4.3 用一元一次方程解决问题 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练2025-2026学年七年级数学上册（苏科版2024）

4.3 用一元一次方程解决问题 一、列方程解应用题的一般步骤 审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系。 设：设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数。 列：列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一。 解：解方程，求出未知数的值。 检验：检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可。 答：写出答案，注意单位要写清楚。 二、解决方程应用常用方法 列表法：适用于题目含有多个研究对象。 画圆形示意图：适用于题目含有多个研究对象。 画线型示意图：适用于行程问题。 柱状示意图：适用于有关价格、利润率等问题。 三、方程应用的常见类型 和差倍分问题：基本量及关系，增长量=原有量×增长率。 行程问题：三个基本量间的关系，路程=速度×时间。基本类型有相遇问题、追及问题、航行问题等。 工程问题：如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1。基本关系式，总工作量=工作效率×工作时间；总工作量=各单位工作量之和。 调配问题：寻找相等关系的方法，抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑。 利润问题：标价=成本（或进价）×（1+利润率）；实际售价=标价×打折率；利润=售价-成本（或进价）=成本×利润率。 此外，还有方案选择问题、古代数学文化问题等。 巩固课内例1:一元一次方程的应用——年龄问题 1．小明问老师的年龄，老师笑着说：“我们两人现在的年龄和为50岁，5年后，我的年龄比你的年龄的2倍还大3岁．”小明听后笑着说：“老师，我知道自己的年龄，也就知道了您的年龄．”老师今年的年龄是（   ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的应用， 设老师今年的年龄为x岁，则小明今年的年龄为岁，根据题意列方程求解即可． 【详解】设老师今年的年龄为x岁，则小明今年的年龄为岁， 根据题意得， 解得． 答：老师今年的年龄是36岁． 故选：A． 2．今年，李林和他爸爸的年龄和是50岁，4年后，他爸爸的年龄比他的年龄的3倍小2岁，则李林的爸爸比他大 岁． 【答案】28 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．4年后，李林和他爸爸的年龄之和是岁，设李林4年后的年龄为x岁，则爸爸的年龄是岁，根据他们的年龄之和是58岁列出方程即可解决问题． 【详解】解：设李林4年后的年龄为x岁，则爸爸的年龄是岁，根据题意可得方程： (岁) (岁) 答：李林的爸爸比他大28岁． 故答案为：28． 3．爸爸比小丽大36岁，今年爸爸的年龄正好是小丽的4倍．今年爸爸和小丽各多少岁？（列方程解决问题） 【答案】今年爸爸48岁，今年小丽12岁 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设今年小丽x岁，则爸爸今年是岁，结合题意可得：，再解方程即可． 【详解】解：设今年小丽x岁，则爸爸今年是岁． 则， ∴， ∴， 解得：， （岁）， 答：今年爸爸48岁，今年小丽12岁． 巩固课内例2:一元一次方程的应用——销售问题 1．一家商店把某商品按标价的八折出售仍可获利，若该商品的进价是45元，若设标价为元，则可列得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一折为，利润率，列式解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用之打折问题，正确理解打折意义，利润率是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 2．商店以每双13元的价格购进一批凉鞋，售价为14.8元．卖到还剩5双时，除去购进这批凉鞋的成本外，还获利88元．这批凉鞋共有( )双． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设这批凉鞋共有双，根据题意正确列方程求解即可． 【详解】解：设这批凉鞋共有双， 由题意得：， ∴， 答：这批凉鞋共有90双， 故答案为： 3．【商品问题】一件商品按成本价提高后标价，后因季节关系按标价的八折降价出售，降价后卖288元，这件商品卖出后是赚了还是赔了？赔或赚了多少钱？ 【答案】赔了，赔了12元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设成本价为x元，根据两次调价方式及售价列方程，求出成本，与售价比较大小即可 【详解】解：设成本价为x元， 由题意知， 解得， ，（元） 答：这件商品卖出后赔了，赔了12元． 巩固课内例3:一元一次方程的应用——行程问题(追及) 1．如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按…方向，甲从以65米/分的速度，乙从以72米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（   ） A．边上 B．边上 C．边上 D．边上 【答案】B 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设经过x分乙第一次追上甲，根据题意得：，再解方程并进一步分析即可得到答案． 【详解】解：设经过x分乙第一次追上甲， 根据题意得：， 解得：， ∴（周）， ∵， ∴当乙第一次追上甲时在正方形的边上． 故选：B． 2．有甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从A地开往B地，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出发20分钟，出发后1小时40分追上丙．那么甲出发后需用 分钟才能追上乙． 【答案】500 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设甲出发后需用x分钟才能追上乙，丙的速度为v，则乙的速度为，甲的速度为，利用路程=速度×时间，结合甲追上乙时甲、乙的路程相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲出发后需用x分钟才能追上乙，丙的速度为v，则乙的速度为，甲的速度为， 根据题意得：， 即， 解得：， 因此甲出发后需用500分钟才能追上乙． 故答案为：500． 3．A、B两地相距，甲从A地骑车出发，每小时行驶，乙从B地骑车出发，每小时行驶． (1)如果甲、乙同时出发，相向而行，那么经几小时后，甲、乙相距？ (2)如果甲、乙同时出发，由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间乙追上甲？ 【答案】(1)经或小时后，甲、乙相距 (2)经过小时乙追上甲． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意找准等量关系，列出一元一次方程． （1）设经过小时甲、乙相距，根据题意分两种情况列方程求解即可； （2）设经过y小时乙追上甲，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过小时甲、乙相距， 根据题意得：或， 解得：或， 答：经或小时后，甲、乙相距； （2）解：设经过y小时乙追上甲， 根据题意得： 解得． 答：经过小时乙追上甲． 巩固课内例4:一元一次方程的应用——三角形问题 1．已知一个三角形的三个内角的度数比是，则最大的内角比最小的内角大（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这个三角形的三个内角的度数分别是5x､12x､13x，根据三角形内角和求出每个内角的度数，求解即可． 