精品解析：江苏省淮安市2024年中考数学试卷

江苏省准安市2024年中考数学试卷 满分：150考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，比小的数是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键． 利用实数大小的比较方法解答即可． 【详解】解：A．∵，∴，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意； D．∵，∴，故符合题意； 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方法则逐项分析即可． 【详解】解：A．，正确； B．与不是同类项，不能合并，故不正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3. 中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，“图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据中心对称图形的知识，进行作答，然后即可求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故该选项符合题意； B、是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A； 4. 如图，，点E在直线上，点F、G在直线上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余．先利用直角三角形两锐角互余求得的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A. 9 B. 7 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，解题关键是明确三角形三边关系，求出第三边的取值范围； 先求出第三边的取值范围，再找到符合题意的选项即可． 【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形， 则这根小木棒的长度范围是大于2，小于8，符合题意的只有B选项， 故选：B 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得：； 故选D． 7. 如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算，掌握勾股定理的计算，无理数的估算方法是解题的关键． 根据勾股定理得到第九个直角三角形的斜边长，得到该图形周长，根据无理数的估算即可求解． 【详解】解：每一个直角三角形都有一条直角边长为，如图所示， ∴左起第一个直角三角形的斜边长为， 第二个直角三角形的斜边长为， 第三个直角三角形的斜边长为， 第四个直角三角形的斜边长为， ， ∴第九个直角三角形的斜边长为， ∴这个图形的周长（实线部分）为， ∵，， ∴，即， ∴， ∴最接近的是13， 故选：B ． 8. 如图在中， ，，，是 边上的动点，将沿翻折得，射线与射线 交于点．下列说法不正确的是( ) A. 当时， B. 当点落在 上时，四边形是菱形 C. 在点运动的过程中，线段的最小值为2 D. 连接，则四边形的面积始终等于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，直角三角形的性质，根据动点的不同位置分析是解题的关键． 当时，证，当点落在 上时，证，连接，证，据此逐一分析判定即可． 【详解】解：A．当时，，， ∴， ∴， ∴， ∴该选项是正确的，不符合题意； B．当点落在 上时，， ∴是菱形， ∴该选项是正确的，不符合题意； C．当点在点 时，作于点，作于点，如图所示， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴在点运动的过程中，线段的最小值不为， 该选项是错误的，符合题意； D．连接，则， ∴四边形的面积始终等于， 该选项是正确的，不符合题意； 故选：C． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在题中横线上． 9. 计算：＝______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解：； 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，属于基础题目，熟练掌握运算法则是关键． 10. 分解因式：x2-16= ________________． 【答案】（x-4）（x+4） 【解析】 【分析】利用平方差公式进行分解即可 【详解】解：x2-16=（x-4）（x+4） 故答案为（x-4）（x+4） 11. 2024年5月3日嫦娥六号成功发射，它将在相距约的地月之间完成月壤样品的“空中接力”．数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 这里． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率．设红球有x个，利用频率=红球个数÷总数，计算即可得出答案． 【详解】解：设红球有x个，由题意可得， ， 解得：， 经检验：是方程的解， 故答案为：12． 13. 如图，是 的内接三角形，， 半径为3，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理求出，再由弧长公式计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 14. 一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是________h． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，求出时的 的值即可． 【详解】解：由题意，当时，解得：； ∴轿车从A地到达B地所用时间是小时； 故答案为：． 15. 某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠地拼接）而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图，，部分尺寸如图所示（单位：）．结合图1，图2的信息，可求得的长度是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌，勾股定理的应用，矩形的判定和性质等知识构造出直角三角形是解题的关键．