2.5一元二次方程的根与系数的关系 同步练习2025-2026学年 北师大版九年级数学上册

一元二次方程的根与系数的关系 同步作业 一、单选题 1．若方程有一个根是，则另一个根是（    ） A．7 B． C． D．2 2．已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两根互为相反数 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为4 3．已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则a的值为（    ） A．2 B． C．5 D．6 5．已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 6．已知，是方程的两个实数根，则的值是(    ) A． B． C． D． 7．设、是方程的两根，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 8．已知，是关于的一元二次方程的两个实数解，若，则的值为（   ） A． B．7 C．或7 D．或7 二、填空题 9．设是方程的两个根，则 ． 10．已知菱形的两对角线长分别是一元二次方程的两个根，则该菱形的面积为 ． 11．已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 12．关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根是 ． 13．若一元二次方程的两个根是，，则的值是 ． 14．方程的两个根分别为，，则 三、解答题 15．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实根满足，求的值． 16．已知一元二次方程 (1)当时，解这个方程； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (3)设此方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设，是方程的两个根，求的值． 18．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”． (2)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 一元二次方程的根与系数的关系 同步作业 一、单选题 1．若方程有一个根是，则另一个根是（    ） A．7 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．由根与系数的关系知，两根之和为5，可得另一个根为7． 【详解】解：方程有一个根是， 根据一元二次方程的根与系数的关系可知，两根之和为5， 则另一个根为7． 故选：A． 2．已知一元二次方程，则该方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．两根互为相反数 C．有两个相等的实数根 D．两根之和为4 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对A、C选项进行判断；然后根据根与系数的关系对B、D选项进行判断． 【详解】解：方程化为一般式为， ， 方程有两个不相等的实数根，所以A选项、C选项的说法错误； 设方程的两根为、， 根据根与系数的关系得， 即方程的两根之和为4，所以B选项的说法错误，D选项的说法正确． 故选：D． 3．已知，是方程的两个实数根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ， 故选：． 4．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则a的值为（    ） A．2 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．先根据判别式的意义得到，再根据根与系数的关系得，，由变形得到，则，然后解一元一次方程． 【详解】解：根据题意得，解得， ，， ， ， ， ． 故选：C． 5．已知，且，则的值为（   ）． A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先把整理得，则，再因为，同理得，则和是方程 的两个根，运用根与系数的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ， 设，则方程变为， ∵， ∴设，方程同样变为：， 因此，和是方程 的两个根， ∴， 故选：D． 6．已知，是方程的两个实数根，则的值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程(a≠0)的两根，则，．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系内容是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系可得，，将代数式化简，再代入，即可得出答案． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根，， ∴，， ∴． 故选：B． 7．设、是方程的两根，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，此题可以直接由根与系数的关系求得． 【详解】解：、是方程的两根， 故选：D． 8．已知，是关于的一元二次方程的两个实数解，若，则的值为（   ） A． B．7 C．或7 D．或7 【答案】A 【分析】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，掌握两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键． 由根与系数的关系可用表示出两根之和与两根之积，代入已知条件可得到关于的方程，即可求得的值．由方程根的情况，根据判别式可求得符合要求的； 【详解】解：∵方程的两个实数根分别为和， ， ， ， 或， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ， 当时，，不符合要求， ， 故选：A． 二、填空题 9．设是方程的两个根，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了根与系数的关系：熟记、是一元二次方程的两根时，是解题的关键． 利用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：在中，， ∵、是方程的两个根， ， 故答案为：3． 10．已知菱形的两对角线长分别是一元二次方程的两个根，则该菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形面积公式及一元二次方程根与系数的关系，先通过一元二次方程根与系数的关系得出菱形的两条对角线长度的乘积，再结合菱形面积公式计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：，，，， ∴， ∴． 故答案为：． 11．已知，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系得，，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故答案为：． 12．关于x的一元二次方程的一个根为1，则方程的另一个根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，则． 设方程的另一个根为，根据韦达定理即可得到结论． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据题意得，， 解得：， ∴方程的另一个根为． 故答案为：． 13．若一元二次方程的两个根是，，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系直接可得答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两个根， ，， ， 故答案为：． 14．方程的两个根分别为，，则 【答案】37 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形， 正确把握根与系数关系是解题关键，根据，结合可得答案． 【详解】解：∵是方程的两根， ， ， 故答案为：37． 三、解答题 15．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实根满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，掌握相关的知识是解题的关键． （1）一元二次方程有两个实数根的条件是判别式的值大于等于零； （2）根据根与系数的关系可得，，再建立关于的方程，求解即可． 【详解】（1）∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵一元二次方程的两个实根是和， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 16．已知一元二次方程 (1)当时，解这个方程； (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (3)设此方程的两个实数根分别为，，且，求k的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． （1）利用因式分解法解方程； （2）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式得到； （3）根据根与系数的关系得到，，而，易求得，，则． 【详解】（1）解：当时，方程变为， 即， ∴或， ，； （2）解：根据题意， 解得； （3）解：根据题意得，， 而， ， ， ． 17．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设，是方程的两个根，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，完全平方公式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，再计算，即可作答． （2）结合完全平方公式，得，然后计算，再代入化简，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴ 故无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：依题意， ∵， ∴， ∴， 则． 18．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”． (2)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 【答案】(1)是“3倍根方程” (2)50或 (3)17或 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程，得，然后根据“3倍根方程”定义即可； （2）由得，，根据“3倍根方程”定义可得或，然后代入求解即可； （3）由关于的一元二次方程（m是常数）是“3倍方程”，设是的三倍，根据根与系数的关系得，，，解得，然后分情况代入解方程即可． 【详解】（1）解（1）∵， ∴解得． ∵， ∴是“3倍根方程”． （2）∵， 解得  ． ∵是“3倍根方程”， 分情况讨论： ①则：． ②则：． （3）∵（是常数）是“3倍根方程”， ∴不妨设是的三倍， 由韦达定理：，解得． 当时， ， ∴． 当， ， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$