第4节 单调性与最大(小)值(二)课件-2026届高三数学一轮复习

第二章　函数 第4节　单调性与最大(小)值(二) 1.会利用函数的单调性比较函数值的大小,解函数不等式. 2.会求函数的最值或值域. 索引 课标要求 考点聚焦突破 1 KAODIANJUJIAOTUPO 索引 考点一　比较函数值的大小 例1 (1)已知f(x)=2x-,a=f(),b=f(),c=f(),则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a D 解析　易知f(x)=2x-在(1,+∞)上单调递增,又>>>1, 故f()>f()>f(),即c>b>a. 索引 (2)若a=ln 3,b=lg 5,c=log126,则(　　) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>c>b D 索引 思维建模 1.若题目条件中有具体的函数,则先判断已知函数的单调性,利用其单调性比较大小. 2.若题目条件中无具体函数,则需根据数值的结构特征构造函数,再利用其单调性比较大小. 索引 C 训练1 (1)已知函数f(x)=lg x-,f(m)=1,且0<p<m<n,则(　　) A.f(n)<1且f(p)>1 B.f(n)>1且f(p)>1 C.f(n)>1且f(p)<1 D.f(n)<1且f(p)<1 解析　f'(x)=-·ln =+ln 2, 当x>0时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增, ∵0<p<m<n,且f(m)=1, ∴f(p)<f(m)=1<f(n). 索引 (2)若2x-2y<3-x-3-y,则(　　) A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0 C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0 A 索引 考点二　利用单调性求函数的最值(值域) C 例2 函数f(x)=x-+1在[1,4]上的值域为(　　) A. B.[0,1] C. 解析　由y=x在[1,4]上单调递增,且y=-在[1,4]上单调递增, 可得f(x)=x-+1在[1,4]上单调递增, 又f(1)=0,f(4)=, 故f(x)的值域为. 索引 思维建模 利用单调性求函数最值(值域)的基本方法 (1)对于较为简单的函数,先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)对于较复杂函数,可运用导数,求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. 索引 训练2 已知函数f(x)=则f(x)的最大值为　　　　.  1 解析　x∈(-∞,1]时,f(x)=ex-1单调递增, f(x)≤f(1)=e1-1=1; x∈(1,+∞)时,f(x)=-x+1单调递减, f(x)<-1+1=1. 所以f(x)的最大值为1. 索引 考点三　解函数不等式 例3 已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2-4)<2,则实数x的取值范围是　　　　　　　　.  (-,-2)∪(2,) 索引 思维建模 求解函数不等式,其实质是函数单调性的逆用,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域. 索引 训练3 已知函数f(x)=若f(3-a2)<f(2a),则实数a的取值范围是　　　　.  (-3,1) 解析　根据所给的分段函数,画出图象如图. 已知函数在整个定义域上是单调递减的, 由f(3-a2)<f(2a)可知,3-a2>2a, 解得-3<a<1. 索引 微点突破　 复合函数的单调性 1.复合函数单调性判定原则:同增异减. 2.设复合函数y=f[g(x)],A是y=f[g(x)]定义域的某个区间,B是u=g(x)的值域; (1)若u=g(x)在A上是增(或减)函数,y=f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y=f[g(x)]在A上是增函数; (2)若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y=f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y=f[g(x)]在A上是减函数. 索引 一、 求复合函数的单调区间 例1 已知函数f(x)=x2-2x-3,g(x)=f(5-x2),试求g(x)的单调区间. 索引 二、由复合函数的单调性求参数 例2 设f(x)=x2+1,g(x)=f(f(x)),F(x)=g(x)-λf(x).问是否存在实数λ,使F(x)在区间上单调递减且在区间上单调递增?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由. 索引 训练 (1)已知函数f(x)在R上是增函数,则下列说法正确的是(　　) A.y=-f(x)在R上是减函数 B.y=在R上是减函数 C.y=[f(x)]2在R上是增函数 D.y=af(x)(a为实数)在R上是增函数 A 索引 (2)已知函数f(x)是R上的减函数,若f(ax2-2x)在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是　　　　.  (-∞,0] 索引 课时对点精练 2 KESHIDUIDIANJINGLIAN 索引 一、单选题 1.函数f(x)=-x+在上的最大值是(　　) A. B.- C.-2 D.2 A 解析　因为函数y=-x和y=上均单调递减, 所以f(x)=-x+上单调递减, 所以f(x)max=f(-2)=2-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 2.设函数f(x)=若f(a+1)≥f(2a-1),则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,1] B.(-∞,2] C.[2,6] D.[2,+∞) B 解析　画出函数f(x)的图象(图略),结合图象可知f(x)在R上是增函数, 由f(a+1)≥f(2a-1),得a+1≥2a-1, 解得a≤2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 3.若函数f(x)=(m-1)x+1在R上是增函数,则f(m)与f(1)的大小关系是(　　) A.f(m)<f(1) B.f(m)>f(1) C.f(m)≤f(1) D.f(m)≥f(1) B 解析　因为f(x)=(m-1)x+1在R上是增函数,所以m>1,故f(m)>f(1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 4.已知定义域为R的函数f(x),∀x1,x2∈R,x1≠x2,都有<0,则(　　) A.f(3)>f(π)>f(2) B.f(π)<f(3)<f(2) C.f(2)>f(π)>f(3) D.f(π)>f(2)>f(3) B 解析　易知f(x)是R上的减函数, 又π>3>2,故f(π)<f(3)<f(2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 5.(2025·伊春调研)已知函数f(x)在R上为增函数,若不等式f(-4x+a)>f(-3-x2)对∀x∈(3,+∞)恒成立,则a的取值范围为(　　) A.[-1,+∞) B.[3,+∞) C.[0,+∞) D.(1,+∞) C 解析　由题意,得-4x+a>-3-x2对∀x∈(3,+∞)恒成立, 则a>-x2+4x-3对∀x∈(3,+∞)恒成立. 