22.3 第3课时 拱桥问题与二次函数 导学案 2025-2026学年人教版 数学九年级上册

22.3 第3课时　拱桥问题与二次函数 素养目标 1.能根据题意建立适当的平面直角坐标系,利用情境中的条件求二次函数解析式. 2.能利用二次函数的有关知识,解决拱桥问题. ◎重点:根据实际情境建立适当的平面直角坐标系. 【预习导学】 知识点：用二次函数解决拱桥问题   请你阅读课本“探究3”,思考:如何建立平面直角坐标系,将拱桥问题转化为二次函数问题? 观察讨论:解决“探究3”时,为什么可以设抛物线的解析式为y=ax2?如何求a的值? 计算填空:1.水面下降1米时,水面的纵坐标是 .  2.当水面下降1米时,水面的宽度为 米,水面的宽度增加了 米.  方法迁移:若以抛物线和水面的两个交点所在的直线为x轴,以抛物线的对称轴为y轴 建立坐标系(如图),请你求出“探究3”中的问题. 归纳总结　建立二次函数模型解决拱桥问题的一般步骤:①建立适当的 ,将抛物线形状的图形放到 中;②从已知条件和图象中获得求 所需要的条件;③利用待定系数法求出 ;④运用已求出的 解决问题.  【合作探究】 任务驱动：用二次函数解决拱桥问题 有一个抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为4 m,跨度为10 m.现将它的图形放在如图所示的平面直角坐标系中. (1)求这条抛物线的解析式. (2)在对称轴右边1 m处,桥洞离水面的高度是多少米? 变式演练　 1.如图,这是某地一座抛物线形拱桥示意图,拱桥在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱最高点C到AB的距离为9 m,AB=36 m,D,E为桥拱底部的两点,且DE∥AB,点E到直线AB的距离为7 m,则DE的长为 m.  2.图1是某河上一座拱桥的截面图,拱桥洞的上沿是抛物线形状,抛物线的两端点与水面的距离都是1 m,拱桥的跨度是10 m,桥洞与水面的最大距离是5 m,桥洞的两侧壁上各有一盏距离水面4 m的景观灯,把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中如图2所示. (1)求抛物线的函数解析式. (2)求两盏景观灯之间的水平距离. 　　3.如图,这是一座抛物线形拱桥,当水面宽度是4 m时,拱高为2 m.一艘木船宽2 m,要想顺利从桥下通过,船顶与桥拱之间的间隔不应少于0.3 m,那么木船的高不得超过多少? 方法归纳交流　在现实生活中,抛物线形状的物体或物体运动的轨迹是抛物线形的,这类问题一般可以用 的有关知识来解决.  参考答案 【预习导学】 知识点 观察讨论: 答:因为抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴.依题意可知抛物线过点(2,-2),代入即可得a=-. 计算填空: 1.-3 2.2　(2-4) 方法迁移: 解:设抛物线的解析式为y=ax2+k,因为抛物线的顶点为(0,2),且过点(2,0),所以解得所以y=-x2+2.当y=-1时,-1=-x2+2,解得x=±,此时水面宽度为2 m,故水面下降1 m,宽度增加(2-4)m. 归纳总结 ①平面直角坐标系　坐标系 ②抛物线的解析式 ③抛物线的解析式 ④抛物线的解析式 【合作探究】 任务驱动 解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+4, 把(10,0)代入,得25a+4=0,∴a=-,∴抛物线的解析式为y=-(x-5)2+4. (2)把x=6代入y=-(x-5)2+4,解得y=3.84 m. 答:桥洞离水面的高度是3.84 m. 变式演练　1.48 2.解:(1)由题意可知抛物线的顶点坐标为(5,5),与y轴的交点坐标为(0,1).设抛物线的函数解析式为y=a(x-5)2+5.把(0,1)代入解析式,得a=-,∴y=-(x-5)2+5(0≤x≤10). (2)由已知得两盏景观灯的纵坐标都是4, ∴-(x-5)2+5=4,解得x1=,x2=, ∴两盏景观灯之间的水平距离为-=5 m. 3.解:设水面宽度为AB,以水面所在的直线AB为x轴,AB的中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系. 则C(0,2),A(-2,0),B(2,0). 设抛物线的解析式为y=ax2+2.把B(2,0)代入上式, 得a=-, ∴y=-x2+2. 设木船可以从正中央通过,N点的坐标为(1,0), 点Q的坐标为1,, 故PN=-0.3=1.2, 即该船要想顺利过桥,木船的高度不得超过1.2 m. 方法归纳交流 二次函数 学科网（北京）股份有限公司 $$