第二章 直线和圆的方程 专项训练 -2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 专项训练 考点1 对称问题及其应用 1.(2025河南洛阳期中)已知点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称,则a,b的值分别为 ( ) A.1,3 B.-,- C.-2,0 D.,- 2.(2025天津五中段考)与直线3x-4y+5=0关于坐标原点O对称的直线方程为( ) A.3x+4y-5=0 B.3x+4y+5=0 C.3x-4y+5=0 D.3x-4y-5=0 3.(2025天津南开中学月考)已知点A(-3,6)和B(1,2),在x轴上求一点M,使|AM|+|BM|最小,那么点M的坐标为( ) A.(-2,0) B.(1,0) C.(4.4,0) D.(0,0) 4.(2024河北石家庄二中期中)将一张坐标纸折叠一次,使得点A(0,0)和点B重合,点C(7,3)和点D(m,n)重合,则m+n=( ) A. B. C. D. 5.(2025浙江杭州联谊学校质检)已知光线从点A(-6,3)射出,经直线2x-y+10=0反射,且反射光线所在直线过点B(-8,-3),则反射光线所在直线的方程是( ) A.3x-2y+18=0 B.2x-3y+7=0 C.3x+2y+30=0 D.2x+3y+25=0 6.已知点(m,n)为直线x+y-1=0上的一点,则+的最小值为( ) A. B.2 C.4 D.3 7.(2025福建师大附中月考)已知点P(1,1),则点P关于直线x-y-2=0的对称点的坐标是 . 8.(2024上海复旦附中期中)一质点在矩形ABCD内运动,从AB的中点O沿一确定方向发射该质点,依次由线段BC,CD,DA反射,反射点分别为P1,P2,P3(反射角等于入射角),最后落在线段OA(不包括端点)上的P4处.若A(-1,0),B(1,0),C(1,1)和D(-1,1),则OP1所在直线的斜率的取值范围是 . 9.(2025福建厦门二中期中)如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=1,P是边AB上异于A,B的一点,某光线从点P处出发,经边BC,CA反射后又回到点P,如图所示,若光线QR经过 ABC的重心G,则线段AP的长度是 ;直线PQ的斜率为 . 10.(2025山东淄博质检)在平面直角坐标系中,点A(2,3),B(1,1),直线l:x+y+1=0. (1)在直线l上找一点C使得|AC|+|BC|最小,并求这个最小值和点C的坐标; (2)在直线l上找一点D使得||AD|-|BD||最大,并求这个最大值和点D的坐标. 考点2 直线系方程及其应用 1.(2024北京师范大学第二附属中学期中)若点P(x0,y0)是直线l:Ax+By+C=0外一点,则方程Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0表示( ) A.过点P且与l垂直的直线 B.过点P且与l平行的直线 C.不过点P且与l垂直的直线 D.不过点P且与l平行的直线 2.(2024河北沧州期中)经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0平行的直线l的方程为( ) A.3x-4y+8=0 B.3x-4y+6=0 C.4x+3y-6=0 D.4x+3y+6=0 3.(2025广东深圳实验学校月考)直线l1:x+(m+1)y-2m-2=0与直线l2:(m+1)x-y-2m-2=0相交于点P,且对任意实数m,直线l1,l2分别恒过定点A,B,则|PA|+|PB|的最大值为( ) A.4 B.8 C.2 D.4 4.(多选题)(2025福建厦门外国语学校月考)对于直线l:(m-1)x+y-2m+3=0,下列结论中正确的是( ) A.直线l恒过点(2,-1) B.当m=0时,直线l在y轴上的截距为3 C.若直线l不经过第二象限,则m∈ D.坐标原点到直线l的距离的最大值为 5.(2025河北衡水中学月考)已知点P(-2,-1)和直线l:(1+2 )x+(1-3 )y+ -2=0,则点P到直线l的距离的取值范围是 . 