奥数教程（讲义）-2025-2026学年四年级上册数学人教版

目 录 第1讲 简便计算 1 第2讲 打包比较计算 11 第3讲 多边形面积 19 第4讲 数字谜 31 第5讲 加法原理与乘法原理 40 第6讲 行程问题初步 52 第7讲 追及问题 61 第8讲 数列基础 69 第9讲 合理安排时间问题 77 第10讲 书中的秘密 85 第11讲 旋转与平衡 91 第12讲 计算奇偶性判断 99 第13讲 和差与和倍 107 第14讲 和倍与差倍问题 114 第15讲 有余数的除法 122 第16讲 复杂的差倍问题 129 第1讲 运动的描述 笔记区 ——培养好学生，造就好老师，创办好学校2 第1讲 简便计算 · 模块一 带符号搬家 · 模块二 去添括号 · 模块三 提取公因数 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 同学们已经学过了四则混合运算，在这里我们先简单复习一下四则混合运算的各 种运算律，包括交换律、结合律、分配律、去括号和添括号的法则等等. 一、交换律： 1. 加法交换律：a+b=b+a; 例如：123+234=234+123; 2.乘法交换律：a×b=b×a, 例如：123×234=234×123. 二、结合律： 1.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c), 例如：(123+234)+345=123+(234+345); 2.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c), 例如：(10×11)×12=10×(11×12). 三、分配律： 1.乘法分配律： 例如：(234-123)×5=234×5-123×5;5×(234-123)=5×234-5×123. 2. 除法分配律： 例如：(100-40)÷10=100÷10-40÷10;避免错误使用：18÷(3+6)≠18÷3+18÷6. 四、去(添)括号： 1.加、减法去(添)括号：括号前面是“+”,去(添)括号后不变号；括号前面 是“-”,去(添)括号后要变号. 例如：234+(345-123)=234+345-123,345- (234-123)=345-234+123. 2. 乘、除法去(添)括号：括号前面是“×”,去(添)括号后不变号；括号前面 是“÷”,去(添)括号后要变号. 例如：8×(5÷8)=8×5÷8,93÷(31÷3)=93÷31×3. 五、带符号搬家： 1. 同级运算时，可以带符号搬家，改变运算顺序. 注意：加、减法同为第一级运算，乘、除法同为第二级运算. 例如：241-164+59=241+59-164;165×29÷5=165÷5×29. 2. 四则混合计算时要先算乘除法、后算加减法，同级运算按照从左到右的顺序计 算，有括号时先算括号内的. 由这些性质出发，我们能总结出很多种巧算的方法，比如凑整法、提取公因数法等. 例题1 计算：(1)125×71×8; (2)124×24÷31; (3)28×7÷28×7. 【解析】（1） 125 × 71 × 8 = 125 × 8 × 71 = 1000 × 71 = 71000 ； （2） 124 × 24 ÷ 31 = 124 ÷ 31 × 24 = 4 × 24 = 96 ； （3） 28 × 7 ÷ 28 × 7 = 28 ÷ 28 × 7 × 7 = 49 练习1 计算：(1)25×123454321×4 (2)96×25÷24. （1） 25 × 123454321 × 4 = 25 × 4 × 123454321 = 12345432100 ； （2） 96 × 25 ÷ 24 = 96 ÷ 24 × 25 = 4 × 25 = 100 同级运算时，可以通过添(去)括号改变运算顺序. 例题2 计算：(1)222÷64×32; (2)123÷(41÷32); (3)125×21×60÷(7÷8×15). （1） 222 ÷ 64 × 32 = 222 ÷ (64 ÷ 32) = 222 ÷ 2 = 111 ； （2） 123 ÷ (41 ÷ 32) = 123 ÷ 41 × 32 = 3 × 32 = 96 ； （3） 125 × 21 × 60 ÷ (7 ÷ 8 × 15) = 125 × 21 × 60 ÷ 7 × 8 ÷ 15 = (125 × 8) × (21 ÷ 7) × (60 ÷ 15) = 12000 ． 练习2 (1)72×27×88÷(9×11×12); (2)25×121÷2÷(11×5÷4). 解析】（1） 72 × 27 × 88 ÷ (9 × 11 × 12) = 72 × 27 × 88 ÷ 9 ÷ 11 ÷ 12 = (72 ÷ 12) × (27 ÷ 9) × (88 ÷ 11) = 6 × 3 × 8 = 144 ； （2） 25 × 121 ÷ 2 ÷ (11 × 5 ÷ 4) = 25 × 121 ÷ 2 ÷ 11 ÷ 5 × 4 = (25 ÷ 5) × (121 ÷ 11) × (4 ÷ 2) = 5 × 11 × 2 = 110 ． 提取公因数是最常用、最重要的巧算方法之一，很多时候还需要我们自己构造公因数. 例3 计算：(1)222×33+889×66; = 111 × 66 + 889 × 66 = 66 × (111 + 889) = 66000 ； (2)21×32+58×68+32×37; = 32 × (21 + 37) + 58 × 68 = 32 × 58 + 58 × 68 = 58 × (32 + 68) = 5800 ； (3)12×21+23×12+52×11 = 12 × (21 + 23) + 52 × 11 = 12 × 44 + 52 × 11 = 48 × 11 + 52 × 11 = 11 × (48 + 52) = 1100 ． 练3 计算：23×5+46×25+69×15. = 23 × 5 + 23 × 50 + 23 × 45 = 23 × (5 + 50 + 45) = 2300 例题4 计算：(1)(16+32+36+40)÷4; (2)96÷4+176÷4+128÷4 (3)15÷6+53÷6-20÷6. （ 1 ）(16 + 32 + 36 + 40) ÷ 4 = 16 ÷ 4 + 32 ÷ 4 + 36 ÷ 4 + 40 ÷ 4 = 4 + 8 + 9 + 10 = 31 ； （ 2 ）96 ÷ 4 + 176 ÷ 4 + 128 ÷ 4 = (96 + 176 + 128) ÷ 4 = 400 ÷ 4 = 100 ； （3） 15 ÷ 6 + 53 ÷ 6 − 20 ÷ 6 = (15 + 53 − 20) ÷ 6 = 48 ÷ 6 = 8 ． 练习4.1 计算：(1)52÷7-13÷7+3÷7; (2)11÷5+111÷5+1÷5-23÷5. （1） 52 ÷ 7 − 13 ÷ 7 + 3 ÷ 7 = (52 − 13 + 3) ÷ 7 = 42 ÷ 7 = 6 ； （2） 11 × 5 + 111 ÷ 5 + 1 ÷ 5 − 23 ÷ 5 = (11 + 111 + 1 − 23) ÷ 5 = 100 ÷ 5 = 20 ． 勇攀高峰 计算：(1)15×16÷12; (2)64÷28×35. （1） 15 × 16 ÷ 12 = 15 × 16 ÷ 3 ÷ 4 = (15 ÷ 3) × (16 ÷ 4) = 5 × 4 = 20 ； （2） 64 ÷ 28 × 35 = 64 ÷ 4 ÷ 7 × 35 = (64 ÷ 4) × (35 ÷ 7) = 16 × 5 = 80 ． 计算：(1)56×47+46×44; (2)55×45-56×44. （1） 56 × 47 + 46 × 44 = 56 × (46 + 1) + 46 × 44 = 56 × 46 + 56 × 1 + 46 × 44 = 46 × (56 + 44) + 56 = 4600 + 56 = 4656 ； （2） 55 × 45 − 56 × 44 = (56 − 1) × 45 − 56 × 44 = 56 × 45 − 1 × 45 − 56 × 44 = 56 × (45 − 44) − 45 = 56 − 45 = 11 ． - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 课堂内外 数学以外的括号 括号，又称括弧号或夹注号. 数学中，括号主要用来规定运算次序的符号，主要分为四类，包括大括号“{}”、 中括号“[]”、小括号“()”以及比较少用的括线“一”. 而数学以外，括号主要用于作注释之用.写文章写到某个地方，为了让读者了解得 更透彻，有时需要加个注释.这种注释，要用括号表明.注释的性质是多种多样的.但是 小括号内只能对前面的语句进行附加说明，不能引入新的内容. 用作注释的括号主要包括：方括号“[]”、六角括号“〔”、方头括号“【】”和书 名号“◇”等形式. 方括号“[]”用来标示行文中的补缺或订误、国际音标、参考文献等. 六角括号“门”用来标示公文编号中的发文年份，作者国籍、朝代等. 方头括号“【】”又称“鱼尾号”,常用来标示工具书的条目. 最早出现的括号是小括号“()”,于1544年出现.直至17世纪，中括号“[]”才 出现于英国瓦里斯〔Wallis,1616-1703〕 的著作中，至于括线则由1591年韦达〔Vieta, 1540—1603〕首先采用，而大括号“{}”则约在1593年由韦达首先引入；至1629年，荷 兰的基拉德采用了全部括号，18世纪后开始在世界通用. 进入计算机时代后，括号又有了新的任务，各种编程语言中都会大量地用到小括号 “()”和大括号 “{}”. 第2讲 打包比较计算 · 模块一 比较法 · 模块二 倍数分组比较 · 模块三 打包比较法 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 当题目中包含两个以上的对象时，最简单的解决方法就是：把其中的若干对象“打包”,变成一个对象，从而减少对象的数量，最终把问题变成两个 对象间的和差倍问题.这种“打包”的方法就是所谓的分组法。在有多个对象的和差 倍问题中，分组法和比较法是常用的方法。 我们先来看这么一个简单的问题： 甲、乙、丙三人一起去称体重，由于秤出了点问题，只能准确称出60千克与90千克之间的重量，因此他们三人只能两人两人一起称重.甲和乙一起称，总重量是73 千克；乙和丙一起称，总重量是80千克；丙和甲一起称，总重量是75千克.三人的 体重分别是多少千克? 我们把甲、乙两人看成一组，乙、丙两人也看成一组(乙同时属于两组),比较 这两组我们发现丙比甲重80-73=7(千克).再结合甲、丙总重量为75千克，可以 根据和差关系算出甲、丙各自的重量。 在这个例子中，我们既考虑两人一组的总重量，也把两组的总重量作比较。 除此之外，还有一种利用分组进行比较的分析方法：同样的，我们把甲、乙、丙 三个人两两的体重看做一组，把三组相加，即为三个人体重和的2倍.由此可得三人 体重之和为(73+80+75)÷2=114(千克),再分别与每一组进行比较，即可得到三个人的体重。 由此可见，用分组法与比较法在处理多个对象的和差倍关系时，可以把条件之间 的关系变得更清晰.而且，一个题目往往是可以从不同的角度去采用不同的分析方法 进行解决的.所以我们要根据题目的实际情况进行合理的比较。 有些题目直接列出算式去比较会很麻烦，所以我们可以用画图的方法来帮助我们比较。 例1 乐乐学堂举办包包子大赛，乐乐比思思多包3个，丫丫比丽丽多包9个，乐乐和丽丽共包了87个.那么这四个人共包了多少个包子? 根据题目的数量关系 ，分组画图 ，乐乐和思思一共包了87 − 3 + 9 = 93（个）包子 ，所 以这四个人共包了87 + 93 = 180（个）包子 ． 练习1 有来自阳光、灿烂、雨天、清风这四所小学的同学参加高思吃包子比赛，其中阳光学校参赛人数 比灿烂学校多5人，雨天学校参赛人数比清风学校多7人.如果灿烂、雨天两校一共有40人参加比赛，那么阳光、清风两校一共有多少人参加比赛? 根据题目的数量关系，分组画图，阳光和清风一共有40 + 5 − 7 = 38（人）参赛 ． 例2 在神秘的星球上只有四种水果，其中火龙果和水龙果共83个，水龙果和金龙果共86个，金龙果和木龙果共88个.请问：火龙果和木龙果共多少个? 方法一 ：根据题目的数量关系 ，分组画图 ，金龙果比火龙果多3个 ，所以火龙果和木龙果 的总个数比金龙果和木龙果的总个数少3个，即88 − 3 = 85（个） ． 练2 西瓜太郎有四种西瓜，其中红西瓜和绿西瓜共23个，绿西瓜和粉西瓜共35个，粉西瓜和黄西瓜共39个.请问：红西瓜和黄西瓜共多少个? 23 + 39 = 62（ 个 ），即为红、绿、粉、黄四种西瓜的总个数 ．要求红、黄的个数 ，用 四种西瓜的总个数减去粉、绿的个数即可，62 − 35 = 27（个） ． 例3 某学生到工厂勤工俭学，按合同规定，干满30天，工厂将给他一套工作服和1000元钱。但由于学校另有安排，他工作了10天后便中止了合同。按天计算所得的报酬，工厂需要给他一套工作服和200元钱.请问：这套工作服值多少元钱? 30天工资 =工作服+1000元 ，10天工资 =工作服+200元 ，比较两次的工资 ，去掉相同的 部分即工作服 ，比较差异 ，相差1000 − 200 = 800（元） ，是因为实际少工作了20天 ， 所以此800元恰好是20天的工资 ，所以10天的工资就是800 ÷ 2 = 400（元） ，根据第二 个等式可以知道工作服值400 − 200 = 200（元） ． 练3 在海洋王国里，海豚在鲸鱼开的餐厅打工.它俩说好工作满30天，鲸鱼就付给海豚100个海洋 币和1颗珍珠.但是工作了25天，海豚便决定不干了.按天算工资，鲸鱼只付给它50个海洋币和1颗珍珠.请问：这颗珍珠值多少个海洋币? 30天工资 =珍珠+100个海洋币 ，25天工资 =珍珠+50个海洋币 ，比较两次的工资 ，去掉相 同的部分即珍珠 ，比较差异 ，相差100 − 50 = 50（个）海洋币 ，是因为实际少工作了5 天 ，所以此50个海洋币恰好是5天的工资 ，所以30天的工资就是50 × 6 = 300（个）海 洋币，根据第一个等式可以知道珍珠值300 − 100 = 200（个）海洋币 ． 例4 某食堂买来的大米的袋数是面粉的4倍，该食堂每天消耗面粉20袋，大米60袋，几天后面粉全部用完，大米还剩下200袋.请问：这个食堂买来大米多少袋？ 大米的袋数是面粉的4倍 ，根据倍数关系分组 ，实际每天消耗面粉20袋 ，所以将20袋面 粉、80袋大米分为一组 ，但是大米每天消耗60袋 ，所以每组剩下20袋 ，最后一共剩下200 袋，所以共有200 ÷ 20 = 10（组） ，即大米有10 × 80 = 800（袋） ． 练习4.1 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍 .每次从箱子里取出7个白球，15个红球.经过若干次后，箱子里白球恰好被取完，只剩下54个红球。那么箱子里原有红球、白球各多少个? 红球的个数是白球的3倍 ，根据倍数关系分组 ，实际每次取出白球7个 ，所以将7个白球、 21个红球分为一组，但是红球每次取出15个，所以每组剩下6个红球，最后一共剩下54个 红 球 ，所 以 共 有 54 ÷ 6 = 9（ 组 ） ，即 白 球 有 9 × 7 = 63（ 个 ） ，红 球 有 9 × 21 = 189（个） ． 勇攀高峰 四年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是121人；不算丁班，其余三个班的总人数是134人；丁班人数的2倍比甲班多9人.请问：这四个班共有多少人? 乙、丙、丁共121人 ，甲、乙、丙共134人 ，其中乙、丙的人数和是不变的 ，通过比较可 以知道甲比丁多134 − 121 = 13（人） ，而丁的2倍比甲多9人 ，画线段图可以知道丁班 的人数是13 + 9 = 22（人） ，这四个班的总人数就是134 + 22 = 156（人） ． 