精品解析：黑龙江省绥化市哈尔滨师范大学青冈实验中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

哈师大青冈实验中学2025—2026学年度开学考试 高二数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 设表示复数z的共轭复数，若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 从某校高一新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，将数据从小到大排序（单位：cm）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175.若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为（　　）. A. 171 B. 172 C. 173 D. 174 3. 田忌赛马的故事每个人都耳熟能详，众所周知，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．假设田忌与齐王有上等、中等、下等马各一匹，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A B. C. D. 4. 如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，2，则（　　） A. B. C D. 5. 在中，若，则范围是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为 A. B. C. D. 7. 中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量（单位：克）与药物功效（单位：药物单位）之间满足．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量的平均值为5克，标准差为克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为（ ） A. 18药物单位 B. 15药物单位 C. 20药物单位 D. 10药物单位 8. 在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共小3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分） 9. 已知复数（其中i为虚数单位）下列说法正确的是（ ） A. 复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B. z可能为实数 C. D. 的实部为 10. 如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E. 盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是（ ） A. A，B两个盒子串联后畅通的概率为 B. D，E两个盒子并联后畅通的概率为 C. A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 存在点，使得直线平面 B. 过三点平面截正方体所得的截面的面积为 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为 D. 的最小值为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数满足①；②，则在复平面内所对应的图形的面积为______. 13. 若均为单位向量，且，则取值范围是_____ 14. 如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是___________. 四，解答题（本题共5个小题，其中15小题13分，16.17小题每题15分，18.19小题每题17分，共77分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 16. 在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点． （1）若，求x－y的值； （2）求的取值范围； （3）若为线段的中点，直线与相交于点M，求·． 17. 2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分(满分100分)，根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图，已知评分在[80，100]的居民有600人 满意度评分 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意 （1）求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数; （2）定义满意度指数=(满意程度的平均分)/100，若<0.8，则防疫工作需要进行大调整，否则不需要大调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否带要进行大调整?(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) （3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民评分在[40，50).[50，60)中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，列出抽取的所有基本事件并求这2人中仅有一人对防疫工作的评分在[40，50)内的概率 18. 如图，正方体，棱长为a，E，F分别为、上的点，且. （1）当x为何值时，三棱锥的体积最大？ （2）求三棱锥体积最大时，二面角的正切值； （3）求异面直线与所成的角的取值范围. 19. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． （1）已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学2025—2026学年度开学考试 高二数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 设表示复数z的共轭复数，若复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算，再化简，根据共轭复数概念即可得. 【详解】因为，所以，因此，． 故选：C 【点睛】本题主要考查了复数模的计算，复数的除法运算和共轭复数的概念，属于基础题. 2. 从某校高一新生中随机抽取一个容量为20的身高样本，将数据从小到大排序（单位：cm）：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，x，174，175.若样本数据的第90百分位数是173，则x的值为（　　）. A. 171 B. 172 C. 173 D. 174 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法求解． 【详解】∵20×90%=18， ∴样本数据的第90百分位数是第18项和第19项数据的平均数， 故，解得x=172． 故选：B 3. 田忌赛马的故事每个人都耳熟能详，众所周知，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．假设田忌与齐王有上等、中等、下等马各一匹，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列出随机试验从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛的样本空间，再确定事件田忌的马获胜所包含的样本点的个数，利用古典概型概率公式求概率. 【详解】依题意，记田忌的上等马、中等马、下等马分别为，，， 齐王的上等马、中等马、下等马分别为，，. 由题意可知，可能的比赛有方案有： ，，，，，，，，，共9种， 其中田忌可以获胜的事件为，，，共3种， 则田忌的马获胜的概率为. 故选：A. 4. 如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，2，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用向量的三角形法则以及基本定理即可求得结论． 【详解】由梯形ABCD中，ABCD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，2， 则 ； 故选：C 【点睛】本题考查向量的三角法则、平面向量基本定理，属于基础题. 5. 在中，若，则范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意确定，再根据正弦定理以及二倍角公式得，，求解的取值范围即可. 【详解】为内角，. ，即. 由正弦定理可知： 则，即. 故选：A 【点睛】本题考查正弦定理以及二倍角公式，属于中档题. 6. 我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱，其中，若，当“阳马”即四棱锥体积最大时，“堑堵”即三棱柱的表面积为 A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：由四棱锥的体积是三棱柱体积的，知只要三棱柱体积最大，则四棱锥体积也最大，求出三棱柱的体积后用基本不等式求得最大值，及取得最大值时的条件，再求表面积． 详解：四棱锥的体积是三棱柱体积的，，当且仅当时，取等号． ∴． 故选C． 点睛：本题考查棱柱与棱锥的体积，考查用基本不等式求最值．解题关键是表示出三棱柱的体积． 7. 中医药，是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，反映了中华民族对生命、健康和疾病的认识，具有悠久历史传统和独特理论及技术方法的医药学体系，是中华民族的瑰宝．某科研机构研究发现，某品种中医药的药物成分甲的含量（单位：克）与药物功效（单位：药物单位）之间满足．检测这种药品一个批次的6个样本，得到成分甲的含量的平均值为5克，标准差为克，则估计这批中医药的药物功效的平均值为（ ） A. 18药物单位 B. 15药物单位 C. 20药物单位 D. 10药物单位 【答案】B 【解析】 【分析】设这6个样本中成分甲的含量分别为，，，，，，平均值为，根据方差概念计算出，再计算出，可得． 【详解】设这6个样本中成分甲的含量分别为，，，，，，平均值为， 则， 所以． 于是，则． 故选：B． 【点睛】本题考查均值和方差的概念，掌握均值与方差的计算公式是解题关键．本题还考查统计与数学文化，考查数据处理能力． 8. 在所在的平面上有一点，满足，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令是的中点，利用平面向量的线性运算，可得，从而有∥，即得，进而可求出三角形面积之比. 详解】由得, 即, 令是的中点，则, 所以 所以∥， 所以, 即 故答案为：D. 二、选择题（本题共小3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分） 9. 已知复数（其中i为虚数单位）下列说法正确的是（ ） A. 复数z在复平面上对应的点可能落在第二象限 B. z可能为实数 C. D. 的实部为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，得，得，可判断A选项；当虚部时，可判断B选项；由复数的模的计算和余弦的二倍角公式可判断C选项；由复数的除法运算得的实部是，可判断D选项； 【详解】因为，所以，所以，所以，所以A选项错误； 当时，复数z是实数，故B选项正确； ，故C选项正确； ，的实部是，故D选项正确； 故选：BCD. 【点睛】本题考查复数的概念，复数的模的计算，复数的运算，以及三角函数的恒等变换公式的应用，属于中档题. 10. 如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，设5个盒子分别被断开为事件A，B，C，D，E. 盒中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率，则下列结论正确的是（ ） A. A，B两个盒子串联后畅通的概率为 B. D，E两个盒子并联后畅通的概率为 C. A，B，C三个盒子混联后畅通的概率为 D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、对立事件的概率公式，结合串并联的特征逐项计算即得. 【详解】依题意，， 对于A，A,B两个盒子畅通的概率为，A正确； 对于B，D,E两个盒子并联后畅通的概率为，B错误； 对于C，A,B,C三个盘子混联后畅通的概率为，C正确； 对于D，根据上述分析可知，当开关合上时,电路畅通的概率为，D正确. 故选：ACD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ） A. 存在点，使得直线平面 B. 过三点的平面截正方体所得的截面的面积为 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正方体的性质，结合线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可判断ABC的正误，利用展开法，结合余弦定理计算可求得的最小值，进而判定D. 【详解】对于A，过点与平面平行的直线都在过点与平面平行的平面内， 易知过与平面平行的平面截正方体的截面为如图 所示的六边形，其各顶点都是正方体的相应棱的中点， 由于，平面，平面， ∴平面与直线平行，∴平面与线段没有公共点， 即点在平面外，点在平面内，所以不存在点， 使得平面平面，故A错误； 对于B，∵正方体的对面互相平行，∴过三点的平面截正方体的 对面所得的截线互相平行，又∵点为线段的中点， ∴截面交于其中点，连接，则四边形即为所求截面， 显然为等腰梯形，且， 梯形的高， 面积为，故B正确； 对于C，∵，平面，， ∴平面，又∵，∴点到平面的距离为定值， 又∵的面积为定值，∴当点在线段上运动时， 三棱锥的体积不变，当点与点重合时， ， 故C正确； 对于D，将矩形展开到与等腰直角三角形在同一平面内，如图所示， ， 当共线时取等号，故D错误. 故选：BC. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若复数满足①；②，则在复平面内所对应的图形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】本题首先可以令，然后找出对应的图形，再然后找出对应的图形，最后通过计算即可得出结果. 【详解】令，则复数对应的点坐标为， 因为，所以， 对应的图形为以原点为圆心、以为半径的圆及其外部， 因为，， 所以， 对应的图形为以为圆心、以为半径的圆及其内部， 如图所示： 故所求的图形的面积为， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，能否准确找出以及所对应的图形是解决本题的关键，考查推理能力，考查数形结合思想，是中档题. 13. 若均为单位向量，且，则的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 【分析】由题意及模长公式求出，再结合数量积公式计算即可. 【详解】因为且均为单位向量， 所以， 所以， 因为， 所以，所以， 因为， 所以，即. 