精品解析：云南省丽江市第一高级中学2025-2026学年高二上学期开学考数学试卷

丽江市第一高级中学2025-2026学年高二上学期开学考 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题(每小题 5 分，共 40 分) 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，再根据交集含义即可得到答案. 【详解】， 则. 故选：B. 2. 小冉同学近9次考试的数学成绩如下:72，74，80，83，85，85，93，100，107，请问这组数据的第40百分位数是（ ） A. 81.5 B. 80 C. 84 D. 83 【答案】D 【解析】 【分析】应用百分位数的定义求数据的第40百分位数. 【详解】数学成绩从小到大为， 所以，故数据的第40百分位数是第四个数，为. 故选：D 3. 已知命题，使，其否定命题为（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 【答案】B 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定是将存在改为任意，并否定原结论，即可得. 【详解】由存在量词命题的否定是全称量词命题，则原命题的否定，使. 故选：B 4. 已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（ ） A. 相交 B. 异面 C. 相交或异面 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知直线的位置关系，结合平面的基本性质，空间想象来判断a与d的位置关系. 【详解】由，是异面直线，则异面或相交，又，故异面或相交. 故选：C 5. 在中，D为BC中点，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知用表示出，结合已知确定参数值. 【详解】因为D为BC中点，所以， 由题意，即. 故选：D 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到，再由集合的包含关系判断可得. 【详解】由，可得，，， 又，所以，即或， 由，可得，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 7. 轴截面为正三角形的圆锥，记其侧面积为，体积为，若，则底面半径为（ ） A. B. 3cm C. D. 1cm 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，利用建立方程，解之即得. 【详解】设圆锥的底面半径为，因圆锥的轴截面为正三角形，则圆锥的高的长为，母线长为， 由题意，，即，解得. 故选：A. 8. 定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，根据函数的对称性、单调性即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又函数图象关于直线对称，在单调递减， 所以在区间上单调递增， 所以. 故选：B. 二、多选题(每小题 6 分，共 18 分) 9. 已知复数，的共轭复数为，复数在复平面中对应的点为M，则下列说法正确的是（ ） A. M在第一象限 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据已知复数，写出对应点坐标和共轭复数，再应用复数加法、乘法等运算依次判断各项的正误. 【详解】由，对应点为在第一象限，且， 所以，，， 所以A、D对，B、C错. 故选：AD 10. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第1枚正面朝上”，事件“至少有一枚反面朝上”，事件“两枚都正面朝上”，事件“两枚硬币朝上的面相同”，则（ ） A. 事件与事件独立 B. 事件与事件对立 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件独立 【答案】BD 【解析】 【分析】根据独立事件，对立事件，互斥事件事件定义及概率关系即可判断各个选项. 【详解】样本空间，事件， 事件，，， ，，，， ，． 对于A，因为，所以事件与事件不独立，故选项A不正确； 对于B，因为，且，所以事件与事件对立，故选项B正确； 对于C，因为，所以事件与事件不互斥，故选项C不正确； 对于D，因为，所以事件与事件独立，故选项D正确， 故选:BD． 11. 在矩形中，AB =2，AD=1，P ，Q分别为线段上的动点，M ，N分别为线段的中点，则下列说法正确的是（） A. B. // C. 当P ， Q 分别为线段 的中点时， D. 若 则 的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，给出点的坐标可以判断ABD各项，对于C项，由四边形与四边形均为边长为1的正方形，即可判断． 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示： 则， 由于P ，Q分别为线段上的动点， 可设， 对于A项，， 则，故A项正确； 对于B项，由于M ，N分别为线段的中点， 则，得， 而，则，故B项正确； 对于D项，因为， 所以， 得， 由，等号成立时，， 则， 得， 得，得， 则 的最小值为2，故D项正确； 对于C项，如图所示： 四边形与四边形均为边长为1的正方形， 则，故C项错误． 故选：ABD 三、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 12. 从长度为的条线段中任取条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】采用列举法可得所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可得结果. 【详解】从条线段中任取条，则有，，，，，，，，，，共个基本事件； 其中三条线段能够成三角形的基本事件有：，，，共个； 所求概率. 故答案为：. 13. 已知，，，则的值为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】由三角函数和差公式，根据同角三角函数的商式，结合角的取值范围，可得答案. 【详解】因为， ， 所以， 分子分母同时除以，得①． 由于，所以，所以， 所以， 所以，，代入①， 得，解得. 故答案为：. 14. 若函数有三个零点，则a的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论分段函数结合二次函数的零点及求出导函数得出单调性及函数极值求解参数. 【详解】当， 时，，且有两个零点， 且，所以都是负值，所以，所以， 时，，且有1个零点， 且，所以都是负值，所以，所以， 时，，所以不存在零点； 所以时，有2个零点； 时，有1个零点； 时，有0个零点； 因为函数有三个零点， 则当时，有2个零点，则有1个零点； 当时，有1个零点，则有2个零点； 当时，有0个零点；则有3个零点； 当，单调递增， 当单调递增至多有1个零点，不可能有3个零点；所以不合题意； 当 单调递减；单调递增； ， ， 且的极小值为， 所以至多有一个零点， 当时，设，，单调递减， ， 所以有一个零点，符合函数有三个零点； 故答案为： 四、解答题(共 77 分) 15. 