四年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是131人；不算丁班，其余三 个班的总人数是140人；乙、丙两个班的总人数比甲、丁两个班的总人数少1人.请问：这四个班共有多少人? 乙、丙、丁共131人 ，甲、 乙、丙共140人 ，相加可得 ，“乙丙 ”的2倍与“ 甲丁 ”一共 271人 ，又知“ 甲丁”比“ 乙丙”多1人 ，所以“ 乙丙”的3倍为271 − 1 = 270（人）， 则 “ 乙 丙 ” 为 270 ÷ 3 = 90 （ 人 ） ， “ 甲 丁 ” 为 91 人 ， 四 个 班 一 共90 + 91 = 181（人） ． - 17 - 学科网（北京）股份有限公司 真差25倍吗? 在秋天的赛季里，有两匹马——星期天和戈尔——被公认是发挥最出色的.星期天 轻松地获得肯塔基的冠军，戈尔取得了贝尔盟的桂冠。而在这两项比赛里，两匹马都取 得了一项赛事的冠军，打成了平手.关键在于另一项总决赛，即普力克.在普力克这场 比赛里，这两匹马都奋力向终点冲去，超过其它马有一匹马的身位.电子记录显示，星 期天获得了胜利，但仅比对手快了一个鼻子那么一丁点. 在这一单项赛事里，星期天获得了50万美元的奖励.再加上总成绩第一的100万 奖金，这样就达到了150万美元.而第二名——戈尔只得到了6万美元.星期天得到的 是戈尔的25倍，那么星期天做的真的比戈尔好25倍吗?不可能.完成这3项比赛需要 5个星期的时间，需要跑4公里的路程， 一匹马只是比其对手快了2英寸而已，实际上 差别并不大，甚至可以说几乎没有差别.而它们的回报却相差25倍!这就是微小边缘 原理在起作用. 也许只是多一点点的训练.也许只是多一点点的奋斗，也许计划方法只是好那么一 点点，也许所有这些因素或者还有其它更多的原因.每一项几乎都是微不足道的，然而 把这一些加起来，优势和利益将令你难以置信. 其实，人与人之间的差别和精明与否，是通过许多小的步骤取得的.每次只是一小 步而已.许多人失败后，就灰心丧气，然后放弃。倘若把注意力先放在小的改变上面将 会更容易，更高效并且少受挫折，之后再看它们累加起来的效果. 注意微小的边缘，专心致志，不遗余力，寻求突破，你将挥别失败与痛苦，笑迎成 功与欢乐. 第3讲 多边形面积 · 模块一 正方形与长方形面积 · 模块二 平行四边形面积 · 模块三 三角形面积 · 模块四 梯形的面积 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形.在日常生活中，我们最常见的直 线形有以下几种：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形. 在有关直线形的计算中，计算周长和计算面积是最常见的两类.我们已经学过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线形的面积. 正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如下图： 例1 如图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜.其中茄 子地的面积是16平方米，黄瓜地的面积是28平方米，豆角地的面积是32平方米，莴笋地的面 积是72平方米，而且左上角茄子地恰好是一个正方形.请问：剩下的苦瓜地的面积是多少? 方法一 ：正方形的面积是16平方米 ，所以正方形的边长是4米 ，黄瓜地的面积是28平方 米，黄瓜地的宽是4米，所以长就是28 ÷ 4 = 7（米） ．豆角地的面积是32平方米 ，豆角 地的宽是4米 ，所以长是32 ÷ 4 = 8（米） ，莴笋地的宽是8米 ，面积是72平方米 ，所以长是72 ÷ 8 = 9（米） ．所以苦瓜地的宽是9 − 7 = 2（米） ，长是4米 ，所以苦瓜地的 面积是2 × 4 = 8（平方米 ）；方法二 ：豆角地是茄子地面积的2倍 ，所以莴笋地是黄瓜 地和苦瓜地面积和的2倍 ，黄瓜地和苦瓜地的面积是72 ÷ 2 = 36（平方米 ），所以苦瓜 地的面积是36 − 28 = 8（平方米） ． 练习1 如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、黄瓜，其中冬瓜地的 面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地 恰好是一个正方形.请问：剩下的黄瓜地的面积是多少? 西瓜地是正方形 ，面积为36平方米 ，所以边长为6米 ；冬瓜地面积为24平方米 ，长为6 米 ，所 以 宽 为 24 ÷ 6 = 4（ 米 ） ；南 瓜 地 面 积 为 18 平 方 米 ，长 为 6 米 ，所 以 宽 为 18 ÷ 6 = 3（米） ；黄瓜地长为4米，宽为3米，所以面积为4 × 3 = 12（平方米） ． 如下图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色标出来。 为了计算平行四边形的面积，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一个长方形，如下图。 这个平行四边形的面积和拼成的长方形的面积相同，都等于长方形的长乘宽.长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段.在平行四边形中，这两条线段分别叫做底和高.于是我们有： 平行四边形面积=底×高 如图所示，同学们可以画出这条底对应的若干条高，并且这些高是相等的，都等于上下两条平行线间的距离。 当然我们可以用另一种方式把上面的平行四边形剪拼成一个长方形，如下面左图 所示.同样得到相对于这条底的若干条高，如下面右图所示，这些高也是相等的，都等于左右两条平行线间的距离。 例2 如图是由两个边长分别为4和7的正方形拼成的，请求出图中阴影部分的面积. 阴影平行四边形的底BC是4 ，高FG是7 ，所以平行四边形的面积是4 × 7 = 28 ． 练习2 如图，大正方形里有一个小正方形还有一个阴影平行四边形.如果大正方形的边长是20厘米，小正方形的边长是8厘米.那么图中阴影平行四边形的面积是多少? 阴 影 平 行 四 边 形 的 底 是 小 正 方 形 边 长 即 8 厘 米 ，高 是 两 正 方 形 边 长 之 差 ，即20 − 8 = 12（厘米），所以阴影平行四边形的面积是8 × 12 = 96（平方厘米） ． 三角形中也有相对应的底和高.过三角形的一个顶点向所对的边做一条垂线，所 得的垂线段叫做三角形的高，所对的边叫做三角形的底.每个三角形有三组对应的底和高 . 要计算三角形的面积，同样要利用底和高的长度.观察下图，我们把一个三角形倒 过来和原图形拼在一起，可以得到一个平行四边形. 平行四边形的底与三角形的底相等，高也与三角形的高相等.而平行四边形的面 积等于“底×高”,正好是三角形面积的2倍，所以我们有三角形面积公式： 三角形面积=底×高÷2 按角度来分，三角形有三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.由于三角形 的形状多变，在初学阶段要找准三角形相对应的底和高很不容易.因此要想算出三角 形的面积，最关键的还在于准确地找到底与相应的高.下面是一个简单的作图练习， 大家不妨画一画. 例3 如图所示，两个正方形并排放在一起，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米.那 么图中阴影三角形的面积是多少? 阴 影 三 角 形 的 底 是 6 厘 米 ，高 是 6 + 8 = 14（ 厘 米 ） ，所 以 阴 影 三 角 形 的 面 积 是6 × 14 ÷ 2 = 42（平方厘米） ． 练3 如图是由两个边长分别为4和6的正方形拼成的，请求出阴影三角形的面积. 阴影三角形的底是6，高是6 + 4 = 10 ，所以阴影三角形的面积是6 × 10÷ 2 = 30 ． 三角形和平行四边形都有“底”和“高”的概念，梯形中也有.在梯形中，平行的 一组对边分别叫做上底和下底，不平行的一组对边叫做腰，上底和下底之间的距离叫做梯形的高. 如下图所示，把两个相同的梯形拼在一起，可以得到一个平行四边形. 从图中可以看出，这个平行四边形的面积是梯形面积的2倍.同时平行四边形的 底由梯形的上底和下底拼接而成，高与梯形的高相等.所以： 例题4 一个正方形和一个长方形按如图的方式摆放，已知正方形的面积是49平方厘米，长方形的长为 11厘米，宽为8厘米，那么图中阴影部分的面积是多少? 阴影部分是一个梯形 ，这个梯形的上底是正方形上面的边 ，正方形的面积是49平方厘米 ， 所以正方形的边长是7厘米 ，梯形的下底是长方形的宽即8厘米 ，梯形的高即长方形长与正 方形边长之差 ，为11 − 7 = 4（厘米） ，所以梯形的面积是(7 + 8) × 4 ÷ 2 = 30（ 平 方厘米） ． 练4.1 如图，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米.那么图中阴影部分的面积是多少? 阴影部分是一个梯形 ，这个梯形的上底是小正方形的边长 ，即6厘米 ；梯形的下底是大正 方形的边长即8厘米 ，梯形的高即两正方形边长之差 ，为8 − 6 = 2（ 厘米 ），所以梯形 的面积是(6 + 8) × 2 ÷ 2 = 14（平方厘米） ． 勇攀高峰 如图所示，两个边长10厘米的正方形相互错开3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少? 由于两个大小一样的正方形错开了3厘米，可以知道图中两个小的直角三角形的直角边都是3厘米，所以阴影平行四边形的底就是10 − 3 = 7（厘米） ，高就是10 + 3 = 13厘 米，所以其面积是7 × 13 = 91（平方厘米） ． 如图，把两个正方形拼在一起，小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是7厘米，那么图 中阴影部分的面积是多少? 两个三角形的底都是7 − 5 = 2（厘米） ，左面三角形的高是5厘米 ，右面三角形的高是7 厘米 ，阴影三角形面积分别是2 × 5 ÷ 2 = 5（ 平方厘米 ），2 × 7 ÷ 2 = 7（ 平方厘 米） ，所以阴影部分的面积是5 + 7 = 12（平方厘米） ． - 27 - 学科网（北京）股份有限公司 四边形家的争吵 一天，四边形爷爷给他的子孙们分家了.他把平行四边形分在了一个特别大的房子 里，但是他却把梯形分在一个小小的房子里. 梯形可不满意了，他找来了四边形爷爷，对他说：“爷爷，你偏向平行四边形哥哥， 把它的地盘分的那么大，而我的地盘却那么小，太不公平了!我也要那么大的地盘!” 四边形爷爷却微笑着答道：“孩子，你别吵了，我并没有偏向平行四边形，之所以要 把它的地盘分的那么大，是因为里面还要住上其他的兄弟姐妹呢.你要理解呀!” 这时，在一旁干活的长方形也插嘴了：“梯形哥哥，你不要吵了，爷爷说得对，因为 我和正方形弟弟都属于特殊的平行四边形，当然要住在一起了!” 但梯形却说：“不，不，我要让你们都属于我，成为特殊的我!” 正方形过来解释道：“我们怎么可能属于你呢?你是只有一组对边平行，而平行四 边形是两组对边分别平行，我和长方形哥哥刚好是两组对边分别平行，因为我们的四个 角都是直角，所以我们是特殊的平行四边形.我们不属于你.” 梯形听了恍然大悟，不再争吵了.从此，大家和和睦睦的生活在一起. 第4讲 数字谜 · 模块一 加减法字母竖式 · 模块二 乘法字母竖式 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 竖式问题中常用的突破口有：首位、末位、位数、进位及重复出现的汉字或字母. 一、尾数分析 ①×2、×4、×6、×8(有两个答案),如：□×_2=_4,□有2、7两个答案； ②×1、×3、×7、×9(有一个答案),如：□×__3=__8,□只有6一个答案； ③×5:若□×5=_0,则口为偶数，只能填0、2、4、6、8; 若□×5= 5,则口为奇数，只能填1、3、5、7、9; ④×0,任意数与0的乘积都为0; ⑤_A×_A=A,A 可能为：0、1、5、6. 2、 首位分析→位数分析→估算，如： 3、 进、借位分析、如 一般来说，在包含字母(或汉字)的竖式中，不同的字母(或汉字)代表不同的 数字，相同的字母(或汉字)代表相同的数字. 在加法与减法竖式中，进位与借位是非常重要的分析突破口.尤其是相同数位上 重复出现的汉字或字母，有的时候，会略带一些有关奇偶性的简单应用. 例1 在如图所示的加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么每 个汉字各代表什么数字? 首位分析可以得出“车”代表数字1 ． 分析个位卒 + 卒 = 卒 ，因此“卒”只能是0 ． 接下来分析千位，兵 + 兵 = 卒（卒=0），得“兵”为5，并且百位没有向千位进位 ． 练习1 在如图所示的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字.其中 “G”代表 5 ,“D”代表 0 ,“H” 代表6 . 请问：“I”代表的数字是多少? 分析首位 ，G为5 ，所以C为4 ，则百位向千位进1；再分析百位 ，D为0 ，所以A一定为9 ， 且十位向百位进1； 接下来分析十位 ，A为9 ，H为6 ，且向百位有进位 ，所以E一定是 7（注意E和H不能代表相同数字 ，所以E不能为6 ），个位向十位没有进位 ；此时 ，还有数 字1、2、3、8没有用过，所以个位可能是1 + 2 = 3或者2+ 1 = 3 ，即I为3 ． 例题2 在如图所示的减法竖式中，相同的汉字代表相同的数字.不同的汉字代表不同的数字，那么每 个汉字各代表什么数字? 首位分析得“炮”为1 ． 分析百位“兵 — 兵 = 马”，如果十位计算时没有向百位借位，则百位计算时就不需要向 千位借位，这样被减数中的“炮”（炮=1）就不能被减掉，与题目矛盾，因此十位在计算 时向百位进行了借位运算，这样我们得到“马”为9 ．依次分析个位和十位，得到“兵”为2 ． 最后的算式为1221 — 292 = 929 ． 练习2 在如图所示的减法竖式中，每个字母代表一个数字. a= ,S= , t= ,V= . 分析首位 ，t为1；分析个位 ，得a为0；观察竖式 ，可知十位相减会向百位借1 ，再分析百 位，可得v为3，因此s为8，所以算式为11311 — 3181 = 8130 ． 例3 在如图所示的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字.已知个 位向十位的进位为2,且E 是奇数，则A、B、C、D、E 分别代表什么数字? 个位“A + A + A = __E” ，已知个位向十位的进位为2，则A只可能为7、8、9，又 因为E为奇数，所以8被排除掉；如果A为9，则千位进位后总和应该为一个五位数，与题 意不符，因此A为7，E为1 ． 再分析十位，“B + C + B + 2 = __C”，可得B可能是4或9 ．分析百位“ D + D + 1 + 进位 = 1”，可以发现进位必须是2才可以满足奇偶性要求，所以确定B 一定是9 ．则D为4，百位向千位进1，C为8 ． 最后的算式为7497 + 487 + 197 = 8181 ． 练3 在如图所示的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字.那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少? 分析个位 ，可得“欢”为0或5 ，而“欢 ”作为十位数字 ，所以只能为5 ，且个位向十位进1 ；再分析十位，“喜 + 5 + 喜+ 1 = 人人”，尝试可得“喜”为8 ，“人”为2 ． 例题4 在如图所示的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么ABCDEF 所代表的六位数是多少? D + 7 = F没有进位说明D只能为1或2 ，而由ABC × D = 7ED说明D不可能为1 ，所 以D为2 ，F为9 ．