2.1等式性质与不等式性质 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 §2.1 等式性质与不等式性质 §2.2 基本不等式 §2.3 二次函数与一元二次方程、 不等式 索引 必修 第一册 1 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系。 限速问题 1. 等式与不等式 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 2 客车核载问题 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 购物节满减问题 类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等，相等用等式表示，不等用不等式表示。 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 等于，相等，相同 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 = > < ≥ ≤ 在描述一种不等现象或者不等式的时候，通常用数学符号连接两个数或代数式，以表示不等关系。 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 5 【引例1】用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系。 （1）某路段限速40 km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于 2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，“限速 40 km/h”就是v的大小不能超过 40，于是 0< v ≤40。 对于（2），由题意，得 f ≥2.5%， p ≥2.3% 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 对于（3），设∆ABC的三条边为a，b，c，则a + b > c，a -b < c 对于（4），如图，设C是直线AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是直线AB上不同于D的任意一点，则CD<CE。 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 7 【引例2】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本。如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？ 设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总收入为 于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为 求出不等式的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围。 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 8 如何解前面的不等式呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质。为此，我们需要先研究不等式的性质。 实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质。那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实。 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B。那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b。 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 9 关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实： 如果a-b是正数，那么a > b；如果a-b等于0，那么a = b；如果a-b是负数那么a < b。反过来也对。 这个基本事实可以表示为 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小。 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 10 【例1】比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小。 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 11 中国古代数学家赵爽在三国时期（约222年）发明的一种几何图形——弦图，主要用于证明勾股定理。 其核心是通过切割重组图形，保持面积不变，将直角三角形边长的代数关系转化为几何形式。 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 【探究：重要不等式】下图是在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？ 将图中的“风车”抽象成下图。在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边的长为a，b( a ≠ b )，那么正方形的边长为 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 13 这样，4个直角三角形的面积和为2ab，正方形的面积为a2+b2。由于正方形ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a = b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 一般地，∀a，b∈R，有 当且仅当 a=b 时，等号成立。 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 14 【例2】已知a>0，b>0，利用重要不等式证明a3＋b3≥ab2＋a2b 重要不等式a2＋b2≥2ab两边同乘(a+b) 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 15 不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发。 等式的性质 ① 如果a=b，那么b=a； ② 如果a=b，b=c，那么a=c； ③ 如果a=b，那么a±c=b±c； ④ 如果a=b，那么ac=bc； ⑤ 如果a=b，c≠0，那么 2. 不等式的性质 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 16 类比等式的基本性质，猜想不等式的基本性质。 性质1 对称性 如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b。即a>b<=>b<a 性质2 传递性 如果a>b，b>c，那么a>c。即a>b，b>c⇒a>c 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 17 性质3 可加性 如果a>b，那么a + c>b + c 如图，把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离，得到另两个点A1与B1，A与B和A1与B1的左右位置关系不会改变。用不等式的语言表示，就是上述性质3。 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 18 性质4 可乘性 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc 这就是说，不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向。 利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质，例如，利用性质2，3可以推出： 性质5 同向可加性 如果a>b，c>d，那么a+c > b+d 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 19 利用性质4和性质2可以推出： 性质6 同向同正可乘性 如果a > b > 0，c > d > 0，那么ac > bd 性质7 可乘方性 如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n≥2） 实数大小关系的基本事实和不等式的性质是解决不等式问题的基本依据。 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 重要提醒： （1）性质3（可加性）是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据。 （2）性质4（可乘性）在使用中要特别注意研究“乘数的符号”。 （3）性质5（同向可加性），即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”。 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 总结：不等式性质 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 【例3】(多选)若 ，则下面四个不等式成立的有(　　) A. |a|>|b| B. a<b C. a＋b<ab D. a3>b3 CD 由 可得b<a<0，从而|a|<|b|，A，B均不正确； a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，C正确；a3>b3，D正确 索引 §2.1 等式性质与不等式性质 $$