【详解】解：设这个三角形的三个内角的度数分别是5x､12x､13x， 根据题意得， 解得，则， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据三角形内角和求出每个内角的度数是解题的关键． 2．如下图，一长方形被一条直线分成两个长方形，这两个长方形的宽的比为；若阴影三角形面积为3平方厘米，则原长方形面积为( )平方厘米． 【答案】8 【分析】考查了一元一次方程的应用，读懂题意，根题据图中的面积关系列出方程是解本题的关键．设原长方形面积为平方厘米，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设原长方形面积为平方厘米， 则根据题意得：， 解得：， 所以原长方形面积为8平方厘米， 故答案为：8 3．一个三角形三边长度的比为，最短的边比最长的边短，则这个三角形的周长是多少？ 【答案】 【分析】设三角形的三边长分别为：，，，根据关键语句“最短的边比最长的边短”可得，解可得到的值，进而可以算出三边长，再计算出周长即可． 【详解】解：设三角形的三边长分别为：，，，由题意得： ， 解得：， 则三角形的三边长分别为：，，， 周长为：． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是根据三边的比值表示出三边长，再根据关键语句列出方程即可． 巩固课内例5:一元一次方程的应用——规律问题 1．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……，按照这一规律，有一种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是134个，请问这是第几种化合物的分子结构？（    ） A．64 B．65 C．66 D．67 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，一元一次方程的应用．根据第1种，第2种，第3种氢原子的个数可得第n种有个氢原子，即可求解． 【详解】解：第1种如图①有个氢原子， 第2种如图②有个氢原子， 第3种如图③有个氢原子， ……， 按照这一规律，第n种有个氢原子， 当时， 此时． 故选：C 2．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是由一个个六边形房室组成．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，若第n个图案中“”的个数是301，则n的值为 ． 【答案】100 【分析】本题考查了图形规律的探索，一元一次方程的应用，找到图形规律是解题的关键；根据前面几个图案中六边形个数得到规律，根据规律列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：第1个图案中六边形有4个，第2个图案在第1个图案的基础上增加了3个，第3个图案在第2个图案的基础上增加了3个，第4个图案在第3个图案的基础上增加了3个，……，即后一图案比前一图案增加3个六边形，则第1个图案、第2个图案、第3个图案、第4个图案，……，六边形的个数依次为：，，……，第n个图案中六边形个数为：； 由题意得：， 解得：； 故答案为：100． 3．如图，“☆”和“★”的个数按一定的规律逐渐增加： (1)根据以上变化规律：第5个图案中“☆”的个数为________； (2)根据以上变化规律：第个图案中“★”的个数为________；（用含的式子表示） (3)根据以上变化规律：若第个图案中“★”的个数是“☆”的个数的，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形类规律题解一元一次方程的知识，明确题意，准确得到规律是解题的关键． （1）找到每个图案中“☆”的个数的规律，然后即可求解； （2）找到每个图案中“★”的个数的规律，然后即可求解； （3）根据（1）和（2）可得：第个图案中“☆”的个数为，第个图案中“★”的个数为，然后列式化简得到一元一次方程并求解，然后即可求解本题； 【详解】（1）解：第1个图案中“☆”的个数为， 第2个图案中“☆”的个数为， 第3个图案中“☆”的个数为， ∴第个图案中“☆”的个数为， ∴第5个图案中“☆”的个数为， 故答案为：； （2）解：第1个图案中“★”的个数为， 第2个图案中“★”的个数为， 第3个图案中“★”的个数为， 第个图案中“★”的个数为， 故答案为：； （3）解：由（1）和（2）可得：第个图案中“☆”的个数为，第个图案中“★”的个数为， ∵第个图案中“★”的个数是“☆”的个数的， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 解得：； 巩固课内例6:一元一次方程的应用——鸡兔同笼问题 1．（传统文化）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉、兔各几何．大意为有若干只鸡和兔关在同一个笼子里，它们一共有35个头，94只脚，问鸡和兔各有几只．设鸡有x只，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列一元一次方程， 根据题意，鸡的数量为x只，则兔的数量为只，利用鸡和兔的脚数总和为94，建立方程即可. 【详解】解：设鸡有x只，则兔有只，每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，总脚数为94，因此方程为：. 故选：D. 2．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，笼中鸡有 只？ 【答案】23 【分析】本题考查了一元一次方程在“鸡兔问题”中的实际应用，解题的关键是未知数的设法：若设兔为x只，则由于鸡兔共35只，则鸡有只． 分别设出鸡、兔的只数，然后根据脚的总数建立方程求解即可：兔的脚数鸡的脚数． 【详解】解：设笼中有x只兔，则有只鸡． 依据题意得：， 去括号得： 移项合并同类项得：， ∴． 即兔有12只，则鸡有：(只)． 故答案为：23． 3．列方程解应用题： 鸡兔同笼是我国古代三大算术题目之一，最早记载于《孙子算经》中，距今已经超过年的历史，原文如下：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？翻译成现代汉语就是：有若干只鸡和兔子在同一个笼子里，从上面数共有个头，从下面数共有只脚，鸡和兔子各有多少只？ 【答案】鸡有只，兔有只． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中各量间的数量关系是解答本题的关键，设鸡有x只，根据题意列出方程并解答即可． 【详解】解：设鸡有x只，则兔有只， 根据题意得 ， 解得， ， 答：鸡有23只，兔有12只． 巩固课内例7:一元一次方程的应用——工程问题 1. 学校举办一年一届的科技文化艺术节活动，需制作一块活动展板，请来两名工人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两个人合作完成剩下的部分，设徒弟和师傅合作x天，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的应用．根据工程关系列出方程是关键． 设徒弟和师傅合作x天，根据等量关系：师傅完成的工作量+徒弟完成的工作量=1，列出方程即可求解． 【详解】解：设徒弟和师傅合作x天， 根据题意得，． 故选：C． 2．一件工作，甲单独做需14小时完成，乙单独做需11小时完成，若甲先做1小时，乙接着做2小时，最后甲、乙两人合作，再做几个小时全部完成？如果设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，那么根据题意，可列方程： 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用．利用等量关系：甲工作量+乙工作量=总工作量，进而得出方程求出即可． 