6.(2025上海师大附中月考)设直线l经过直线2x-3y+2=0和3x-4y-2=0的交点,且与两坐标轴围成等腰直角三角形,则直线l的方程为 . 7.(2025浙江宁波镇海中学月考)已知不重合的两直线l1:mx+y+2m-3=0,l2:mx+y-m+1=0,则直线l1与l2之间距离的最大值为 . 8.(2025福建福州期中)在下列所给的三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并加以解答. ①与直线x-2y+5=0垂直;②过点(2,-3);③与直线2x+y+2=0平行. 问题:已知直线l过点P(1,-1),且 . (1)求直线l的一般式方程; (2)已知M(3,-1),O为坐标原点,在直线l上找一点N,使得|MN|-|ON|最大,并写出点N的坐标. 9.(2025湖南湘西州多校联考)如图,直线l过点P(2,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于点A,B. (1)若P为线段AB的中点,求直线l的方程; (2)若点P在线段AB上,且满足=2,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,动点E,F分别在线段MP和OA上,若直线EF平分直角梯形OAPM的面积,求证:直线EF必过一定点,并求出该定点坐标. 考点3 圆系方程、圆的切线系方程的应用 1.(2025福建厦门期中)圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2-4x-3=0,x2+y2-4y-3=0的交点的圆的方程为( ) A.x2+y2-6x+2y-3=0 B.x2+y2+6x+2y-3=0 C.x2+y2-6x-2y-3=0 D.x2+y2+6x-2y-3=0 2.(2025湖北孝感高中协作体期中联考)已知圆C1:x2+y2+2ax-4+a2=0和圆C2:x2+y2-2by-1+b2=0外切(其中a,b∈R),则a+b的最大值为( ) A.4 B.3 C.8 D.4 3.(多选题)(2025四川成都期中)设有一组圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4,k∈N*.下列命题中是真命题的是( ) A.存在一条定直线与所有的圆均相切 B.存在一条定直线与所有的圆均相交 C.存在一条定直线与所有的圆均不相交 D.所有的圆均不经过原点 4.(多选题)(2024江西南昌莲塘二中期中)设直线系M:xcos +(y-2)sin =1(0≤ <2 ).下列四个命题中正确的是( ) A.存在一个圆与所有直线均相交 B.存在一个圆与所有直线均不相交 C.存在一个圆与所有直线均相切 D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 5.(2025河北秦皇岛期中)已知圆M:(x-1-cos )2+(y-2-sin )2=1,直线l:kx-y-k+2=0.有下面五个命题,其中正确命题的个数是( ) ①对任意实数k与 ,直线l和圆M有公共点; ②对任意实数k与 ,直线l与圆M都相离; ③存在实数k与 ,使直线l和圆M相离; ④对任意实数k,必存在实数 ,使得直线l与圆M相切; ⑤对任意实数 ,必存在实数k,使得直线l与圆M相切. A.2 B.3 C.4 D.5 6.(多选题)(2024福建龙岩永定一中期中)已知O为坐标原点,圆M:(x-cos )2+(y-sin )2=1,则下列结论正确的是( ) A.圆M与圆x2+y2=4内切 B.直线xcos +ysin =0与圆M相离 C.圆M上到直线x+y=的距离等于1的点最多有两个 D.过直线x+y=3上任一点P作圆M的切线,切点分别为A,B,则四边形PAMB面积的最小值为 7.(2025浙江杭州期中)已知acos +a2sin -2=0,bcos +b2sin -2=0(a≠b),对任意a,b∈R,经过两点(a,a2),(b,b2)的直线与一定圆相切,则该圆的方程为 . 8.