第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系课件-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何核心内容，覆盖空间点线面位置关系、基本事实应用、异面直线所成角等高考高频考点，严格对接新课标“抽象位置关系定义、证明简单命题”的考查要求，通过梳理三个核心考点，结合2020全国卷真题及改编题，归纳共面共线证明、线线关系判断、角的计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“考点突破+真题演练+思维建模”，如通过正方体模型证明共面问题培养几何直观（数学眼光），用构造几何体法判断线线位置关系训练逻辑推理（数学思维），总结“一作二证三求”求角步骤。帮助学生掌握解题技巧，教师可借助分层训练精准教学，助力高考冲刺。

第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 必备知识·逐点梳理 关键考点·核心突破 1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、 平面的位置关系的基础上,抽象出空间 点、直线、平面的位置关系的定义,了解 四个基本事实和一个定理. 2.能运用基本事实、定 理和已获得的结论证明 空间基本图形位置关系 的简单命题. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 必备知识·逐点梳理 一、四个基本事实 基本事实1：过不在__________上的三个点,有且只有一个平面. 符号：,,三点________ 存在唯一的平面 使,, . 基本事实2：如果一条直线上的________在一个平面内,那么这 条直线在这个平面内. 符号：,,且 , ______ 一条直线 不共线 两个点 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 ______________过该点的公共直线. 符号： ,且 ,且______. 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线______ 符号：, ______. 有且只有一条 平行 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 二、基本事实的三个推论 推论1：经过一条直线和这条直线____一点,有且只有一个平面. 推论2：经过两条______直线,有且只有一个平面. 推论3：经过两条______直线,有且只有一个平面. 外 相交 平行 （1）如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合.( ) × （2）经过两条相交直线,有且只有一个平面.( ) √ （3）两两相交的三条直线共面.( ) × 判断 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 （4）“有且只有一个平面”“确定一个平面”“共面”三者是等价的.( ) × 提醒（1）基本事实1及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共 面”的方法； （2）基本事实2的作用是判断直线是否在某个平面内； （3）基本事实3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线 共点”的理论依据； （4）基本事实4是对初中平行线的传递性在空间中的推广. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 三、空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语 言 _____________________________________________ ________________________________________ _________________________________________ 符号语 言 相交关系 图形语 言 ____________________________________________ ________________________________________ ______________________________________________ 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 相交关系 符号语 言 其他关系 图形语 言 ____________________________________________ ________________________________________ 符号语 言 , 是异面直线 续表 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 提醒（1）直线在平面外分直线与平面平行和直线与平面相交两种 情况. （2）两条直线没有公共点分直线与直线平行和直线与直线异面两 种情况. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 四、等角定理 如果空间中两个角的两条边分别__________,那么这两个角相等 或______. 对应平行 互补 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 五、异面直线所成的角 （1）定义：已知两条异面直线,,经过空间任意一点 分别作直线 ,,把与所成的角叫作异面直线与 所成的角（或夹角）. （2）范围：, . 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 关键考点·核心突破 考点一 基本事实的应用 例1 已知在正方体中,,分别为, 的中 点,, .求证： （1）,,, 四点共面; （2）若交平面于点,则,, 三点共线; （3）,, 三线交于一点. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 解析 （1）如图所示,连接 . 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 因为是 的中位线, 所以 . 在正方体中,,所以 , 所以,确定一个平面,即,,, 四点共面. （2）在正方体中,设,,三点确定的平面为 , 平面为 . 因为,所以 . 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 又,所以 ,所以是 与 的公共点. 同理,是 与 的公共点,所以 . 又,所以, ,且 , 则,故,, 三点共线. （3）因为且,所以与 相交. 设交点为,则由, 平面 , 得 平面,同理, 平面 . 又平面 平面,所以 , 所以,, 三线交于一点. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 方法总结 共面、共线、共点问题的证明 （1）共面：先确定一个平面，再证其余的线（或点）在这个 平面内. （2）共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条 直线上. （3）共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过 该点. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 已知空间四面体（如图所示），， 分 别是，的中点，，分别是， 上 的点，且， .求证： （1），，， 四点共面； （2），， 三线共点. 练习 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 解析 （1）如图，连接，，因为， 分 别是，的中点，所以 . 