2.2 导学案 2025-2026学年北师大版（2024） 数学八年级上册

2.2 第1课时 算术平方根 素养目标 1.知道算术平方根的概念,并能利用平方求某些非负数的算术平方根. 2.经历学习算术平方根的过程,建立初步的数感和符号意识. 3.能利用算术平方根的性质解决实际问题,发展抽象能力,培养应用意识. 重点 求一个数的算术平方根. 【自主预习】 1.22=　　　　,32=　　　　,02=　　　　.  2.4的算术平方根为　　　　,9的算术平方根为　　　　,0的算术平方根为　　　　.  3.-4有算术平方根吗? 1.1的算术平方根是 (　　) A.1　　　　B.±1 C.0　　　　D.不存在 2.下列各数中,算术平方根最小的是　　　　.(填序号)  ①4　　　　②9　　　　③16　　　　④25 【合作探究】 知识点一：算术平方根的概念和性质 阅读课本本课时“思考·交流”及之前的内容,思考下列问题. 1.若一个正数x的平方等于a,即x2=a,则这个正数x就叫作a的　　　　,记作　　　　,读作　　　　.  另外规定0的算术平方根是　　　　,即=　　　　.  2.当a≥0时,=　　　　,(　　)2=　　　　;当a<0时,=　　　　.  1.的算术平方根是 (　　) A.　　　　 B.- C.　　　　 D.± 2.9的算术平方根是 (　　) A.-3　　　　 B.3 C.±3　　　　 D.81 知识点二：算术平方根的应用 阅读课本本课时“例2”的内容,思考下列问题. 1.题目中的19.6为物体下落的　　　　,将s=19.6代入s=4.9t2,得t2=　　　　,则t=　　　　.  2.例2中求实际问题中t的值实质就是求t2的　　　　.  3.一个正方形的边长变为原来的3倍时,它的面积变为原来的　　　　;一个正方形的面积变为原来的5倍时,它的边长变为原来的　　　　.  4.小丽想剪一张面积为30 cm2的长方形纸片,使它的长、宽之比为3∶2,请你求出小丽所剪的长方形纸片的长和宽. 利用算术平方根求字母参数 例　已知2a-1的算术平方根是5,求a的值. 变式训练 已知x=1-2a,y=a+20.如果x的算术平方根为3,求y的算术平方根. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.4;9;0 2.2;3;0 3.没有. 自学检测 1.A　2.① 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.算术平方根;;根号a;0;0 2.a;a;-a 对点训练 1.A　2.B 知识点二 1.高度;4;2 2.算术平方根 对点训练 3.9倍;倍 4.解:设长方形纸片的长为3x(x>0)cm,则宽为2x cm, 依题意得3x·2x=30, 6x2=30, x2=5, 所以x=, 所以长方形纸片的长为3 cm,宽为2 cm. 题型精讲 题型 例　解:根据算术平方根的意义,得52=2a-1, 解得a=13. 变式训练　解:∵x的算术平方根是3, ∴x=1-2a=32, ∴a=-4, ∴y=a+20=16, ∴y的算术平方根为=4. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 第4课时 实数的估算和大小比较 素养目标 1.能通过估算检验计算结果的合理性,会估计一个无理数的大致范围. 2.能够通过估算比较两个数的大小. 3.通过估算形成近似数的概念,在实际问题的估算过程中培养应用意识. 重点 学会估算的方法,并能对一个实数进行估算. 【自主预习】 已知一个正方形的面积为7,请回答下列问题: 1.该正方形的边长可以表示为　　　　.  2.若保留一位小数,该正方形的边长约为多少?保留两位小数呢? 1.估计的值在 (　　) A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 2.比较大小:π　　　　3.  【合作探究】 知识点一： 实数的估算 阅读课本本课时“思考·交流”之前的内容,思考下列问题. 估算实数的方法:通过平方运算,采用　　　　,即两边无限逼近,逐级确定其值所在的范围.  1.下列四个数与最接近的是 (　　) A.2　　　　B.2.5　　　　C.2.6　　　　D.3 2.估算的近似值.(结果精确到0.01) 3.阅读材料,回答下列问题. 因为1<3<4,所以1<<2,所以的整数部分为1,小数部分为-1. 根据材料的方法,分别求出9+的整数部分和小数部分. 知识点二：实数的大小比较 阅读课本本课时“尝试·思考”之前的内容,思考下列问题. 比较两个实数的大小时,我们可以估计两个实数的值,再比较大小;也可以将两个实数分别　　　　,从而判断大小,这是实数的大小比较常用的两种方法.  4.下列选项中,最小的数是 (　　) A.0　　　　 B. C.-π　　　　 D.-4 5.比较大小:-　　　-6.5.  通过估算确定范围 例　大于-且小于的整数都有哪些? 变式训练 估计的值 (　　) A.在2到3之间 B.在3到4之间 C.在4到5之间 D.在5到6之间 估算的实际应用 例　一片长方形小树林,长是宽的3倍,而对角线的长为 m,每棵树占地1 m2,这片树林共有多少棵树?小树林的长大约是多少?(结果精确到1 m) 变式训练 (新考法·隐性关联)如图,用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形,则与大正方形的边长最接近的整数是 (　　) A.4　　　　 B.5 C.6　　　　 D.7 参考答案 【自主预习】 预学思考 1. 2.保留一位小数约为2.6;保留两位小数约为2.65. 自学检测 1.B　2.> 【合作探究】 知识生成 知识点一 “夹值法” 对点训练 1.B 2.解:因为22=4,32=9,所以2<<3;因为2.22=4.84,2.32=5.29,所以2.2<<2.3; 因为2.232=4.972 9,2.242=5.017 6,所以2.23<<2.24; 因为2.2362=4.999 696,2.2372=5.004 169,所以2.236<<2.237.因为要求精确到0.01,所以≈2.24. 3.因为3<<4,所以的整数部分为3,所以9+的整数部分为12,小数部分为9+-12=-3. 知识点二 平方 对点训练 4.D 5.> 题型精讲 题型1 例　解:因为2<<3,所以-3<-<-2. 因为2<<3,所以大于-且小于的整数有-2,-1,0,1,2. 变式训练　B 题型2 例　解:设长方形的宽为x m,则长为3x m, 得x2+(3x)2=()2,即10x2=44 000,所以x2=4 400. 而长方形的面积为3x2,即为3×4 400=13 200(m2),每棵树占地1 m2,故这片树林共有13 200棵树. 下面估算x2=4 400中的x. 因为102=100,1002=10 000,100<4 400<10 000,所以x的整数位数应是两位. 因为602=3 600,702=4 900,3 600<4 400<4 900所以x中的十位数字应是6. 因为662=4 356,672=4 489,所以个位上数字应为6. 因为66.32=4 395.69,66.42=4 408.96,所以十分位上的数应为3. 因为66.342=4 400.995 6,所以百分位上的数字小于5应舍去,故x应取66.3. 所以3x≈66.3×3=198.9≈199. 答:这片树林共有13 200棵树,小树林的长大约是199 m. 变式训练　A 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 第2课时 平方根 素养目标 1.会求一个正数的平方根,知道算术平方根与平方根的区别与联系. 2.知道一个非负数的平方根的性质,并能解决有关问题. 3.知道开平方的概念以及开平方与平方是互逆运算. 重点 会用根号表示一个数的平方根,能求出某些非负数的平方根. 【自主预习】 1.42=　　　　,(-4)2=　　　　,52=　　　　,(-5)2=　　　　,02=　　　　.  2.16的平方根为　　　　,25的平方根为　　　　,0的平方根为　　　　,-4　　　　(填“有”或“没有”)平方根.  3.开平方运算与平方运算的关系是什么? 1.下列各数没有平方根的数是 (　　) A.0　　　　B.-1 C.1　　　　D.2 2.一个数的平方根与它本身相等,这个数是 (　　) A.0　　　　B.1 C.2　　　　D.3 【合作探究】 知识点一：平方根的概念 阅读课本本课时“尝试·思考”之前的内容,思考下列问题. 1.4的平方根是　　　　;的平方根是　　　　;0的平方根是　　　　.  2.3的平方根是　　　　.  1.(易错题·思维盲区)如果一个数x的平方等于9,那么x的值是 (　　) A.-3　　　　 B.3 C.3或-3　　　　 D.81 2.4的平方根是 (　　) A.　　　　 B.± C.2　　　　 D.±2 知识点二：正数、负数以及0的平方根的情况 阅读课本本课时“尝试·思考”至“随堂练习”前的内容,思考下列问题. 1.正数的平方根有几个?它们之间有什么关系? 2.0的平方根是多少? 3.负数有平方根吗?若有,请举出一个例子;若没有,请说明理由. 3.一个数的一个平方根为2,另一个平方根是 (　　) A.2　　　　 B.-2 C.-4　　　　 D.4 4.已知2a+1和7是正数b的两个平方根,则a的值是 (　　) A.3　　　　 B.49 C.4　　　　 D.-4 5.25的平方根是 (　　) A.±5　　　　 B.5 C.-5　　　　 D. 平方根、算术平方根概念及性质的辨析问题 例　若x2=a(a>0),则下列说法正确的是 (　　) A.a是x的平方根 B.x是a的平方根 C.x是a的算术平方根 D.a是x的算术平方根 变式训练 下列说法正确的是 (　　) A.16的算术平方根是±4 B.任何数都有两个平方根 C.因为3的平方是9,所以9的平方根是3 D.-1是1的平方根 求一个数的平方根 例　求下列各数的平方根: (1)81;(2)0.64;(3)(-2)2;(4). 变式训练 求下列各数的平方根: (1)121;(2)2. 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.16;16;25;25;0 2.±4;±5;0;没有 3.互为逆运算. 自学检测 1.B　2.A 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.±2;±;0 2.± 对点训练 1.C　2.D 知识点二 1.正数的平方根有两个,它们互为相反数. 2.0的平方根是0. 3.由于两个相同的负数相乘,结果为正数,两个相同的正数相乘,结果为正数,0与0相乘等于0,因此没有一个数的平方为负数,即负数没有平方根. 对点训练 3.B　4.D　5.A 题型精讲 题型1 例　B 变式训练　D 题型2 例　解:(1)±9;(2)±0.8;(3)±2;(4)±2. 变式训练　解:(1)±=±11.(2)±=±=±. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 第3课时 立方根 素养目标 1.掌握立方根的概念,会表示一个数的立方根. 2.知道开立方与立方互为逆运算,会运用立方运算求一些数的立方根,会用计算器求立方根及其近似值. 3.在一定的情境中理解立方根的概念,培养应用意识,不断获得解决问题的经验,学习中要注意感悟“类比”在知识产生和发展过程中的作用. 重点 立方根的定义与求法 【自主预习】 1.求下列各数的立方. 0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,5,-5. 2.开立方运算与立方运算的关系是什么? 1.-2是-8的 (　　) A.立方　　　　 B.算术平方根 C.平方根　　　　D.立方根 2.我们知道魔方可以看作是一个正方体,如图,有一个体积为125 cm3的魔方,则这个魔方的棱长为 (　　) A.3 cm　　　　B.4 cm C.5 cm　　　　D.6 cm 【合作探究】 知识点一：立方根的概念和开立方运算 阅读课本本课时“例5”及之前的内容,思考下列问题. 1.一般地,如果一个数x的　　　　等于a,即x3=a,那么这个数x就叫作a的　　　　,也叫作a的　　　　.  2.每一个实数　　　　立方根,正数的立方根是　　　　,0的立方根是　　　　,负数的立方根是　　　　.实数a的立方根是　　　　,读作　　　　.  3.求一个数a的　　　　的运算叫作开立方,a叫作被开方数.  1.64的立方根是 (　　) A.4　　　　B.±4　　　　C.8　　　　D.±8 知识点二：立方根的性质 阅读课本本课时“思考·交流”和“例6”的内容,思考下列问题. 1.(　　)3=　　　　,其中(　　)3中的a为　　　　.  2.=　　　　,其中中的a为　　　　.  2.下列等式不一定成立的是 (　　) A.=-　　　　 B.=a C.=a　　　　 D.(　　)3=a 求立方根 例　下列运算中,正确的是 (　　) A.=±3　　　　 B.= C.=-2　　　　 D.(　　)3=-27 变式训练 求下列各式的值: (1)-;(2). 根据立方根的性质求字母参数 例　已知5x+32的立方根是-2,求x+17的平方根. 变式训练 已知=1-a2,求a的值. 立方根的实际应用 例　张师傅打算用铁皮焊制一个密封的正方体水箱,使其容积为1.331立方米,那么他至少需要购买面积为多少平方米的铁皮? 变式训练 一个正方体的体积扩大为原来的64倍,则它的棱长变为原来的 (　　) A.2倍　　　　B.4倍 C.6倍　　　　D.9倍 参考答案 【自主预习】 预学思考 1.03=0,13=1,(-1)3=-1,23=8,(-2)3=-8,33=27,(-3)3=-27,43=64,(-4)3=-64,53=125,(-5)3=-125. 2.互为逆运算. 自学检测 1.D　2.C 【合作探究】 知识生成 知识点一 1.立方　立方根　三次方根 2.都有　正数　0　负数　　三次根号a 3.立方根 对点训练 1.A 知识点二 1.a;任意实数 2.a;任意实数 对点训练 2.B 题型精讲 题型1 例　D 变式训练　解:(1)-=-(-4)=4. (2)=-. 题型2 例　解:因为5x+32的立方根是-2, 所以5x+32=-8, 所以x=-8, 因此x+17=-8+17=9, 所以x+17的平方根是±3. 变式训练　解:一个数的立方根等于它本身的数有0,1,-1. 当1-a2=0时,a2=1,a=±1; 当1-a2=1时,a2=0,a=0; 当1-a2=-1时,a2=2,a=±. 所以a的值为0,±1,±. 题型3 例　解:设正方体的棱长为x米,则由题意得x3=1.331, 所以x==1.1, 所以水箱的表面积为6×1.12=7.26(平方米), 所以他至少要购买7.26平方米的铁皮. 变式训练　B 学科网（北京）股份有限公司 $$