【详解】解：设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作， ∵甲单独做需要14小时完成，乙单独做需要11小时完成， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 由题意得， 故答案为：． 3．一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成． (1)两队合做需几天完成？ (2)甲队先做5天，剩下的部分由两队合做，那么还需几天完成？ 【答案】(1)两队合作需6天完成 (2)还需要3天完成 【分析】该题考查了一元一次方程的应用． （1）可设两队合作需天完成，根据题意可得出：（甲队的工作效率乙队的工作效率）时间，由此可列出方程求解． （2）可设还需要天完成，根据题意可得出：（甲队的工作效率乙队的工作效率时间甲队先做5天的工作量，由此可列出方程求解． 【详解】（1）解：设两队合作需天完成， 依题意有， 解得． 答：两队合作需6天完成． （2）解：设还需要天完成， 依题意有， 解得：． 答：还需要3天完成． 类型一、一元一次方程的应用——和差倍分问题 1．张叔叔家养的公鸡和母鸡共240只．其中公鸡的只数是母鸡的，张叔叔家养的母鸡有（　　）只． A．90 B．150 C．160 D．108 【答案】B 【分析】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键． 由题意可知，设养的母鸡有x只，则公鸡有只，再根据等量关系：公鸡的只数母鸡的只数，据此列方程解答即可． 【详解】解：设养的母鸡有x只，则公鸡有只， ， 解得：； 答：张叔叔家养的母鸡有150只． 故选：B． 2．某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了 台计算机． 【答案】20 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是找到关键描述语“三年共购买计算机140台”，就找到了相应的等量关系． 设前年这个学校购买了台计算机，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设前年这个学校购买了台计算机， 根据题意得：， 解得：． 答：前年这个学校购买20台计算机． 故答案为：20． 3．书画院中硬笔书法班比软笔书法班多24人，硬笔书法班的人数是软笔书法班的1.8倍，软笔书法班和硬笔书法班各有多少人？（列方程解答） 【答案】软笔书法班有30人，硬笔书法班有54人 【分析】本题考查了列方程解应用题，设软笔书法班有x人，则硬笔书法班有1.8x人，根据“硬笔书法班比软笔书法班多24人”列方程求解即可． 【详解】解：设软笔书法班有x人，则硬笔书法班有1.8x人． 硬笔书法班：（人） 答：软笔书法班有30人，硬笔书法班有54人． 类型二、一元一次方程的应用——古代问题 1．明代读本《原本直指算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，其大意：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两，问人、银子各多少？设该问题中有x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，需要根据题目中所给的两种分银子的情况，找到银子数量的两种表达式，从而列出方程．本题主要考查了一元一次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列一元一次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：设人数为人，题意可得 故选：A． 2．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若慢马和快马从同一地点出发，设快马x天可以追上慢马，则可以列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查列一元一次方程，设快马x天可以追上慢马，根据“快马比慢马多走的路程等于慢马先行的路程”列方程解答即可． 【详解】解：设快马x天可以追上慢马， 由题意，得． 故答案为：． 3．古代名著《算术启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天跑里，慢马先走天，那么快马几天可以追上慢马？ 【答案】天 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设快马需要天可以追上慢马，则慢马走了天，根据“快马追上慢马时，两匹马所走的路程相同”列出方程求解即可．正确找到等量关系列出方程是解题关键． 【详解】解：设快马需要天可以追上慢马，则慢马走了天， 依题意得：， 解得：， 答：快马天可以追上慢马． 类型三、一元一次方程的应用——数字问题 1．一个三位数，十位上的数减5等于个位上的数，个位上的数加2等于百位上的数，把这个三位数倒序排列所成的数与原数的和等于524，则该三位数各个位上的数之和为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题主要考查代数式；设三位数的百位、十位、个位分别为、、，根据题意建立方程并计算求解即可． 【详解】解：设三位数的百位为，十位为，个位为，则原数为． 十位数减5等于个位数：，即． 个位数加2等于百位数：，即． ∵倒序数与原数的和为524， 倒序数为，故有： 将和代入方程，化简得： ， 整理：， 解得：； ∴，，故三位数为． 验证：原数与倒序数之和为，符合条件． ∴各位数之和： ． 故选：C． 2．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为9，如果将个位上的数字与十位上的数字对调后所得新数比原数小9，那么原两位数是 ． 【答案】54 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程是解题的关键．先设原数的个位数字是，则十位数字是，然后根据等量关系“个位数字与十位数字对调后所得新数比原数小9”列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设原数的个位数字是，则十位数字是． 根据题意得：， ∴， 则， 解得：，． 则原数为54． 故答案为：54． 3．一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是x．把1与x对调，新的两位数比原两位数小的值是多少？请你用方程解决这个问题． 【答案】x的值是3 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，原数为，新数为，根据新的两位数比原两位数小18建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 答：x的值是3． 类型一、一元一次方程的应用——行程问题(环形跑道) 1．甲、乙两人在长的环形跑道上练习跑步，甲跑步的速度是，乙跑步的速度是． 若两人相距，两人同时同向出发（甲在乙前），两人第一次相遇需要的时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设两人第一次相遇需要的时间是，根据两人第一次相遇时，甲比乙多跑了建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设两人第一次相遇需要的时间是， 由题意得：， 解得， 所以两人第一次相遇需要的时间是， 故选：D． 2．一条环形跑道长米，甲练习跑步，平均每分钟跑米：乙练习竞走，平均每分钟走米，如果两人同时同地同向出发，那么经过 分钟后甲第一次追上乙． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用， 先设经过x分钟甲第一次追上乙，根据甲x分钟行驶的路程等于乙x分钟行驶的路程加上400米列出方程，求出解即可. 【详解】解：设经过x分钟甲第一次追上乙，根据题意，得 ， 解得， 所以经过2分钟后甲第一次追上乙. 故答案为：2. 3．周末小明和爸爸来到了一处马场体验骑马．马场有一个如图所示的全长为的环形跑道，把跑道从A，B，C，D处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从A，D两处同时出发，沿箭头方向相向而行，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为，． (1)多久后两人首次相遇？ (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距？ 【答案】(1)60秒后两人首次相遇 (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过8秒或72秒时，两人相距 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是看清是相遇问题以及找到两人两人相距，所走得路程． （1）两人分别，两处同时出发，沿箭头方向相向出发，从图上可知首次相遇是个相遇问题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解； （2）在首次相遇后第二次相遇前，又经过y秒两人相距，依然是行程问题，找到路程，知道速度，根据路程等于速度乘以时间，可列方程求解； 【详解】（1）解：设秒后两人首次相遇， 依题意得到方程． 解得． 答：60秒后两人首次相遇． （2）解：设又经过秒后两人两人相距， 依题意得或 解得或． 答：在首次相遇后第二次相遇前，又经过8秒或72秒时，两人相距； 类型二、一元一次方程的应用——四边形问题 1．如图，长方形中，E、F分别在边和上，连接，与分别交于G、H，交于点K，若，，，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．96 B．100 C．105 D．106 【答案】C 【分析】本题考查了长方形的性质，整式加减的应用．设，图中阴影部分的面积为，由题意得和，据此求解即可． 【详解】解：设，图中阴影部分的面积为， ∵， ∴①， ∵， ∴②， 由①②得， 整理得． 故选：C． 2．如图，四边形和四边形都是正方形，当图中两个阴影部分都是长方形时，则 ．    【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设正方形的边长为，分别表示出，，然后列方程求解即可． 【详解】解：如图，    设正方形的边长为， 则，， ∴， 根据题意，得， 解得， ∴， 故答案为：6． 3．如图，长方形中，已知，，且点E是边的中点，点F是以每秒2个单位的速度从点C出发沿射线方向运动的一个动点． (1)当，求四边形面积．． (2)求点F运动多长时间时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一． 【答案】(1) (2)点运动1.5秒或7.5秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）根据题意表示出各边长进而得出答案； （2）分别利用当在线段上时，以及当在射线上时，分别得出答案． 【详解】（1）解：，，且点是边的中点，， ，， 四边形面积为； （2）解：如图，当在线段上时，设秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一， 则， ， 解得：， 如图，当在射线上时，设秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一， 则 ， 解得：， 答：点运动1.5秒或7.5秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一． 类型三、一元一次方程的应用——分配问题 1．把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据“如果每个同学分4本，则缺25本”，结合这个班级的人数，可得出这些图书共有本，结合所列方程，可得出这些图书共有本，进而可得出横线的信息，根据所列方程，找出缺失的条件是解题的关键． 【详解】解：如果每个同学分4本，则缺25本，且这个班级有名学生， 这些图书共有本， 所列方程为， 这些图书共有本， 横线的信息可以是：每个同学分3本，则剩余20本． 故选：B． 2．在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团共获得91枚奖牌，其中金牌40枚，银牌数与铜牌数的比是，则中国体育代表团在本届奥运会获得 枚银牌． 【答案】27 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设本届奥运会获得x枚银牌，则获得铜牌，然后根据三种奖牌的总和为91枚列方程求解即可． 【详解】解：设本届奥运会获得x枚银牌，则获得铜牌， 由题意可得：，解得：． 所以中国体育代表团在本届奥运会获得27枚银牌． 故答案为：27． 3．刘师傅要加工一批零件，已加工的零件个数与这批零件总个数的比是，如果再加工个零件就可以完成这批零件的．这批零件一共有多少个？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程应用，找到等量关系是解答本题的关键．设这批零件一共有个，按照比例可用表示出已加工的个数和完成的个数，再根据已加工的再加上个零件就可以完成这批零件的这一等量关系列出方程即可． 【详解】解：设这批零件一共有个， 由题意得， ， 解得，， 答：这批零件一共有个. 类型四、一元一次方程的应用——行程问题(火车过桥) 1．某铁路桥长m，一列火车匀速行驶从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了，火车的速度为，则火车的长度为（    ） A．m B．m C．m D．m 【答案】B 【分析】设火车长度是xm，用桥长加上火车长，就是火车从开始上桥到完全过桥所走的路程，用路程等于速度乘以时间列出方程求解． 【详解】解：设火车长度是xm， 依题意列式： 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用；解题的关键是正确确定行驶路程． 2．已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长 米． 【答案】200 【分析】设这列火车的长为x米，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设这列火车的长为x米， 根据题意得， ， 解得， ∴这列火车的长为200米． 故答案为：200 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．已知某铁路桥桥长1800米．现有一列火车从桥上匀速通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用时100秒，整列火车完全在桥上的时间是80秒． (1)这列火车的长度是多少？ (2)求这列火车通过铁路桥的速度． 【答案】(1)这列火车的长度为200米 (2)这列火车通过铁路桥的速度为20米/秒 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握火车过桥问题中的等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设火车的长度为米，根据火车的速度不变，列出方程进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间进行计算即可． 【详解】（1）解：设这列火车的长度是米，由题意，得： ， 解得：； 答：这列火车的长度为200米； （2）（米/秒）； 答：这列火车通过铁路桥的速度为20米/秒． 类型一、一元一次方程的应用——程序问题 1．如图是一个运算程序，当输入时，输出结果是147；当输入时，输出结果是232．如果输入的x是正整数，输出结果是382，那么满足条件的x的值最多有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值及解一元一次方程，根据题意列得方程，解方程求得符合题意的x的值即可． 【详解】解：由题意，令， 解得：； 令， 解得：； 令， 解得：，不符合题意； 综上，满足条件的x的值最多有2个， 故选：C． 2．按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为，请写出符合条件的所有的值 ． 【答案】或/8或2 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，一元一次方程的应用，根据输出结果，由运算程序求出所有的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：若第一次输入，输出结果为时，则，解得：； 若第二次输出结果为时，则，解得：； 若第三次输出结果为时，则，解得：（不符合题意）； ∴所有正数的值为或， 故答案为：或． 3． 信息1 若一个两位数十位、个位上的数字分别为和，我们可将这个两位数记为，如；同理，一个三位数、四位数等也可以用此记法，如． 信息2 调换两位数的各个数位上的数字，可以得到一个新的两位数． 【信息理解】 （1）填空： ①可表示为________； ②若，则________． （2）的运算结果能被9整除，请说明其中的道理． 【迁移运用】 （3）小明利用运算程序设计了一个数学魔术，邀请小天参与体验． 步骤1：小明写下一个两位数； 步骤2：小天将一个两位数输入如图所示的运算程序，得到运算结果后，再将该结果减去； 步骤三：小明在未运用运算程序的情况下，直接说出了最终结果为四位数．请推测两位数与之间的数量关系．并简要说明理由． 【答案】（1）①；②2；（2）见解析；（3），见解析 【分析】本题考查整式加减的实际应用，列代数式，一元一次方程的实际应用，熟练掌握数字的表示方法，是解题的关键： （1）①根据题意，列出代数式即可；②根据数字的表示方法，列出方程进行求解即可； （2）根据数字的表示方法，进行整式的加减运算，求出结果后，进行判断即可； （3）根据流程图和数字的表示方法进行计算即可． 【详解】解：（1）①可表示为 ②∵， ∴， 解得：； 故答案为：2； （2）解：由信息1和信息2可知 能被9整除． （3），理由如下： 将输入运算程序，得： 减去得： 而四位数可以表示为：． 所以 即 所以 即． 类型二、一元一次方程的应用——行程问题(顺逆行驶) 1．A、两港口之间的水流速度为，某轮船在静水中的速度为，已知该轮船在、两港口之间往返一次的时间为，设、两港口之间的距离为，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确表示出轮船的速度是解题关键，直接根据题意得出顺水速和逆水速，进而得出答案． 【详解】解：设、两港口之间的距离为，则有：． 故选：D． 2．一只轮船在水速为千米的河道中航行，从地顺流到地用了小时，从地返回时用了小时，这只轮船往返的平均速度是 千米/时． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，设这只轮船在静水中的速度是千米/时，根据“（这只轮船在静水中的速度水速）从地顺流到地用的时间（这只轮船在静水中的速度水速）从地返回时用的时间”列出方程，求出这只轮船在静水中的速度是多少；然后根据“速度时间路程”求出两地之间的距离是多少；最后用两地之间的距离的倍除以这只轮船往返用的时间即可求出这只轮船往返的平均速度．理解题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这只轮船在静水中的速度是千米/时， 依题意，得：， 解得：， ∴、两地的距离为：， ∴（千米/时）， ∴这只轮船往返的平均速度是千米/时， 故答案为：． 3．一艘轮船从甲码头顺流航行到达乙码头，又从乙码头逆流航行返回甲码头，已知这艘轮船在静水中的速度是，求水流的速度及甲乙两地的距离？ 【答案】水流的速度为，甲乙两地的距离为 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意、找准等量关系列方程是解题关键． 设水流的速度为，根据甲码头到乙码头的路程是一定的等量关系，列方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设水流的速度为，则顺流航行的速度为，逆流航行的速度为， 根据题意，得：， 解得：， 则甲乙两地的距离为， 答：水流的速度为，甲乙两地的距离为． 类型三、一元一次方程的应用——收费问题 1．某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1．2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，那么3月份张老师家应缴燃气费（   ） A．48元 B．60元 C．72元 D．90元 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解收费规定建立方程是解题的关键． 根据3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，可知用户用量超过30立方米，设3月份燃气用量为x，则根据平均每立方米元，可得出方程，解出x后，即可得出答案． 【详解】解：∵3月份张老师家的燃气费平均每立方米元， ∴用户燃气用量超过30立方米， 设3月份燃气用量为x， 由题意得，， 解得：， 则3月份张老师家应交燃气费为：（元） 答：3月份张老师家应交燃气费72元． 故选：C 2．某市收取水费按以下规定：若每月每户不超过20立方米，则每立方米水价按4.2元收费；若超过20立方米，则超过部分按每立方米5.2元收费．如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米4.7元，则这个月该居民用户的用水量为 立方米． 【答案】40 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是关键．设这个月该居民用户的用水量为y立方米，先判断出，再列方程并解方程即可． 【详解】解：设这个月该居民用户的用水量为y立方米， 因为， 所以， 则 ， 解得， 即这个月该居民用户的用水量为40立方米． 故答案为：40 3．某市出租车的收费标准如下表所示： 行驶里程x（千米） 收费标准 不超过3千米 起步价8元 超过3千米不超过10千米的部分 每千米2元 超过10千米的部分 每千米3元 （停车等待时间每2分钟收费1元） (1)若小明乘坐出租车行驶了8千米，中间无停车等待，他应付车费_______； (2)若小红付了31元车费，中间无停车等待，她乘坐出租车行驶了多少千米？ (3)若小刚乘坐出租车从甲地到乙地共行驶了15千米，途中因为有事停车等待了6分钟，那么小刚应付多少车费？ 【答案】(1) (2)千米； (3)元 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用和一元一次方程的应用，读懂题意正确列式和列方程是关键． （1）根据题意直接列式计算即可； （2）先判断行驶距离超过10千米，再方程并解方程即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得， （元）； 故答案为： （2）当行驶10千米时，需付费（元）； ∵， ∴小红乘坐出租车行驶的距离超过了10千米， 设小红乘坐出租车行驶的距离为千米， 则， 解得 即小红付了31元车费，她乘坐出租车行驶了千米； （3）由题意可得，（元） 答：小刚应付元车费 类型四、一元一次方程的应用——月历问题 1．如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和不可能是（   ） A．50 B．75 C．95 D．110 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设中间一个数为x，则上方两个数为、，下方两个数为、，得出五个数的和为，再结合各选项逐一列方程判断即可． 