第5讲 分段计费问题（讲义）-2025-2026学年五年级上册数学人教版

2025-2026学年五年级上册数学人教版 第5讲 分段计费问题 同步讲义 （思维导图+知识梳理+例题讲解+巩固练习） 思维导图 知识梳理 【知识点一】分段计费问题的核心思路 1.分段计费的关键：费用按“用量区间”分段计算，最后求和。比如打车时，3公里内是起步价，超过3公里后每公里加钱；水电费中，基础用量内单价低，超量后单价高。 2.解题步骤： （1）找分段点：确定费用变化的“用量节点”（如3公里、10吨水等，题目中会明确给出）。 （2）算基础费用：计算“第一段用量”（不超过分段点的部分）的费用。 （3）算超出费用：若总用量超过分段点，计算“超出部分的用量”ד超出部分单价”。 （4）总费用=基础费用+超出费用。 名师点评：从“数学思维本质”看，分段计费的核心思路渗透了“分类讨论”的重要数学思想。“找分段点”是将复杂问题“分类”的起点——通过明确不同用量区间的边界，把总用量拆分为“基础部分”和“超出部分”，避免因单价差异导致的计算混乱；“分步计算（基础费用+超出费用）”则体现了“分步解决”的有序思维，让学生学会将“整体问题”拆解为“局部问题”，再整合结果。这种思路不仅是解决实际问题的实用方法，更是小学阶段向中学“分段函数”知识过渡的重要基础，能有效培养学生“用数学眼光观察生活”（如理解生活中“阶梯水价”“阶梯电价”的合理性）和“有序、分步解决复杂问题”的核心素养，让学生体会“数学源于生活，用于生活”的本质。 【知识点二】典型例题解析 例题1：出租车计费（含“不足1单位按1单位算”） 题目：某市出租车收费标准：3千米以内（含3千米）起步价8元；超过3千米后，每千米1.5元（不足1千米按1千米计算）。小明乘出租车行了5.2千米，应付多少钱？ 分析步骤： 1.分段点：3千米（3千米内是起步价，超过后加价）。 2.判断用量区间：总里程5.2千米＞3千米，需分段计算。 3.基础费用：3千米内费用=8元（起步价）。 4.超出部分用量：5.2-3=2.2千米。题目要求“不足1千米按1千米算”，2.2千米≈3千米（用“进一法”取整）。 5.超出费用：3千米×1.5元/千米=4.5元。 6.总费用：8+4.5=12.5元。 答案：应付12.5元。 例题2：水费计费（直接按实际用量算） 题目：某小区水费收费标准：每户每月用水不超过10吨，按每吨2.5元收费；超过10吨的部分，按每吨3.2元收费。小红家上个月用水14吨，应缴水费多少元？ 分析步骤： 1.分段点：10吨（10吨内低价，超量后高价）。 2.判断用量区间：总用水量14吨＞10吨，需分段计算。 3.基础费用：前10吨费用=10吨×2.5元/吨=25元。 4.超出部分用量：14-10=4吨（直接用实际超出量，无需取整）。 5.超出费用：4吨×3.2元/吨=12.8元。 6.总费用：25+12.8=37.8元。 答案：应缴水费37.8元。 【知识点三】易错点提醒 1.分段点是否包含在内：题目中“不超过”“以内”均包含分段点本身（如“3千米以内”包含3千米）。 2.“不足1单位按1单位算”：如出租车里程、停车时间等，需用“进一法”取整（如2.1千米≈3千米），不能四舍五入。 3.超出部分计算：必须用“总用量-分段点”得到超出量，再乘超出单价，不能用总用量直接乘超出单价（易出错！）。 例题讲解 例题：分段计费问题 【典型例题1】某市出租车收费标准：2.5km以内6元；超过2.5km的部分，每千米1.6元（不足1km按1km计算）。行驶7km要付（　　）元。 A．16.8 B．14 C．13.2 D．12.5 【典型例题2】某市自来水公司为鼓励节约用水，采用按月分段计费的方法收取水费，26吨以内（含26吨）的每吨2元，超过26吨的部分，每吨3.1元。