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并给予证明； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）奇函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）函数的定义域满足真数部分大于0，得到的取值范围； （2）得到，然后判断与的关系，从而得到函数的奇偶性； （3）根据题意得到关于的不等式，从而得到的解集. 【小问1详解】 由函数的定义域满足真数部分大于零，即解不等式， 解得, 函数的定义域为. 【小问2详解】 由第一问函数的定义域为， ， 所以函数为奇函数. 【小问3详解】 解不等式， 即,即， 从而有， 所以. 不等式的解集为 16. 在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. （1）求m的值; （2）设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； （3）从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数； （2）由频率直方图及题设，求平均值，比较大小即可； （3）应用分层抽样确定不同区间抽取的人数，应用列举法求古典概型的概率. 【小问1详解】 由图知，可得； 【小问2详解】 由图，， ， 所以； 【小问3详解】 由题意，，的人数比为，故6人中4人来自，2人来自， 令中4人为，中2人为， 所以，6人任意抽取2人有，共15种， 其中2人来自同一区间有，共7种， 所以这2人的成绩在同一区间内的概率为. 17. 在中，三个内角所对的边分别为，已知，且. （1）求角B ; （2）若的周长为，D为BC的中点.求中线AD的长度. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示得，应用正弦边角关系、三角恒等变换整理化简得，进而求角； （2）由题设、，应用向量数量积的运算律、余弦定理得、，进而求边长，代入即可得. 【小问1详解】 由题设，可得， 由正弦边角关系知， 所以， 即， 所以，而，故， 由，则； 【小问2详解】 由题设，则， 又，则， 所以， 由，，则，可得， 综上，，所以，即. 18. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】（1） 连接交于，连接， 侧面为平行四边形，为的中点. 又点为的中点，， 又平面平面， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，求证，即可由线面平行判定定理得证； （2）先由（1）得为异面直线与所成的角或其补角，再在中，由余弦定理即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得为异面直线与所成的角或其补角. 在棱长均为2的正三棱柱中，，，， 在中，由余弦定理得， 异面直线与所成的角的余弦值为. 19. 若函数的定义域为A，值域为B，且，则称为“子集函数”． （1）证明：函数是“子集函数”． （2）判断函数是否为“子集函数”，并说明理由． （3）若函数（）的定义域为，且是“子集函数”，求a的取值范围． 【答案】（1） 若，则定义域为， 可得值域为， 由于，所以是“子集函数”． （2） 不是“子集函数”．理由以下： 由于，可得，则的定义域为． 由，则，即的值域为． 因为，所以不是“子集函数”． （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的定义域和值域来判断是否满足，即可得到证明； （2）同理利用函数的定义域和值域来判断是否满足，即可得到判断； （3）利用函数的定义域可求值域，再利用包含关系可求参数的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得， 则， 因为，所以的值域为． 因为是“子集函数”，所以， 则，解得， 故a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丽江市第一高级中学2025-2026学年高二上学期开学考 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题(每小题 5 分，共 40 分) 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 小冉同学近9次考试的数学成绩如下:72，74，80，83，85，85，93，100，107，请问这组数据的第40百分位数是（ ） A. 81.5 B. 80 C. 84 D. 83 3. 已知命题，使，其否定命题为（ ） A. ，使 B. ，使 C. ，使 D. ，使 4. 已知直线，若，是异面直线，则a与d的位置关系为（ ） A. 相交 B. 异面 C. 相交或异面 D. 不确定 5. 在中，D为BC中点，且满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 轴截面为正三角形的圆锥，记其侧面积为，体积为，若，则底面半径为（ ） A. B. 3cm C. D. 1cm 8. 定义在上的函数图象关于直线对称，在单调递减，若且，则（    ） A. B. C. D. 二、多选题(每小题 6 分，共 18 分) 9. 已知复数，的共轭复数为，复数在复平面中对应的点为M，则下列说法正确的是（ ） A. M在第一象限 B. C. D. 10. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第1枚正面朝上”，事件“至少有一枚反面朝上”，事件“两枚都正面朝上”，事件“两枚硬币朝上的面相同”，则（ ） A. 事件与事件独立 B. 事件与事件对立 C. 事件与事件互斥 D. 事件与事件独立 11. 在矩形中，AB =2，AD=1，P ，Q分别为线段上的动点，M ，N分别为线段的中点，则下列说法正确的是（） A. B. // C. 当P ， Q 分别为线段 的中点时， D. 若 则 的最小值为2 三、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 12. 从长度为的条线段中任取条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为__________. 13. 已知，，，则的值为_______. 14. 若函数有三个零点，则a的取值范围为________． 四、解答题(共 77 分) 15. 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）判断函数的奇偶性，并给予证明； （3）求不等式的解集． 16. 在领航2班的一次数学周考中，满分120分，根据班级成绩统计得到了成绩的频率分布直方图，如图所示.由于制作图表的人工作不仔细，将的人数与的人数，的人数与的人数登记反了. （1）求m的值; （2）设领航2班这次考试的更正前的平均分求更正后的平均分，并比较与的大小.（不需要计算，说明理由即可；每个区间的平均分以中点值代替）； （3）从更正后得分，的人中按分层抽样的方式从中选出一个容量为6的样本，再从这6人中选出2人参加竞赛考试，则这2人的成绩在同一区间内的概率为多少? 17. 在中，三个内角所对的边分别为，已知，且. （1）求角B ; （2）若的周长为，D为BC的中点.求中线AD的长度. 18. 如图，在棱长均为2的正三棱柱中，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 19. 若函数的定义域为A，值域为B，且，则称为“子集函数”． （1）证明：函数是“子集函数”． （2）判断函数是否为“子集函数”，并说明理由． （3）若函数（）的定义域为，且是“子集函数”，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $