21.2.2 公式法 【导学案】 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2.2　公式法 素养目标 1.知道一元二次方程根的判别式和求根公式的推导过程. 2.会用根的判别式判断方程根的情况,能熟练地运用公式法求解一元二次方程. ◎重点:用公式法求解一元二次方程. 【预习导学】 知识点一：一元二次方程根的判别式 方程x+2=能用直接开平方法求解吗?为什么? 　　归纳总结　一般地,式子 叫作一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,即Δ= .当Δ>0时,方程有 的实数根;当Δ=0时,方程有 的实数根;当Δ<0时,方程 实数根. 知识点二：用公式法解一元二次方程 分别求出当Δ>0和Δ=0时方程x+2=的解. 归纳总结　(1)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:当b2-4ac 0时,它的根x=　　　　　　.  (2)用公式法解一元二次方程的一般步骤: ①把方程化为 ,确定a,b,c的值(各项系数若有分数,通常化为整数);  ②求出 的值,根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;  ③如果 ≥0,可以将一般式中的a,b,c的值代入求根公式x= .  【合作探究】 任务驱动一：根的判别式 1.一元二次方程x2+2x-1=0的根的情况是 ( ) A.无实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.不能确定 2.关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0,当k取何值时, (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根? 变式演练　 1.若一元二次方程x2+2x+m=0有实数根,则m的取值范围是 .  2.已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .  3.已知关于x的方程x2-2mx+2m-2=0. (1)若此方程的一个根为-3,则m的值为　　　　.  (2)求证:对于任何实数m,此方程总有两个不相等的实数根. 方法归纳交流　一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系:(1)Δ>0⇔方程有 的实数根;(2)Δ=0⇔方程有 的实数根;(3)Δ<0⇔方程 实数根.由此可知当Δ ⇔方程有两个实数根.  任务驱动二：用公式法解一元二次方程 3.(运算能力)用公式法解下列方程. (1)x2+5x-6=0;(2)4x2-3x-1=x-2; (3)x2+1-6x=0. 变式演练　 解方程:(1)3x(x-3)=2(x+1)(x-1);(2)x2-x+2=0. 方法归纳交流　用公式法解一元二次方程,先把方程化为 形式,确定a,b,c的值,如果 ≥0,那么方程的实数根可以写为　　　　　　;如果 <0,那么方程无实数根.  参考答案 【预习导学】 知识点一 答:不能直接开平方,因为可能是正数,可能是0,也可能是负数,只有当的值是非负数的时候,才能两边同时开平方. 归纳总结 b2-4ac　b2-4ac　两个不相等　两个相等　无 知识点二 答:当Δ>0时,>0,故x+=±, ∴x=;当Δ=0时,x1=x2=-. 归纳总结 (1)≥　 (2)①一般形式 ②b2-4ac ③b2-4ac　 【合作探究】 任务驱动一 1.B 2.解:Δ=b2-4ac=(4k+1)2-4×2×(2k2-1)=8k+9. (1)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0,∴8k+9>0,解得k>-. (2)∵方程有两个相等的实数根,∴Δ=0,∴8k+9=0,解得k=-. (3)∵方程没有实数根,∴Δ<0, ∴8k+9<0,解得k<-. 变式演练　1.m≤1 2.k<2且k≠1 3.解:(1)把x=-3代入x2-2mx+2m-2=0,得9+6m+2m-2=0, 解得m=-. 故答案为-. (2)证明:∵Δ=(-2m)2-4(2m-2)=4(m-1)2+4, ∴对于任何实数m,总有Δ>0, ∴方程总有两个不相等的实数根. 方法归纳交流 两个不相等　两个相等　没有　≥0 任务驱动二 3.解:(1)∵a=1,b=5,c=-6, ∴Δ=b2-4ac=52-4×1×(-6)=49>0, ∴x=,∴x1=1,x2=-6. (2)原方程可化为4x2-4x+1=0. ∵a=4,b=-4,c=1, ∴Δ=b2-4ac=0,∴x=, ∴x1=x2=. (3)∵a=1,b=-6,c=1, ∴Δ=b2-4ac=32,∴x=, ∴x1=3+2,x2=3-2. 变式演练　 解:(1)化为一般式为x2-9x+2=0, 解得x1=,x2=. (2)Δ=b2-4ac=(-1)2-4××2=-23<0, ∴此方程无实数根. 方法归纳交流 一般　b2-4ac　x=　b2-4ac 学科网（北京）股份有限公司 $$