22.1.1 二次函数 【导学案】 2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.1　二次函数 素养目标 1.知道二次函数的概念,会判断一个函数是不是二次函数. 2.会表示一个变化过程中的二次函数关系. ◎重点:二次函数的概念. 【预习导学】 知识点一：二次函数的概念   请你阅读课本本课时“练习”前的内容,思考:什么是二次函数?与以前学过的一次函数有什么共同点?有什么不同点? 观察特点:①②③三个函数关系式的共同特点:等式右边是关于自变量的 (填“整式”或“分式”),自变量的最高次数是 ,二次项系数均不为0.  归纳总结　一般地,形如  (a,b,c是常数,a 0)的函数,叫作二次函数.其中 是自变量,a,b,c分别是函数解析式的 系数、 系数和 .  深入讨论:1.二次函数与一次函数有什么相同点?有什么不同点? 2.二次函数y=ax2+bx+c中为什么规定a≠0?b,c可以是0吗? 【合作探究】 任务驱动一：判断是否为二次函数 1.学完二次函数的定义后,老师要求同学们各举一个二次函数的例子.小刚:y=2x2-1是一个二次函数.小红:y=(x+2)2-x2是一个二次函数.小华:y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数)是一个二次函数.小佳:y=+x-1是一个二次函数.小敏:y=ax2-2bx+5是一个二次函数. 　　上面五位同学所举的例子对吗?若不对,错在哪里? 方法归纳交流　判断一个函数是不是二次函数需要注意哪些问题? ①解析式必须是 式;②化简后,自变量的最高次数是 ,且二次项系数不是 .  变式演练　 1.已知二次函数y=1-3x+5x2,则它的二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别是 ( ) A.a=1,b=-3,c=5 B.a=1,b=3,c=5 C.a=5,b=3,c=1 D.a=5,b=-3,c=1 2.下列函数中(x,t为自变量),哪些是二次函数?如果是二次函数,请指出二次项系数、一次项系数及常数项. (1)y=-+3x2 ; (2)y=(x-3)(4-2x)+2x2 ; (3)s=t2-t; (4)y=x2--6. 任务驱动二：根据二次函数的定义求相关字母的值 2.已知函数y=(m+3),当m取什么值时,此函数是二次函数? 变式演练　 1.若y=(a-1)x2-ax+6是关于x的二次函数,则a的取值范围是 ( ) A.a≠0 B.a≠1 C.a≠1且a≠0 D.无法确定 2.已知函数y=(m+1)x|m|+1-2x+1是二次函数,求m的值. 任务驱动三：实际问题与二次函数 3.一直角三角形的两直角边之和为15,其中一条直角边长为x,写出它的面积S与直角边长x之间的函数解析式,并写出自变量x的取值范围. 变式演练　 1.将一根长为50 cm的铁丝弯成一个长方形(铁丝全部用完且无损耗),如图所示,设这个长方形的一边长为x(单位:cm),它的面积为y(单位:cm2),则y与x之间的函数关系式为 ( ) A.y=-x2+50x B.y=x2-50x C.y=-x2+25x D.y=-2x2+25 2.某商品的进价为每件40元,现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件.市场调查发现:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件.则每星期售出商品的利润y(单位:元)与每件涨价x(单位:元)之间的函数关系式是( ) A.y=300-10x B.y=300(60-40-x) C.y=(300+10x)(60-40-x) D.y=(300-10x)(60-40+x) 3.已知在△ABC中,∠B=30°,AB+BC=12,设AB=x,△ABC的面积是S,求面积S关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围. 参考答案 【预习导学】 知识点 观察特点: 整式　2 归纳总结 深入讨论: y=ax2+bx+c　≠　x　二次项　一次项　常数项 1.答:答案不唯一,如:二次函数与一次函数解析式等号右边都是关于自变量的整式,自变量有一个确定的值时,函数都有唯一确定的值与其对应;不同点在于二次函数的最高次数为2,一次函数自变量的最高次数为1. 2.答:当a=0时,没有二次项了,不是二次函数;b,c可以是0. 【合作探究】 任务驱动一 1.解:小刚的举例是正确的;小红的举例是错误的,整理后为y=4x+4,是一次函数;小华的举例是错误的,当a=0且b≠0时是一次函数;小佳的举例是错误的,二次函数是由整式构成的;小敏的举例是错误的,二次函数中自变量只有一个,因此需指明a,b为常数,且a≠0. 方法归纳交流 ①整 ②2　0 变式演练　1.D 2.解:(1)是二次函数,二次项系数是3,一次项系数是0,常数项是-. (2)y=(x-3)(4-2x)+2x2=-2x2+10x-12+2x2=10x-12,不含二次项,故不是二次函数. (3)是二次函数,二次项系数是,一次项系数是-1,常数项是0. (4)y=x2--6中-不是整式,故不是二次函数. 任务驱动二 2.解:若此函数为二次函数,则有m+3≠0且m2-7=2, 所以当m=3时,函数为二次函数. 变式演练　1.B 2.解:由二次函数的定义可知,当时,该函数是二次函数, ∴ ∴m=1. 任务驱动三 3.解:依题意可知另一条直角边长为(15-x), ∴S=x(15-x)=-x2+x. ∵x>0且15-x>0,∴0<x<15, ∴S与x之间的函数解析式为S=-x2+x(0<x<15). 变式演练　1.C 2.D 3.解:如图,作△ABC的高AD. 在△ABD中,∵∠ADB=90°,∠B=30°, ∴AD=AB=x, ∴S=BC·AD=(12-x)·x=-x2+3x, ∴面积S关于x的函数解析式为S=-x2+3x(0<x<12). 学科网（北京）股份有限公司 $$