第二讲 基本不等式讲义-2026届高三数学一轮复习

一、基础知识梳理

常用结论

1．几个重要的不等式

（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．

（2）≥2(a，b同号)．

（3）ab≤2(a，b∈R)．

（4）≥2 (a，b∈R)．

以上不等式等号成立的条件均为a＝b．

2．基本不等式链

即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．

 

 

 

 

 

 

 

二、典型例题

题型一 利用基本不等式求最值

考向1 直接法求最值

1. 已知，求的最小值．

考向2 配凑法求最值

2.   已知，求的最小值；
3.   求的最大值．

考向3 “1”的代换求最值

4.   设正数x，y满足下列条件，分别求的最小值．

（1）；

（2）．

5. 已知，为正实数，，则的最小值为（     ）

A． B． C．2 D．

考向4 消元法求最值

6.若，，且，求与的最小值．

考向5 构造不等式法求最值

7. 若，，且，求的取值范围．

题型二：与基本不等式有关的恒（能）成立问题

8. 已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围（    ）

A．           B．         C．           D．

题型三：基本不等式的实际应用

9.（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？

（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？

 

 

三、课堂练习

1.【多选】（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（   ）

A.6            B.12           C.2          D.4

2.函数的最大值为（   ）

A．          B．          C．        D．

3.已知，，，则的最小值是（   ）

A.1            B.2            C.4          D.8

4.已知正实数x，y满足，则的最大值为            ．

5.若正实数满足，则的最小值为（   ）

A.1            B.2            C.3          D.4

6.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是            ．

7.在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌．已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（   ）

A.0.25米      B.0.5米       C.0.75米     D.1米

8.若正数满足：，（1）求的取值范围；（2）求的取值范围．

 

 

9.已知，，则的最大值为            ．

 

 

 

 

 

 

 

 

四、课后作业

1．已知正数，满足，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数，则的最小值为（    ）

A．4 B．6 C． D．