故答案为：. 14. 如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是，再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出取值范围． 【详解】由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是， 不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，sin∠AOA1=， sin∠C1OA1= ， ∴的取值范围是. 【点睛】本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题． 四，解答题（本题共5个小题，其中15小题13分，16.17小题每题15分，18.19小题每题17分，共77分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A． （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决； （2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【小问1详解】 方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 方法五：利用万能公式求解 设，根据万能公式，， 整理可得，， 解得，根据二倍角公式，， 又，故 【小问2详解】 由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 16. 在三角形中，，，，是线段上一点，且，为线段上一点． （1）若，求x－y的值； （2）求的取值范围； （3）若为线段的中点，直线与相交于点M，求·． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将化成和后，与已知条件比较得，由此即可求出结果； （2）设，（），将用表示，根据数量积公式，转化为二次函数，即可求出结果； （3）先根据向量共线和三点共线可知存在实数，使得，存在使得，化简整理，根据系数相等可得，再与进行数量积运算即可得到结果． 【小问1详解】 解：（1）∵，所以 ∵， 又， ∴，∴； 小问2详解】 解：设，（） 因为在三角形中，，，， ∴， ∴ ； 又，所以， 故取值范围为 【小问3详解】 解：∵三点共线， ∴存在实数，使得， ∵为的中点， ∴， 又三点共线，∴存在使得， ∴， ∴，解得， . 17. 2020年新冠肺炎疫情期间，某区政府为了解本区居民对区政府防疫工作的满意度，从本区居民中随机抽取若干居民进行评分(满分100分)，根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图，已知评分在[80，100]的居民有600人 满意度评分 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意 （1）求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数; （2）定义满意度指数=(满意程度的平均分)/100，若<0.8，则防疫工作需要进行大调整，否则不需要大调整.根据所学知识判断该区防疫工作是否带要进行大调整?(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) （3）为了解部分居民不满意的原因，从不满意的居民评分在[40，50).[50，60)中用分层抽样的方法抽取6名居民，倾听他们的意见，并从6人中抽取2人担任防疫工作的监督员，列出抽取的所有基本事件并求这2人中仅有一人对防疫工作的评分在[40，50)内的概率 【答案】（1）0.025;1000； （2）不需要； （3）. 【解析】 【分析】(1)频率分布直方图中面积表示频率，且频率和为1；总人数等于频数比所占频率. (2)第一步求平均数，第二步计算满意度指数，判断是否满足标准. (3)利用分层抽样，计算各组人数，利用列举法罗列所有基本事件，求比值即可. 【小问1详解】 解得. 【小问2详解】 第一步求平均分 第二步满意度指数 所以不需要. 【小问3详解】 第一步求解在[40，50)的总人数 ,在[50，60)中的总人数,共抽取6人，所以在[40，50)的抽2人,记为；在[50，60)中抽4人，记为.所以抽取的所有基本事件有 共15个基本事件，其中仅有一人对防疫工作的评分在[40，50)内的基本事件有8个，所以概率为. 18. 如图，正方体，棱长为a，E，F分别为、上的点，且. （1）当x为何值时，三棱锥的体积最大？ （2）求三棱锥的体积最大时，二面角的正切值； （3）求异面直线与所成的角的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）直接将三棱锥的体积用表示出来，再求二次函数的最大值； （2）取中点O，由（1）知，E，F为中点时，三棱锥的体积最大，连接，说明即为二面角的平面角，再求出的正切值； （3）在上取点H使，则（或补角）是异面直线与所成的角，再解三角形，用表示出，从而求出异面直线与所成的角的取值范围. 【详解】解：（1）因为正方体，所以平面 所以， 当时，三棱锥的体积最大. （2）取中点O，由（1）知，E，F为中点时，三棱锥的体积最大. 所以，因此，， 所以就是二面角的平面角. 在中， 在中，， 三棱锥的体积最大时，二面角的正切值为. （3）在上取点H使，则在正方形中， 所以，，所以， 所以（或补角）是异面直线与所成的角. 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， 因为，所以，所以， 所以，所以 所以异面直线与所成的角的取值范围为. 【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式，几何法求二面角的余弦值，求异面直线所成的角，还结合考查了求函数的最值和取值范围，属于中档题. 19. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）． （1）已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 【答案】（1）① ；②证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①记事件为“至少收到一次0”，利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得；②记事件为“第三次收到的信号为1”，事件为“三次收到的数字之和为2”，证明即可； （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，事件为“采用单次传输方案时译码为0”，根据题意可得，解不等式可解. 【小问1详解】 ①记事件为“至少收到一次0”，则． ②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，则． 记事件为“三次收到的数字之和为2”， 则． 因为， 所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． 【小问2详解】 记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则． 记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则． 根据题意可得，即， 因为，所以， 解得，故的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：利用相互独立事件、互斥事件概率公式计算各事件的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $