3）若按照上述规律摆放的第个“中国结”图案中红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍多盆，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现红梅花和黄梅花盆数变化的规律是解题的关键． （1）根据所给图形，依次求出图形中黄梅花的盆数，发现规律即可解决问题． （2）根据题中所给规律即可解决问题． （3）结合（1）（2）中发现的规律建立关于的等式即可解决问题． 【详解】解：（1）由题知， 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； 第个图案中黄梅花的盆数为：； ， 所以第个图案中黄梅花的盆数为盆． 当时， （盆）， 即第个图案中黄梅花的盆数为盆． 故答案为：． （2）由题知， 因为第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， 第个图案中红梅花的盆数可表示为， ， 所以第个图案中红梅花的盆数可表示为盆． 故答案为：． （3）由（1）（2）知， 因为第个“中国结”图案中红梅花的盆数比黄梅花的盆数的倍多盆， 所以， 解得或． 因为为正整数， 所以． 25．将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到如图所示的“折线数轴”．已知是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b，折线数轴上点C对应的数是14，点A、B两个点表示的数分别对应为a、b． 有一动点P从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，当运动到点O和点B之间时速度变为原来的一半，经过点B后恢复原速；同时另一动点Q从点C出发以1个单位长度/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，当运动到点O和点B之间时速度变为原来的两倍，经过点B后也立刻恢复原速．设运动时间为t秒． (1) ； ； (2)当t为何值时，P、Q两点相遇时，并求出相遇时点P在“折线数轴上对应的数”． (3)是否存在t值，使得？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，8 (2)P在“折线数轴上对应的数”为 (3)存在，或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，熟练掌握数轴上点与数轴的对应关系是解题的关键． （1）根据二次多项式的定义和二次项的系数得到，，求出a，b解答即可； （2）先确定点P、Q两点相遇在上，然后列方程求出t的值，再求P点表示的数即可； （3）分相遇前和相遇后两种情况根据运动过程得到时，点P和Q的位置，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是关于x的二次多项式，且二次项的系数为b， ∴，， 解得，， 故答案为：，8； （2）解：中点对应的数值为， ∴点P到达的时间为，到达点B的时间为， 点Q到达中点的时间为，到达点O的时间为， ∴点P、Q两点相遇在上， 则， 解得， ∴点P在“折线数轴上对应的数”为； （3）解：存在，理由为： 相遇前点P在上，点Q在上时，， ∴， 解得， 相遇后，点P在B点时，点Q在上且点Q在“折线数轴上对应的数”为， ∴， 当时，点P在上，点Q在上， ， 解得， 综上所述，当时，或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$