设函数g(x)=-x2+4x-3=-(x-2)2+1, 则当x>3时,g(x)<0, 所以a的取值范围为[0,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 6.已知函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则实数m的取值范围是(　　) A.[1,+∞) B.[0,2] C.(-∞,2] D.[1,2] D 解析　令y=f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2. 易知当x=1时,f(x)取得最小值f(1)=2. 因为f(0)=3,且函数f(x)在[0,m]上有最大值3,最小值2, 由二次函数图象的对称性,知f(2)=f(0)=3, 所以1≤m≤2,即实数m的取值范围是[1,2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 7.(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=(x+a)ln(x+b).若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为(　　) A. D.1 C 解析　由f(x)≥0及y=x+a,y=ln(x+b)单调递增, 可得x+a与ln(x+b)同正、同负或同为零, 所以当ln(x+b)=0时,x+a=0, 即所以b=a+1, 则a2+b2=a2+(a+1)2=2+≥,故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 二、多选题 8.已知函数f(x)=-x2+2|x|+1,则下列说法正确的是(　 　) A.函数y=f(x)在(-∞,-1]上单调递增 B.函数y=f(x)在[-1,0]上单调递减 C.当x=0时,函数y=f(x)有最小值 D.当x=-1或x=1时,函数y=f(x)有最大值 ABD 解析　因为f(x)=-x2+2|x|+1, 所以f(x)= 作出函数f(x)的图象如图所示, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 由图象可知f(x)在(-∞,-1]上单调递增,在[-1,0]上单调递减,故A,B正确; 由图象可知f(x)在x=-1或x=1时,函数y=f(x)有最大值,没有最小值,故C错误,D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 9.(多选)下列函数中,值域正确的是(　 　) A.当x∈[0,3)时,函数y=x2-2x+3的值域为[2,6) B.函数y=的值域为R C.函数y=2x-的值域为 D.函数y=+的值域为[,+∞) ACD 解析　对于A,y=x2-2x+3=(x-1)2+2, 由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图①所示), 可得函数的值域为[2,6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 对于B(分离常数法), y===2+, 显然≠0,∴y≠2. 故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞). 对于C(换元法),设t=, 则x=t2+1,且t≥0, ∴y=2(t2+1)-t=2+, 由t≥0,再结合函数的图象(如图②所示), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 可得函数的值域为. 对于D,函数的定义域为[1,+∞), ∵y=与y=在[1,+∞)上均单调递增, ∴y=+在[1,+∞)上为增函数, ∴当x=1时,ymin=, 即函数的值域为[,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 三、填空题 10.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是　　　　.  [-1,1) 解析　依题意得⇒-1≤a<1. 所以实数a的取值范围是[-1,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 11.设函数f(x)=在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M,m,则=　　　　.  解析　f(x)===2+在[3,4]上是减函数, ∴f(x)min=f(4)=4,f(x)max=f(3)=6, ∴M=6,m=4,∴==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 12.(2025·宁波质检)设函数f(x)=当f(x)存在最小值时,实数a的取值范围是　　　　　　.  (-∞,-1]∪{0} 解析　当x≥a时,f(x)=x2-2ax+1图象的对称轴方程为x=a, 要想f(x)存在最小值,当x<a时,f(x)=ax-1单调递减,且在x=a处,y=ax-1的函数值要大于等于y=x2-2ax+1的函数值, 当a<0时,需满足a2-1≥a2-2a2+1,解得a≤-1. 当a=0时,f(x)= 此时f(x)min=-1,符合题意. 当a>0时,f(x)不存在最小值.综上,a≤-1或a=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 四、解答题 13.已知f(x)=(x≠a). (1)若a=-2,试证明f(x)在(-∞,-2)上单调递增; 证明　设x1<x2<-2, 则f(x1)-f(x2)=-=. 因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, 所以f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 (2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围. 解　设1<x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=. 因为a>0,x2-x1>0, 所以要使f(x1)-f(x2)>0, 只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立, 所以a≤1. 综上所述,a的取值范围为(0,1]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 14.已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②当x>0时,f(x)>-1. (1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是增函数; 解　令x=y=0,得f(0)=-1; 在R上任取x1,x2,且令x1>x2, 则x1-x2>0,f(x1-x2)>-1. 又f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2), 所以函数f(x)在R上是增函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 (2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4. 解　由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5. 由f(x2+2x)+f(1-x)>4, 得f(x2+x+1)>4+1=f(3), 又由(1)知函数f(x)在R上是增函数, 故x2+x+1>3, 解得x<-2或x>1, 故原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 索引 $$