分析E + E + 进位 = D ，其中进位为0或1 ，奇偶性可知进位为0 ，所以E为1 ．ABC × C = DEAC ，得到C可能为0 ，1 ，5 ，6 ．其中0 ，1明显不可能 ．而 C × D = __D ，因此，C不可能是5 ． C为6时有满足题意的解A=3， B=5 ． 因此所能代 表的六位数为356219 ． 练习4 在如图所示的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么ABCDE所代表的五位数是多少? AB × B = CAB ，末位分析可得B可能为0、 1、 5、6 ，排除0和1 ，尝试可得B只能是5，为25 × 5 = 125 ，进而可得整个乘法算式为25 × 25 = 625 ．ABCDE所代表的五 位数是25106 ． 勇攀高峰 (1)一个自然数的个位数字是4,将这个4移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的4倍，那么原数最小是多少? (2)一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且这个五位数恰好 是原数的4倍，那么原来的五位数是多少? （1）列出竖式，把问题转化为竖式来考虑 ．从个位向前逐次填出，直到乘积的首位出现4最后得到原数为102564 ． （2）列出竖式，把问题转化为竖式来考虑： 末位分析，A 为偶数，再通过首位分析可得，A 只能是2 ，进而可得E 只能是8 ．个位向十位进3 ，所以B 一定是奇数，而千位没有向万位进位，可得B 只能是1 ．所以十位“D × 4”乘积个位是8 ，再结合千位，可得D = 7 ．进而很容易可得C 在如图所示的竖式里，“江”、“峡”、“美”三个汉字分别代表三个各不相同的数字，请把这个 竖式写出来. 竖式为286 × 826 = 23636 - 37 - 学科网（北京）股份有限公司 结绳记数 结绳记数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来.宋朝人 在一本书中说：“鞑靼无文字，每调发军马，即结草为约，使人传达，急于星火。”这是 用结草来调发军马，传达要调的人数呢!其他如藏族、彝族等，虽都有文字，但在一般不 识字的人中间都还长期使用这种方法.中央民族大学就收藏着一副高山族的结绳，由两 条绳组成：每条上有两个结，再把两条绳结在一起.有趣的是，不但我们东方有过结绳， 西方也结过绳.看样子，咱们这个星球早就像个地球村了，只不过那时还没有电报电话.传 说古波斯王有一次打仗，命令手下兵马守一座桥，要守60天.为了让将士们不少守一天 也不多守一天，波斯王用一根长长的皮条，把上面系了60个扣.他对守桥的官兵们说： “我走后你们一天解一个扣，什么时候解完了，你们就可以回家了. ” 回头我们再来看一件有趣的事情.在我国古代的甲骨文中，数学的“数”,它的右边 表示一只右手，左边则是一根打了许多绳结的木棍：——“数”者，图结绳而记之也.所 以，数学研究所的门口，最好用木棍打几个绳结作标“记”,连招牌都不用挂了. 第5讲 加法原理与乘法原理 · 模块一 加法原理与乘法原理 · 模块二 先分类后分步 · 模块三 标数法 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 “加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算! 我们以前学习过枚举计数的方法，但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦了，今 天我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法。先举一个例 子： 餐厅里有4种炒菜和2种炖菜，4种炒菜分别是：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁 和三鲜豆腐，2种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨. 点菜时如果只点一个菜，有点炒菜和点炖菜这两类方式.也就是说，可以点：红烧 鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有4+2=6(种) 点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜.这就是加法原理. 如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一个点 菜组合，点炒菜是第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可.炒菜选红烧鱼块的点菜 方法有2种：(红烧鱼块，土豆炖牛肉)、(红烧鱼块，萝卜炖排骨);类似地，选滑溜里 脊的也有2种：(滑溜里脊，土豆炖牛肉)、(滑溜里脊，萝卜炖排骨);选清炒虾仁的 也有2种：(清炒虾仁，土豆炖牛肉)、(清炒虾仁，萝卜炖排骨);选三鲜豆腐的也有2 种：(三鲜豆腐，土豆炖牛肉)、(三鲜豆腐，萝卜炖排骨).合在一起就有4×2=8(种) 点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜.这就是乘法原理. 例题1 小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机.经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班.任意选择其中一个班次，有多少种出行方法? 小高一家外出旅行 ，火车、汽车或飞机只要选择其中一类就可以完成要做的事情 ，所以这是出行方式分成了三类，即加法原理，有4 + 3 + 2 = 9（种）出行方式 练习1 书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画，大头要从书架上任意取一本书，有多少种不同的 取法? 从小说、漫画中任意取一本即可 ，即加法原理，有8 + 10 = 18（种）取法 ． 例题2 如图，用红、黄两种颜色给图中房子的屋顶、烟囱、门、窗四个部分涂色，每个部分只能涂一种颜色，一共有多少种不同的涂色方法? 房子的四个部分都要染色 ，所以先给屋顶染色 ，有2种颜色可以选择 ，接下来给烟囱染 色 ，也有2种颜色可以选择 ，再接下来给门染色 ，也有2种颜色可以选择 ，最后给窗染色， 同样有2种颜色可以选择 ，分了四步即乘法原理 ，一共有2 × 2 × 2 × 2 = 16（种 ）不同 的染色方法 ． 练习2 如图，用红、黄两种颜色给图中鸭子的眼睛、嘴巴、身子三个部分涂色，每个部分只能涂一种颜色，一共有多少种不同的涂色方法? 先给眼睛染 ，有2种染法 ；再给嘴巴染 ，有2种染法 ；最后给身子染 ，有2种染法 ，分三步，乘法原理，所以共有2 × 2 × 2 = 8（种 ）不同的染法 ． 分类是指完成一件事情有几类不同方法，从中任意选取一类即可，它们之间可以 相互替代，任意选取一类都可以完成这件事.这种情况下一般要用到加法原理. 分步是指完成一件事情有几个不同步骤，每一步都必须执行，它们之间不可以相 互替代，少一步都不能完成这件事.这种情况下一般要用到乘法原理. 有些问题中，既有分类的关系，又有分步的关系。这时应该分清主次关系，弄清楚 到底是“分类中含有分步”,还是“分步中含有分类”.如果是某一大类里面又可以再 分为几小步，那么应该在这一类里面用乘法原理进行计算，最后再用加法原理把各类 中的情况加在一起.当然我们以后也会碰到某一大步里面又可以再分为几小类的情况， 这就要先用加法原理算出每一大步中有多少种情况，再用乘法原理把总数算出来. 例3 如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路。如果要求所走路线不能重复，请问：从甲地到丙地共有多少条不同的路线? 3 × 3 = 9 （条） 2 × 4 = 8 （条） 9 + 8 = 17 （条） 答：从甲地到丙地一共有17条不同的路线 练3 如图，任意两地之间的路线都已在图中标示出来，如果要求所走路线不能重复，请问：从甲地到丙地共有多少条不同的路线? 分成“ 甲→ 乙→丙”和“ 甲→丙”这两类路线 ．对于“ 甲→ 乙→丙”这类路线 ：第一步从 甲到乙 ，有3条路线 ，第二步从乙到丙 ，有3条路线 ，利用乘法原理得到共有 3 × 3 = 9（ 条 ）路线 ．而对于“ 甲→丙 ”这类路线 ，共有2条路线 ．把两类的路线加起 来，可得从甲地到丙地一共有9 + 2 = 11（条）路线 ． 我们总结一下加法原理与乘法原理之间的区别. 加法原理 类与类之间会满足下列要求： 1.只能选择其中的某一类，而不能几类同时选； 2.类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求. 比如，飞机、火车或汽车是可以随意选择的，小高一家人只选择其中一种交通工 具，就能到达目的地了. 乘法原理 步与步之间满足下列要求： 1.每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论； 2.步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步， ……,直到最后. 比如，衣服和帽子都要选择，只是可以有先后的步骤关系.在这里，衣服和帽子先 选哪种都可以.但有的时候却不能随意安排顺序，这种问题稍微难一些，我们在日后 会接触到. 在本讲的最后，我们来介绍标数法.标数法是解决路径条数问题的重要方法。 如下图所示，我们要计算蚂蚁从A 点沿箭头的方向爬到B 点的不同路线有多少条. 由于蚂蚁只能向上走或者向右走，因此对于最下面一行中的每个点，蚂蚁只有一 种方法可以到达，对于最左边一列中的点也是同样的结论(特别地，我们把A 点处标 上1,表示蚂蚁从A 点出发到达A 点，只有原地不动这一种方式).我们用标数法标出 蚂蚁到达每个点的路线数，已经得到的结果如下图所示. 容易看出，蚂蚁可以从C 点或者D 点到达E 点，而且只有这两类不同的方式，那 么我们可以在E 点处标上数字1+1=2(把C 点与D 点的数字相加),表示蚂蚁到达E 点有两条路线.同样道理，蚂蚁可以从E 点或者F 点到达G 点，那么蚂蚁到达G 点就 有2+1=3(条)路线(把E 点与F 点的数字相加).最后可以得到蚂蚁到达B 点有4 条路线，如下图所示. 例题4 如图，在图中，从A 点沿线段走到B 点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法? 练习4.1 如图，在图中，从A 点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法? 勇攀高峰 老师要求乐乐在黑板上写出一个减法算式，要求被减数必须是三位数，减数必须是两位数.请 问：乐乐共有多少种不同的写法? 一个减法算式 ，只要被减数和减数确定了 ，这个减法算式就是确定的 ，而且被减数和减数 都要有 ，所以先选择一个被减数 ，再选择一个减数 ．被减数是三位数 ，三位数的总个数有 两 种 算 法 ，方 法 一 ：最 小 的 三 位 数 是 100 ，最 大 的 三 位 数 是 999 ，所 以 一 共 有 999 − 100+ 1 = 900（个）三位数；方法二：三位数必须要有百位、十位、个位，所以 先给百位选择一个数字 ，1~9有9种选择 ，再给十位选择一个数字 ，0~9有10种选择 ，最 后 给 百 位 选 择 一 个 数 字 ，0~9 有 10 种 选 择 ，一 共 分 了 三 步 即 乘 法 原 理 ，一 共 有 9 × 10 × 10 = 900（ 个 ）三位数 ．两位数的总个数算法和三位数一样 ，一种方法是 99 − 10 + 1 = 90（ 个）两位数 ，另一种方法是9 × 10 = 90(个)两位数 ．要组成一个 减法算式 ，先从三位数中选择1个作为被减数 ，一共有900种选择 ，再从两位数中选择1个 作为减数 ，一共有90种选择 ，分了两步即乘法原理 ，共有900 × 90 = 81000（种 ）不同 的写法 ． 书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并 且这些书都各不相同.请问： (1)如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法? (2)如果从每一层中各任取1本，共有多少种不同的取法? (3)如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法? （ 1 ）从所有的书中任取1本 ，即可以选择小说或者漫画或者科普书 ，即在三类中选择1 本，加法原理，共有15 + 10+ 5 = 30（种 ）不同的取法； （ 2 ）从每一层中各任取1本 ，可以先在第一层取小说 ，再在第二层取漫画 ，最后在第三层 取科普书，分了三步即乘法原理，共有15 × 10 × 5 = 750（种 ）不同的取法； （ 3 ）从中取出2本不同类别的书 ，可以是小说和漫画 ，也可以是漫画和科普 ，还可以是小 说和科普 ，这是分了三类 ，在第一类小说和漫画必须各有一本 ，所以先取小说再取漫画 ， 有15 × 10 = 150（种 ）不同的取法 ；在第二类漫画和科普必须各有一本 ，所以先取漫画 再取科普，有10 × 5 = 50（种 ）不同的取法 ；在第三类小说和科普必须各有一本 ，所以 先 取 小 说 再 取 科 普 ，有 15 × 5 = 75（ 种 ）不 同 的 取 法 ，三 类 是 加 法 原 理 ，共 有 150 + 50 + 75 = 275（种 ）不同的取法 ． - 46 - 学科网（北京）股份有限公司 加减乘除的由来 加减乘除(+、 一、×、÷)等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数 学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们.别看它们这么简单，直到 17世纪中叶才全部形成. 法国数学家许凯早在1484年写成的《算术三篇》中，开始使用一些编写符号，如用 D 表示加法，用M 表示减法。这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《商业速算 法》中，他用“+”表示超过，用“一”表示不足.到1514年，荷兰的赫克首次用“+” 表示加法，用“一”表示减法。1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中也正式用 “+”和“一”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用. 以符号“×”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的.他于1631年出版的《数学之钥》 中引入这种记法.据说是由加法符号“+”变动而来，因为乘法运算是从相同数的连加 运算发展而来的.后来，莱布尼兹认为“×”容易与“X”相混淆，建议用“。”表示乘号，这样，“。”也得到了承认. 除法符号“÷”,最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“:”表示除 或比，也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷”.瑞士的数学家 拉哈的著作中正式把“÷”作为除号.符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英 国得到了推广.除的本意是分，符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开，形象地表 示了“分”. 至此，四则运算符号齐备了. 