(2025安徽蚌埠段考)已知圆M:x2+y2-4x+3=0,P(-1,t)为直线l:x=-1上一动点,过点P作圆M的两条切线,切点分别为A,B. (1)求|PA|,当t为何值时,|PA|最小?最小值为多少? (2)求直线AB的方程,并判断直线AB是否过定点,若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由. 考点4 隐圆、辅助圆问题 1.如果圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为的点,则实数a的取值范围是( ) A.(-3,-1)∪(1,3) B.(-3,3) C.[-1,1] D.[-3,-1]∪[1,3] 2.(多选题)(2024吉林长春五中期中)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,1),B(m,-1)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90 ,则m的可能取值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 3.(2025河南郑州期中)已知P为直线l1:mx-2y-m+6=0与直线l2:2x+my-m-6=0(m∈R)的交点,Q为圆C:(x+3)2+(y+3)2=8上的动点,则|PQ|的取值范围为( ) A.[2,8] B.(2,8] C.[,6] D.(,6] 4.(2025河北衡水二中月考)已知EF是圆C:x2+y2-2x-4y+3=0的一条动弦,且CE⊥CF,P是EF的中点,当弦EF变化时,直线l:x-y-3=0上存在两点A,B,使得∠APB≥恒成立,则线段AB长度的最小值是( ) A.3+1 B.4+2 C.4+1 D.4+2 5.(2025广东深圳期中)已知M,N是圆O:x2+y2=8上两点,且|MN|=4,若直线x-ay+6=0上存在点P使得+=,则实数a的取值范围为( ) A.∪ B. C.∪ D. 6.(2025江苏常州联盟调研)已知在平面直角坐标系Oxy中,A(-3,0),B(1,0),直线l:2kx-y+3k=0上存在动点P满足|PA|=3|PB|,则实数k的取值范围为 . 7.(2025河南省实验中学月考)已知P为直线l:x+y-2=0上的动点,过点P作圆C:x2+2x+y2=0的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,则当|PC| |AB|最小时,直线AB的方程为 . 8.(2025陕西西安期中)在平面直角坐标系Oxy中,已知圆C:x2+y2-4x=0及点A(-1,0),B(1,2). (1)若直线l平行于直线AB,与圆C相交于D,E两点,且|DE|=|AB|,求直线l的方程; (2)在圆C上是否存在点P,使得|PA|2+|PB|2=12成立?若存在,求满足条件的点P的个数;若不存在,说明理由; (3)对于线段AC上的任意一点Q,若在以点B为圆心的圆上都存在不同的两点M,N,使得点M是线段QN的中点,求圆B的半径r的取值范围. 答案 考点1 对称问题及其应用 1.B 因为点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称, 所以直线AB与直线ax+y+b=0垂直且线段AB的中点在直线ax+y+b=0上, 易得直线AB的斜率为=-2,线段AB的中点为(1,2), 则有解得 2.D 设直线3x-4y+5=0上的点Q(x1,y1)关于原点O(0,0)对称的点P(x,y)在所求直线上, 由中点坐标公式得=0,=0,解得x1=-x,y1=-y,代入直线方程3x-4y+5=0,得3(-x)-4(-y)+5=0, 整理得3x-4y-5=0, 即所求直线方程为3x-4y-5=0. 3.D 易知A,B两点位于x轴同侧,由B(1,2),知其关于x轴的对称点为(1,-2),记B'(1,-2), 则当A,B',M三点共线时,|AM|+|BM|最小, 设直线AB'的斜率为k,则k===-2, 所以直线AB'的方程为y+2=-2(x-1),化简得y=-2x, 又因为点M在x轴上,所以令y=0,得x=0, 所以点M的坐标为(0,0). 