作，设，，由第一幅图可知，，由第二幅图可知，，四边形是矩形，，再根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：作，设，， 由第一幅图可知，， 由第二幅图可知，，四边形是矩形， 则，， 则， ， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，点P是正六边形的边的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C，已知正六边形的边长为2，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】延长、交于点，作于点，于点，如图所示，由正六边形的性质及等腰三角形的判定与性质得到，设，再由正六边形的性质得到相应边与角度，在中，由三角函数求出和长度，连接，如图所示，易证是矩形，得到，过点作，如图所示，由等腰三角形性质，解直角三角形得到，最后利用的性质列式求参数即可得到答案． 【详解】解：延长、交于点，作于点，于点，如图所示： 则， 在正六边形中，，则， 由反射光线的性质可知， ，即， ， ， ， 设，则， ， 六边形为正六边形， ， ， 是中点， ， 在中，，， ， 在正六边形中，，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 过点作，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质可知平分，且是边上的中线， 在中，， ， ， ，则，解得， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何综合，涉及正六边形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、矩形的判定与性质等内容，熟练掌握相关几何知识是解题的关键． 三、解答题：本大题共11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，零指数幂的计算，求不等式的解集，掌握以上知识的计算是关键． （1）先算特殊角的三角函数，零指数幂，绝对值，再算加减即可； （2）根据不等式的性质，先去分母，移项，合并同类项，系数化为1的方法计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 不等式两边同乘6，得， 去括号，整理，得， 解得：． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 已知：如图，在矩形 中，点E，F在上，．求证：． 【答案】 证明：∵四边形 是矩形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定．利用证明即可． 【详解】略 20. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 21. 历史文化名城淮安有着丰富的旅游资源．小明计划假期来淮安游玩，他打算从3个人文景点（A．周恩来纪念馆；B．吴承恩故居；C．河下古镇）中随机选取一个，再从2个自然景点（D．金湖水上森林公园；E．铁山寺国家森林公园）中随机选取一个． （1）小明从人文景点中选中河下古镇的概率是________； （2）用画树状图或列表的方法，求小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，正确理解题意并画出树状图是解题的关键． （1）根据概率的计算公式计算，即得答案； （2）先画出树状图，再列举事件总的可能性结果及符合条件的等可能结果，最后根据概率的计算公式计算，即得答案． 【小问1详解】 解：由题意可得，小明从人文景点中选中河下古镇的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：树状图如下所示： 由上可得，一共有6种等可能性，其中小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的有1种，    ∴小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率为． 22. 张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，张老师记录了个工作日的上班路上用时，其中个工作日走路线一，另外个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图： （1）根据以上数据把表格补充完整： 平均数 中位数 众数 方差 极差 路线一 ________ ________ 路线二 ________ ________ （2）请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少个统计量说明理由． 【答案】（1），，，； （2） 解：张老师应选择路线一， 理由如下：路线一的平均数，中位数和众数相同， 路线一的方差与极差都比路线二的方差与极差小， 路线一的用时比较稳定． 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图、平均数、众数、中位数、方差与极差，解决本题的关键是根据折线统计图中提供的数据计算出平均数、众数、中位数、方差与极差，再根据这些数据作出决策． （1）根据平均数、众数、中位数、方差与极差的定义求出这些数据； （2）由（1）中计算出的数据可知：路线一的平均数，中位数和众数相同均比路线二的高，极差为，路线一的方差与极差都比路线二的方差与极差小，路线一的用时比较稳定． 【小问1详解】 解：由折线统计图可知，上班路上走路线一所用的时间为：，，，，，，，，，， 上班路上走路线一的平均时间为 ， 上班路上走路线一的个数据中出现次数最多的是，共出现了次， 路线一的众数是； 由折线统计图可知，上班路上走路线二的数据排序为：，，，，，，，，，， 这组数据的中位数为：，极差为 ； 故答案为：，，，； 【小问2详解】 略 23. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形， 的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与 在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（ ）时， 与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时， 与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形在实际生活中的应用，具体涉及利用锐角三角函数求直角三角形的边长，解题的关键是抓住两种情况下拉杆把手距离地面高度相等这一等量关系，建立方程求解． 根据题意，设，分两种情况计算出和的长，利用建立方程，求出 值即可． 【详解】解：如图1，过点A作，垂足为Q． 设每节拉杆的长度为x厘米，则，， 则， 所以； 如图2，过点A作，垂足为N．， 因为， 所以． 由题意得， 则， 解得， 故每节拉杆的长度为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C．