第6讲 行程问题初步 · 模块一 路程、时间和速度 · 模块二 基本相遇问题 · 模块三 寻找隐藏路程和 · 模块四 不同时出发的相遇问题 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 院子里两棵槐树之间的距离是10米， 一只小猫从一棵槐树跑到10米外的另一棵 槐树需要5秒，那么小猫每秒跑10÷5=2(米). 行程问题是研究路程、时间和速度之间的关系.速度是衡量运动快慢的量.一般我 们选用1个单位的时间，如用1小时或1分钟或1秒，用1个单位的时间内经过的路 程的多少来表示速度的大小。因此，我们有了速度的定义： 速度、时间和路程是行程问题中最重要的三个量，它们之间的关系如下： 那么本文一开始提到的小猫跑过的距离10米就为路程，行程问题中常用的路程单 位是米和千米.而小猫跑了5秒就是时间，时间的常用单位有秒、分钟和小时.那么 小猫的速度就是2米/秒，行程问题中常用的速度单位有米/秒、米/分和千米/时. 例题1 甲、乙两地相距360千米， 一辆汽车原计划用8小时从甲地到乙地，那么汽车每小时应该行驶 多少千米?实际上汽车行驶了一半路程后发生了故障，在途中停留了1小时.如果按照原定的 时间到达乙地，汽车在后一半路程每小时应该行驶多少千米? （ 1 ）行驶路程是360千米 ，行驶时间是8小时 ，所以行驶速度是360 ÷ 8 = 45（ 千米/ 时） ； （ 2 ）后一半路程是360 ÷ 2 = 180（ 千米 ），行驶总时间仍然是8小时 ，前半程花了4 + 1 = 5（ 时） ，所以后半程行驶时间是3小时 ，后半程的速度是180 ÷ 3 = 60（ 千 米/时 ）． 练习1 兔子和乌龟赛跑，从A 地跑到B 地，全程共6000米.兔子计划5分钟跑完全程，结果比赛时兔子实际每分钟跑的路程要比计划的要少200米.那么兔子实际跑完全程用了多长时间? 原计划5分钟跑完6000米 ，所以原计划速度为6000 ÷ 5 = 1200（米/分 ），实际每分钟跑1200 — 200 = 1000（米），所以实际时间为6000 ÷ 1000 = 6（分） ． 两个运动物体在一条直线上运动，行进的方向可能相同，也可能相反.当它们行 进方向相反时，如果它们面对面地接近，我们就称为“相向而行”;如果它们背对背 地远离，我们就称为“相背而行”.两人之间的“相遇问题”既可以是“相向而行” 也可以是“相背而行”,其中“相向而行”的相遇问题更常见一些. 相遇问题关心的是两个人的“速度和”以及“路程和”。根据行程问题基本公 式，我们可以类似得到相遇问题的三个基本公式： 在使用上述公式的时侯一定要注意，两个运动物体必须同时行进.如果整个相遇 过程中并不是同时行进的，这个公式就不能直接应用了，需要分段考虑. 例题2 A 、B两地相距4800米，甲、乙两人分别从A 、B两地同时出发，相向而行，如果甲每分钟走60 米 ，乙每分钟走100米，请问： (1)甲从A 走到B 需要多长时间? (2)两个人从出发到相遇需要多长时间? （ 1 ）甲 行 驶 的 路 程 是 4800 米 ，行 驶 的 速 度 是 60 米 / 分 ，所 以 行 驶 的 时 间 是 4800 ÷ 60 = 80（分） ； （ 2 ）两人从出发到相遇行驶的路程和是4800米 ，行驶的速度和是60 + 100 = 160（米/ 分） ，所以相遇时间是4800 ÷ 160 = 30（分） ． 练习2 阿呆和阿瓜从相距5000米的A、B 两地同时出发，相向而行.阿呆每分钟走150米，阿瓜每分 钟走350米，那么两人从出发到相遇需要多长时间? 从出发到相遇 ，路程和为5000米 ，速度和为150 + 350 = 500（ 米/分 ），所以时间为 5000 ÷ 500 = 10（分） ． 例3 一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距350千米的两地出发相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行60千米，问： (1)2小时后两车相距多少千米? (2)出发几小时后两车第一次相距50千米? (3)出发几小时后两车第二次相距50千米? （1）150千米；（2）3小时；（3）4小时 练3 A、B 两地相距400千米，甲、乙两车分别从A、B 同时出发，相向而行.甲车的速度为每小时 60千米，乙车的速度为每小时40千米，请问： (1)出发几小时后甲、乙两车第一次相距100千米? (2)再过多长时间两车第二次相距100千米? （1） 3小时；（2）2小时 对一些复杂的行程问题，单靠凭空想象已经无能为力了，这时就需要用一种形象 的语言，把运动过程直观地表现出来，这就是我们解行程问题最得力的助手——线 段 图 . 画线段图时要特别注意： (1)专人专线：如果我们考虑的是两个或多个对象的运动，可以把它们的运动路 线并排摆放，要注意不同人的运动路线不同； (2)同时性：如果运动时间分为几个阶段，那么应该在运动路线上表示相应的时刻 . 比如上图表示汽车A 与汽车B 分别从甲地、乙地同时出发，从开始①时刻到②时 刻两车相遇，从②时刻到③时刻表示两车相遇后各自的运动情况.这样一来，我们就 可以借助线段图把整个行程过程看得更清楚.画线段图是解行程问题最基本的方法.通 过作图，可以将题目中的条件梳理清楚，还可以通过对图形的观察，挖掘出很多字面 上看不出来的隐藏条件，进而找到解题的突破口. 例题4 甲、乙两地相距350千米，一辆汽车在早上8点从甲地出发，以每小时40千米的速度开往乙 地.2小时后另一辆汽车以每小时50千米的速度从乙地开往甲地.请问：什么时候两车在途中 相遇? 13点 练习4.1 小王和小许从相距5000米的各自的家里出发，相向而行.小王每分钟走200米，小许每分钟走300米.小王出发10分钟后小许才从家出发，那么小王走了多长时间两人才相遇? 16分钟 勇攀高峰 (1)小高跑400米用50秒，旗鱼每小时能游180千米.请问：谁的速度更快? (2)飞毛腿跑280米要用14秒，鸵鸟奔跑的速度是72千米╱时，请问：谁的速度更快? （1）小高的速度是400 ÷ 50 = 8（米/秒 ），单位不同无法比较 ，可以把旗鱼的速度变成 米 每 秒 ， 1小时旗鱼游180 千 米 即 3600 秒 游 180000 米 ， 速 度 为 180000 ÷ 3600 = 50（米/秒） ，所以旗鱼的速度更快； （2）飞毛腿的速度是280 ÷ 14 = 20（米/秒），鸵鸟的速度是72千米／时，单位不同无 法比较 ，这里可以考虑把飞毛腿的速度换成千米每小时 ，也可以把鸵鸟的速度换成米每 秒 ，如 果 是 统 一 成 米 每 秒 ，鸵 鸟 72000 米 用 1 小 时 即 3600 秒 ，速 度 为 ： 72000 ÷ 3600 = 20（米/秒）,所以一样快 ． 甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发相向而行，已知甲每分钟走50米，乙走完全程要18分 钟，出发3分钟后，甲、乙仍相距450米.请问：还要过多少分钟，甲、乙两人才能相遇? 甲 3 分 钟 所 行 驶 的 路 程 是50 × 3 = 150 （米） ， 乙 距 离 A 地 还 有150 + 450 = 600（米） ．乙行驶全程要18分钟，已经行驶了3分钟 ，还需要行驶15分钟 才能走完600米 ，所以乙的速度是600 ÷ 15 = 40（ 米/分 ），450米是两人之后的路程 和 ，速度和是50 + 40 = 90（米/分 ），所以还需要450 ÷ 90 = 5（分） ，甲 、 乙两人 才能相遇 ． - 56 - 学科网（北京）股份有限公司 动物们的速度 跑得最快——猎豹是跑得最快的动物，每小时可跑145千米. 游得最快——游泳速度最快的动物是旗鱼，游速每小时达120千米，比轮船正常航行 速度要快三四倍. 爬形类动物的速度冠军——太平洋中的棱皮龟，其游泳速度最高达每小时35.2千米. 飞得最快的昆虫——澳大利亚蜻蜓，它短距离的冲刺速度可达每小时58千米. 跑得最快的鸟——鸵鸟，它每小时可以跑72千米. 长跑最快的动物——藏羚羊具有特别善奔跑的优点，奔跑速度可达每小时0~110千米， 即使是妊娠期满临产的雌藏羚，也会以很快的速度疾奔，它还是高原严酷环境下奔跑最 快的动物. 长距离飞得最快的动物——雨燕，它的时速高达170千米，最快352千米.一般速度为 每小时110~190千米，是长距离飞行最快的鸟类. 第7讲 追及问题 · 模块一 基本追及问题 · 模块二 不同时出发的追及问题 · 模块三 寻找隐藏路程差 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 上一讲我们学习了基本行程问题中的相遇问题，这一讲我们来学习行程中的另一 类重要问题——追及问题 . 基本追及问题是指两个人在同一直线上同向而行的行程问题，主要分两种情况： 一种是后面的人速度快，经过一段时间追上了另一个人；另一种是前面的人速度快， 两人的距离越来越远。 相遇问题考虑的是“路程和”与“速度和”,而追及问题中两人是同向而行，因 此我们考虑的是两人的“路程差”以及“速度差”.仿照行程问题基本公式，我们同样可以得到追及问题的三个基本公式： 例题1 A、B 两地相距260米，甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发，同向而行(乙在前，甲在后).甲 每秒钟走5米，乙每秒钟走3米，那么甲出发多长时间后可以追上乙? 从出发到追上 ，甲、 乙的路程差是A、 B两地的全程即260米 ，速度差是5 — 3 = 2（ 米/ 秒），所以追及时间是260 ÷ 2 = 130（秒） ． 练习1 京、津两地相距120千米，客车和货车分别从北京和天津同时出发，同向而行，客车在前，货车在后.已知客车每小时行100千米，货车每小时行120千米.那么出发后多长时间货车追上客车? 墨莫先出发了12分钟 ，速度是75米/分 ，所以墨莫行走的路程是75 × 12 = 900（米） ． 所以爸爸从出发到追上墨莫 ，两人的路程差就是900米 ，速度差是375 — 75 = 300（米/ 分） ，追及时间是900 ÷ 300 = 3（分） ． 例题2 乐乐步行上学，每分钟行75米.乐乐离家12分钟后，爸爸发现他忘了带文具盒，马上骑自行 车去追，每分钟行375米.求爸爸追上乐乐所需要的时间. 墨莫先出发了12分钟 ，速度是75米/分 ，所以墨莫行走的路程是75 × 12 = 900（米） ． 所以爸爸从出发到追上墨莫 ，两人的路程差就是900米 ，速度差是375 — 75 = 300（米/ 分） ，追及时间是900 ÷ 300 = 3（分） 练习2 龟、兔赛跑，龟比兔先出发100分钟，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米.请问兔出发后多久追上乌龟? 乌 龟 先 出 发 了 100 分 钟 ， 速 度 是 30 米 / 分 ， 所 以 乌 龟 爬 行 的 路 程 是30 × 100 = 3000（米） ．所以兔子从出发到追上乌龟 ，路程差就是3000米 ，速度差是330 — 30 = 300（米/分） ，追及时间是3000 ÷ 300 = 10（分） ． 例3 一辆公共汽车和一辆小轿车从相距100千米的两地同时出发，同向而行，公共汽车在前，每小时行40千米，小轿车在后，每小时行60千米.请问： (1)经过2小时后两车相距多少千米? (2)出发几个小时后小轿车会领先公共汽车100千米? （1）两 车 的 速 度 差 是 60 — 40 = 20（ 千 米 / 时 ） ，2 小 时 内 两 车 的 路 程 差 是20 × 2 = 40（ 千米 ），此时小轿车还没有追上公车 ，两车相距100 — 40 = 60（ 千 米） ； （ 2 ）小轿车领先公车100千米 ，两车的路程差是100 + 100 = 200（ 千米 ），两车的速 度差是60 — 40 = 20（千米/时） ，追及时间是200 ÷ 20 = 10（时） 练3 阿呆和阿瓜沿着同一条路线上学，阿呆每秒钟跑3米，阿瓜每秒钟跑7米.现在阿瓜落后阿呆50米，那么再过多长时间阿瓜会领先阿呆50米? 阿瓜从落后阿呆50米到领先50米 ，两人的路程差是50 + 50 = 100（米 ），两人的速度 差是7 — 3 = 4（米/秒），追及时间是100 ÷ 4 = 25（秒） ． 例题4 一辆公共汽车早上6点从A 城出发，以每小时40千米的速度向B 城驶去.3小时后一辆小轿车 以每小时75千米的速度也从A 城出发到B 城。当小轿车到达B 城后，公共汽车离B 城还有160 千米.问：小轿车什么时候到达B 城? 公车提前出发3小时 ，速度是40千米/小时 ，所以公车行驶的路程是40 × 3 = 120（ 千 米） ，小轿车和公车在相同时间内所行驶的路程差是120 + 160 = 280（千米）（即图中 实线部分的路程差 ）．两车的速度差是75 — 40 = 35（ 千米/时 ），所以追及时间是280 ÷ 35 = 8（ 时 ） ，即 小 轿 车 行 驶 了 8 小 时 ，小 轿 车 是 9 点 出 发 ，所 以9 + 8 = 17（点 ）到达B城 ． 练习4 高速路上自西向东分布着A、B、C、D 四个加油站，其中A、B 之间的距离是20千米，C、D 之 间的距离是40千米.上午6:00快、慢两车分别从A、B两地出发向东前进，快车的速度是每小 时80千米，慢车的速度是每小时60千米.当快车到达D 加油站的时候，慢车正好到达C. 那 么快车从A 到达D 一共行了几个小时? 两车同时出发 ，当快车到达D、慢车到达C时 ，两车的路程差即20 + 40 = 60（ 千米 ）， 而速度差为80 — 60 = 20(千米/时) ，所以时间为60 ÷ 20 = 3（时） ． 勇攀高峰 1、 乙两车同时从东、西两地出发，相向而行.甲车每小时行36千米，乙车每小时行30千米， 两车在距离中点9千米处相遇，求东、西两地间的距离。 甲行驶的路程比一半的路程多9千米 ，乙行驶的路程比一半的路程少9千米 ，所以甲、乙行 驶 的 路 程 差 是 18 千 米 ，速 度 差 是 36 — 30 = 6（ 千 米 / 时 ） ，所 以 追 及 时 间 是 18 ÷ 6 = 3（时） ，这也是两车的相遇时间 ，速度和是36 + 30 = 66（ 千米 ），所以3 小时行驶的路程和是66 × 3 = 198（千米） ，即东、西两地间的距离是198千米 ． 丫丫一家开车去外地旅游，预计每小时行驶45千米.实际上，由于高速公路堵车，汽车每小时 只行驶30千米，因此比预计时间晚到了2小时.请问：丫丫一家在路上实际花了几个小时? 萱萱预计和实际的路程差即实际2小时所行驶的路程 ，实际的速度是30千米/时 ，所以路程 差是30 × 2 = 60(千米) ．预计和实际的速度差是45 — 30 = 15（千米/时） ，所以追及 时间是60 ÷ 15 = 4（时） ．所以萱萱一家在路上实际花了4 + 2 = 6（时） - 65 - 学科网（北京）股份有限公司 阿基里斯追不上龟? 阿基里斯是荷马史诗中最善跑的英雄，芝诺是一名古希腊哲学家.芝诺认为，如果 阿基里斯在乌龟后100米追乌龟，阿基里斯永远追不上乌龟.他的论证简要说来是这样 的，阿基里斯要追上乌龟，首先必须到达乌龟原来的起跑点.可他跑到乌龟的起跑点需 要一定时间，因而当他跑到乌龟的起跑点时，乌龟已经前进了一段路了，于是他又必须 花一定的时间赶到乌龟的新的所在的点.而当他赶到乌龟新的所在的点时，乌龟又已经 前进了一段路了.因而如此下去，阿基里斯永远也追不上乌龟. 聪明的小朋友你同意芝诺的看法吗? 第8讲 数列基础 · 模块一 双重数列计算 · 模块二 数组规律计算 · 模块三 复杂数组 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 我们以前学习过找规律以及等差数列，本讲内容就是以这两块知识为基础，并通 过找规律、应用等差数列和周期性解决问题. 本讲所学的很多数列的规律可要比等差数列复杂得多.例如：1,1,1,2,1,3, 1,4, …这样的数列，我们就要把奇数项和偶数项分开来看，或者是两项两项地看. 