又因为， ， 所以，所以 ， （2）由题意得与直线 不平行，但共面， 设，所以 平面， 平面 . 因为平面 平面，所以 ， 所以，， 三线共点. 所以，，， 四点共面. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 考点二 空间两直线位置关系的判断 例2（1）空间中有三条线段，，，且 ，那 么直线与 的位置关系是( ). D A.平行 B.异面 C.相交或平行 D.平行、异面和相交均有可能 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 解析 根据条件作出示意图，易得以下三种情况. 由图可知直线与 有相交、平行、异面三种情况.故选D. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 （2）（多选题）如图所示，在正方体 中，，分别为棱 ， 的中点，则下列说法正确的是( ). CD A.直线与是相交直线 B.直线与 是平行直线 C.直线与是异面直线 D.直线与 是异面直线 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 解析 因为点在平面外，点在平面内，直线 在平面内，不过点，所以直线与 是异面直线， 故A错误；取的中点，连接（图略），则，但 与相交，所以与不平行，故B错误；因为点与直线 都在平面内，点在平面外，不过点 ，所以 与是异面直线，故C正确；同理D正确.故选 . 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 方法总结 判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体 （如长方体、空间四边形等）模型来判断；二是排除法,特别地，对 于异面直线的判定常用到结论“平面外一点<m></m>与平面内一点<m></m>的连线 和平面内不经过点<m></m>的直线是异面直线”. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 1.如图，，，，分别是菱形的边，，， 上 的点，且，，， .现将 沿折起，得到空间四边形 ，在折起的过程中，下列 说法正确的是( ). 练习 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 A.直线， 有可能平行 B.直线， 一定异面 C.直线， 一定相交，且交点 一定在直线 上 D.直线， 一定相交，但交点 不一定在直线 上 √ 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 解析 连接, ,如图. ， ， ， ，且 . 又，， ， ，且 ， 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 ，且， 四边形 为平面四边形，故直线 ，一定共面，故B错误；若直线与 平行，则四边形 为平行四边形，可得，与 矛盾，故A错误； 由，且，，，可得直线 ， 一定相交，设交点为，则，又 平面 ，可得 平面，同理， 平面，而平面 平面 ，，即直线， 一定相交，且交点一定在直 线 上，故C正确，D错误.故选C. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 2.如图,直四棱柱 的底面是正方形, 已知,,点,分别在棱, 上,且 , ,则( ). B A.,且直线与 是相交直线 B.,且直线与 是异面直线 C.,且直线与 是异面直线 D.,且直线与 是相交直线 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 解析 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 连接,,如图，则 , . 如图,取的中点,连接,,,,则,故,,, 四点共面. 点在平面外,故直线经过平面 内一点和平面外一 点,故直线和平面内直线 异面.故选B. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 考点三 异面直线所成的角 例3.改编题 （人A选修①P练习T 改编）如图，在三棱锥 中， ， ， ，分别是， 的中点，则异面直线 ， 所成角的余弦值为___. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 解析 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 连接，取的中点，连接，,如图，则 ， 是异面直线， 所成的角（或其补角）. ， . 又， ， ， 异面直线，所成角的余弦值为 . 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 例4 （2021·全国乙卷）在正方体中，为 的 中点，则直线与 所成的角为( ). D A. B. C. D. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 解析 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 如图，连接,,因为，所以为直线与 所 成的角（或其补角）. 因为 平面，所以.又 ， ，且 平面, 平面 , 所以 平面.又因为 平面 , 所以 . 设该正方体的棱长为2，则, ， 则,又因为,,所以 .故选D. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 方法总结 求异面直线所成角的方法 （1）求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般 有三种：利用图中已有的平行线平移;利用特殊点（线段的端点或中 点）作平行线平移;补形平移. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 （2）求异面直线所成角的三步：一作、二证、三求. ①一作：根据定义作平行线,作出异面直线所成的角. ②二证：证明作出的角是异面直线所成的角. ③三求：解三角形,求出所作的角. 注意：若求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;若求出的 角是钝角,则它的补角才是要求的角. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 1.如图所示,圆柱的底面半径为1,高为2, 是 一条母线,是圆的直径, 是上底面圆周上一 点, ,则异面直线与 所成角的余 弦值为( ). C A. B. C. D. 练习 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 解析 连接,设的延长线交下底面圆周上的点为,连接 ,易 知（或其补角）为异面直线与所成的角,连接 （图略）.在中, ,, ,得 , . 又, , , 所以 , 即异面直线与所成角的余弦值为 .故选C. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 2.在直三棱柱中, , ,,分别为, 的中点,则异 面直线与 所成角的余弦值为( ). D A. B. C. D. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 解析 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 设,取的中点,连接,,,则 . 因为,分别为,的中点,所以, . 因为,,所以, , 所以四边形为平行四边形,所以 , 所以为异面直线与 所成的角或其补角. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 因为,,,分别为, 的中点, 所以, , , 所以 .故选D. 第 50 课时 空间中点、直线、平面之间的位置关系 $$