第12讲 一元二次方程的根与系数的关系(六大题型)-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（北师大版）

第12讲 一元二次方程的根与系数的关系 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 一.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 二.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 要点： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 考点1：利用一元二次方程根与系数的关系求值 例1．若、是一元二次方程的两根，则的值是（　　） A． B． C． D． 例2．设方程的两个根为，，则的值是（    ） A． B． C．2 D．4 考点2：通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值 例3．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 例4．已知、是方程的两个实数根，则的值是（    ） A．2016 B．2018 C．2022 D．2024 例5．若方程的两个实数根为、，则的值为（    ） A．7 B．3 C．－5 D．9 例6．已知，是一元二次方程的两个实数根，则= （   ） A． B．2 C． D．4 例7．设 ， 是一元二次方程 的两个根，那么 的值等于（    ） A． B． C． D． 考点3：利用一元二次方程根与系数的关系求参数 例8．若关于x的一元二次方程的两个根互为相反数，则m的值为（     ） A．3或 B． C．3 D．2或 例9．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则（    ） A．3 B．1 C． D． 例10．是方程的两个实根，若恰成立，则的值为（   ） A． B．或 C． D．或1 考点4：利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假 例11．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大 C．两个负根 D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小 例12．有两个关于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四个结论中， ①如果，那么方程M和方程N有一个公共根为1； ②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等； ③如果2是方程M的一个根，那么一定是方程N的一个根； ④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是．其中错误的结论的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点5：利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小 例13．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则（    ） A． B． C． D． 例14．关于x的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 考点6：解答证明题 例15．已知关于x的方程：． (1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根，，满足，求a的值． 例16．关于的一元二次方程： (1)若方程有两个不等的实数根，求的取值范围； (2)若、是方程的两根，且．求的值． 例17．已知关于的方程 (1)求证：无论取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根； (2)若这个方程的两个实数根满足，求的值及相应的． 例18．阅读下列材料并完成练习题： 已知一元一次方程的两个实数根分别为和 ∵ ∴ 对比系数可得：， 类比上面的证明方法： (1)如果一元三次方程的两个实数根分别为，，，______，______，______． (2)已知方程，求值：