4.A A(0,0)和B连线的中点为,且kAB==-,所以线段AB的中垂线的斜率k=2,所以线段AB的中垂线的方程为y-=2,即2x-y-3=0,由题意可得点C(7,3)和点D(m,n)连线的中垂线方程也为2x-y-3=0,且点C和点D连线的中点为,则解得所以m+n=. 5.B 设点A(-6,3)关于直线2x-y+10=0的对称点为A'(a,b), 则解得 因此反射光线所在直线过点A'(-2,1)与点B(-8,-3), 则反射光线所在直线的方程为y-1=(x+2),即2x-3y+7=0. 6.A 将点(m,n)记为点P,则+为点P(m,n)到原点O(0,0)和到点A(-2,0)的距离之和,即|PO|+|PA|. 设O(0,0)关于直线x+y-1=0的对称点为B(a,b),则解得所以B(1,1).易得|PO|=|PB|,当A,P,B三点共线时,|PO|+|PA|取到最小值,且最小值为|AB|=. 7.答案 (3,-1) 解析 设点P关于直线x-y-2=0的对称点为Q(m,n), 则解得∴Q(3,-1). 8.答案 解析 由题意,可得OP1∥P2P3,P1P2∥P3P4,设P1(1,b)(0<b<1),则==b,因为点P4落在线段OA(不包括端点)上,所以当P4落到点O,点A处时为两个满足题意的临界位置(不包括这两个位置),当P4落到点O处时,由题知点O为线段AB的中点,且质点从点O出发后又回到点O,所以此时P1位于线段BC的中点位置,所以此时=b=;当P4落到点A处时,点P4与点P3重合,如图所示, 设∠P1OB= ,则∠P1P2C=∠DP2P3= ,且tan =b,所以|CP1|=1-b,|CP2|==-1,|DP2|=3-,所以tan ===b,解得b=,此时=. 综上所述,OP1所在直线的斜率的取值范围是. 9.答案 ;2 解析 建立如图所示的平面直角坐标系,可得A(0,0),B(1,0),C(0,1), 所以直线BC的方程为y=(x-1),即x+y-1=0,且 ABC的重心G的坐标为, 设点P(a,0)(0<a<1),M,N分别是点P关于直线BC和y轴的对称点,所以N(-a,0), 连接NR,QM,设M(x0,y0), 则有解得所以M(1,1-a), 由光的反射原理可知,M,N,Q,R四点共线,所以kMN=kGN,即=,解得a=(a=0舍去), 则|AP|=,即线段AP的长度为. 所以N,M,P,则直线MN的方程为y=,即3x-6y+1=0, 联立直线MN的方程与BC的方程,得解得即Q, 所以直线PQ的斜率为=2. 10.解析 (1)由题知A,B在直线l的同侧,设点A(2,3)关于直线l:x+y+1=0的对称点为A'(x,y),则解得即A'(-4,-3). 所以直线A'B的方程为=,即4x-5y+1=0. 当点C为直线4x-5y+1=0与直线x+y+1=0的交点时,|AC|+|BC|取得最小值. 联立解得所以C, 且|AC|+|BC|的最小值为|A'B|==. (2)由题意知直线AB的方程为=,整理得2x-y-1=0,当点D为直线2x-y-1=0与直线x+y+1=0的交点时,||AD|-|BD||最大, 由解得即D(0,-1), 从而||AD|-|BD||的最大值为|AB|==. 考点2 直线系方程及其应用 1.B 由题意可知Ax0+By0+C的结果为一个非零常数,所以方程Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0中,C-(Ax0+By0+C)的结果是一个不等于C的常数,则直线Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0与l平行,当x=x0,y=y0时,Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=Ax0+By0+C-(Ax0+By0+C)=0,即点P在方程Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0表示的直线上,故该方程表示过点P且与l平行的直线. 2.A 解法一:由题意设所求直线方程为3x-4y+c=0,c≠5,联立解得∴P(0,2),将(0,2)代入3x-4y+c=0,解得c=8,故所求直线方程为3x-4y+8=0. 解法二:设所求直线方程为(x-2y+4)+ (x+y-2)=0,即(1+ )x+( -2)y+4-2 =0.∵该直线与直线3x-4y+5=0平行,∴-4(1+ )=3( -2)且5(1+ )≠3(4-2 ),可得 =.∴所求直线方程为3x-4y+8=0. (3)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线系方程为Ax+By+ =0( ≠C). (4)与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线系方程为Bx-Ay+ =0. (5)过直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0)与l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+ (A2x+B2y+C2)=0( 为参数),但此方程不能表示直线l2. 3.A 直线l1:x+(m+1)y-2m-2=0即x+y-2+m(y-2)=0,令得即直线l1过定点A(0,2); 直线l2:(m+1)x-y-2m-2=0即x-y-2+m(x-2)=0,令得即直线l2过定点B(2,0). 因为1 (m+1)+(m+1) (-1)=0,所以l1⊥l2,即PA⊥PB,因此|PA|2+|PB|2=|AB|2=8, 所以|PA|+|PB|≤=4,当且仅当|PA|=|PB|=2时,等号成立,即|PA|+|PB|的最大值为4. 4.AD 直线l:(m-1)x+y-2m+3=0,即m(x-2)-x+y+3=0, 令可得所以直线l恒过点(2,-1),因此A正确; 当m=0时,直线l:x-y-3=0,其在y轴上的截距为-3,因此B不正确; 当m=1时,直线l:y=-1,此时直线l也不经过第二象限,因此C不正确; 因为直线l过定点(2,-1),所以坐标原点到直线l的距离的最大值为=,因此D正确. 5.答案 (0,] 解析 方程(1+2 )x+(1-3 )y+ -2=0可化为x+y-2+(2x-3y+1) =0, 令解得则直线l过定点(1,1),记A(1,1), 易知|PA|为点P到直线l的距离的最大值,且|PA|==, 若P(-2,-1)在直线l上,则有-2-1-2+(-4+3+1) =0,即-5=0,可得P(-2,-1)不可能在直线l上,则d>0. 综上可得,0<d≤,即所求距离的取值范围为(0,]. 6.答案 x-y-4=0或x+y-24=0 解析 设直线l的方程为2x-3y+2+ (3x-4y-2)=0,整理得(2+3 )x-(3+4 )y+2-2 =0,令x=0,得y=,令y=0,得x=-,依题意得=,即= 1,解得 =-1或 =-.所以直线l的方程为x-y-4=0或x+y-24=0. 7.答案 5 解析 直线l1:mx+y+2m-3=0即m(x+2)+y-3=0, 令x+2=0且y-3=0,解得x=-2,y=3,所以直线l1过定点(-2,3),记A(-2,3). 直线l2:mx+y-m+1=0即m(x-1)+y+1=0,令x-1=0且y+1=0,解得x=1,y=-1,所以直线l2过定点(1,-1),记B(1,-1). 易知l1与l2平行,故当AB与直线l1,l2垂直时,直线l1,l2之间的距离最大,且最大值为|AB|==5. 8.解析 (1)选择①与直线x-2y+5=0垂直.可设直线l的方程为2x+y+m=0,因为直线l过点P(1,-1),所以2 1-1+m=0,解得m=-1,所以直线l的方程为2x+y-1=0. 选择②过点(2,-3).因为直线l过点P(1,-1),点(2,-3),所以直线l的斜率k==-2,所以直线l的方程为y+1=-2(x-1),整理得2x+y-1=0. 选择③与直线2x+y+2=0平行.