第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题课件-2026届高三数学一轮复习

第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 1 与球有关的切、接问题是历年高考的热点内容，一般以客观题 的形式出现，主要考查空间想象能力、计算能力.其关键点是利用转 化思想，把球的切、接问题转化为平面问题或特殊几何体来解决或 转化为特殊几何体的切、接问题来解决. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 2 类型一 外接球问题 考向1 柱体的外接球 典例1 已知圆柱的高,球是圆柱的外接球,且球 的表 面积是圆柱侧面积的2倍,则球 的半径为( ). C A.4 B.32 C. D. 解析 设圆柱的底面半径为,球的半径为,则 .因 为球的表面积是圆柱侧面积的2倍,所以 , 可得,所以,所以,则 .故选C. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 3 考向2 锥体的外接球 典例2 已知正三棱锥的所有顶点都在球 的球面上,棱锥的 底面是边长为的正三角形,侧棱长为,则球 的表面积为 ( ). A A. B. C. D. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 4 解析 如图,延长交球于点,设 的外心 为,连接, , 由正弦定理得 , 所以 . 易知 平面 ,由勾股定理可知,三棱锥 的高 . 因为是以为直径的球 上一点, 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 5 所以 . 由射影定理可知,球的直径 , 因此球的表面积为 .故选A. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 考向3 台体的外接球 典例3 （2022·新高考Ⅱ卷）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长 分别为和 ,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ). A A. B. C. D. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 7 解析 如图所示,设该正三棱台上、下底面所在 圆面的半径分别为, ， 则, , 解得, .设该球的球心到上、下底面 的距离分别为,,球的半径为 ,所以 , , 故或 , 即或 , 解得,符合题意,所以球的表面积 . 故选A. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 8 考向4 组合体的外接球 典例4 我国有着丰富悠久的“印章文化”,古 时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成, 本是官员或私人签署文件时代表身份的信 物,后因其独特的文化内涵,也被作为装饰物 来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件, 除去顶部的环以后可以看作是由一个正四棱柱和一个正四棱锥组成 的几何体,如图2. 已知正四棱柱和正四棱锥的高相等,且底面边长均 为2,若该几何体的所有顶点都在同一个球的表面上,则这个球的表面 积为____. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 9 解析 如图,设正四棱柱和正四棱锥的高都为 , 则其外接球的半径 , 解得,所以,故球的表面积 . 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 10 方法总结 求解外接球问题的几种方法 （1）定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心， 借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上， 再根据球心到其他顶点的距离是半径，列关系式求解即可. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 11 （2）补形法：①侧面为直角三角形或正四面体或对棱均相等 的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解;②若直棱柱的底面有 外接圆，可以补成圆柱求解;③若球为正方体的外接球，则 为正方体的棱长 ;④若球为正方体的内切球，则 为正方体的棱长 ;⑤若球与正方体的各棱相切，则 为正方体的棱长 ;⑥长方体的共顶点的三条棱长分别为 ，，，外接球的半径为，则 ;⑦正四面体的 外接球的半径为该正四面体的棱长 . 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 12 （3）截面法：①定球心.如果是内切球，球心到切点的距离相 等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径.②作 截面.选准最佳角度作出截面，实现空间问题平面化的目标. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 13 1.在直三棱柱中,, .若该直三棱 柱的外接球的表面积为 ,则该直三棱柱的高为( ). D A.4 B.3 C. D. 练习 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 14 解析 因为 ,所以可以将直三棱柱 补成长方体 ,如图， 则该直三棱柱的外接球就是长方体的外接球,外接球 的直径等于长方体的体对角线长.设外接球的半径为 ,则 ,解得 .设该直三棱柱的高为 ,则,即,解得 ,所以该直三棱 柱的高为 . 故选D. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 15 2.如图所示的粮仓可近似看作一个圆锥和圆台的组 合体,且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合.已 知圆台的较小底面圆的半径为1,圆锥与圆台的高分 别为 和3,若圆锥的顶点，圆台的上、下底面 的圆周都在球的表面上，则球 的表面积是 ( ). B A. B. C. D. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 16 解析 设外接球的半径为,球心为,圆台较小底面圆的圆心为 ,则 ,而,故 ,解 得,所以此组合体外接球的表面积 . 故选B. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 17 3.已知在三棱锥中, 平面, , ,,则三棱锥 外接球的表面积为( ). B A. B. C. D. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 18 解析 因为,,所以 . 又 平面,所以可把三棱锥 放在如图所 示的长方体中, 此长方体的长、宽、高分别为,, ,则三棱锥 的外接球即长方体的外接球,长方体的体对角线 即长方体外接球的直径,易得长方体的体对角线的长为6, 则外接球的 半径,所以三棱锥外接球的表面积 . 故选B. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 19 类型二 内切球问题 考向1 截面法解决内切球问题 典例5. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆 锥内半径最大的球的体积为_ ____ 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 20 解析 （法一）易知圆锥内半径最大的球为该圆锥 的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中,，且为 边上的中点. 设内切圆的圆心为 ， 由于 ，故 . 设内切圆的半径为，则 ， 解得，故其体积 . 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 21 （法二：相似法）因为圆锥内半径最大的球为该圆 锥的内切球（如图）. 圆锥的母线为,底面半径为 ,则其高 . 设该内切球与母线切于点,则 . 由,得 . 故 ， 所以,则 . 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 22 考向2 等体积法解决内切球问题 典例6 已知在三棱锥中，顶点在底面 上的射影为 的内心，三个侧面的面积分别为12,16,20，且底面的面积为 24，则三棱锥 的内切球的半径为_ ___. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 23 解析 如图所示，设 ， ，，设在底面 的 射影为，过点分别作于点 ， 于点，于点,连接, , ,,则,, . 依题意可得，为 的内心， 则 , 故 . 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 24 因为，， ,所 以 ，所以 . 设，， , 由,可得，即， ， .由,得 . 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 设内切圆的半径为，则 ,解得 ，故，则 , 所以 . 设三棱锥内切球的半径为 ,则 ，解 得 . 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 方法总结 求解内切球问题的关键点 （1）求解多面体的内切球问题的关键是求内切球的半径. （2）求多面体内切球的半径,往往可用“等体积法”. <m></m>. （3）正四面体内切球的半径是高的<m></m>,外接球的半径是高的<m></m>. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 27 1.我国古代数学名著《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四 面体称为鳖臑.在封闭的鳖臑内有一个体积为的球,若 平面,,,则 的最大值是( ). C A. B. C. D. 练习 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 28 解析 球与三棱锥的四个面均相切时球的体积最大, 设此时球的半径为 ,则 , 即,解得 ， 所以球的体积的最大值为 . 故选C. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 29 2. 如图，有一个正三棱锥木块，高 为2，底 面边长为4，若用这块木块加工一个最大的球，则这个球的体积为 ____. 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 30 解析 （法一：等体积法）如图，延长 交 于点，可知为的中点，连接 ,则 , . 设为球心，球的半径为 ,由 ， 得 ， 可得 ， 解得，所以这个球的体积 . 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 31 （法二：截面法）如图所示，设 为球心， 球的半径为 , 因为，所以 ， 即，解得 ， 所以这个球的体积 . 第49课时 强化拓展 与球有关的切、接问题 32 $$