已知点A坐标为，点C坐标为． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）点D在线段 上，过点D且平行于x轴的直线交于点E，交反比例函数图像于点F．当时，求点F的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）设，则，证明，列出比例式求出的值，进而求出点的纵坐标，代入反比例函数解析式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得， ∴反比例函数的表达式为 将点和点分别代入， 得 解得 故一次函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴， ∴ ∵， ∴， 设，则． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，故点． ∴的纵坐标为， 将代入，得， ∴点． 25. 如图，在中，，以为直径作 交 于点，过点作，垂足为，延长交的延长线于点． （1）求证：为 的切线； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 是 的直径， ， ， ， ，即点D为 中点， ，即点O为中点， ， ， ， 是 的半径， 是 的切线． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是切线的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形． （1）连接，根据圆周角定理得到，推出，根据等腰三角形三线合一得，根据三角形的中位线可得，所以得，从而根据切线的判定可得结论； （2）证明，求出，再证明，求出，利用正弦的定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴． 26. 二次函数的图像经过点，顶点为P． （1）________； （2）当时， ①若顶点P到x轴的距离为10，则________； ②直线m过点且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h，随着b的增大，h的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由； （3）若二次函数图像交x轴于B，C两点，点B坐标为，且的面积不小于20，求a的取值范围． 【答案】（1）8 （2）①或； ②当或时，h随b增大而增大；当或时，h随b的增大而减小， ∵， ∴P到直线m距离为． 当时，即时，， ∴当时h随b的增大而增大，时h随b的增大而减小； 当时，即或时，， ∴当时h随b的增大而减小，时h随b增大而增大； ∴综上所述，当或时，h随b增大而增大；当或时，h随b的增大而减小； （3）或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键： （1）把点代入函数解析式进行求解即可； （2）①根据顶点坐标公式，以及顶点P到x轴的距离为10，列出方程，进行求解即可；②根据题意得到，分和，两种情况进行讨论即可； （3）根据，得到，设抛物线的对称轴与x轴交点为E，则，进而得到，把和代入，求出之间的关系，代入不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得； 故答案为：8； 【小问2详解】 的顶点P的坐标为， ①当时，， ∵P到x轴距离为10， ∴， ∴， ∴或（舍去） ∴或． 故答案为：或； ②略 【小问3详解】 由题意知：， ∴． 如图，设抛物线的对称轴与x轴交点为E，则， ∴， 把和代入，得． ∴， ∴， 解得或或． 27. 综合与实践 [问题初探] （1）某兴趣小组探索这样一个问题：若 是的角平分线，则线段 ， ，，有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空： 小智的思路和方法： 如图1，作，垂足分别为M，N． 因为 平分， 所以________． 因为，， 所以， 再用另一种方式表示与的面积，即可推导出结论… 小勇的思路和方法： 如图2，作，交 的延长线于点E． 因为 平分， 所以， 因为， 所以． 所以． 所以________． 再通过证明 得到比例式，从而推导出结论… 根据小智或小勇的方法，可以得到线段 ， ，，的数量关系是________； [变式拓展] （2）小慧对问题作了进一步拓展：如图3，在中，，D是 边上一点，，，求的值．请你完成解答． [迁移应用] （3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段 上作一点P，使；（要求：不写作法，保留作图痕迹） [综合提升] （4）如图5，在中，，点D在 边上，，点E在的延长线上，连接，，请直接写出的值（用含的式子表示）． 【答案】（1） 小智的思路补全：如图1， ； （2）； （3）如图3，点P即为所求． （4）． 【解析】 【分析】（1）根据题干思路补全即可得解； （2）有特殊角先构造直角三角形，然后再分别解两个直角三角形即可得解； （3）作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径作弧，连接，再以点O和点F为圆心，为半径作弧交于点H，连接与交于点K，过点K作的垂线交于点P．点P即为所求； （4）过E作交 的延长线于G，使，则，得出，即，求出．从而得．结合，得出，即可求解． 【详解】解：（1）小智的思路补全：如图1，作，垂足分别为M，N． ∵ 平分， ∴， ∵，， ∴． 过点A作，垂足为P． ∴， ∴． ； 小勇的思路补全：如图2，作，交 的延长线于点E． ∵ 平分， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ， ， ， ， ． （2）如图2，过点D作，垂足分别为M，N． ∵， ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ； （3）如图3，作的垂直平分线交于点O，以点O为圆心，为半径作弧，连接，再以点O和点F为圆心，为半径作弧交于点H，连接与交于点K，过点K作的垂线交于点P．点P即为所求． 理由：根据作图可知，， ∴是等边三角形，， ∴， 在中，，则； 在中，，则， 所以． 所以． ； （4）如图4，过E作交 的延长线于G，使， 所以， 所以，即， 因为， 所以， 所以． 所以． 因为， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、角平分线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理，圆周角定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省准安市2024年中考数学试卷 满分：150考试时间：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的． 1. 下列实数中，比小的数是（　　） A. B. 0 C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，点E在直线 上，点F、G在直线 上，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　） A. 9 B. 7 C. 2 D. 1 6. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，用个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为．记这个图形的周长（实线部分）为，则下列整数与最接近的是（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 8. 如图在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点 ．下列说法不正确的是( ) A. 当时， B. 当点落在上时，四边形是菱形 C. 在点运动的过程中，线段的最小值为2 D. 连接，则四边形的面积始终等于 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在题中横线上． 9. 计算：＝______． 10. 分解因式：x2-16= ________________． 11. 2024年5月3日嫦娥六号成功发射，它将在相距约的地月之间完成月壤样品的“空中接力”．数据用科学记数法表示为______． 12. 一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是，则袋中约有红球__________个． 13. 如图， 是的内接三角形，，半径为3，则的长为____． 14. 一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是________h． 15. 某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无空隙、不重叠地拼接）而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图，，部分尺寸如图所示（单位：）．结合图1，图2的信息，可求得 的长度是________． 16. 如图，点P是正六边形的边 的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面 上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C，已知正六边形的边长为2，则________． 三、解答题：本大题共11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）解不等式：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知：如图，在矩形中，点E，F在 上，．求证：． 20. 《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 21. 历史文化名城淮安有着丰富的旅游资源．小明计划假期来淮安游玩，他打算从3个人文景点（A．周恩来纪念馆；B．吴承恩故居；C．河下古镇）中随机选取一个，再从2个自然景点（D．金湖水上森林公园；E．铁山寺国家森林公园）中随机选取一个． （1）小明从人文景点中选中河下古镇的概率是________； （2）用画树状图或列表的方法，求小明恰好选中周恩来纪念馆和铁山寺国家森林公园的概率． 22. 张老师早上开车到学校上班有两条路线，路线一经城市高架，路线二经市区道路．为了解上班路上所用时间，张老师记录了个工作日的上班路上用时，其中个工作日走路线一，另外个工作日走路线二．根据记录数据绘制成如下统计图： （1）根据以上数据把表格补充完整： 平均数 中位数 众数 方差 极差 路线一 ________ ________ 路线二 ________ ________ （2）请你帮助张老师选择其中一种上班路线，并利用以上至少个统计量说明理由． 23. 拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱的示意图如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角，如图2，当拉杆伸出两节（，）时，与地面夹角，两种情况下拉杆把手A点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．（） 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图像交于点C．已知点A坐标为，点C坐标为． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）点D在线段上，过点D且平行于x轴的直线交 于点E，交反比例函数图像于点F．当时，求点F的坐标． 25. 如图，在 中，，以 为直径作交于点 ，过点 作，垂足为 ，延长交 的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若，求的值． 26. 二次函数的图像经过点，顶点为P． （1）________； （2）当时， ①若顶点P到x轴的距离为10，则________； ②直线m过点且垂直于y轴，顶点P到直线m的距离为h，随着b的增大，h的值如何变化？请描述变化过程，并说明理由； （3）若二次函数图像交x轴于B，C两点，点B坐标为，且 的面积不小于20，求a的取值范围． 27. 综合与实践 [问题初探] （1）某兴趣小组探索这样一个问题：若是 的角平分线，则线段，，，有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空： 小智的思路和方法： 如图1，作，垂足分别为M，N． 因为平分， 所以________． 因为，， 所以， 再用另一种方式表示 与的面积，即可推导出结论… 小勇的思路和方法： 如图2，作，交的延长线于点E． 因为平分 ， 所以， 因为， 所以． 所以． 所以________． 再通过证明 得到比例式，从而推导出结论… 根据小智或小勇的方法，可以得到线段，，，的数量关系是________； [变式拓展] （2）小慧对问题作了进一步拓展：如图3，在 中，，D是边上一点，，，求的值．请你完成解答． [迁移应用] （3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段上作一点P，使；（要求：不写作法，保留作图痕迹） [综合提升] （4）如图5，在 中，，点D在边上，，点E在的延长线上，连接，，请直接写出的值（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $