21.2.1 配方法【导学案】 　 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2.1 第1课时　直接开平方法 素养目标 1.会用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程. 2.经历用直接开平方法解一元二次方程的过程,体会转化和整体的数学思想. ◎重点:用直接开平方法解一元二次方程. 【预习导学】 知识点一：用直接开平方法解一元二次方程   阅读课本本课时“问题1”,完成下列问题:(阅读时注意思考:用直接开平方法求一元二次方程的解与求平方根的关系.) 1.解方程10×6x2=1 500时,两边同时除以 求出x2的值,然后根据 的意义求出x的值.  2.方程10×6x2=1 500有几个解?分别是什么?它们都符合实际问题的意义吗? 3.对于方程x2=p,当p的值分别为2,0时,求出方程的解;若p=-3,方程有解吗?为什么? 　　4.对照上面解方程的过程,你认为应怎样解方程(x-1)2=2?请写出求解过程. 归纳总结　(1)关于x的方程x2=p,当p>0时,方程有 个 的实数根,x1= ,x2= ;当p=0时,方程有 个 的实数根,　　　　;当p<0时,方程 实数根.  (2)解形如(mx+n)2=p(p≥0)的一元二次方程,先根据 的意义,把一元二次方程“ ”转化为两个 元 次方程,再求解.  【合作探究】 任务驱动一：用直接开平方法解一元二次方程 1.用直接开平方法解下列一元二次方程. (1)9x2=25;(2)2x2-98=0; (3)3(x-2)2=0;(4)81(x-2)2=16. 变式演练　 1.解方程:(1)4x2+4x+1=0;(2)2(x2+6x+9)=32;(3)(2x-3)2=(x+2)2. 2.小华在解方程(x+6)2-9=0时的解答过程如下: 解:移项,得(x+6)2=9,……第一步 两边开平方,得x+6=3,……第二步 所以x=-3.……第三步 小华的解答从第　　　　步开始出错,请写出正确的解答过程.  　　方法归纳交流　原方程左边和右边都是完全平方式,因此可将右边看作一个非负数,运用 的方法将原方程 为两个 ,即可求解.  任务驱动二：能用直接开平方法解一元二次方程的条件 2.若关于x的方程2(x-3)2=3a-1有实数根,求a的取值范围. 方法归纳交流　对于形如(mx+n)2=p的方程,当p>0时,方程有　;  当p=0时,方程有　　　　　　　　;当p<0时,方程　　　　　　　　.  变式演练　已知b<0,关于x的一元二次方程(x-1)2=b的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个实数根 参考答案 【预习导学】 知识点 1.60　平方根 2.答:两个解,分别是5和-5.因为棱长不能是负数,所以-5不符合实际意义. 3.答:当p=2时,x1=,x2=-; 当p=0时,x1=x2=0; 当p=-3时,方程无解,因为对任意实数x,都有x2≥0,所以方程x2=-3无解. 4.答:根据平方根的意义,先求出x-1的值,再求x. 由(x-1)2=2,得x-1=±,即x-1=或x-1=-,所以x1=1+,x2=1-. 归纳总结 (1)两　不相等　-　　两　相等　x1=x2=0　没有 (2)平方根　降次　一　一 【合作探究】 任务驱动一 1.解:(1)原方程可化为(3x)2=52, 解得x1=,x2=-. (2)原方程可化为x2=49,解得x1=7,x2=-7. (3)原方程可化为(x-2)2=0,解得x1=x2=2. (4)原方程可化为[9(x-2)]2=42, 解得x1=,x2=. 变式演练　 1.解:(1)方程可化为(2x+1)2=0,解得x1=x2=-. (2)方程可化为(x+3)2=16,得x+3=4或x+3=-4,方程的两根为x1=1,x2=-7. (3)2x-3=x+2或2x-3=-x-2, 解得x1=5,x2=. 2.解:二. 正确的解答过程如下: 解:移项,得(x+6)2=9, 两边开平方,得x+6=±3, 所以x1=-3,x2=-9. 方法归纳交流 直接开平方　降次　一元一次方程 任务驱动二 2.解:由题意知3a-1≥0,解得a≥. 方法归纳交流 两个不相等的实数根　两个相等的实数根　没有实数根 变式演练　C 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.1 第2课时　配方法 素养目标 1.知道配方法的概念,能运用配方法解一元二次方程. 2.通过用配方法将一元二次方程进行变形,进一步体会转化的思想方法. ◎重点:用配方法解一元二次方程. 