24.1 勾股定理 课件2024-2025学年人教版（五四制）数学八年级下册

24.1勾股定理 数学小史——何为“勾股” 勾 股 弦 勾股定理是研究直角三角形三边关系的定理，是数学学习中非常重要的定理！ 短的直角边：勾 长的直角边：股 斜边：弦 一棵电杆从离地面8m处拉一根钢绳，钢绳在地面的固定点离电杆底部有6m。那么需要多长的钢绳？ 我们带着这个问题开始探究吧！ 一、情境引入 8 6 探索新知 思考1：三角形的基本要素是什么？它们之间有什么关系？ 思考2：直角三角形呢？ 边和角 直角三角形三条边长度的平方存在一种特殊关系 探究新知 两直角边的平方和等于斜边的平方. a² b² c² 可能的关系 25 9 16 25 144 169 a²+b²=c² a²+b²=c² 3 4 5 活动一：在纸上画若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,你发现三边长的平方有怎样的关系? 注意：绘制直角边长为整数的直角三角形，用字母 a、b 表示两直角边长，字母 c 表示斜边长 5 12 13 新课导入 6 m 8 m 如图，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6 m，那么需要多长的钢索？ ？ 我们带着这个问题开始探究吧！ 新知探索 （1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长度的平方之间有怎样的关系。与同伴进行交流。 （2）如图，直角三角形三边长度的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴进行交流。 A B C A B C （每个小正方形的边长均为 1） A B C A B C 左图 A 的面积 B 的面积 C 的面积 面积关系 边的关系 9 9 18 9 + 9 = 18 a c b a2+b2=c2 （每个小正方形的边长均为 1） A B C A B C 右图 A 的面积 B 的面积 C 的面积 面积关系 边的关系 4 4 8 4 + 4 = 8 a c b a2+b2=c2 （每个小正方形的边长均为 1） A B C B C （每个小正方形的边长均为 1） 对于右图中的直角三角形，是否还满足这样的关系？你又是如何计算的呢？ A 左图 A 的面积 B 的面积 C 的面积 面积关系 边的关系 16 9 25 16 + 9 = 25 A B C B A C a c b a2+b2=c2 （每个小正方形的边长均为 1） 右图 A 的面积 B 的面积 C 的面积 面积关系 边的关系 1 9 10 1 + 9 = 10 A B C B C a c b a2+b2=c2 （每个小正方形的边长均为 1） A （3）如果直角三角形的两条直角边的长度分别为 1.6 和 2.4 ，那么上面所猜想的数量关系还成立吗？说说你的理由。 2.4 1.6 （每个小正方形的边长均为 1） 勾股定理 直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边的平方。 如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么 a2 + b2 = c2。 图示 A C B a b c A C B a b c 符号语言 在 Rt△ABC 中，∠C = 90° 由勾股定理得 a2 + b2 = c2。 定理变式 在 Rt△ABC 中，∠C = 90° 由勾股定理得 a2 = c2 - b2，b2 = c2-a2。 　利用勾股定理求直角三角形的边长 例1 (1)如图1-1-3,在Rt△ABC中,∠C=90°,a=9,b=12,求c的值. 图1-1-3 解:在Rt△ABC中,∠C=90°,a=9,b=12, 由勾股定理,知a2+b2=c2, 所以c2=a2+b2=92+122=225,所以c=15. (2)如图1-1-4,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=25,BC=20.求AB的长. 图1-1-4 解:在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=25,BC=20, 由勾股定理,知AB2=AC2-BC2=252-202=225, 所以AB=15. 例2 在Rt△ABC中,AC=6,BC=10.求AB2的值. 解:当∠C=90°时,由勾股定理,得AB2=AC2+BC2=62+102=36+ 100=136. 当∠A=90°时,由勾股定理,得AB2=BC2-AC2=102-62=64. 综上可知,AB2的值是136或64. 课堂小结 勾股定理 数形结合思想 体验了勾股定理的探索过程 实践了“观察—猜想—归纳—验证”的探究方法 学会了初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用 转化思想 由特殊到一般的 思想方法 6 m 8 m ？ 现在你会求钢索的长度吗？ 解：根据勾股定理， 得 82 + 62 = 100， 所以钢索的长度为 10 m。 随堂练习 1. 求图中字母所代表的正方形的面积。 （1） 225 400 A A = 225 + 400 = 625 （2） 225 B 81 B = 225 - 81 = 144 2.小明家买了一部 55 in 的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 121.5 cm 长和 68.5 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？ 随堂练习 1 英寸(in) = 2.54 厘米(cm) 55 (in) = 55×2.54 =139.7 (cm) 121.52 + 68.52 ≈ 139.72 售货员没有搞错。 1. 求出图中直角三角形未知边的长度。 y2 = 132 - 52 = 144 y = 12 2. 求斜边长为 17 cm、一条直角边长为 15 cm 的直角三角形的面积。 解：如图，在Rt△ABC中， AB=17cm，BC=15cm， 由勾股定理得AC2=AB2－BC2=172－152 = 64，即AC=8cm，S△ABC= BC·AC=60(cm2)。 3.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面 3 m 处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部 4 m 处。旗杆折断之前有多高？ 解：如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 m，BC = 4 m。 由勾股定理得AB2 = AC2 + BC2 = 25，即 AB = 5 m， 旗杆的高度 AC +AB = 3 + 5 = 8（m）， 即旗杆折断之前有 8 m 高。 A C B 4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，尝试给出两种以上的方案。 S①= S ③ + S ④ S ① = S ⑦ + S ⑨ + S ⑧ + S ⑩ 5. 请用如图所示的图形验证勾股定理，并说一说这一方法与课堂上的方法之间的联系。 6. 如图（单位：cm），求等腰三角形 ABC 的面积。 解：过点C作AB边上的高，由“三线合一”和勾股定理可求得高为 4 cm，所以等腰三角形ABC 的面积为 12 cm2。 5 5 6 7. 如图，某储藏室入口的截面是一个半径为 1.2 m 的半圆形，一个长、宽、高分别是 1.2 m，1 m，0.8 m 的箱子能放进储藏室吗？ 解：能放进储藏室， 因为 0.82 + 0.52 < 1.22。 $$