【详解】解：设中间一个数为x，则上方两个数为、，下方两个数为、， ∴这五个数的和为， 若，解得，符合日历的特点，不符合题意； 若，解得，符合日历的特点，不符合题意； 若，解得，此时右上和右下两个数字为空，符合题意； 若，解得，符合日历的特点，不符合题意； 故选：C． 2．如图是2021年4月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．想一想：如果像这种形式的五个数的和为105，则中间的那个数是 ． 【答案】21 【分析】本题考查了日历有关的一元一次方程的应用，结合日历特征，得出五个数的和的平均值恰好是中间的那个数，设中间的数为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：观察像这种形式五个数的和的平均值恰好是中间的那个数， ∴ ∴ 故答案为：21 3．如图1是年1月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)①任意框出图1某一行中相邻的3个数，若中间的数为，那么右边的数为_____；（用含的式子表示） ②任意框出图1某一列中相邻的3个数，若中间的数为，那么下面的数为_____；（用含x的式子表示） (2)①用图2框出图1中3个数，则这个数的和最大为_____； ②用图3框出图中个数，若这个数的和是，求这个数分别是多少？ 【答案】(1)①；② (2)①；②这个数分别是，，， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数位置间的关系，用含x的代数式表示出右边（或下面）的数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）①利用右边的数=中间的数，即可用含x的代数式表示出右边的数； ②利用下面的数=中间的数，即可用含x的代数式表示出下面的数； （2）①设中间的数为，则另外两个数分别为，，将个数相加，可得出这3个数的和为3a，对照图1，可得出a的最大值为25，将其代入3a中，即可求出结论； ②设这4个数中最小的数为b，则另外3个数分别为，，，根据这个数的和是82，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其分别代入，，中，即可求出结论． 【详解】（1）解：（1）根据题意得：①若中间的数为，那么右边的数为； ②若中间的数为，那么下面的数为． 故答案为：①；②； （2）①设中间的数为a，则另外两个数分别为，， ∴个数的和为， 观察图可知，的最大值为， ∴， ∴这个数的和最大为． 故答案为：； ②设这个数中最小的数为b，则另外3个数分别为，，， 根据题意得：， 解得：， ∴，，． 答：这个数分别是，，，． 类型五、一元一次方程的应用——丢番图墓志铭问题 1．古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的七分之一，他结婚了；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中活了四年，便与世长辞了．你能求出丢番图的寿命吗？如果设丢番图的寿命为岁．则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．将每个阶段的寿命表示出来列出方程即可． 【详解】解：由题意得：将每个阶段的寿命表示出来， 得． 故选：B． 2．丢番图是古希腊数学家．人们对他的生平事迹知道得很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生旅程．上帝赐予他的童年占六分之一，又过十二分之一他两颊长出了胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛．五年之后喜得贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半便入黄泉．悲伤只有用数学研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．根据以上信息，请你算出丢番图开始当爸爸时的年龄是 岁． 【答案】38 【分析】设丢番图活了岁，根据各时间段的总和等于丢番图的岁数得到，然后解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后用含的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 【详解】解：设丢番图活了岁， 根据题意得， 解得， （岁）． 答：丢番图开始当爸爸时的年龄是岁． 故答案为：． 3．丢番图（）是古希腊数学家．人们对他的生平事迹知道得很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生旅程．上帝赐予他的童年占六分之一，又过十二分之一他两颊长出了胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛．五年之后喜得贵子，可怜迟到的宁馨儿，终年仅及其父之半便入黄泉．悲伤只有用数学研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．——出自《希腊诗文选》（）第126题 根据以上信息，请你算出： (1)丢番图的寿命； (2)丢番图开始当爸爸时的年龄； (3)儿子去世时丢番图的年龄． 【答案】(1)丢番图的寿命为84岁 (2)丢番图开始当爸爸时的年龄为38岁 (3)儿子去世时丢番图的年龄为80岁 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的减法应用，有理数的乘法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设丢番图的寿命为岁，再结合题干条件进行列式计算，即可作答． （2）由（1）得丢番图的寿命为84岁，再列式进行计算，即可作答． （3）因为又过四年，他也走完了人生的旅途，所以列式计算（岁），即可作答． 【详解】（1）解：设丢番图的寿命为岁， 依题意，得， 解得， 答：丢番图的寿命为84岁； （2）解：（岁）， 答：丢番图开始当爸爸时的年龄为38岁． （3）解：依题意，（岁）， 答：儿子去世时丢番图的年龄为80岁． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.3 用一元一次方程解决问题 一、列方程解应用题的一般步骤 审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系。 设：设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数。 列：列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一。 解：解方程，求出未知数的值。 检验：检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可。 答：写出答案，注意单位要写清楚。 二、解决方程应用常用方法 列表法：适用于题目含有多个研究对象。 画圆形示意图：适用于题目含有多个研究对象。 画线型示意图：适用于行程问题。 柱状示意图：适用于有关价格、利润率等问题。 三、方程应用的常见类型 和差倍分问题：基本量及关系，增长量=原有量×增长率。 行程问题：三个基本量间的关系，路程=速度×时间。基本类型有相遇问题、追及问题、航行问题等。 工程问题：如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1。基本关系式，总工作量=工作效率×工作时间；总工作量=各单位工作量之和。 调配问题：寻找相等关系的方法，抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑。 利润问题：标价=成本（或进价）×（1+利润率）；实际售价=标价×打折率；利润=售价-成本（或进价）=成本×利润率。 此外，还有方案选择问题、古代数学文化问题等。 巩固课内例1:一元一次方程的应用——年龄问题 1．小明问老师的年龄，老师笑着说：“我们两人现在的年龄和为50岁，5年后，我的年龄比你的年龄的2倍还大3岁．”小明听后笑着说：“老师，我知道自己的年龄，也就知道了您的年龄．”老师今年的年龄是（   ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 2．今年，李林和他爸爸的年龄和是50岁，4年后，他爸爸的年龄比他的年龄的3倍小2岁，则李林的爸爸比他大 岁． 3．爸爸比小丽大36岁，今年爸爸的年龄正好是小丽的4倍．今年爸爸和小丽各多少岁？（列方程解决问题） 巩固课内例2:一元一次方程的应用——销售问题 1．一家商店把某商品按标价的八折出售仍可获利，若该商品的进价是45元，若设标价为元，则可列得方程（   ） A． B． C． D． 2．商店以每双13元的价格购进一批凉鞋，售价为14.8元．卖到还剩5双时，除去购进这批凉鞋的成本外，还获利88元．这批凉鞋共有( )双． 3．【商品问题】一件商品按成本价提高后标价，后因季节关系按标价的八折降价出售，降价后卖288元，这件商品卖出后是赚了还是赔了？赔或赚了多少钱？ 巩固课内例3:一元一次方程的应用——行程问题(追及) 1．如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按…方向，甲从以65米/分的速度，乙从以72米/分的速度同时行走，当乙第一次追上甲时在正方形的（   ） A．边上 B．边上 C．边上 D．边上 2．有甲、乙、丙三辆汽车各以一定的速度从A地开往B地，乙比丙晚出发10分钟，出发后40分钟追上丙；甲比乙又晚出发20分钟，出发后1小时40分追上丙．那么甲出发后需用 分钟才能追上乙． 3．A、B两地相距，甲从A地骑车出发，每小时行驶，乙从B地骑车出发，每小时行驶． (1)如果甲、乙同时出发，相向而行，那么经几小时后，甲、乙相距？ (2)如果甲、乙同时出发，由B向A的方向同向而行，那么经过多长时间乙追上甲？ 巩固课内例4:一元一次方程的应用——三角形问题 1．已知一个三角形的三个内角的度数比是，则最大的内角比最小的内角大（    ） A． B． C． D． 2．如下图，一长方形被一条直线分成两个长方形，这两个长方形的宽的比为；若阴影三角形面积为3平方厘米，则原长方形面积为( )平方厘米． 3．一个三角形三边长度的比为，最短的边比最长的边短，则这个三角形的周长是多少？ 巩固课内例5:一元一次方程的应用——规律问题 1．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……，按照这一规律，有一种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是134个，请问这是第几种化合物的分子结构？（    ） A．64 B．65 C．66 D．67 2．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是由一个个六边形房室组成．观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，若第n个图案中“”的个数是301，则n的值为 ． 3．如图，“☆”和“★”的个数按一定的规律逐渐增加： (1)根据以上变化规律：第5个图案中“☆”的个数为________； (2)根据以上变化规律：第个图案中“★”的个数为________；（用含的式子表示） (3)根据以上变化规律：若第个图案中“★”的个数是“☆”的个数的，求的值． 巩固课内例6:一元一次方程的应用——鸡兔同笼问题 1．（传统文化）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉、兔各几何．大意为有若干只鸡和兔关在同一个笼子里，它们一共有35个头，94只脚，问鸡和兔各有几只．设鸡有x只，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”译文：有若干只鸡与兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，问笼中各有几只鸡和兔？根据以上译文，笼中鸡有 只？ 3．列方程解应用题： 鸡兔同笼是我国古代三大算术题目之一，最早记载于《孙子算经》中，距今已经超过年的历史，原文如下：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？翻译成现代汉语就是：有若干只鸡和兔子在同一个笼子里，从上面数共有个头，从下面数共有只脚，鸡和兔子各有多少只？ 巩固课内例7:一元一次方程的应用——工程问题 1. 学校举办一年一届的科技文化艺术节活动，需制作一块活动展板，请来两名工人，已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天，现由徒弟先做一天，再两个人合作完成剩下的部分，设徒弟和师傅合作x天，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．一件工作，甲单独做需14小时完成，乙单独做需11小时完成，若甲先做1小时，乙接着做2小时，最后甲、乙两人合作，再做几个小时全部完成？如果设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，那么根据题意，可列方程： 3．一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成． (1)两队合做需几天完成？ (2)甲队先做5天，剩下的部分由两队合做，那么还需几天完成？ 类型一、一元一次方程的应用——和差倍分问题 1．张叔叔家养的公鸡和母鸡共240只．其中公鸡的只数是母鸡的，张叔叔家养的母鸡有（　　）只． A．90 B．150 C．160 D．108 2．某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了 台计算机． 3．书画院中硬笔书法班比软笔书法班多24人，硬笔书法班的人数是软笔书法班的1.8倍，软笔书法班和硬笔书法班各有多少人？（列方程解答） 类型二、一元一次方程的应用——古代问题 1．明代读本《原本直指算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，其大意：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两，问人、银子各多少？设该问题中有x人，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》（1299年）一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：“跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？”若慢马和快马从同一地点出发，设快马x天可以追上慢马，则可以列方程为 ． 3．古代名著《算术启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天跑里，慢马先走天，那么快马几天可以追上慢马？ 类型三、一元一次方程的应用——数字问题 1．一个三位数，十位上的数减5等于个位上的数，个位上的数加2等于百位上的数，把这个三位数倒序排列所成的数与原数的和等于524，则该三位数各个位上的数之和为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为9，如果将个位上的数字与十位上的数字对调后所得新数比原数小9，那么原两位数是 ． 3．一个两位数个位上的数字是1，十位上的数字是x．把1与x对调，新的两位数比原两位数小的值是多少？请你用方程解决这个问题． 类型一、一元一次方程的应用——行程问题(环形跑道) 1．甲、乙两人在长的环形跑道上练习跑步，甲跑步的速度是，乙跑步的速度是． 若两人相距，两人同时同向出发（甲在乙前），两人第一次相遇需要的时间是（   ） A． B． C． D． 2．一条环形跑道长米，甲练习跑步，平均每分钟跑米：乙练习竞走，平均每分钟走米，如果两人同时同地同向出发，那么经过 分钟后甲第一次追上乙． 3．周末小明和爸爸来到了一处马场体验骑马．马场有一个如图所示的全长为的环形跑道，把跑道从A，B，C，D处分成长度相等的四段，小明和爸爸在骑师的引导下分别从A，D两处同时出发，沿箭头方向相向而行，小明骑小马和爸爸骑大马的平均速度分别为，． (1)多久后两人首次相遇？ (2)在首次相遇后第二次相遇前，又经过多长时间两人相距？ 类型二、一元一次方程的应用——四边形问题 1．如图，长方形中，E、F分别在边和上，连接，与分别交于G、H，交于点K，若，，，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A．96 B．100 C．105 D．106 2．如图，四边形和四边形都是正方形，当图中两个阴影部分都是长方形时，则 ．    3．如图，长方形中，已知，，且点E是边的中点，点F是以每秒2个单位的速度从点C出发沿射线方向运动的一个动点． (1)当，求四边形面积．． (2)求点F运动多长时间时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一． 类型三、一元一次方程的应用——分配问题 1．把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 2．在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表团共获得91枚奖牌，其中金牌40枚，银牌数与铜牌数的比是，则中国体育代表团在本届奥运会获得 枚银牌． 3．刘师傅要加工一批零件，已加工的零件个数与这批零件总个数的比是，如果再加工个零件就可以完成这批零件的．这批零件一共有多少个？ 类型四、一元一次方程的应用——行程问题(火车过桥) 1．某铁路桥长m，一列火车匀速行驶从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了，火车的速度为，则火车的长度为（    ） A．m B．m C．m D．m 2．已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长 米． 3．已知某铁路桥桥长1800米．现有一列火车从桥上匀速通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用时100秒，整列火车完全在桥上的时间是80秒． (1)这列火车的长度是多少？ (2)求这列火车通过铁路桥的速度． 类型一、一元一次方程的应用——程序问题 1．如图是一个运算程序，当输入时，输出结果是147；当输入时，输出结果是232．如果输入的x是正整数，输出结果是382，那么满足条件的x的值最多有（  ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为，请写出符合条件的所有的值 ． 3． 信息1 若一个两位数十位、个位上的数字分别为和，我们可将这个两位数记为，如；同理，一个三位数、四位数等也可以用此记法，如． 信息2 调换两位数的各个数位上的数字，可以得到一个新的两位数． 【信息理解】 （1）填空： ①可表示为________； ②若，则________． （2）的运算结果能被9整除，请说明其中的道理． 【迁移运用】 （3）小明利用运算程序设计了一个数学魔术，邀请小天参与体验． 步骤1：小明写下一个两位数； 步骤2：小天将一个两位数输入如图所示的运算程序，得到运算结果后，再将该结果减去； 步骤三：小明在未运用运算程序的情况下，直接说出了最终结果为四位数．请推测两位数与之间的数量关系．并简要说明理由． 类型二、一元一次方程的应用——行程问题(顺逆行驶) 1．A、两港口之间的水流速度为，某轮船在静水中的速度为，已知该轮船在、两港口之间往返一次的时间为，设、两港口之间的距离为，则有（    ） A． B． C． D． 2．一只轮船在水速为千米的河道中航行，从地顺流到地用了小时，从地返回时用了小时，这只轮船往返的平均速度是 千米/时． 3．一艘轮船从甲码头顺流航行到达乙码头，又从乙码头逆流航行返回甲码头，已知这艘轮船在静水中的速度是，求水流的速度及甲乙两地的距离？ 类型三、一元一次方程的应用——收费问题 1．某市按以下规定收取每月的燃气费，用燃气不超过30立方米，按每立方米1．2元收费；如果超过30立方米，超过部分按每立方米2元收费．已知3月份张老师家的燃气费平均每立方米元，那么3月份张老师家应缴燃气费（   ） A．48元 B．60元 C．72元 D．90元 2．某市收取水费按以下规定：若每月每户不超过20立方米，则每立方米水价按4.2元收费；若超过20立方米，则超过部分按每立方米5.2元收费．如果某户居民在某月所交水费的平均水价为每立方米4.7元，则这个月该居民用户的用水量为 立方米． 3．某市出租车的收费标准如下表所示： 行驶里程x（千米） 收费标准 不超过3千米 起步价8元 超过3千米不超过10千米的部分 每千米2元 超过10千米的部分 每千米3元 （停车等待时间每2分钟收费1元） (1)若小明乘坐出租车行驶了8千米，中间无停车等待，他应付车费_______； (2)若小红付了31元车费，中间无停车等待，她乘坐出租车行驶了多少千米？ (3)若小刚乘坐出租车从甲地到乙地共行驶了15千米，途中因为有事停车等待了6分钟，那么小刚应付多少车费？ 类型四、一元一次方程的应用——月历问题 1．如图是某月的月历，现用“”图形在月历中框出5个数，它们的和为55．不改变“”图形的大小，将“”图形在该月历上移动，所得5个数的和不可能是（   ） A．50 B．75 C．95 D．110 2．如图是2021年4月的月历，认真观察阴影部分五个数的关系．想一想：如果像这种形式的五个数的和为105，则中间的那个数是 ． 3．如图1是年1月的月历，章老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)①任意框出图1某一行中相邻的3个数，若中间的数为，那么右边的数为_____；（用含的式子表示） ②任意框出图1某一列中相邻的3个数，若中间的数为，那么下面的数为_____；（用含x的式子表示） (2)①用图2框出图1中3个数，则这个数的和最大为_____； ②用图3框出图中个数，若这个数的和是，求这个数分别是多少？ 类型五、一元一次方程的应用——丢番图墓志铭问题 1．古希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；又度过了一生的七分之一，他结婚了；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他全部年龄的一半；儿子死后，他在极度痛苦中活了四年，便与世长辞了．你能求出丢番图的寿命吗？如果设丢番图的寿命为岁．则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．丢番图是古希腊数学家．人们对他的生平事迹知道得很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生旅程．上帝赐予他的童年占六分之一，又过十二分之一他两颊长出了胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛．五年之后喜得贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅及其父之半便入黄泉．悲伤只有用数学研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．根据以上信息，请你算出丢番图开始当爸爸时的年龄是 岁． 3．丢番图（）是古希腊数学家．人们对他的生平事迹知道得很少，但流传着一篇墓志铭叙述了他的生平：坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了其所经历的人生旅程．上帝赐予他的童年占六分之一，又过十二分之一他两颊长出了胡须，再过七分之一，点燃了新婚的蜡烛．五年之后喜得贵子，可怜迟到的宁馨儿，终年仅及其父之半便入黄泉．悲伤只有用数学研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途．——出自《希腊诗文选》（）第126题 根据以上信息，请你算出： (1)丢番图的寿命； (2)丢番图开始当爸爸时的年龄； (3)儿子去世时丢番图的年龄． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$