【预习导学】 知识点一：用配方法解一元二次方程   阅读课本“探究”至“例1”,填空:(阅读时注意框图中解一元二次方程的步骤及每一步的理论依据) 1.通过配成 的形式来解一元二次方程的方法,叫作配方法.  2.结合课本“例1”,说一说配方法解一元二次方程的一般步骤. (1)移项:使方程左边只含有 项和 项,右边为 .  (2)如果二次项系数不是1,则把二次项系数化为 (方程两边都除以　).  (3)配方:方程两边都加上 ,使方程左边变为 .  (4)若右边是 ,则用直接开平方法求方程的解;若右边是 ,则方程无解.  归纳总结　一般地,如果一个一元二次方程能通过配方转化成(x+n)2=p的形式,那么就有: (1)当p>0时,方程有两个不相等的实数根,x1= ,x2= ;  (2)当p=0时,方程有两个相等的实数根,x1=x2= ;  (3)当p<0时,方程 .  【合作探究】 任务驱动一：用配方法解一元二次方程 1.用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0,配方后得到的方程是 ( ) A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28 C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1 　　2.(运算能力)用配方法解下列方程. (1)x2-x-6=0; (2)2x2+4x-9=0;(3)3x2-2x-3=0;(4)2x2-4x+3=0. 　　方法归纳交流　用配方法解一元二次方程ax2+bx=n,首先把二次项系数转化成 ,然后方程的两边同时加上 项系数 的 .  变式演练　 用配方法解方程. (1)x2-4x+1=0;(2)2x2+1=3x; (3)3x2-6x+4=0. 任务驱动二：配方法的应用 3.已知x2+y2-6x+2y+10=0,x,y为实数,则x= ,y= .  方法归纳交流　利用配方法可以把方程左边变为两个 数的和的形式,再利用 数的性质即可求解.  变式演练　 已知等腰三角形两边长a,b满足a2+b2-4a-10b+29=0,求这个等腰三角形的周长. 　　4.(推理能力)阅读理解:求代数式x2+6x+10的最小值. 　　解:∵x2+6x+10=(x2+6x+9)+1=(x+3)2+1, ∴当x=-3时,代数式x2+6x+10有最小值,最小值是1. 仿照应用求值. (1)求代数式x2+2x+10的最小值. (2)求代数式-m2+8m+3的最大值. 变式演练　 试说明代数式x2-6x+12的值不小于3. 参考答案 【预习导学】 知识点 1.完全平方 2.(1)二次　一次　常数项 (2)1　二次项系数 (3)一次项系数一半的平方　完全平方式 (4)非负数　负数 归纳总结 (1)-n-　-n+ (2)-n (3)无实数根 【合作探究】 任务驱动一 1.D 2.解:(1)x2-x=6,∴x-2=,∴x1=3,x2=-2. (2)x1=-1,x2=--1. (3)x1=,x2=. (4)移项,得2x2-4x=-3,两边都除以2,得x2-2x=-,配方,得x2-2x+1=-,∴(x-1)2=-.∵(x-1)2≥0,而-<0,∴原方程无解. 方法归纳交流 1　一次　一半　平方 变式演练　 解:(1)x2-4x=-1, x2-4x+4=3, (x-2)2=3, x-2=±, ∴x1=2+,x2=2-. (2)2x2-3x=-1, x2-x+=-+, x-2=, x-=±, ∴x1=1,x2=. (3)3x2-6x=-4, x2-2x+1=-+1, (x-1)2=-, ∴此方程无实数解. 任务驱动二 3.3　-1 方法归纳交流 非负　非负 变式演练　 解:∵a2+b2-4a-10b+29=0, ∴(a2-4a+4)+(b2-10b+25)=0, ∴(a-2)2+(b-5)2=0. ∵a-2≥0,b-5≥0, ∴a-2=0,b-5=0, 解得a=2,b=5. ∵2,2,5不能组成三角形, ∴这个等腰三角形的三边长分别为5,5,2, ∴这个等腰三角形的周长为5+5+2=12. 4.解:(1)由题意可得x2+2x+10=(x2+2x+1)+9=(x+1)2+9. ∵(x+1)2≥0, ∴(x+1)2+9≥9, ∴当x=-1时,代数式x2+2x+10有最小值,最小值是9. (2)由题意可得-m2+8m+3=-(m2-8m+16)+3+16=-(m-4)2+19. ∵(m-4)2≥0, ∴-(m-4)2+19≤19, ∴当m=4时,代数式-m2+8m+3有最大值,最大值为19. 变式演练　 解:将x2-6x+12配方,得x2-6x+9-9+12,即(x-3)2+3, 因为(x-3)2≥0,所以(x-3)2+3≥3. 所以代数式x2-6x+12的值不小于3. 学科网（北京）股份有限公司 $$