24.1.3利用勾股定理作图或计算（分层练习）（题型专练）数学人教版五四制八年级下册

24.1.3利用勾股定理作图或计算 分层练习 1．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，以数1表示的点为圆心，阴影正方形边长为半径，画圆弧交数轴于点A（点A位于原点右侧），则点A表示的数为 ．    2．如图，在网格中每个小正方形的边长均为1，，，三点均在格点上，以为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长是 . 3．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的三个顶点都在格点上． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)图中线段的长为 ； (3)的面积为 ． 4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位长度，的三个顶点都在格点上．    (1)点D是上的格点，且为等腰三角形，在图1中标注出所有符合条件的点D； (2)仅用无刻度的直尺在图2中画出的角平分线，保留作图痕迹，并简要说明作图方法． 5．如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）． (1)已知格点E，F，在图1中画一个等腰三角形，使腰长为，再画出该三角形关于直线成轴对称的图形． (2)如图2，已知格点P，Q，在图2中画一个． 6．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段的端点均在格点上．        (1)在图①中画一个钝角等腰三角形（点在格点上）： (2)在图②中画一个等腰直角三角形（点在格点上）． 7．如图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是2的直角三角形；在图2中画出一条长度等于的线段． 8．如图 ，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．    (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______． (2)图3是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．请你完成： ①画一个面积为8的格点正方形(四个顶点都在方格的顶点上)； ②将图中的数轴补充完整，并用圆规在数轴上表示实数．(保留作图痕迹) 1．如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，将长方形沿对角线对折，使点落在点处，交于，，，则重叠部分（即）的面积为（    ） A．24 B．30 C．40 D．80 4．如图所示的网格是正方形网格， °．（点A，B，C，D，P是网格线交点）    5．如图，一张长方形纸片，，．先对折长方形纸片使与重合，得到折痕，再将沿折叠，当点恰好落在折痕上时，则的长为 ． 6．如图将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，，则 ． 7．如图，长方形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在对角线上，则的长为 ． 8．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是 ．    1．线段的端点，在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可）． (1)在图1中找出格点，使： (2)在图2中找出格点，使； (3)在图3中画出非格点的点，使． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的四个顶点都在格点上．    (1)仅用无刻度的直尺在上找一点E，使平分；（保留必要的作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长． 3．我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等． 小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题：    (1)求三边之间的关系； (2)已知，． ①与相交于M，求的长； ②求． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 24.1.3利用勾股定理作图或计算 分层练习 1．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，以数1表示的点为圆心，阴影正方形边长为半径，画圆弧交数轴于点A（点A位于原点右侧），则点A表示的数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴和勾股定理．先根据勾股定理求出圆弧的半径，再求出点A到原点的距离，然后结合点A在数轴上的位置即可得出答案． 【详解】解：∵正方形网格中每个小正方形的边长为1， ∴阴影正方形的边长即圆弧半径为， ∴点A到原点的距离是， ∴点A表示的数是， 故答案为：． 2．如图，在网格中每个小正方形的边长均为1，，，三点均在格点上，以为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点，则的长是 . 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是：连接，则，在中，利用勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 由题意知：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 3．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的三个顶点都在格点上． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)图中线段的长为 ； (3)的面积为 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了平面中坐标与图形、勾股定理、求三角形的面积： （1）根据点的位置直接写出坐标； （2）利用勾股定理结合点的坐标计算； （3）利用割补法计算即可； 正确找到点的坐标以及用割补法求出三角形面积是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可知，A点在x轴上占边长为1个单位长度的三个小正方形，在y轴上占边长为1个单位长度的四个小正方形，故， B点在x轴上占边长为1个单位长度的零个小正方形，在y轴上占边长为1个单位长度的两个小正方形，故， 所以点A的坐标为，点B的坐标为； （2）解：由图可得，以为斜边的一个直角三角形两条直角边分别为4、1， 根据勾股定理可得：， 所以线段的长为； （3）解：由图可得的面积可以用一个边长为3和4的矩形面积减去三个小三角形的面积， 即． 4．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为一个单位长度，的三个顶点都在格点上．    (1)点D是上的格点，且为等腰三角形，在图1中标注出所有符合条件的点D； (2)仅用无刻度的直尺在图2中画出的角平分线，保留作图痕迹，并简要说明作图方法． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图——应用与设计作图、等腰三角形的性质等知识，掌握利用数形结合的思想是解答本题的关键． （1）利用等腰三角形的性质，分和，作出图形即可； （2）作等腰三角形，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可作出图形． 【详解】（1）解：如图，，，则点和即为所作，    ； （2）解：作出等腰三角形使，连接，取的中点F，作射线交于点E，的角平分线如图所示，    ∵，， ∴平分． 5．如图1，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）． (1)已知格点E，F，在图1中画一个等腰三角形，使腰长为，再画出该三角形关于直线成轴对称的图形． (2)如图2，已知格点P，Q，在图2中画一个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查轴对称变换以及勾股定理、等腰三角形的定义， （1）利用勾股定理画出腰长为的等腰三角形，再画出它的轴对称图形即可； （2）根据网格特点，按要求构造直角三角形，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求． 6．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，线段的端点均在格点上．        (1)在图①中画一个钝角等腰三角形（点在格点上）： (2)在图②中画一个等腰直角三角形（点在格点上）． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（）如图，取格点，由勾股定理可得，，为钝角，故为钝角等腰三角形； （）如图，取格点，由勾股定理可得，，， 因为，所以为等腰直角三角形； 本题考查了格点作图，正确应用勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）如图，为所求作图形；    （2）如图，为所求作图形．    7．如图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是2的直角三角形；在图2中画出一条长度等于的线段． 【答案】见详解 【分析】此题综合考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理； 画两个直角边长都为2的直角三角形即可； 根据勾股定理，只需构造一个以2和3为直角边长的直角三角形，斜边长度等于的线段． 【详解】解：如图1所示： 如图2所示． 8．如图 ，把两个边长为1的小正方形沿对角线剪开，所得的4个直角三角形拼成一个面积为2的大正方形．由此得到了一种能在数轴上画出无理数对应点的方法．    (1)图2中A、B两点表示的数分别为______，______． (2)图3是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．请你完成： ①画一个面积为8的格点正方形(四个顶点都在方格的顶点上)； ②将图中的数轴补充完整，并用圆规在数轴上表示实数．(保留作图痕迹) 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】本题考查了正方形的面积，实数与数轴，勾股定理的应用． （1）根据图1得出小正方形对角线长即可； （2）①根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形； ②利用圆规，以O为圆心，正方形的边长为半径画弧可得实数的位置． 【详解】（1）解：设边长为的小正方形沿对角线长为x，由图①得：， ∴对角线为， 图②中、两点表示的数分别， 故答案为：； （2）解：①正方形的边长是，， 如图：正方形即为所作的格点正方形，    ②以O为圆心，正方形的边长为半径画弧，点D即为实数所表示的点． 1．如图，由六个边长为1的小正方形构成一个大长方形，连接小正方形的三个顶点，可得到，则中边上的高是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的面积，根据题意得出的面积等于正方形面积减去其他3个三角形的面积是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再利用三角形的面积求出三角形的高即可． 【详解】解：设中边上的高为h， 由勾股定理，得， ∵，， ∴， 解得 ∴中边上的高是． 故选：A． 2．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，将长方形沿对角线对折，使点落在点处，交于，，，则重叠部分（即）的面积为（    ） A．24 B．30 C．40 D．80 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理与折叠问题，平行线的性质，等角对等边性质，由折叠结合矩形的性质先证明，设，则，再利用勾股定理求解，从而可得的面积．掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：长方形，，， 由对折可得： 设，则， ∵ ∴ ． 故选：C． 4．如图所示的网格是正方形网格， °．（点A，B，C，D，P是网格线交点）    【答案】45 【分析】连接，，由图可知，，则，然后根据勾股定理可以求得、、的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以得到的度数，然后即可得到的度数． 【详解】解：连接，，    则， 故， 设正方形网格的边长为，则，，， ， 是直角三角形，， 又， ， ， 故答案为：45． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．如图，一张长方形纸片，，．先对折长方形纸片使与重合，得到折痕，再将沿折叠，当点恰好落在折痕上时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定及其性质，折叠性质，勾股定理的应用，根据对折长方形纸片使与重合，得到折痕，求得，根据将沿折叠，当点恰好落在折痕EF上，得到，，在和中，应用勾股定理即可求解． 【详解】解：在长方形中，，，， ∵对折长方形纸片使与重合，得到折痕， ∴，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵将沿折叠，当点恰好落在折痕上， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴， 故答案为：． 6．如图将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，根据折叠的性质，，再根据勾股定理求得，设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据折叠的性质，， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 设，则，， 在中， ∴ 解得： 故答案为：． 4．如图，长方形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在对角线上，则的长为 ． 【答案】3 【分析】利用勾股定理求出，利用折叠的性质得到，，，则，设，则，，利用勾股定理得到，解方程即可得到的长．本题考查了矩形的折叠问题、矩形的性质以及勾股定理，利用勾股定理列方程是解题的关键． 【详解】解：在中，， ， ∵把沿折叠，使点B落在对角线上， ，，， ， 设，则，， 在中， ， ， 解得， ． 故答案为：3． 8．如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 1．线段的端点，在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可）． (1)在图1中找出格点，使： (2)在图2中找出格点，使； (3)在图3中画出非格点的点，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【分析】（1）构造直角三角形即可； （2）构造等腰直角三角形，点即为所求； （3）构造推出，再由，可得． 【详解】（1）解：如图1中，点即为所求； （2）如图2中，点即为所求； （3）如图3中，即为所求． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形的四个顶点都在格点上．    (1)仅用无刻度的直尺在上找一点E，使平分；（保留必要的作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，角平分线及勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）找出格点F，连接交于点E，点E即为所求； （2）连接，运用三角形面积法求得的长即可． 【详解】（1）如图所示，点E即为所作，    （2）连接，由格点图可得：， ∵ ∴ ∴ 3．我们知道长方形的四个角都是直角，两组对边分别相等． 小亮在参加数学兴趣小组活动时，对一张长方形纸片进行了探究．如图是长方形纸片，点E是边的中点．先将沿着翻折，得到；再将翻折至与重合，折痕是．请你帮助小亮解决下列问题：    (1)求三边之间的关系； (2)已知，． ①与相交于M，求的长； ②求． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】此题重点考查长方形的性质、轴对称的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识与方法． （1）由翻折得，，求得，证明是直角三角形，据此可得； （2）①由矩形的性质以及等角对等边证得，再根据折叠的性质即可求解；②根据（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵由翻折得，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）解：①∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将翻折至与重合，折痕是， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$