第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积课件-2026届高三数学一轮复习

第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积 和体积 必备知识·逐点梳理 关键考点·核心突破 1 1.利用实物、计算机软 件等观察空间图形,认识 柱、锥、台、球及简单 组合体的结构特征,能运 用这些特征描述现实生 活中简单物体的结构. 2.知道球、棱柱、 棱锥、棱台、圆 柱、圆锥、圆台的 表面积和体积的计 算公式,能用公式解 决简单的实际问题. 3.能用斜二测画法画 出简单空间图形 （长方体、球、圆 柱、圆锥、圆台、棱 柱、棱锥、棱台及简 单组合体）的直观 图. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 2 必备知识·逐点梳理 3 一、空间几何体的结构特征 1.多面体的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 图形 ____________________________________________ ______________________________________________ _____________________________________________ 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 4 棱柱 棱锥 棱台 底面 互相______且 ______ 多边形 互相______且 ______ 侧棱 ____________ 相交于______但 不一定相等 延长线交于 ______ 侧面形状 ____________ ________ ______ 平行 全等 平行 相似 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 续表 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 5 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？ 答案 不一定.如图所示，此几何体有两个面互 相平行，其余各面都是平行四边形，很明显这 个几何体不是棱柱，因此，有两个面互相平行， 其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱 柱. 思考 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 6 提醒（1）棱柱概念中的“侧棱平行且相等”要特别关注. （2）棱台概念中的“上下两底相似”要特别关注. 2.旋转体的结构特征 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 7 圆柱 圆锥 图形 _____________________________________ _________________________________________ 母线 互相平行且相等，______于底面 相交于______ 轴截面 ______ ____________ 侧面展开图 ______ ______ 垂直 一点 矩形 等腰三角形 矩形 扇形 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 8 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 _________________________________________ __________________________________________________ 续表 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 9 圆柱 圆锥 母线 延长线交于______ 轴截面 __________ ____ 侧面展开图 ______ 一点 等腰梯形 圆 扇环 续表 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 10 二、直观图 1.画法：常用____________. 2.规则： （1）原图形中轴、轴、轴两两垂直，直观图中轴、 轴的夹 角为 或 ，轴与轴和 轴所在平面______. （2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍______________， 平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度______，平行于 轴 的线段，长度在直观图中变为原来的______. 斜二测画法 垂直 平行于坐标轴 不变 一半 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 11 提醒 原图形与直观图面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系： （1） ; （2） . 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 12 三、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 _________________________________________________ _________________________ _________________________ 侧面积公式 _____ ____ __________ 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 13 四、柱、锥、台、球的表面积和体积 几何体 表面积 体积 柱体 _____ 锥体 台体 球 ______ 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 14 柱体、锥体、台体的体积之间有什么关系？ 答案 思考 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 15 提醒 与体积有关的几个结论 （1）一个组合体的体积等于它的各部分体积的和. （2）底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等 （祖暅原理）. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 16 关键考点·核心突破 17 考点一 基本立体图形 热点考情:基本立体图形是考查空间想象能力的载体,且特殊几 何体的概念及性质是高考的热点. 考向1 结构特征 例1.改编题（北师大必修②PT 改编）下列说法正确的是( ). 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 18 A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱 B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 C.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的 公共边都互相平行的几何体是棱柱 D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分形成的几何体是棱台 √ 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 解析 对于A，有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体不一定 是棱柱，可能是棱台或组合图形，故A错误； 对于B，有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几 何体才是棱锥，故B错误； 对于C，根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，故C 正确； 对于D，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部 分形成的几何体才是棱台，故D错误.故选C. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 20 考向2 直观图 例2 如图,直角梯形满足 , , ,它是水平放置的平 面图形的直观图,则该平面图形的周长是 ( ). C A. B. C. D. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 21 解析 由题意得, . 由可得 . 因为 ， 所以 . 结合斜二测画法的规则,将直观图即直角梯形 还原成平面图 形，如图所示, 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 22 由勾股定理可得 , ， 所以满足题意的平面图形的周长是 .故 选C. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 考向3 展开图 例3 如图，在正四棱锥 中，侧棱长均为 4，且相邻两条侧棱的夹角为 ，， 分别是 线段，上的一点，则 的最小 值为( ). D A.4 B.8 C. D. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 24 解析 如图，将正四棱锥的部分侧面展开，则 的最小值为 . 在中，， ， 则 .故选D. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 25 方法总结 空间几何体结构特征的判断技巧 （1）说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可. （2）斜二测画法中,平行于<m></m>轴、<m></m>轴的线段的平行性不变、长 度不变,平行于<m></m>轴的线段的平行性不变、长度减半. （3）在解决空间折线（段）最短问题时,一般考虑其展开图,采 用化曲为直的策略. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 26 1.（多选题）下列说法正确的是( ). AD A.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为 六棱锥 D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 练习 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 27 解析 若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四 棱柱的底面为正方形，且侧棱垂直于底面，所以该四棱柱为正四棱 柱，故A正确；棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的， 而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱 台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；当棱锥的各 个侧面的共顶点的角之和是 时，各侧面构成平面图形，故这 个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；若每个侧面都是长方形，则说 明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D 正确.故选 . 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 28 2.一水平放置的平面四边形 的直观图O' A'B'C'如图所示，其中 ， 轴，轴， 轴，则四 边形 的面积为( ). C A.18 B. C. D.12 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 29 解析 如图，记与轴的交点为 ，因为 轴，轴，所以 . 又轴，所以四边形 为平行四 边形，所以 . 由题意可知 ， 因为轴， ， 所以，所以 ， 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 30 则 ， 所以 . 故选C. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 3.有一根高为 ，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管 上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则 铁丝的最短长度为____. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 32 解析 如图，把圆柱的侧面展开图再延展一倍，所以铁丝的最短长度为 的长，此时 . 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 33 考点二 空间几何体的表面积与体积 热点考情:空间几何体的表面积与体积问题是高考命题热点,试 题常以数学文化、生活实践等为命题情境，题型基本为客观题. 考向1 表面积 例4（1）以边长为6的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方 形旋转一周，所得几何体的侧面积为( ). D A. B. C. D. 解析 由题意可知所得几何体为圆柱体，其底面半径 ，高 ，则侧面积 .故选D. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 34 （2）已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角 形，底面等腰三角形底边上的高为 ，则这个三棱锥的表面积为 ( ). C A. B. C. D. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 35 解析 三棱锥如图所示， ， ， 由题意得， 都是等腰直角三角形， 则， ， 则， ， 则该三棱锥的表面积为 .故选C. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 36 方法总结 空间几何体表面积的求解策略 （1）旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用, 并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系. （2）多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积注 意对衔接部分的处理. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 37 考向2 体积 例5（1）（2024·新高考Ⅰ卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧 面积相等，且它们的高均为 ，则圆锥的体积为( ). B A. B. C. D. 解析 设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为 ，因为它 们的侧面积相等，所以 ，即 ，解得，故圆锥的体积为 . 故选B. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 38 （2）（2024·天津卷）一个五面体 . 已知 ，且两两之间距离为1， ，， ，则该五面体的体 积为( ). C A. B. C. D. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 39 解析 用一个完全相同的五面体 （顶点与五面体 一一对应）与该五 面体相嵌，使得,,分别与,, 重合，因为 ，且两两之间的距离为1， , , ，所以形成的新组合体为一个三 棱柱. 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）是边长为1的等边三角形， 侧棱长为 ， .故选C. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 40 （3）（2024·全国甲卷）已知圆台甲、乙的上底面半径均为 ,下底 面半径均为，圆台的母线长分别为, ，则圆台 甲与乙的体积之比为_ __. 解析 由题可得两个圆台的高分别为 ， ， 所以 . 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 41 方法总结 求空间几何体体积的常用方法 公式法 规则几何体的体积，直接利用公式 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规 则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特 别是求三棱锥的体积 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 42 1.如图,某沙漏由上、下两个圆锥组成, 圆锥的底面直径和高均为16.当细沙全 部在上面的圆锥内时,其高度为圆锥高 度的 （中间衔接的细管长度忽略不 D A. B. C. D. 计）.当细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形 沙堆,则此沙堆的侧面积为( ). 练习 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 43 解析 细沙在上面的圆锥内时的体积 ,圆锥 形沙堆的底面半径为8，设其高为,则 ,得 ,所以下部圆锥形沙堆的母线长 ,故此沙 堆的侧面积 .故选D. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 44 2.（2023·新高考Ⅰ卷）在正四棱台中， ， ， ，则该棱台的体积为_ ____. 解析 如图，过点作，垂足为 ， 易知为正四棱台 的高. 因为，， ， 所以 ， ， 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 45 故 ， 则 ， 所以所求棱台的体积 . 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 3.如图,在多面体中,已知四边形 是边长为1的正方形, 且,均为正三角形,, ,求该多面体的体积. 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 47 解析 如图,分别过点,作 的垂线,垂足分别 为,,连接, ， 则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱. 依题意,三棱锥的高 ,直三棱柱 取的中点,连接,则 , 的高 , 则 . 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 48 所以 , 所以 . 第 48 课时 基本立体图形、简单几何体的表面积和体积 $$