小明家上个月的用水量为27吨，应缴水费　 　元。 【典型例题3】五(1)班有 52名师生拍照合影，每人一张合影照片，一共需要付多少元？ 合影价格表 定价：27.5 元(含5张照片) 加印一张2.5元 【变式训练1】某市市民用电实行峰谷电价，收费标准如下： 时段 峰时（8：00－21：00） 谷时（21：00－次日8：00） 价格 0.55元/千瓦时 0.35元/千瓦时 张明家上个月峰时电量是86千瓦时，谷时电量是68千瓦时。他家上月应付电费（　　）。 A．47.3元 B．23.8元 C．71.1元 D．58.6元 【变式训练2】小聪从家乘坐一辆出租车去高铁站，出租车收费标准如下：3千米以内收费8元，超过3千米，每千米1.5元(不足1千米按1千米计算)。小聪家到高铁站的路程是26.6千米，到站后，应付车费多少元? 【变式训练3】某停车场的收费标准如下： 时段 8：00－18：00 18：00－8：00 收费标准 2小时及以内5元，超过2小时的部分，每小时2.8元（不足1小时按1小时计算） 每小时1.5元（不足1小时按1小时计算） 张师傅10：00驾车进入停车场，13：12驾车离开，需要付多少钱？ 巩固练习 一、填空题 1．某共享电单车的收费标准是 3 km 以内 2 元，超过 3 km 的部分毎千米 0.5 元（不足 1 千米按 1 km 计算），小亮乘该共享电单车 6.8 千米，要付　 　元。 2．中国古典园林被誉为世界建筑艺术奇观。某园林内拍艺术照的价格是58.5元(送3张照片)，加洗一张照片需要加1.8元，如果妈妈在这个园林内拍完艺术照后选了15张照片想洗出来，需要　 　元。 3．妈妈坐租出车行6.2km，出租车收费标准是：3km以内7元；超过3km，每km1.5元(不足lkm按1km计算)。妈妈带了50元，要付　 　元出租车费，可以找回　 　元。 二、选择题 4．哈尔滨的旅游业带动了本地的经济增长，其中某景区滑雪项目的价格如下所示，如果滑雪2.4小时，需要支付（　　）元。 1小时内45元 超过1小时的部分，每小时75.8元 不足1小时按1小时计算 A．45 B．75.8 C．181.92 D．196.6 5．位于洛阳的龙门石窟是世界上造像最多、规模最大的石刻艺术宝库。景区内某商家拍艺术照的价格是58.5元(送3张照片)，加洗一张照片需要加1.8元，如果妈妈在景区内拍完艺术照后选了15张照片想洗出来，需要（　　）元。 A．80.1 B．85.5 C．27 D．21.6 6．王阿姨目前使用的手机话费套餐如下：月基本话费是58元，这款套餐包含80分钟免费通话时间和20G基本流量，通话超出部分按每分钟0.19元计算，流量超出部分按10元/G计算。王阿姨12月份一共通话120分钟，使用流量18G，那么她这个月需要支付话费（　　）元。 A．7.6 B．65.6 C．73.2 D．80.8 三、解决问题 7．某出租车公司出租车的计价标准如下表： 路程 价 格 3千米以内 6元 超过3千米的部分 每千米1.5元（不足1千米按1千米计算） 王爷爷乘出租车走了22.3千米，他一共需付多少钱？ 8．某水电局鼓励市民节约用水，规定每月用水12吨以内(包括12吨)每吨3.8元，超过12 吨部分，每吨5.4元。小军家10月份的用水量为16吨，应激水费多少元? 9．购买生活用品。某超市进行促销活动，三种支付方式有不同的优惠力度，妈妈买了一瓶86.5元的洗发水。 APP支付 原价的0.88倍 小程序支付 每满10元减1.5元 会员卡支付 超过50元的部分按原价的0.8倍计费 （1）用会员卡支付需要多少钱? （2）哪种支付方式更划算? 10．