可设直线l的方程为2x+y+m=0(m≠2), 因为直线l过点P(1,-1),所以2 1-1+m=0,解得m=-1,所以直线l的方程为2x+y-1=0. (2)设点O关于直线l的对称点为Q(x,y), 则解得所以Q, 显然|MN|-|ON|=|MN|-|QN|≤|QM|, 当且仅当Q,N,M三点共线时取等号, 又直线QM的斜率kQM==-,故直线QM的方程为y+1=-(x-3),即y=-x+, 联立解得所以当点N的坐标为时,|MN|-|ON|最大. 9.解析 由题可设A(a,0),B(0,b),a>0,b>0. (1)若P为线段AB的中点,则解得 所以直线l的方程为+=1,即x+2y-4=0. (2)易得=(2-a,1),=(-2,b-1), 由=2得解得 故A(6,0),B. 所以S梯形OAPM= (6+2) 1=4. 由题可设E(m,1),F(n,0),0≤m≤2,0≤n≤6, 则S梯形OMEF= (m+n) 1=2,即m+n=4, 当m≠n时,易得直线EF的方程为=, 即x-n-(m-n)y=0, 将m=4-n代入直线EF的方程得x-n-(4-2n)y=0,即(2y-1)n+x-4y=0, 令解得 所以直线EF必过定点. 当m=n时,m=n=2,此时直线EF的方程为x=2,过点. 综上,直线EF必过定点. 考点3 圆系方程、圆的切线系方程的应用 1.A 设所求圆的方程为(x2+y2-4x-3)+ (x2+y2-4y-3)=0,即(1+ )x2+(1+ )y2-4x-4 y-3-3 =0, 其圆心为,因为圆心在直线x-y-4=0上, 所以-4=0,解得 =-, 因此所求圆的方程为x2+y2-4x+y-3+1=0,即x2+y2-6x+2y-3=0. 2.B 圆C1的标准方程为(x+a)2+y2=4,则C1(-a,0),半径r1=2, 圆C2的标准方程为x2+(y-b)2=1,则C2(0,b),半径r2=1, 因为两圆外切,所以|C1C2|=r1+r2,即=3,所以a2+b2=9, 所以(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)=18, 则-3≤a+b≤3, 所以a+b的最大值为3,当且仅当a=b时等号成立. 3.BD 根据题意得,圆Ck的圆心坐标为(k-1,3k),k∈N*,易知圆心在直线y=3(x+1)上,故存在直线y=3(x+1)与所有的圆都相交,所以B正确;以圆Ck与圆Ck+1为例,考虑两圆的位置关系:圆Ck的圆心为(k-1,3k),半径r=k2,圆Ck+1的圆心为(k+1-1,3(k+1)),即(k,3k+3),半径R=(k+1)2,两圆的圆心距d==,R-r=(k+1)2-k2=2k+,对任意的k∈N*,R-r>d,故Ck含于Ck+1之中,所以A错误;当k取无穷大时,可以认为所有直线都与圆相交,所以C错误;将(0,0)代入圆的方程,可得(-k+1)2+9k2=2k4,即10k2-2k+1=2k4,因为等式左边为奇数,右边为偶数,所以不存在k∈N*使此式成立,即所有的圆均不经过原点,所以D正确. 4.ABC 易知点(0,2)到M中每条直线的距离d==1,即M中的每条直线都是圆x2+(y-2)2=1的切线,所以存在圆心为(0,2),半径大于1的圆与M中所有直线均相交,故A正确; 由上述分析知,存在圆心为(0,2),半径小于1的圆与M中所有直线均不相交,故B正确; 由上述分析知,存在圆心为(0,2),半径等于1的圆与M中所有直线均相切,故C正确; 因为M中的直线与以(0,2)为圆心,1为半径的圆相切,所以不妨取M中的直线AB,AC,BC,DE,它们围成正三角形ADE与正三角形ABC,如图, ABC与 ADE的面积不相等,故D错误. 5.A 对于①②,由题可知圆M的圆心为M(1+cos ,2+sin ),半径r=1,直线l的方程可以写成y=k(x-1)+2,易知直线l过定点(1,2),记A(1,2),易知点A在圆M上,所以直线l与圆M相切或相交,故对任意实数k与 ,直线l和圆M有公共点,①正确,②错误. 对于③,由以上分析知不存在实数k与 ,使直线l和圆M相离,③错误. 对于④,当直线l与圆M相切时,点A恰好为直线l与圆M的切点,故直线AM与直线l垂直, 当k=0时,直线AM与x轴垂直,则1+cos =1,即cos =0,解得 =k' +(k'∈Z),故存在 使得直线l与圆M相切; 当k≠0时,若直线AM与直线l垂直,则cos ≠0, 直线AM的斜率kAM===tan , 所以kAM k=-1,即tan =-, 对任意的k≠0,均存在实数 ,使得tan =-,从而使得直线AM与直线l垂直. 综上所述,对任意实数k,必存在实数 ,使得直线l与圆M相切,④正确. 对于⑤,点M(1+cos ,2+sin )到直线l的距离d=,令 =0,则当k=0时,d=0;当k≠0时,d=<1,故当 =0时,d<1恒成立,即直线l与圆M必相交,故此时不存在实数k,使得直线l与圆M相切,⑤错误. 所以正确命题的个数为2. 6.ACD 圆M:(x-cos )2+(y-sin )2=1的圆心为M(cos ,sin ),半径r1=1,而圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r2=2,所以|OM|=1=r2-r1,故圆M与圆x2+y2=4内切,A正确;利用点到直线的距离公式,得圆心M(cos ,sin )到直线xcos +ysin =0的距离d==|cos( - )|≤1,故圆M和直线相切或相交,B错误;利用点到直线的距离公式,得圆心M(cos ,sin )到直线x+y=的距离d'===,因为sin∈[-1,1],sin-1∈[-2,0],∈[0,2],且圆M的半径为1,所以圆M上到直线x+y=的距离等于1的点最多有两个,C正确;由题可得四边形PAMB的面积S=2S PAM=|MA| |PA|=|PA|=,当MP垂直于直线x+y=3时,|MP|有最小值,且|MP|===,因为sin∈[-1,1],sin-3∈[-4,-2],∈[2,4],所以|MP|min=2,则四边形PAMB面积的最小值为,D正确. 7.答案 x2+y2=4 解析 ∵acos +a2sin -2=0,bcos +b2sin -2=0,a≠b, ∴(a,a2),(b,b2)都在直线xcos +ysin -2=0上, 故经过两点(a,a2),(b,b2)的直线的方程是xcos +ysin -2=0(切线系方程), 易知点(0,0)到该直线的距离d==2, 故所求圆的方程为x2+y2=4. 8.解析 (1)圆M:x2+y2-4x+3=0即(x-2)2+y2=1,其圆心为M(2,0),半径r=1,由题知|MA|=1,|PM|=, 则|PA|==, 易知当t=0时,|PA|最小,最小值为2. (2)结合(1)得以P为圆心,PA为半径的圆P的方程为(x+1)2+(y-t)2=t2+8, 显然线段AB为圆P和圆M的公共弦, 则直线AB的方程为(x+1)2-(x-2)2+(y-t)2-y2=t2+8-1,即3x-ty-5=0, 令得所以直线AB过定点. 考点4 隐圆、辅助圆问题 1.D 由圆(x-a)2+(y-a)2=8上总存在到原点的距离为的点,知圆(x-a)2+(y-a)2=8与圆x2+y2=2有交点,又两圆的圆心距为|a|,半径分别为2,,∴2-≤|a|≤2+,∴1≤|a|≤3,解得1≤a≤3或-3≤a≤-1.∴实数a的取值范围是[-3,-1]∪[1,3]. 2.CD 圆C:(x-3)2+(y-4)2=1的圆心为C(3,4),半径为1. ∵∠APB=90 ,∴P是以AB为直径的圆上的点, 又AB的中点为(0,0),记O(0,0),∴P是以O为圆心的圆上的点, 易得C(3,4)与O(0,0)之间的距离为5,∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6,最小值为4,即|PO|max=6,|PO|min=4, 又在Rt APB中,|PO|=|AB|==,故4≤≤6,解得≤m≤,结合选项可知m的可能取值为4或5. 3.A 已知直线l1:mx-2y-m+6=0,直线l2:2x+my-m-6=0,而m 2+(-2) m=0,所以l1⊥l2. 直线l1的方程可化为m(x-1)-2(y-3)=0,因此直线l1过定点(1,3), 直线l2的方程可化为2(x-3)+m(y-1)=0,因此直线l2过定点(3,1), 所以点P的轨迹是以点(1,3)与点(3,1)为直径两端点的圆,其圆心为(2,2),半径r==. 又圆C:(x+3)2+(y+3)2=8的圆心为C(-3,-3),半径R=2, 故两个圆心之间的距离d==5, 因为d>r+R=3,所以两圆相离, 因此|PQ|的最大值为d+r+R=8,最小值为d-r-R=2, 所以|PQ|的取值范围是[2,8]. 4.B 圆C:x2+y2-2x-4y+3=0即(x-1)2+(y-2)2=2,其圆心为C(1,2),半径r=. 因为CE⊥CF,P是EF的中点,所以|CP|=|EF|==r=1, 所以点P的轨迹方程为(x-1)2+(y-2)2=1,易知此轨迹为圆,圆心为点C(1,2),半径R=1, 若直线l:x-y-3=0上存在两点A,B,使得∠APB≥恒成立, 则圆(x-1)2+(y-2)2=1在以AB为直径的圆内(含内切), 点C(1,2)到直线l的距离d==2(直线l与圆(x-1)2+(y-2)2=1相离), 所以AB长度的最小值为2(d+1)=4+2. 5.A 圆O:x2+y2=8的圆心为O(0,0),半径r=2. 设MN的中点为Q,则+=2, 又+=,所以=2, 又因为|MN|=4,|OM|=|ON|=2,所以 OMN为等腰直角三角形, 则|OQ|=2,可得|OP|=2|OQ|=4, 因此点P在以原点O为圆心,4为半径的圆,即圆x2+y2=16上, 又因为点P在直线x-ay+6=0上, 所以直线x-ay+6=0与圆x2+y2=16有交点, 即圆心(0,0)到直线的距离d=≤4,解得a≥或a≤-, 即实数a的取值范围为∪. 6.答案 解析 设P(x,y), 由|PA|=3|PB|,可得=3, 整理得x2+y2-3x=0,即为+y2=, 可得P点在以为圆心,为半径的圆上运动, 又P在直线l上,所以直线l和圆有交点, 因此圆心到直线l的距离d=≤,解得-≤k≤, 即实数k的取值范围是. 7.答案 3x+3y+1=0 解析 圆C:x2+2x+y2=0的圆心为C(-1,0),半径r=1, 易知A,P,B,C四点在以PC为直径的圆上,且AB⊥CP, 所以|PC| |AB|=4S PAC=4 |PA| |AC|=2|PA|, 又|PA|=,所以|PC|取最小值时,|PA|也取最小值.易知当直线CP⊥l时,|PC|取得最小值, 此时|PC| |AB|取得最小值,且直线PC的方程为y=x+1, 联立解得即P, 则以PC为直径的圆的方程为(x+1)+y=0, 将两圆方程(x+1)+y=0与x2+2x+y2=0作差,得3x+3y+1=0,即直线AB的方程为3x+3y+1=0. 8.解析 (1)圆C的标准方程为(x-2)2+y2=4,所以其圆心为C(2,0),半径为2. 因为l∥AB,A(-1,0),B(1,2),所以直线l的斜率为=1, 设直线l的方程为x-y+m=0(m≠1), 则圆心C到直线l的距离d=. 因为|DE|=|AB|==2, 且|CE|2=d2+,所以4=+2, 解得m=0或m=-4, 故直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0. (2)假设圆C上存在点P(x,y)满足条件, 则|PA|2+|PB|2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y-2)2=12,即x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4, 因为|2-2|<<2+2, 所以圆C:(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交, 易知点P既在圆C:(x-2)2+y2=4上,又在圆x2+(y-1)2=4上,所以点P为两圆的交点,其个数为2. (3)易知线段AC所在直线的方程为y=0,设Q(t,0)(-1≤t≤2),N(x',y'), 因为M为线段QN的中点,所以M, 又M,N都在半径为r的圆B上, 所以 即 易知①②两方程对应的两圆有公共点,故(2r-r)2≤(t-1)2+4≤(2r+r)2对于t∈[-1,2]恒成立,易知当t∈[-1,2]时,4≤(t-1)2+4≤8,所以r2≤4且9r2≥8,解得≤r≤2. 又易知Q在圆B外,所以(t-1)2+4>r2恒成立,所以r2<4,所以0<r<2. 综上所述,圆B的半径r的取值范围是. ( 1 ) 学科网(北京)股份有限公司 $$