第 51 课时 空间直线、平面的平行课件-2026届高三数学一轮复习

第 51 课时 空间直线、平面的平行 必备知识·逐点梳理 关键考点·核心突破 1 1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观 感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平 面与平面的平行关系的定义,归纳出有关平行的 性质定理和判定定理,并加以证明. 2.能运用已获得 的结论证明空间 基本图形位置关 系的简单命题. 第 51 课时 空间直线、平面的平行 2 必备知识·逐点梳理 3 一、直线与平面平行 1.直线与平面平行的定义：直线与平面 ____________,则称直线 与平面 平行. 没有公共点 第 51 课时 空间直线、平面的平行 4 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判 定 定 理 如果平面____一条直线与 此平面____的一条直线平 行,那么该直线与此平面 平行 ______________________________________________________ ____________ ________ ______ 外 内 ,, 第 51 课时 空间直线、平面的平行 5 文字语言 图形表示 符号表示 性 质 定 理 一条直线和一个平面平 行,如果过该直线的平面 与此平面相交,那么该直 线与______平行 _______________________________________________________ ____________ ___________ 交线 , , 续表 第 51 课时 空间直线、平面的平行 6 （1）若一条直线和平面内一条直线平行,则这条直线和这个平面平 行.( ) × （2）若一条直线平行于一个平面内的两条直线，则这条直线平行 于这个平面.( ) × （3）若直线与平面 内的无数条直线平行，则 .( ) × （4）若直线平面 , ,则过点且平行于直线 的直线有无 数条.( ) × 判断 第 51 课时 空间直线、平面的平行 7 二、平面与平面平行 1.平面与平面平行的定义：没有公共点的两个平面叫作平行平面. 2.判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判 定 定 理 如果一个平面内的两 条__________与另一 个平面平行,那么这两 个平面平行 ______________________________________________________ _______________ _______________ 相交直线 , ,, , 第 51 课时 空间直线、平面的平行 8 文字语言 图形表示 符号表示 性 质 两个平面平行,则其中 一个平面内的直线 ______于另一个平面 ________________________________________________ _____________ 性 质 定 理 两个平面平行,如果另 一个平面与这两个平 面______,那么两条 ______平行 ___________________________________________________ _______________ ___________ 平行 , 相交 交线 ,, 续表 第 51 课时 空间直线、平面的平行 9 （1）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平 面平行.( ) × （2）若直线 平面 ，直线 平面 ，，则 .( ) × （3）一个平面内的两条相交直线与另一个平面的两条相交直线分 别对应平行，那么这两个平面平行.( ) √ （4）如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行 或异面.( ) √ 判断 第 51 课时 空间直线、平面的平行 10 提醒（1）三种平行关系的转化： （2）平行关系中的三个重要结论 ①垂直于同一条直线的两个平面平行,即若 , ,则 . ②平行于同一个平面的两个平面平行,即若 , ,则 . ③垂直于同一个平面的两条直线平行,即若 , ,则 . 第 51 课时 空间直线、平面的平行 11 （3）平行关系有关的性质 ①夹在两个平行平面之间的平行线段的长度相等. ②两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. ③同一条直线与两个平行平面所成的角相等. 第 51 课时 空间直线、平面的平行 12 关键考点·核心突破 13 考点一 直线与平面平行 热点考情:直线与平面平行作为空间平行关系的载体，因其全面 考查直线与平面平行的判定、性质定理而成为高考的热点,涉及空间 平行关系的判断、证明以及在实际问题中的应用. 第 51 课时 空间直线、平面的平行 14 考向1 直线与平面平行的判定 例1 如图，在四棱锥中， 是正方形 的中心，，分别是, 的中点.求证： （1）（中位线定理）平面 ； （2）（构造平行四边形）平面 . 第 51 课时 空间直线、平面的平行 15 解析 （1）如图，连接 ， 因为,分别是， 的中点， 所以 . 又 平面， 平面 ， 所以平面 . （2）如图，取的中点,连接, , 则由中位线定理可知,且 , 第 51 课时 空间直线、平面的平行 16 又,,为 的中点， 所以,且 , 所以四边形为平行四边形，所以 . 又 平面, 平面,所以平面 . 第 51 课时 空间直线、平面的平行 考向2 直线与平面平行的性质 例2.改编题 （湘教必修）如图，四边形 是平 行四边形，是平面外一点，是的中点，在 上取一点 ，过点和作平面交平面于，求证： . 第 51 课时 空间直线、平面的平行 18 解析 连接,交于点，连接 ，如图， 因为四边形是平行四边形，所以为 的 中点. 又是的中点，所以 . 因为 平面， 平面 ， 所以平面 . 又因为 平面，平面 平面 ， 所以 . 第 51 课时 空间直线、平面的平行 19 方法总结 1.判断或证明线面平行的常用方法 （1）利用线面平行的定义（无公共点）. （2）利用线面平行的判定定理<m></m>. （3）利用面面平行的性质<m></m>. 2.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经 过已知直线作辅助平面确定交线. 第 51 课时 空间直线、平面的平行 20 如图，四边形 为长方形， ，，分别为， 的中点, 设平面 平面 .证明： （1）平面 ； （2） . 练习 第 51 课时 空间直线、平面的平行 21 解析 （1）取的中点，连接， ， 因为为的中点，所以， . 又因为四边形为长方形，所以 ， 且.因为为 的中点， 所以，，所以四边形 为 （2）由（1）知平面，又 平面，平面 平面，所以 . 平行四边形，所以 . 因为 平面， 平面，所以平面 . 第 51 课时 空间直线、平面的平行 22 考点二 平面与平面平行的判定与性质 热点考情:平面与平面平行作为空间平行关系的载体，因其全面考 查平面与平面平行的判定定理与性质定理而成为高考的热点,涉及空间 平面与平面平行关系的判断、证明以及在空间实际问题中的应用. 例3 如图，在以四边形 为底面的多面体， 中，平面， .求证： （1）平面平面 ； （2） . 第 51 课时 空间直线、平面的平行 23 解析 （1）， 平面， 平面 ， 平面 . 平面，， 平面， 平面 ， 平面平面 . （2） 平面平面 ， 又平面 平面，平面 平面 ， . 第 51 课时 空间直线、平面的平行 24 方法总结 1.证明面面平行的常用方法 （1）利用面面平行的判定定理. （2）利用垂直于同一条直线的两个平面平行<m></m>. （3）利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面， 则这两个平面平行<m></m>. 2.当已知两平面平行时，可以得出线面平行，如果要得出线线平行， 必须是与第三个平面的交线. 第 51 课时 空间直线、平面的平行 25 如图，在四棱锥中，底面 是 菱形，与交于点，， 分别是棱 ，的中点，连接，， . （1）求证：平面平面 . （2）若平面 平面 ,求证： . 练习 第 51 课时 空间直线、平面的平行 26 解析 （1）因为，分别是棱, 的中点， 所以 . 因为四边形为菱形，所以，所以 . 又 平面， 平面，所以平面 . 又是的中点，所以 . 因为 平面， 平面，所以平面 . 因为， 平面, 平面 ， 第 51 课时 空间直线、平面的平行 27 所以平面平面 . （2）由（1）可知平面平面,又平面 平面 ,平面 平面,所以 . 因为四边形为菱形，所以,故 . 第 51 课时 空间直线、平面的平行 考点三 空间平行关系的综合问题 例4 如图，在斜三棱柱中， , 分别为, 上的点. （1）当为何值时，平面 ? （2）若平面平面,求 的值. 第 51 课时 空间直线、平面的平行 29 解析 （1）如图所示，取为线段 的中 点，此时，连接，交于点 ， 连接 . 由棱柱的性质，知四边形 为平行四边 形，所以为 的中点. 在中，,分别为, 的中点， 所以 . 第 51 课时 空间直线、平面的平行 30 又因为 平面, 平面 , 所以平面 . 故当时，平面 . （2）由已知得，平面平面，且平面 平面 ,平面 平面,因此 ， 同理，，所以, . 又因为，所以，即 . 第 51 课时 空间直线、平面的平行 方法总结 解决平行问题的关键点 （1）在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“线线平行” 到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰 好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，绝 不可过于“模式化”. （2）解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明.先猜 想再证明是学习和研究的重要思想方法. 第 51 课时 空间直线、平面的平行 32 如图，在棱长为 的正方体 中，，分别是棱 ， 的中点. （1）若平面与直线交于点 ，求 的值； （2）若为棱上一点且 ， 平面，求 的值. 练习 第 51 课时 空间直线、平面的平行 33 解析 （1）如图，连接， . 因为平面平面 ，且平面 平面，平面 平面 ， 所以 ，根据空间等角定理可知， ，则 . 第 51 课时 空间直线、平面的平行 34 又，，，所以 ， 即，，故 . （2）取的中点，则为的中点，连接，则 ， 因为 平面, 平面 ， 所以平面 . 又平面， 平面， 平面 ，且 ， 第 51 课时 空间直线、平面的平行 35 所以平面平面 ， 设 平面，连接， ， 因为平面平面，平面 平面 ，平面 平面，所以 ， 又，所以四边形 为平行四边形， 同理，四边形 也是平行四边形， 所以，所以 . 第 51 课时 空间直线、平面的平行 36 $$