钱塘停车场收费标准如下表所示。(不满1小时都按1小时计算) 停车时段 停车费用 1小时内 (含1小时) 4元(不分时段) 超出1小时部分 每天8时到21时 2.5元/小时 21时至第二天8时 1.5元/小时 （1）杨老师从15时开始停车，一共停了5小时，需要缴纳停车费多少元？ （2）李叔叔驾驶车辆从12：00进入停车场，到21：20驶出，需要缴纳停车费多少元？ 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年五年级上册数学人教版 第5讲 分段计费问题 同步讲义 （思维导图+知识梳理+例题讲解+巩固练习） 思维导图 知识梳理 【知识点一】分段计费问题的核心思路 1.分段计费的关键：费用按“用量区间”分段计算，最后求和。比如打车时，3公里内是起步价，超过3公里后每公里加钱；水电费中，基础用量内单价低，超量后单价高。 2.解题步骤： （1）找分段点：确定费用变化的“用量节点”（如3公里、10吨水等，题目中会明确给出）。 （2）算基础费用：计算“第一段用量”（不超过分段点的部分）的费用。 （3）算超出费用：若总用量超过分段点，计算“超出部分的用量”ד超出部分单价”。 （4）总费用=基础费用+超出费用。 名师点评：从“数学思维本质”看，分段计费的核心思路渗透了“分类讨论”的重要数学思想。“找分段点”是将复杂问题“分类”的起点——通过明确不同用量区间的边界，把总用量拆分为“基础部分”和“超出部分”，避免因单价差异导致的计算混乱；“分步计算（基础费用+超出费用）”则体现了“分步解决”的有序思维，让学生学会将“整体问题”拆解为“局部问题”，再整合结果。这种思路不仅是解决实际问题的实用方法，更是小学阶段向中学“分段函数”知识过渡的重要基础，能有效培养学生“用数学眼光观察生活”（如理解生活中“阶梯水价”“阶梯电价”的合理性）和“有序、分步解决复杂问题”的核心素养，让学生体会“数学源于生活，用于生活”的本质。 【知识点二】典型例题解析 例题1：出租车计费（含“不足1单位按1单位算”） 题目：某市出租车收费标准：3千米以内（含3千米）起步价8元；超过3千米后，每千米1.5元（不足1千米按1千米计算）。小明乘出租车行了5.2千米，应付多少钱？ 分析步骤： 1.分段点：3千米（3千米内是起步价，超过后加价）。 2.判断用量区间：总里程5.2千米＞3千米，需分段计算。 3.基础费用：3千米内费用=8元（起步价）。 4.超出部分用量：5.2-3=2.2千米。题目要求“不足1千米按1千米算”，2.2千米≈3千米（用“进一法”取整）。 5.超出费用：3千米×1.5元/千米=4.5元。 6.总费用：8+4.5=12.5元。 答案：应付12.5元。 例题2：水费计费（直接按实际用量算） 题目：某小区水费收费标准：每户每月用水不超过10吨，按每吨2.5元收费；超过10吨的部分，按每吨3.2元收费。小红家上个月用水14吨，应缴水费多少元？ 分析步骤： 1.分段点：10吨（10吨内低价，超量后高价）。 2.判断用量区间：总用水量14吨＞10吨，需分段计算。 3.基础费用：前10吨费用=10吨×2.5元/吨=25元。 4.超出部分用量：14-10=4吨（直接用实际超出量，无需取整）。 5.超出费用：4吨×3.2元/吨=12.8元。 6.总费用：25+12.8=37.8元。 答案：应缴水费37.8元。 【知识点三】易错点提醒 1.分段点是否包含在内：题目中“不超过”“以内”均包含分段点本身（如“3千米以内”包含3千米）。 2.“不足1单位按1单位算”：如出租车里程、停车时间等，需用“进一法”取整（如2.1千米≈3千米），不能四舍五入。 3.超出部分计算：必须用“总用量-分段点”得到超出量，再乘超出单价，不能用总用量直接乘超出单价（易出错！）。 例题讲解 例题：分段计费问题 【典型例题1】某市出租车收费标准：2.5km以内6元；超过2.5km的部分，每千米1.6元（不足1km按1km计算）。行驶7km要付（　　）元。 A．16.8 B．14 C．13.2 D．12.5 【答案】B 【解析】【解答】解：7-2.5=4.5（km），按5km计算， 6+1.6×5 =6+8 =14（元） 故答案为：B。 【分析】行驶7km收费=2.5km以内的收费+2.5km以外的收费，2.5km以外的不足1km按1km计算，据此列式计算。 【典型例题2】某市自来水公司为鼓励节约用水，采用按月分段计费的方法收取水费，26吨以内（含26吨）的每吨2元，超过26吨的部分，每吨3.1元。小明家上个月的用水量为27吨，应缴水费　 　元。 【答案】55.1 【解析】【解答】解：3.1×（27－26）＋2×26 ＝3.1×1＋52 ＝3.1＋52 ＝55.1（元）。 故答案为：55.1。 【分析】小明家上个月应缴水费金额=（小明家上个月的用水量－26）×3.1＋26吨×26吨以内的单价。 【典型例题3】五(1)班有 52名师生拍照合影，每人一张合影照片，一共需要付多少元？ 合影价格表 定价：27.5 元(含5张照片) 加印一张2.5元 【答案】解：27.5+(52-5)×2.5 ＝27.5＋117.5 =145(元) 答：一共需要付145元。 【解析】【分析】由题意可知，52 名师生实际只加印52—5=47(张)，根据“单价×数量=总价”求出加印47张照片的价钱，再加上27.5元就是一共需要付的钱数。 【变式训练1】某市市民用电实行峰谷电价，收费标准如下： 时段 峰时（8：00－21：00） 谷时（21：00－次日8：00） 价格 0.55元/千瓦时 0.35元/千瓦时 张明家上个月峰时电量是86千瓦时，谷时电量是68千瓦时。他家上月应付电费（　　）。 A．47.3元 B．23.8元 C．71.1元 D．58.6元 【答案】C 【解析】【解答】86×0.55+68×0.35 =47.3+23.8 =71.1。 故答案为：C。 【分析】根据题意，先根据峰时电量求出峰时的电费，再根据谷时电量求出谷时的电费，最后相加计算出上个月的总电费。 【变式训练2】小聪从家乘坐一辆出租车去高铁站，出租车收费标准如下：3千米以内收费8元，超过3千米，每千米1.5元(不足1千米按1千米计算)。小聪家到高铁站的路程是26.6千米，到站后，应付车费多少元? 【答案】解：26.6千米≈27千米 （27-3）×1.5+8 =24×1.5+8 =36+8 =44（元） 答：应付车费44元。 【解析】【分析】26.6千米应该按照27千米计算。用27千米减去3千米求出超出3千米的路程，用超出3千米的路程乘1.5求出超出3千米的费用，再加上3千米以内的8元即可求出应付的车费。 【变式训练3】某停车场的收费标准如下： 时段 8：00－18：00 18：00－8：00 收费标准 2小时及以内5元，超过2小时的部分，每小时2.8元（不足1小时按1小时计算） 每小时1.5元（不足1小时按1小时计算） 张师傅10：00驾车进入停车场，13：12驾车离开，需要付多少钱？ 【答案】解：13时12分－10时＝3时12分，3时12分按4小时计算。 （4－2）×2.8＋5 ＝2×2.8＋5 ＝5.6＋5 ＝10.6（元） 答：需要付10.6元。 【解析】【分析】经过时间=结束时刻-开始时刻，13时12分－10时＝3时12分，3时12分按4小时计算；需要付的钱数=（停车总时间-2小时）×超过部分的单价＋2小时以内的单价。 巩固练习 一、填空题 1．某共享电单车的收费标准是 3 km 以内 2 元，超过 3 km 的部分毎千米 0.5 元（不足 1 千米按 1 km 计算），小亮乘该共享电单车 6.8 千米，要付　 　元。 【答案】4 【解析】【解答】解：（7-3）×0.5＋2 =4×0.5＋2 =2＋2 =4（元）。 故答案为：4。 【分析】小亮乘该共享电单车 6.8 千米看作7千米，共要付的钱数=（小亮骑行的路程-3千米）×超过3千米的单价＋3千米以内的钱数。 2．中国古典园林被誉为世界建筑艺术奇观。某园林内拍艺术照的价格是58.5元(送3张照片)，加洗一张照片需要加1.8元，如果妈妈在这个园林内拍完艺术照后选了15张照片想洗出来，需要　 　元。 【答案】80.1 【解析】【解答】解：58.5+1.8×(15-3)=80.1(元)。 故答案为：80.1 【分析】分步：额外需要加洗的照片数量为：15 - 3 = 12（张）额外加洗12张照片的总费用为：12 × 1.8 = 21.6（元） 妈妈总共需要支付的费用为：58.5 + 21.6 = 80.1（元） 总：拍照的基本价格+1.8×（总共的照片-送的照片）=需要支付的费用。 3．妈妈坐租出车行6.2km，出租车收费标准是：3km以内7元；超过3km，每km1.5元(不足lkm按1km计算)。妈妈带了50元，要付　 　元出租车费，可以找回　 　元。 【答案】13；37 【解析】【解答】解：6.2千米看作7千米 （7-3）×1.5＋7 =4×1.5＋7 =6＋7 =13（元） 50-13=37（元）。 故答案为：13；37。 【分析】要付的出租车费=（妈妈坐租出车行驶的路程-3千米）×超过3千米的单价＋3千米以内的价钱。 二、选择题 4．哈尔滨的旅游业带动了本地的经济增长，其中某景区滑雪项目的价格如下所示，如果滑雪2.4小时，需要支付（　　）元。 1小时内45元 超过1小时的部分，每小时75.8元 不足1小时按1小时计算 A．45 B．75.8 C．181.92 D．196.6 【答案】D 【解析】【解答】解：2.4-1=1.4(小时)，1.4小时按2小时计算，需要45+75.8×2=196.6(元)。 故答案为：D 【分析】滑雪总时间-1=超过1小时的部分，不足1小时按1小时计算1.4小时按2小时计算需要：1小时内45元+ 75.8 ×超出部分的时间=总费用。 5．位于洛阳的龙门石窟是世界上造像最多、规模最大的石刻艺术宝库。景区内某商家拍艺术照的价格是58.5元(送3张照片)，加洗一张照片需要加1.8元，如果妈妈在景区内拍完艺术照后选了15张照片想洗出来，需要（　　）元。 A．80.1 B．85.5 C．27 D．21.6 【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意，可得 58.5+1.8×（15-3） =58.5+1.8×12 = 80.1（元） 答： 需要80.1元 故答案为：A 【分析】妈妈拍艺术照的基础费用是58.5元，该费用已经包括了3张照片的洗印。妈妈想要洗出15张照片，除去已包含的3张，还需要额外洗12张照片。每张额外照片的洗印费用是1.8元，因此12张照片的洗印费用为 12×1.8=21.6。所以，妈妈总共需要支付的费用为艺术照的基础费用加上额外洗照片的费用，即 58.5+21.6=80.1 6．王阿姨目前使用的手机话费套餐如下：月基本话费是58元，这款套餐包含80分钟免费通话时间和20G基本流量，通话超出部分按每分钟0.19元计算，流量超出部分按10元/G计算。王阿姨12月份一共通话120分钟，使用流量18G，那么她这个月需要支付话费（　　）元。 A．7.6 B．65.6 C．73.2 D．80.8 【答案】B 【解析】【解答】解：（120-80）×0.19+58 =40×0.19+58 =7.6+58 =65.6（元） 故答案为：B。 【分析】通话时长超出80分钟，要加收费用。流量使用少于20G，不需要加收费用。用120减去80求出超出的时间，用超出的时间乘0.19求出超出80分钟的费用，再加上基本话费即可求出这个月需要支付的话费。 三、解决问题 7．某出租车公司出租车的计价标准如下表： 路程 价 格 3千米以内 6元 超过3千米的部分 每千米1.5元（不足1千米按1千米计算） 王爷爷乘出租车走了22.3千米，他一共需付多少钱？ 【答案】解：（23-3）×1.5＋6 =20×1.5＋6 =30＋6 =36（元） 答：他一共需付36元钱。 【解析】【分析】他一共需要付的钱数=（王爷爷乘出租车走的总路程-3千米）×超过3千米的单价＋3千米以内的钱数。 8．某水电局鼓励市民节约用水，规定每月用水12吨以内(包括12吨)每吨3.8元，超过12 吨部分，每吨5.4元。小军家10月份的用水量为16吨，应激水费多少元? 【答案】解：12×3.8+（16-12）×5.4 =45.6+4×5.4 =45.6+21.6 =67.2（元） 答：应缴水费67.2元。 【解析】【分析】小军家10月份的用水量为16吨，12吨以内(包括12吨)每吨3.8元，共12×3.8=45.6（元），超过12 吨部分为16-12=4（吨），每吨5.4元，共4×5.4=21.6（元），相加即为应缴的税费。 9．购买生活用品。某超市进行促销活动，三种支付方式有不同的优惠力度，妈妈买了一瓶86.5元的洗发水。 APP支付 原价的0.88倍 小程序支付 每满10元减1.5元 会员卡支付 超过50元的部分按原价的0.8倍计费 （1）用会员卡支付需要多少钱? （2）哪种支付方式更划算? 【答案】（1）50+(86.5-50)×0.8=50+29.2=79.2(元)，答：用会员卡支付需要79.2元。 （2）APP支付：86.5×0.88=76.12(元) 小程序支付：86.5-1.5×8=74.5(元) 74.5<76.12<79.2， 答：小程序支付更划算。 【解析】【分析】（1）根据表中的信息，可知会员的计算：妈妈买的洗发水算出超出50的钱乘0.8，加上50即可得出答案。 （2）根据表格可知，有三种支付方式：①APP支付，用原价乘0.88得出结果。 ②小程序支付，原价86.5中由8个10，用原价减去1.5乘8，及可得出结果。 ③会员卡支付，由（1）可得。比较三者的最后结果，即可得出答案。 10．钱塘停车场收费标准如下表所示。(不满1小时都按1小时计算) 停车时段 停车费用 1小时内 (含1小时) 4元(不分时段) 超出1小时部分 每天8时到21时 2.5元/小时 21时至第二天8时 1.5元/小时 （1）杨老师从15时开始停车，一共停了5小时，需要缴纳停车费多少元？ （2）李叔叔驾驶车辆从12：00进入停车场，到21：20驶出，需要缴纳停车费多少元？ 【答案】（1）解：（5-1）×2.5 =4×2.5 ＝10（元） 10＋4＝14（元） 答：需要缴纳停车费14元钱。 （2）解：（9-1）×2.5 =8×2.5 ＝20（元） 20＋4＋1.5＝25.5（元） 答：需要缴纳停车费25.5元。 【解析】【分析】（1）需要缴纳停车费金额=（杨老师停车的时间-1小时）×超出1小时部分每天8时到21时的单价＋1小时内的价钱； （2）李叔叔需要缴纳停车费金额=1小时内的价钱＋超出1小时部分每天8时到21时的单价×时间＋21时至第二天8时的单价。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$