又如：1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6, … 奇数项和偶数项的规律不是特 别明显，两项两项地看也没有好的发现，但三项三项地看就很容易发现规律了.对于 规律较复杂的数列，我们不能拿别的数列规律生搬硬套，要具体问题具体分析. 首先让我们来寻找以下数列的规律. 解决多重数列问题，首先要把原数列拆成几个简单数列进行分析，而分析过程中， 最关键的一步就是要判断清楚原多重数列的最后一项到底是属于哪一重的，进而才能 确定两重的项数是否相等. 例题1 观察数列的规律：10,1,10,2,10,3,10,4,10,5,10,6, … ,50 . 请回答以下问题： (1)这个数列中有多少项是10? (2)这个数列中所有项的总和是多少? （ 1 ）奇数项是由常数10组成的 ，偶数项是从1开始连续的自然数 ．偶数项有50项 ，所以 奇数项也有50项 ，那么在奇数项中有50个10 ，在偶数项中还有1个 ，所以有51项是10； （ 2 ）奇数项的和是50 × 10 = 500 ，偶数项的和是(1 + 50) × 50 ÷ 2 = 1275 ，所以 所有项的总和是500 + 1275 = 1775 ． 练习1 观察数列的规律：1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,4 ………30,4. 请回答以下问题： (1) 这个数列中有多少项是4? (2) 这个数列中所有项的总和是多少? （ 1 ）偶数项是由常数4组成的 ，奇数项是从1开始连续的自然数 ．奇数项有30项 ，所以偶 数项也有30项 ，那么在偶数项中有30个4 ，在奇数项中还有1个 ，所以有31项是4；（ 2 ） 偶数项的和是30 × 4 = 120 ，奇数项的和是(1 + 30) × 30 ÷ 2 = 465 ，所以所有项的 总和是120 + 465 = 585． 例题2 观察数列的规律：1,2,2,4,3,6,1,8,2,10,3,12,1,14,2,16,3,18………50. 请回答以下问题： (1) 这个数列中有多少项是2? (2) 这个数列所有项的总和是多少? （1） 9项；（2）699 练习2 观察数列的规律：1,30,3,28,1,26,3,24,1,22,3,20,1,18,3,16, … ,2 .请回 答以下问题： (1)这个数列中有多少项是3? (2)这个数列所有项的总和是多少? （ 1 ）奇 数 项 是 由1 、 3 组 成 的 周 期 数 列 ，偶 数 项 是 30至2 连 续 的 偶 数 ．偶数项有30 ÷ 2 = 15（项） ，所以奇数项也有15项 ，15 ÷ 2 = 7 ⋯⋯ 1 ，那么在奇数项有7个 周期还多余1个数 ，每个周期中有1个3 ，多出来的1项是1 ，所以奇数项一共有7个3 ，在偶 数项中没有3 ，所以共有7项是3；（ 2 ）奇数项的和是7 × (1 + 3) + 1 = 29 ，偶数项的 和是(2 + 30) × 15 ÷ 2 = 240 ，所以所有项的总和是29 + 240 = 269 ． 例3 观察数列的规律：1,2,2,4,3,6,4,8,5,10,6,12,7,14,8,16,9, … ,19 .请回答以下问题： (1)这个数列共有多少项? (2)这个数列所有项的总和是多少? （1）奇数项是由从1开始连续的自然数组成 ，偶数项是从2开始连续的偶数 ．最后一项是 奇 数 项 ，奇 数 项 有 19 项 ，偶 数 项 有 18 项 ．共 有 37 项 ；（ 2 ）奇 数 项 之 和 是 (1 + 19) × 19 ÷ 2 = 190 ；偶 数 项 的 最 后 一 项 是 18 × 2 = 36 ，所 以 偶 数项 之 和是 (2 + 36) × 18 ÷ 2 = 342 ，所有项的总和是190 + 342 = 532． 练3 观察数列的规律：40,1,38,2,36,3,34,4,32,5,30,6,28,7,26,8………2 . 请回 答以下问题： (1) 这个数列共有多少项? (2) 这个数列所有项的总和是多少? （1）偶数项是由从1开始连续的自然数组成，奇数项是40至2连续的偶数 ．最后一项是奇 数项 ，奇数项有40 ÷ 2 = 20（ 项 ），偶数项有19项 ，共有39项 ；（ 2 ）奇数项之和是 (2 + 40) × 20 ÷ 2 = 420 ； 偶 数 项 的 最 后 一 项 是 19 ， 所 以 偶 数 项 之 和 是 (1 + 19) × 19 ÷ 2 = 190 ，所有项的总和是420 + 190 = 610． 例题4 观察数组(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)………的规律 .求： (1)第10组中三个数的和； (2)前10组中所有数的和. （1）观察数组的规律 ，可以知道数组里面三个数都是连续的自然数 ，而且每组的第一个 数组成了从1开始连续的自然数 ，所以第10组三个数是（ 10 ，11 ，12 ），三个数的和是 11 × 3 = 33 ；（ 2 ）第1组三个数的和是2 × 3 ，第2组三个数的和是3 × 3 ，依次类推 ， 前10组所有数的和是3 × (2 + 3 + 4 + ⋯ + 11) = 195 ． 练习4 观察数组(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)………的规律 .求： (1)第15组中三个数的和； (2)前20组中所有数的和. （1）观察数组的规律 ，可以知道数组里面三个数都是连续的自然数 ，而且每组的第一个 数组成了从1开始连续的自然数 ，所以第15组三个数是（ 15 ，16 ，17 ），三个数的和是16 × 3 = 48 ； （2）第1组三个数的和是2 × 3 ，第2组三个数的和是3 × 3 ，依次类推 ，前20组所有数的 和是3 × (2 + 3 + 4 + ⋯ + 21) = 690 ． 勇攀高峰 观察数列的规律：2,3,4,6,6,9,8,12,10,15,12,18,14,21,16,24,18,27, … , 60. 请问：这个数列一共可能有多少项? 奇数项是从2开始连续的偶数组成 ，偶数项是从3开始公差为3的等差数列组成 ．60可能是 奇数项也可能是偶数项 ．当60是奇数项的时候 ，奇数项有60 ÷ 2 = 30（项） ，所以偶数 项有29项 ，共有59项 ；当60是偶数项的时候 ，偶数项有60 ÷ 3 = 20（项） ，所以奇数 项也有20项，共有40项 ． 一列由两个数组成的数组：(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1), (4, 2),(4,3),(4,4),(5,1), … . 请问： (1)第70组内的两个数之和是多少? (2)前55组中“5”这个数出现了多少次? 观察数组的规律 ，第一个数是1的有1组 ，第一个数是2的有2组 ，第一个数是3的有3 组 ，因为1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 11 = 66(组) ，所以从第67组开始 ，每组的第一个数是 12 ，第67组是（ 12 ，1 ），依此类推第70组是（ 12 ，4 ），两个数的和是12 + 4 = 16 ； （2）因为1 + 2 + 3 + ⋯ + 10 = 55（组） ，所以第55组恰好是（ 10 ，10 ），第一个 数是5的有5组 ，即（ 5 ，1 ），（ 5 ，2 ），（ 5 ，3 ），（ 5 ，4 ），（ 5 ，5 ）．第二个数是 5的只能是（ 5 ，5 ），（ 6 ，5 ），（ 7 ，5 ），（ 8 ，5 ），（ 9 ，5 ），（ 10 ，5 ），出现了 6次，所以“5”这个数出现了11次 ． - 73 - 学科网（北京）股份有限公司 斐波那契数列 斐波那契数列，又叫兔子数列，用文字来描述，就是由0和1开始，之后的每一个 数都是由前面两个数相加.如下：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, 233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,.. (一)兔子数列 在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥纳多(又名斐波那契),他描述兔子 生长的数目时用上了这个数列，如下为兔子繁殖的规律： ①第一个月有一对刚诞生的兔子 ②第二个月他们可以生育 ③每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子 ④兔子永不死去 ⑤每个月兔子对数为：1,2,3,5,8,13,... (二)神奇的自然现象 百合花的花瓣是3枚，梅花是5枚，而苹果、梨、杏等蔷薇科植物花瓣也都是5枚， 飞燕草是8枚，瓜叶菊是13枚，向日葵有的是21枚，有的是34枚，雏菊有的是34枚、 55枚或89枚.这些花瓣数正好就是“斐波那契数”. 第9讲 合理安排时间问题 · 模块一 合理安排时间 · 模块二 合理安排顺序 · 模块三 最短路线问题 · 模块四 合理安排车站位置 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 统筹方法，是一种研究如何安排工作进程的方法。为什么要合理安排工作进程 呢?我们举一个例子. 比如，想泡壶茶喝。茶叶有，但还没有烧水，而且水壶、茶壶、茶杯都没有洗 过.怎么办? 办法一：洗水壶，灌上凉水，放在火上；在等待水开的时间里，洗茶壶、洗茶 杯、拿茶叶；等水烧开了，泡茶. 办法二：洗水壶、茶壶、茶杯，拿茶叶；一切就绪，灌水烧水；等水烧开了，泡 茶. 办法三：洗水壶，灌上凉水，放在火上，坐待水开；水开了之后，洗茶壶、茶 杯，拿茶叶，再泡茶. 我们很容易看出第一种办法最好，后两种办法多多少少都浪费了时间. 在这个简单的例子中，有些工作可以同时做，比如烧水时可以洗茶壶、拿茶叶.有些工作有先后顺序的要求，比如洗水壶要安排在烧开水之前，而不能水烧开了 再去洗水壶.如何根据实际情况，合理地安排工作顺序，使得总时间或总花费最少， 正是统筹法研究的问题. 例题1 丫丫中午做一道菜，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐2分钟，切肉片2分钟， 准备葱姜蒜3分钟，准备佐料1分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟.请问：丫丫 烧好这道菜最短需要多少分钟? 炒菜这道工序必须要等前面六道完成后才能去做 ，所以要放到最后 ；切豆腐、切肉片、准 备葱姜蒜和准备佐料这四道工序都需要萱萱亲自完成 ，不可能一次同时做其中的两项 ；烧 热锅和烧热油这两道工序比较特别 ，可以在做的时候同时去做其它事情 ，故最少需要2 + 2 + 3 + 1 + 4 = 12（分） ． 练习1 妈妈让冬冬给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟， 洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟.冬冬估算了一下，完成这些工作要花20分钟.为了尽 快给客人沏茶，你认为最合理的安排，最少需要多少分钟? 先 洗 开 水 壶 ，接 下 来 烧 开 水 的 同 时 洗 茶 壶 、 洗 茶 杯 、 拿 茶 叶 ，共 用 时1 + 15 = 16（分） 例题2 小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了A、B、C、D、E 五个顾客.A 买糖果需要2分钟； B 买大米需要6分钟；C 买香烟和啤酒需要4分钟；D 买水果需要3分钟；E 买蔬菜需要5分钟.请 问：售货员应该如何安排五个人的顺序，使得这五个人排队等候所用时间的总和最少?最少是 多少?(只计算每个人排队的时间，不计算买东西的时间) 第一个人买东西时 ，有4个人等着 ；第二个人买东西时 ，有3个人等着 …… 因此尽可能让用 时 较 少 的 人 先 买 ，即 按 照 A 、 D 、 C 、 E 、 B 的 顺 序 购 买 ，这 样 共 需 要 等 待 2 × 4 + 3 × 3 + 4 × 2 + 5 × 1 = 30（分） ． 练习2 理发店里只有一位理发师，但同时来了五位顾客，理发师一次只能给一位顾客理发.由于顾客要求的发型不同，理发师给这五位顾客理发分别需要10、12、16、20、25分钟。怎样安排他们 理发的顺序，才能使这五人排队等候所用时间的总和最少?最少是多少? 最少需要10 × 4 + 12 × 3 + 16 × 2 + 20 × 1 = 128（分） 在统筹规划问题中，我们往往需要找到最短时间、最短距离、最少花费等最优方 案.在这类问题中，比较和调整是常用技巧.当我们不能直接得到最优方案时，可以 从一个可行的方案出发，通过适当的调整让方案更优.如果任何调整都不能使方案更 优，此时的方案就是最优方案.例3 如图是一张道路图，每段路旁标注的数表示小山羊走完这段路所需的分钟数.请问：小山羊从A出发走到B 最快需要多少分钟? 先将左上角和右下角没有岔路的拐弯看成一条路 ，如图1 ．观察发现 ，如果要从C到D，经 过E的路线比直接走更省时间 ．因此CD之间的路实际上没有用 ，可以将它去掉 ．类似地 ， 我们也可以去掉右下角长为7的路 ．得到图2 ．这样容易看出 ，沿着5→ 1→ 10→2的路线前 进，是最省时间的，用时为5 + 1 + 10 + 2 = 18（分） ． 练3 如图是某城市的道路图，每段路旁标注的数表示走完这段路所需用的分钟数.邮递员从A 点沿 道路到达B 点至少要经过多长时间? 例题4 如图，一条路上从西向东有A、B、C、D、E五所学校，分别有200人、300人、400人、500人、 600人.任意相邻的两所学校之间的距离都是100米.现在要在某所学校的门口修建一个公共汽 车站，使所有人到达车站的距离之和最小，那么车站应该建在什么地方?这时距离之和是多少? D校；220000米 练习4 如图，有八个村庄A₁ 、A₂ 、A₃ 、A₄ 、A₅ 、A₆ 、A₇ 、A₈分布在公路两侧，由一些小路与公 路相连.现要在公路上设一个汽车站，并且使得汽车站到各村庄的距离之和最小，那么车站应 设在哪里? E到F之间的任意一点 勇攀高峰 北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台.这些车床准备分配给武汉11台、西安5台， 每台车床的运费如下表所示，单位为元.那么总运费最少是多少元? 把一台设备从运到武汉改为运到西安 ，北京的厂家要多付400元运费 ，而上海的厂家要多 付300元运费 ，所以西安的设备都由上海提供时 ，能节省更多的运费 ．这时上海需要给西 安 提 供 5 台 设 备 ，给 武 汉 提 供 1 台 设 备 ，北 京 给 武 汉 提 供 10 台 设 备 ，最 少 运 费 为10 × 500 + 1 × 700 + 5 × 1000 = 10700（元） ． 西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的，不拆开零售.已知5个一袋的售价是8元，3个 一袋的售价是5元，要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱? 5个一袋的（后用⑤表示 ）共8元 ，平均每个1元6角 ；3个一袋的（后用③表示 ）共5元 ， 平均每个要超过1元6角 ，所以要尽量多的买⑤ ；共要给47个同学买 ，所以先考虑买9袋⑤ 和1袋③ ,共花费8 × 9 + 5 × 1 = 77（元） ，但此时会多出一个 ，有点浪费 ；再考虑如 果少买1袋⑤ , 则需要买8袋⑤和3袋③ , 共花费8 × 8 + 5 × 3 = 79（ 元 ），且浪费2 个 ，更 不 划 算 ；进 一 步 分 析 ，如 果 少 买 2 袋 ⑤ , 则 需 要 买 7 袋 ⑤ 和 4 袋 ③ , 共 花 费 8 × 7 + 5 × 4 = 76（ 元 ），此时没有浪费 ，而且花费最少 ．若再减少⑤ , ③个装单价 贵，便不再划算了 ．所以7袋⑤和4袋③是最佳方案，共需要76元. - 81 - 学科网（北京）股份有限公司 丁渭施工 宋代沈括的《梦溪笔谈》记载有这样一个故事：祥符中，禁火.时丁晋公主营复宫室， 患取土远，公乃令凿通衢取土，不日皆成巨堑.乃决汴水入堑中，引诸道竹木排筏及船运 杂材，尽自堑中入至宫门.事毕，却以斥弃瓦砾灰尘壤实於堑中，复为街衢。 一举而三役 济，计省费以亿万计. 描述的是中国古代有一个丁渭施工的故事，蕴含着运筹学的思想. 传说宋真宗在位时，皇宫曾起火.一夜之间，大片的宫室楼台殿阁亭榭变成了废墟.为 了修复这些宫殿，宋真宗派当时的晋国公丁渭主持修缮工程.当时，要完成这项重大的 建筑工程，面临着三个大问题：第一，需要把大量的废墟垃圾清理掉；第二，要运来大批 木材和石料；第三，要运来大量新土.不论是运走垃圾还是运来建筑材料和新土，都涉及 到大量的运输问题。如果安排不当，施工现场会杂乱无章，正常的交通和生活秩序都会 受到严重影响. 丁渭研究了工程之后，制订了这样的施工方案：首先，从施工现场向外挖了若干条大 深沟，把挖出来的土作为施工需要的新土备用，于是就解决了新土问题.第二步，从城外 把汴水引入所挖的大沟中，于是就可以利用木排及船只运送木材石料，解决了木材石料 的运输问题.最后，等到材料运输任务完成之后，再把沟中的水排掉，把工地上的垃圾填 入沟内，使沟重新变为平地. 简单归纳起来，就是这样一个过程：挖沟(取土) → 引水入沟(水道运输) →填沟(处 理垃圾). 按照这个施工方案，不仅节约了许多时间和经费，而且使工地秩序井然，使城内的交 通和生活秩序不受施工太大的影响，因而确实是很科学的施工方案. 实可谓“丁渭施工， 一举三得”,成为中国古代项目管理实践中非常典型的进行统筹 规划的案例. 第10讲 书中的秘密 · 模块一 数码与页码 · 模块二 求数字个数 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 打开一本书，为了标清每页的先后顺序，都会标明每页的页码.而这些页码就是由 0～9这10个数字组成的数，这些数字称为数码.根据一本书的页码数，就能够知道数 码个数，同样，知道数码个数，就能判断一本书的页码数，也就是一本书的页数，这就 是我们马上要学习的页码问题. 例题1 一本书一共有102页.请问：印刷时页码一共使用了多少个数码? 198个 练习1 一本书一共有98页.请问：印刷时页码一共使用了多少个数码? 187个 例题2 一本书印刷时一共使用了143个数码.请问：这本书一共有多少页? 76页 练习2 一本书印刷时一共使用了91个数码.请问：这本书一共有多少页? 50页 一本书中，很多数码是重复的，并且重复的次数各不相同.如果一本书有10页， 只有数字1被使用了2次，而其他数字只使用了1次，所以一共是11个数码.在页码 问题中，经常会问某个数字一共出现多少次. 例3 一本书一共有100页.请问：印刷时页码中一共有多少个数个位是1? 10个 练3 一本书一共有50页.请问：印刷时页码中一共有多少个数个位是1? 5个 例题4 一本书一共有80页.请问：印刷时页码中一共有多少个数字1? 页码中个位是1的一位数 ，只有1个 ；页码中个位是1的两位数 ，分别是11 、 21 、 31、41、 51、61、71 ，有7个 ；页码中十位是1的两位数 ，是10~19 ，有10个 ．这本书印刷时 页码中一共有18个数字1 ． 练习4 一本书一共有40页.请问：印刷时页码中一共有多少个数字1? 页码中个位是1的一位数 ，只有1个 ；页码中个位是1的两位数 ，分别是11、21、31 ，有3 个 ；页码中十位是1的两位数，是10~19 ，有10个 ．这本书印刷时页码中一共有14个数字 1 ． 勇攀高峰 一本书印刷时一共需要492个数码.请问：这本书一共多少页? 这本书第1页到第9页 ，会使用9个数码 ．还有492 — 9 = 483（个）数码 ．而两位数的页 码一共是90页 ，只能使用180个数码 ，说明还有三位数的页码 ．483 — 180 = 303（个） 数 码 ， 每 个 页 码 有 3 个 数 码 ， 有 303 ÷ 3 = 101 （ 页 ） ． 这 本 书 共 计9 + 90 + 101 = 200（页 ）． 一本书一共有234页.请问：印刷时页码中一共有多少个数字0? 页码中个位是0的一位数没有 ；页码中个位是0的两位数 ，是整10的数 ，有9个 ；页码中个 位是0的三位数 ，有14个 ；页码中十位是0的三位数 ，有20个 ；这本书印刷时页码一共有 43个数字0 ． - 88 - 学科网（北京）股份有限公司 第11讲 旋转与平衡 · 模块一 旋转 · 模块二 旋转与平移 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 生活中风扇和风车在旋转的时候都不会飞出来，是因为它们在旋转的时候，都有 固定的支点.我们把这个支点叫做旋转中心，旋转有三个非常重要的要素， 一个是旋 转中心，旋转方向和旋转角度.旋转后图形的位置和方向会发生改变，但是图形的大 小和形状不变. 我们来看一个钟表问题，分针和时针都是以表盘的中心为旋转中心，用手拨动表 盘的时候，分针和时针可以顺时针与逆时针旋转.我们所有旋转方向只有顺时针和逆 时针这两种. 例题1 观察这个钟表，回答下列问题. (1)分针从指向数字“3”的时刻开始，绕点O 顺时针旋转120度，最后分针会指向数字几? (2)分针从指向数字“4”的时刻开始，绕点0逆时针旋转570度，最后分针会指向数字几? (3)分针从指向数字“5”的时刻开始，直到最后分针会指向数字“3”,分针至少要绕点0顺 时针旋转多少度? (4)从7:35到8:54,分针绕点0是如何旋转的，旋转了多少度? （1）7；（2）9；（3）300；（4）顺时针，474度 练习1 从4:00到8:47这段时间里，钟表的分针旋转了多少度? 1722度 图形旋转的画图方法，需要我们注意图形的旋转中心，旋转方向和旋转角度.图形 在旋转的时候，图形上的任意一条边和任意一个点，旋转中心，旋转方向和旋转角度 都是一样的.例题2 请分别画出图中长方形和直角三角形绕0点顺时针旋转90°、180°、270°后的图形. 练习2 请画出图中三角形绕0点逆时针旋转180°后的图形. 例3 请画出将下面图形先绕点O 顺时针旋转90度，再向右平移3格的图形. 练3 请画出将下面图形先绕点0逆时针旋转90度，再向左平移4格的图形 例题4 如图，三角形ABC 经过怎样的运动变成三角形A'B'C'? 练习4 如图，平行四边形ABCD 经过怎样的运动变成平行四边形A'B'C'D'? 勇攀高峰 - 96 - 学科网（北京）股份有限公司 会跳舞的山鸡 三国时期，有人送给曹操一对会跳舞的山鸡.不久，其中一只山鸡死去了，失去伙伴 的另一只山鸡再也没有跳过舞.于是，曹操向众人许诺：谁能让山鸡跳起舞就重重有赏.文 武大臣们想了许多办法都失败了，只有一个六七岁、名叫苍舒的小男孩想出一个好办法， 他让大臣拿来一个东西放在山鸡的面前.山鸡看了，真的跳起了舞. 聪明的小朋友，你知道苍舒拿来的是什么东西吗?为什么山鸡一看到它就高兴地跳 起了舞? 没错，苍舒拿来的就是镜子，山鸡看到镜子中的自己，以为死去的伙伴又活过来了， 高兴地跳起了舞. 这便是成语“山鸡舞镜”的由来. 第12讲 计算奇偶性判断 · 模块一 多数运算的奇偶性 · 模块二 奇偶性论证 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 一个整数要么是奇数，要么是偶数，二者必居其一，这个属性叫做这个数的奇偶 性.利用奇数与偶数的分类及其特殊性质，可以“简捷”地求解一些与整数有关的问 题，我们把这种通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法称为“奇偶分析法”. 在正式开始本讲的学习之前，我们首先需要较熟练的掌握以下结论，有助于我们 更好的去思考问题： 一、加减法性质 加法性质： 奇数+奇数=偶数， 奇数+偶数=奇数，偶数+奇数=奇数，偶数+偶数=偶数. 减法性质： 奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-奇数=奇数，偶数-偶数=偶数. 1、相邻2个自然数一定是一个是奇数、一个是偶数，其和一定是奇数. 2、通过观察可以看出，一个数加偶数不会改变奇偶性，所以和的奇偶性是由奇 数的个数决定的.奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数；任意个偶数的和 是偶数. 3、可看出两个数的和与差奇偶性相同.一些数相加减，最后的结果的奇偶性也 是由奇数的个数决定的，即“奇数个奇数的和差是奇数，偶数个奇数的和差是偶数； 任意个偶数的和差是偶数”. 二、乘法性质 奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数， 偶数×奇数=偶数，偶数×偶数=偶数. 当乘数都是奇数时，乘积是奇数(反过来，如果若干个整数的乘积是奇数，那么 其中的每一个乘数都是奇数);只要乘数里出现至少1个偶数，那么乘积就是偶数 (反过来，如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个乘数是偶数.)—— 所以乘积的奇偶性是由是否存在偶数决定的. 例题1 (1)1+2+3+4+…+2012的和是奇数还是偶数? (2)在1、2、3…2013的每一个数前，添上加号或减号，请问：能否找到一种添法，使得算式结 果为0? （1）偶数；（2）不能 练习1 1-2+3+4-5+6+7-8+9+…+2011-2012+2013的结果是奇数还是偶数? 奇数 例题2 (1)1×2+2×3+3×4+…+99×100的结果是奇数还是偶数? (2)1×3+3×5+…+19×21的结果是奇数还是偶数? 偶数；偶数 练习2 1×3+3×5+5×7+…+2011×2013的结果是奇数还是偶数? 偶数 例3 一次宴会上，客人们相互握手，每两人之间都握一次手，请问：所有人握手次数之和是奇数还是偶数?握过奇数次手的人数是奇数还是偶数? （ 1 ）偶数；（2）偶数 练3 湖湘杯足球赛采用单循环赛，赛制规定：每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.比赛结束后，所有队的得分总和是奇数还是偶数? 偶数 例题4 桌上放有5枚硬币，第一次翻动1枚，第二次翻动2枚，第三次翻动3枚，第四次翻动4枚， 第五次翻动5枚.能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后桌上所有的硬币都翻过来?如果 桌上有6枚硬币，按类似的方法翻动6次，能否使得所有的硬币都翻过来? （ 1 ）可以；（2）不能 练习4 桌上放有6枚正面朝下的硬币，第一次翻动其中的5枚，第二次翻动其中的4枚，第三次翻动 其中的3枚，第四次翻动2枚，第五次翻动1枚.请问：能否恰当地选择每次翻动的硬币，使 得最后桌上所有的硬币正面都朝上? 不能 勇攀高峰 (1)有2013个自然数的和是偶数，那么它们的乘积是奇数还是偶数? (2)有2012个自然数的和是奇数，那么它们的乘积是奇数还是偶数? 乘积的奇偶性取决于乘数中是否有偶数 ．（ 1 ）2013个数的和是偶数 ，那么这2013个数中 一定有偶数（如果全是奇数，那么2013个奇数的和就一定是奇数了），所以它们的乘积一- 定是偶数 ．（ 2 ）2012个数的和是奇数 ，那么这2012个数中一定有偶数（如果全是奇数 ， 那么2012个奇数的和就一定是偶数了），所以它们的乘积一定是偶数 ． 在1~15中选出10个数填入下图的圆圈中，每两个有线相连的圆圈中的数相加，请问：这14个 和能否恰好是5~18? 反证法 ：假设恰好是5~18 ，则 ：把14个和相加 ，那么每一个圆圈中的数一定会出现偶数 次（要么加了2次、要么加了4次 ），所以最后的结果应该是一个偶数 ．但是 ，5~18的和 是奇数，所以矛盾，不可能 - 104 - 学科网（北京）股份有限公司 数论急先锋——神秘的奇偶数 奇偶数有很多特别的性质，让我们来总结一下吧： (1)运算性质：在加减法运算中，出现偶数不改变奇偶，而每出现一个奇数就改变一 次奇偶；乘法运算中，乘数中一旦出现偶数，结果就是偶数，否则结果就是奇数. (2)两个自然数的和与差同奇偶。 (3)任意相邻的两个自然数必是一奇一偶，并且这两个数互质. (4)差为2”的两个奇数互质. (5)从1开始，前n 个奇数的和等于n². (6)任意两个奇数的平方差是8的倍数. (7)偶数的平方一定是4的倍数，奇数的平方除以4和8都余1. (8)相邻两个偶数的最大公约数是2,相邻两个奇数的最大公约数是1. (9)相邻两个偶数的最小公倍数是两数乘积的一半，相邻两个奇数的最小公倍数是两 数之积. (10)完全平方数有奇数个不同的约数，非完全平方数有偶数个不同的约数. 哥德巴赫猜想：任意一个不小于4的偶数都可以拆成两个质数的和. 例 如 ： 4 = 2 + 2 , 6 = 3 + 3 , 8 = 3 + 5 , 1 0 = 3 + 7 , 1 2 = 5 + 7 , 1 4 = 3 + 1 1 , 16=3+13,18=5+13, … … 第13讲 和差与和倍 · 模块一 和差问题 · 模块二 和倍问题 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 1、和差问题 已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫和差应用题。解答和差应用题的基本数量关系是： （和－差）÷2=小数 小数＋差=大数（和－小数=大数） 或：（和＋差）÷2=大数 大数－差=小数（和－大数=小数） 2、解题策略 解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。 例题1 期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分。两人各考了多少分？ 96，92 练习1.1 两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克。两筐水果各重多少千克？ 66，58 练习1.2 4、 四年级同学共植树128棵，四年级比三年级多植树20棵，求三、四年级各植树多少棵？ 74，54 例题2 两筐梨子共有120个，如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数相等。两筐原来各有多少个梨？ 70，50 练习2.1 某机床厂第一、二两个车间共有车床96部，如果第一车间拨给第二车间8部，那么两个车间车床数相等。两个车间各有车床多少部？ 56，40 练习2.2 哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？ 40，30 例3 把一条100米长的绳子剪成三段，要求第二段比第一段多16米，第三段比第一段少18米。三段绳子各长多少米？ 34，50，16 练3.1 四个人年龄之和是88岁，最小的3岁，他与最大的年龄之和比另外两个人年龄之和大8岁。最大的年龄是多少岁？ 45 练3.2 今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3年前，小勇比妈妈小26岁。今年妈妈和小勇各多少岁 32 6 例题4 某工厂第一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人。三个车间各有工人多少人？ 105，95，50 练 4.1 有三只船共运木板9800块，第一只船比其余两船共运的少1400块，第二只船比第三只船多运200块。三只船各运木板多少块？ 4200，2700，2900 练 4.2 某工厂将857元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元。三名优秀工人各得多少元？ 494，244，119 勇攀高峰 某校四个年龄共有438名学生，其中一年级119人，四年级101人，一、二年级的总人数比三、四年级的总人数多52人。二、三年级各有多少人？ 126， 92 小军一家四口年龄之和是129岁，小军7岁，妈妈30岁，小军与爷爷年龄这和比他父母年龄之和大5岁。爷爷和爸爸的年龄各是多少岁？ 60 32 - 112 - 学科网（北京）股份有限公司 第14讲 和倍与差倍问题 · 模块一 和倍问题 · 模块二 差倍问题 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题． 它的结构可用下图来表达： 倍数（小数） 几倍数（大数）和 数量关系式：两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数） 小数×倍数=大数（几倍数） 两数和—小数=大数（几倍数） 和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数. 和倍问题的数量关系式是： 和÷(倍数+)=小数 小数×倍数=大数 或 和一小数=大数 如果要求两个数的差，要先求份数： 份数×(倍数－)=两数差. 解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。 例题1 小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍.爷爷比小华大多少岁？ 54 练1.1 一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 72 练1.2 师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？ 80，25 例题2 维尼熊和跳跳虎去摘苹果.维尼熊爬上树去摘，跳跳虎在地上跳着摘.跳跳虎每摘7个，维尼熊只能摘4个.维尼熊摘了80分钟，跳跳虎摘了50分钟就累了，不摘了.他们回来后数了一下，共摘2010个苹果，那么其中维尼熊摘的有多少个. 960 练2.1 二⑴班的图书角里有故事书和连环画共47本，如果故事书拿走7本后，故事书的本数就是连环画的4倍.原有连环画和故事书各有多少本？ 8，39 练2.2 甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？ 80， 差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题． 差倍问题的特点与和倍问题类似。解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。 解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量 差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－)=倍数(较小数) 倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数 解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系． 年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。例3 李爷爷家养的鸭比鹅多18只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？ 27 练3.1 思考乐学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍还多3箱，学而思学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？ 19 4 练3.2 有两根铁丝，第一根长18米，第二根长10米，两根铁丝用去同样长的一段后，第一根剩下的长度是第二根剩下长度的3倍，两根铁丝各剩下多少米？ 12， 4 例题4 为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。回校后，小明补给小光28元。小明、小光各带了多少元，每本书价多少元。 154，7 练习4.1 姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，几年后姐弟俩岁数和是40岁？姐姐到时多少岁了？ 9 22 勇攀高峰 为了过冬，小白兔和小黑兔都储藏了一些胡萝卜。已知小白兔储藏的胡萝卜数量是小黑兔储藏数量的3倍。它们各吃了5个胡萝卜后，小白兔剩下的胡萝卜数量是小黑兔剩下数量的4倍。那么它们剩下的胡萝卜共有多少个。 50 1、 乙、丙三个小朋友共有73块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如果乙给甲2块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的2倍，丙原有多少块巧克力． 22 - 121 - 学科网（北京）股份有限公司 第15讲 有余数的除法 · 模块一 整除问题 · 模块二 余数问题 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 1、在整数除法运算中，分为“能整除”和“不能整除”两种情况，不能整除就产生余数。如：26÷4的商是6，余数是2，可以记作：26÷4=6……2。 2、被除数、除数、商、余数之间的基本数量关系是： 被除数÷除数=商……余数 被除数＝除数×商＋余数 除数＝（被除数－余数）÷商 3、在有余数的除法里，余数必须比除数小。 解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。 例1 [ 　]÷6＝8……[ 　]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？ 53 49 练1.1 下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。 [ 　]÷8＝3……[ 　] 31 25 练1.2 下面算式中，被除数最小是几？ ①[ 　]÷[ 　]＝4……［　　］ 9 ②[ 　]÷[ 　]＝7……［　　］ 15 ③[ 　]÷[ 　]＝9……［　　］ 19 例题2 算式28÷[ 　]＝[ 　]……4中，除数和商分别是______和______。 12，8，6 2，3，4 练2 下面算式中，除数和商各是几？ ①22÷[ 　]＝[ 　]……4 ②65÷[ 　]＝[ 　]……2 18，1，9，2，66，3 63，1，21，3，9，7，7，9，3，31 例3 算式[ 　]÷7＝[ 　]……[ 　]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？ 8，16，24，32，40，48 练3 一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。 112， 128 144 160 176 算式[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……4中，除数和商相等，被除数最小是几？ 29 例4 下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几？ ①[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……6 55，7，7 ②[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……8 89，9，9 ③[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……3 19，4，4 练4 被除数是77，比除数的8倍还多5，除数是多少？ 9 勇攀高峰 被除数是38，余数是2，求除数和商各是多少？请写出所有的算式。 38，18，2，2 38，12，3，2 38，9，4，2 38，3，12，2 38，4，9，4 余数是12，除数比余数大6，是商的2倍，被除数是多少？ 155 - 128 - 学科网（北京）股份有限公司 第16讲 复杂的差倍问题 · 模块一 最小量统一 · 模块二 链式问题 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 例1 孙悟空、猪八戒、沙僧三人去天上比赛摘蟠桃，孙悟空摘的蟠桃数量是沙僧的2倍，猪八戒摘的是沙僧的3倍，他们一共摘了300个蟠桃。请问：他们三人各摘了多少个蟠桃? 50，100，150 练习1 小高、乐乐和丫丫比赛跳绳。小高跳的个数是乐乐的4倍，丫丫跳的个数是乐乐的2倍，三人一共跳了280下.请问：乐乐跳了多少下? 40 例题2 孙悟空、猪八戒、沙僧三人在地面上比赛抓妖怪，猪八戒抓的妖怪个数是沙僧的3倍，孙悟空 抓的是猪八戒的2倍，他们共抓了300个妖怪.请问：他们三人分别抓了多少个妖怪? 30，90，180 练习2 三个火枪手共有子弹180发，其中小火枪手的子弹数目是中火枪手的2倍，中火枪手的子弹数 目是大火枪手的3倍.请问：小火枪手比大火枪手多多少发子弹? 90 例3 孙悟空、猪八戒、沙僧三人去海里比赛捕鱼，沙僧捕的数量比猪八戒的2倍多3条，猪八戒捕 的是孙悟空的2倍，且三人一共捕了59条.请问：猪八戒捕了多少条鱼? 16 练3 小高、乐乐、丽丽一起去郊外钓鱼，已知小高钓的鱼比乐乐的3倍多1条，乐乐钓的鱼是卡 莉娅的3倍，一共钓了92条鱼.请问：小高钓了多少条鱼? 64 例题4 孙悟空、猪八戒、沙僧决定休息一会儿吃些包子，猪八戒吃的包子数是孙悟空的2倍，孙悟空吃的包子比沙僧的2倍多6个，他们一共吃了102个包子.请问：猪八戒吃了多少个包子? 60 练习4.1 小老鼠、小鸭子和小白兔三人比赛包饺子，10分钟内他们一共包了34个饺子.小老鼠包的饺子个数是小鸭子的2倍，小鸭子比小白兔包的饺子多6个.请问：他们分别包了多少个饺子? 4，10，20 勇攀高峰 孙悟空、猪八戒、沙僧三人决定进行一场“吹气球比赛”决胜负，1分钟内吹破气球个数最多的 人获胜.他们共吹破110个气球，其中孙悟空吹破的气球比沙僧的3倍多4个，猪八戒吹破的 气球比孙悟空的2倍少2个.请问：获胜者吹破了多少个气球? 66 农场里一共养了635只鸡、鸭、鹅，鸡比鸭的2倍少4只，鸭比鹅的2倍多3只.请问农场里 鸡、鸭、鹅分别有多少只? 90，183，362 - 136 - 学科网（北京）股份有限公司 $$ 目 录 第1讲 简便计算 1 第2讲 打包比较计算 11 第3讲 多边形面积 19 第4讲 数字谜 30 第5讲 加法原理与乘法原理 39 第6讲 行程问题初步 50 第7讲 追及问题 59 第8讲 数列基础 67 第9讲 合理安排时间问题 75 第10讲 书中的秘密 83 第11讲 旋转与平衡 89 第12讲 计算奇偶性判断 97 第13讲 和差与和倍 105 第14讲 和倍与差倍问题 112 第15讲 有余数的除法 120 第16讲 复杂的差倍问题 127 第1讲 运动的描述 笔记区 ——培养好学生，造就好老师，创办好学校2 第1讲 简便计算 · 模块一 带符号搬家 · 模块二 去添括号 · 模块三 提取公因数 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 同学们已经学过了四则混合运算，在这里我们先简单复习一下四则混合运算的各 种运算律，包括交换律、结合律、分配律、去括号和添括号的法则等等. 一、交换律： 1. 加法交换律：a+b=b+a; 例如：123+234=234+123; 2.乘法交换律：a×b=b×a, 例如：123×234=234×123. 二、结合律： 1.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c), 例如：(123+234)+345=123+(234+345); 2.乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c), 例如：(10×11)×12=10×(11×12). 三、分配律： 1.乘法分配律： 例如：(234-123)×5=234×5-123×5;5×(234-123)=5×234-5×123. 2. 除法分配律： 例如：(100-40)÷10=100÷10-40÷10;避免错误使用：18÷(3+6)≠18÷3+18÷6. 四、去(添)括号： 1.加、减法去(添)括号：括号前面是“+”,去(添)括号后不变号；括号前面 是“-”,去(添)括号后要变号. 例如：234+(345-123)=234+345-123,345- (234-123)=345-234+123. 2. 乘、除法去(添)括号：括号前面是“×”,去(添)括号后不变号；括号前面 是“÷”,去(添)括号后要变号. 例如：8×(5÷8)=8×5÷8,93÷(31÷3)=93÷31×3. 五、带符号搬家： 1. 同级运算时，可以带符号搬家，改变运算顺序. 注意：加、减法同为第一级运算，乘、除法同为第二级运算. 例如：241-164+59=241+59-164;165×29÷5=165÷5×29. 2. 四则混合计算时要先算乘除法、后算加减法，同级运算按照从左到右的顺序计 算，有括号时先算括号内的. 由这些性质出发，我们能总结出很多种巧算的方法，比如凑整法、提取公因数法等. 例题1 计算：(1)125×71×8; (2)124×24÷31; (3)28×7÷28×7. 练习1 计算：(1)25×123454321×4 (2)96×25÷24. 同级运算时，可以通过添(去)括号改变运算顺序. 例题2 计算：(1)222÷64×32; (2)123÷(41÷32); (3)125×21×60÷(7÷8×15). 练习2 (1)72×27×88÷(9×11×12); (2)25×121÷2÷(11×5÷4). 提取公因数是最常用、最重要的巧算方法之一，很多时候还需要我们自己构造公因数. 例3 计算：(1)222×33+889×66; (2)21×32+58×68+32×37; (3)12×21+23×12+52×11 练3 计算：23×5+46×25+69×15. 例题4 计算：(1)(16+32+36+40)÷4; (2)96÷4+176÷4+128÷4 (3)15÷6+53÷6-20÷6. 练习4.1 计算：(1)52÷7-13÷7+3÷7; (2)11÷5+111÷5+1÷5-23÷5. 勇攀高峰 计算：(1)15×16÷12; (2)64÷28×35. 计算：(1)56×47+46×44; (2)55×45-56×44. - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 课堂内外 数学以外的括号 括号，又称括弧号或夹注号. 数学中，括号主要用来规定运算次序的符号，主要分为四类，包括大括号“{}”、 中括号“[]”、小括号“()”以及比较少用的括线“一”. 而数学以外，括号主要用于作注释之用.写文章写到某个地方，为了让读者了解得 更透彻，有时需要加个注释.这种注释，要用括号表明.注释的性质是多种多样的.但是 小括号内只能对前面的语句进行附加说明，不能引入新的内容. 用作注释的括号主要包括：方括号“[]”、六角括号“〔”、方头括号“【】”和书 名号“◇”等形式. 方括号“[]”用来标示行文中的补缺或订误、国际音标、参考文献等. 六角括号“门”用来标示公文编号中的发文年份，作者国籍、朝代等. 方头括号“【】”又称“鱼尾号”,常用来标示工具书的条目. 最早出现的括号是小括号“()”,于1544年出现.直至17世纪，中括号“[]”才 出现于英国瓦里斯〔Wallis,1616-1703〕 的著作中，至于括线则由1591年韦达〔Vieta, 1540—1603〕首先采用，而大括号“{}”则约在1593年由韦达首先引入；至1629年，荷 兰的基拉德采用了全部括号，18世纪后开始在世界通用. 进入计算机时代后，括号又有了新的任务，各种编程语言中都会大量地用到小括号 “()”和大括号 “{}”. 第2讲 打包比较计算 · 模块一 比较法 · 模块二 倍数分组比较 · 模块三 打包比较法 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 当题目中包含两个以上的对象时，最简单的解决方法就是：把其中的若干对象“打包”,变成一个对象，从而减少对象的数量，最终把问题变成两个 对象间的和差倍问题.这种“打包”的方法就是所谓的分组法。在有多个对象的和差 倍问题中，分组法和比较法是常用的方法。 我们先来看这么一个简单的问题： 甲、乙、丙三人一起去称体重，由于秤出了点问题，只能准确称出60千克与90千克之间的重量，因此他们三人只能两人两人一起称重.甲和乙一起称，总重量是73 千克；乙和丙一起称，总重量是80千克；丙和甲一起称，总重量是75千克.三人的 体重分别是多少千克? 我们把甲、乙两人看成一组，乙、丙两人也看成一组(乙同时属于两组),比较 这两组我们发现丙比甲重80-73=7(千克).再结合甲、丙总重量为75千克，可以 根据和差关系算出甲、丙各自的重量。 在这个例子中，我们既考虑两人一组的总重量，也把两组的总重量作比较。 除此之外，还有一种利用分组进行比较的分析方法：同样的，我们把甲、乙、丙 三个人两两的体重看做一组，把三组相加，即为三个人体重和的2倍.由此可得三人 体重之和为(73+80+75)÷2=114(千克),再分别与每一组进行比较，即可得到三个人的体重。 由此可见，用分组法与比较法在处理多个对象的和差倍关系时，可以把条件之间 的关系变得更清晰.而且，一个题目往往是可以从不同的角度去采用不同的分析方法 进行解决的.所以我们要根据题目的实际情况进行合理的比较。 有些题目直接列出算式去比较会很麻烦，所以我们可以用画图的方法来帮助我们比较。 例1 乐乐学堂举办包包子大赛，乐乐比思思多包3个，丫丫比丽丽多包9个，乐乐和丽丽共包了87个.那么这四个人共包了多少个包子? 练习1 有来自阳光、灿烂、雨天、清风这四所小学的同学参加高思吃包子比赛，其中阳光学校参赛人数 比灿烂学校多5人，雨天学校参赛人数比清风学校多7人.如果灿烂、雨天两校一共有40人参加比赛，那么阳光、清风两校一共有多少人参加比赛? 例2 在神秘的星球上只有四种水果，其中火龙果和水龙果共83个，水龙果和金龙果共86个，金龙果和木龙果共88个.请问：火龙果和木龙果共多少个? 练2 西瓜太郎有四种西瓜，其中红西瓜和绿西瓜共23个，绿西瓜和粉西瓜共35个，粉西瓜和黄西 瓜共39个.请问：红西瓜和黄西瓜共多少个? 例3 某学生到工厂勤工俭学，按合同规定，干满30天，工厂将给他一套工作服和1000元钱。但由于学校另有安排，他工作了10天后便中止了合同。按天计算所得的报酬，工厂需要给他一套工作服和200元钱.请问：这套工作服值多少元钱? 练3 在海洋王国里，海豚在鲸鱼开的餐厅打工.它俩说好工作满30天，鲸鱼就付给海豚100个海洋 币和1颗珍珠.但是工作了25天，海豚便决定不干了.按天算工资，鲸鱼只付给它50个海洋币和1颗珍珠.请问：这颗珍珠值多少个海洋币? 例4 某食堂买来的大米的袋数是面粉的4倍，该食堂每天消耗面粉20袋，大米60袋，几天后面粉全部用完，大米还剩下200袋.请问：这个食堂买来大米多少袋？ 练习4.1 箱子里有红、白两种玻璃球，红球数是白球数的3倍 .每次从箱子里取出7个白球，15个红球.经过若干次后，箱子里白球恰好被取完，只剩下54个红球。那么箱子里原有红球、白球各多少个? 勇攀高峰 四年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是121人；不算丁班，其余三个班的总人数是134人；丁班人数的2倍比甲班多9人.请问：这四个班共有多少人? 四年级有甲、乙、丙、丁四个班，不算甲班，其余三个班的总人数是131人；不算丁班，其余三 个班的总人数是140人；乙、丙两个班的总人数比甲、丁两个班的总人数少1人.请问：这四个班共有多少人? - 17 - 学科网（北京）股份有限公司 真差25倍吗? 在秋天的赛季里，有两匹马——星期天和戈尔——被公认是发挥最出色的.星期天 轻松地获得肯塔基的冠军，戈尔取得了贝尔盟的桂冠。而在这两项比赛里，两匹马都取 得了一项赛事的冠军，打成了平手.关键在于另一项总决赛，即普力克.在普力克这场 比赛里，这两匹马都奋力向终点冲去，超过其它马有一匹马的身位.电子记录显示，星 期天获得了胜利，但仅比对手快了一个鼻子那么一丁点. 在这一单项赛事里，星期天获得了50万美元的奖励.再加上总成绩第一的100万 奖金，这样就达到了150万美元.而第二名——戈尔只得到了6万美元.星期天得到的 是戈尔的25倍，那么星期天做的真的比戈尔好25倍吗?不可能.完成这3项比赛需要 5个星期的时间，需要跑4公里的路程， 一匹马只是比其对手快了2英寸而已，实际上 差别并不大，甚至可以说几乎没有差别.而它们的回报却相差25倍!这就是微小边缘 原理在起作用. 也许只是多一点点的训练.也许只是多一点点的奋斗，也许计划方法只是好那么一 点点，也许所有这些因素或者还有其它更多的原因.每一项几乎都是微不足道的，然而 把这一些加起来，优势和利益将令你难以置信. 其实，人与人之间的差别和精明与否，是通过许多小的步骤取得的.每次只是一小 步而已.许多人失败后，就灰心丧气，然后放弃。倘若把注意力先放在小的改变上面将 会更容易，更高效并且少受挫折，之后再看它们累加起来的效果. 注意微小的边缘，专心致志，不遗余力，寻求突破，你将挥别失败与痛苦，笑迎成 功与欢乐. 第3讲 多边形面积 · 模块一 正方形与长方形面积 · 模块二 平行四边形面积 · 模块三 三角形面积 · 模块四 梯形的面积 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 在几何中，所谓直线形就是指由线段构成的图形.在日常生活中，我们最常见的直 线形有以下几种：正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形. 在有关直线形的计算中，计算周长和计算面积是最常见的两类.我们已经学过了如何计算直线形的周长，接下来我们将学习如何计算直线形的面积. 正方形的面积和长方形的面积公式是我们所熟悉的，如下图： 例1 如图，有一块长方形田地被分成了五小块，分别栽种了茄子、黄瓜、豆角、莴笋和苦瓜.其中茄 子地的面积是16平方米，黄瓜地的面积是28平方米，豆角地的面积是32平方米，莴笋地的面 积是72平方米，而且左上角茄子地恰好是一个正方形.请问：剩下的苦瓜地的面积是多少? 练习1 如图，有一块长方形田地被分成了四小块，分别栽种了冬瓜、西瓜、南瓜、黄瓜，其中冬瓜地的 面积是24平方米，西瓜地的面积是36平方米，南瓜地的面积是18平方米，而且左下角西瓜地 恰好是一个正方形.请问：剩下的黄瓜地的面积是多少? 如下图，平行四边形的两组对边平行且相等，我们把两组对边用不同颜色标出来。 为了计算平行四边形的面积，我们可以把平行四边形切成两块，然后拼成一个长方形，如下图。 这个平行四边形的面积和拼成的长方形的面积相同，都等于长方形的长乘宽.长方形的长和宽在平行四边形中都可以找到对应线段.在平行四边形中，这两条线段分别叫做底和高.于是我们有： 平行四边形面积=底×高 如图所示，同学们可以画出这条底对应的若干条高，并且这些高是相等的，都等于上下两条平行线间的距离。 当然我们可以用另一种方式把上面的平行四边形剪拼成一个长方形，如下面左图 所示.同样得到相对于这条底的若干条高，如下面右图所示，这些高也是相等的，都等于左右两条平行线间的距离。 例2 如图是由两个边长分别为4和7的正方形拼成的，请求出图中阴影部分的面积. 练习2 如图，大正方形里有一个小正方形还有一个阴影平行四边形.如果大正方形的边长是20厘米，小正方形的边长是8厘米.那么图中阴影平行四边形的面积是多少? 三角形中也有相对应的底和高.过三角形的一个顶点向所对的边做一条垂线，所 得的垂线段叫做三角形的高，所对的边叫做三角形的底.每个三角形有三组对应的底和高 . 要计算三角形的面积，同样要利用底和高的长度.观察下图，我们把一个三角形倒 过来和原图形拼在一起，可以得到一个平行四边形. 平行四边形的底与三角形的底相等，高也与三角形的高相等.而平行四边形的面 积等于“底×高”,正好是三角形面积的2倍，所以我们有三角形面积公式： 三角形面积=底×高÷2 按角度来分，三角形有三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.由于三角形 的形状多变，在初学阶段要找准三角形相对应的底和高很不容易.因此要想算出三角 形的面积，最关键的还在于准确地找到底与相应的高.下面是一个简单的作图练习， 大家不妨画一画. 例3 如图所示，两个正方形并排放在一起，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米.那 么图中阴影三角形的面积是多少? 练3 如图是由两个边长分别为4和6的正方形拼成的，请求出阴影三角形的面积. 三角形和平行四边形都有“底”和“高”的概念，梯形中也有.在梯形中，平行的 一组对边分别叫做上底和下底，不平行的一组对边叫做腰，上底和下底之间的距离叫做梯形的高. 如下图所示，把两个相同的梯形拼在一起，可以得到一个平行四边形. 从图中可以看出，这个平行四边形的面积是梯形面积的2倍.同时平行四边形的 底由梯形的上底和下底拼接而成，高与梯形的高相等.所以： 例题4 一个正方形和一个长方形按如图的方式摆放，已知正方形的面积是49平方厘米，长方形的长为 11厘米，宽为8厘米，那么图中阴影部分的面积是多少? 练4.1 如图，大正方形的边长是8厘米，小正方形的边长是6厘米.那么图中阴影部分的面积是多少? 勇攀高峰 如图所示，两个边长10厘米的正方形相互错开3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少? 如图，把两个正方形拼在一起，小正方形的边长是5厘米，大正方形的边长是7厘米，那么图 中阴影部分的面积是多少? - 27 - 学科网（北京）股份有限公司 四边形家的争吵 一天，四边形爷爷给他的子孙们分家了.他把平行四边形分在了一个特别大的房子 里，但是他却把梯形分在一个小小的房子里. 梯形可不满意了，他找来了四边形爷爷，对他说：“爷爷，你偏向平行四边形哥哥， 把它的地盘分的那么大，而我的地盘却那么小，太不公平了!我也要那么大的地盘!” 四边形爷爷却微笑着答道：“孩子，你别吵了，我并没有偏向平行四边形，之所以要 把它的地盘分的那么大，是因为里面还要住上其他的兄弟姐妹呢.你要理解呀!” 这时，在一旁干活的长方形也插嘴了：“梯形哥哥，你不要吵了，爷爷说得对，因为 我和正方形弟弟都属于特殊的平行四边形，当然要住在一起了!” 但梯形却说：“不，不，我要让你们都属于我，成为特殊的我!” 正方形过来解释道：“我们怎么可能属于你呢?你是只有一组对边平行，而平行四 边形是两组对边分别平行，我和长方形哥哥刚好是两组对边分别平行，因为我们的四个 角都是直角，所以我们是特殊的平行四边形.我们不属于你.” 梯形听了恍然大悟，不再争吵了.从此，大家和和睦睦的生活在一起. 第4讲 数字谜 · 模块一 加减法字母竖式 · 模块二 乘法字母竖式 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 竖式问题中常用的突破口有：首位、末位、位数、进位及重复出现的汉字或字母. 一、尾数分析 ①×2、×4、×6、×8(有两个答案),如：□×_2=_4,□有2、7两个答案； ②×1、×3、×7、×9(有一个答案),如：□×__3=__8,□只有6一个答案； ③×5:若□×5=_0,则口为偶数，只能填0、2、4、6、8; 若□×5= 5,则口为奇数，只能填1、3、5、7、9; ④×0,任意数与0的乘积都为0; ⑤_A×_A=A,A 可能为：0、1、5、6. 2、 首位分析→位数分析→估算，如： 3、 进、借位分析、如 一般来说，在包含字母(或汉字)的竖式中，不同的字母(或汉字)代表不同的 数字，相同的字母(或汉字)代表相同的数字. 在加法与减法竖式中，进位与借位是非常重要的分析突破口.尤其是相同数位上 重复出现的汉字或字母，有的时候，会略带一些有关奇偶性的简单应用. 例1 在如图所示的加法竖式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么每 个汉字各代表什么数字? 练习1 在如图所示的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字.其中 “G”代表 5 ,“D”代表 0 ,“H” 代表6 . 请问：“I”代表的数字是多少? 例题2 在如图所示的减法竖式中，相同的汉字代表相同的数字.不同的汉字代表不同的数字，那么每 个汉字各代表什么数字? 练习2 在如图所示的减法竖式中，每个字母代表一个数字. a= ,S= , t= ,V= . 例3 在如图所示的加法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字.已知个 位向十位的进位为2,且E 是奇数，则A、B、C、D、E 分别代表什么数字? 练3 在如图所示的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字.那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少? 例题4 在如图所示的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么ABCDEF 所代表的六位数是多少? 练习4 在如图所示的竖式中，相同的字母表示相同的数字，不同的字母表示不同的数字，那么ABCDE所代表的五位数是多少? 勇攀高峰 (1)一个自然数的个位数字是4,将这个4移到左边首位数字前面，所构成的新数恰好是原数的4倍，那么原数最小是多少? (2)一个五位数，将它的各位数字顺序颠倒就可以得到一个新的五位数，而且这个五位数恰好 是原数的4倍，那么原来的五位数是多少? 在如图所示的竖式里，“江”、“峡”、“美”三个汉字分别代表三个各不相同的数字，请把这个 竖式写出来. - 37 - 学科网（北京）股份有限公司 结绳记数 结绳记数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来.宋朝人 在一本书中说：“鞑靼无文字，每调发军马，即结草为约，使人传达，急于星火。”这是 用结草来调发军马，传达要调的人数呢!其他如藏族、彝族等，虽都有文字，但在一般不 识字的人中间都还长期使用这种方法.中央民族大学就收藏着一副高山族的结绳，由两 条绳组成：每条上有两个结，再把两条绳结在一起.有趣的是，不但我们东方有过结绳， 西方也结过绳.看样子，咱们这个星球早就像个地球村了，只不过那时还没有电报电话.传 说古波斯王有一次打仗，命令手下兵马守一座桥，要守60天.为了让将士们不少守一天 也不多守一天，波斯王用一根长长的皮条，把上面系了60个扣.他对守桥的官兵们说： “我走后你们一天解一个扣，什么时候解完了，你们就可以回家了. ” 回头我们再来看一件有趣的事情.在我国古代的甲骨文中，数学的“数”,它的右边 表示一只右手，左边则是一根打了许多绳结的木棍：——“数”者，图结绳而记之也.所 以，数学研究所的门口，最好用木棍打几个绳结作标“记”,连招牌都不用挂了. 第5讲 加法原理与乘法原理 · 模块一 加法原理与乘法原理 · 模块二 先分类后分步 · 模块三 标数法 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 “加法原理与乘法原理”研究的可不是加法和乘法怎么算! 我们以前学习过枚举计数的方法，但枚举法对于很多计数问题来说太麻烦了，今 天我们要学习的加法原理、乘法原理是计数问题中的两种新的计算方法。先举一个例 子： 餐厅里有4种炒菜和2种炖菜，4种炒菜分别是：红烧鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁 和三鲜豆腐，2种炖菜分别是：土豆炖牛肉和萝卜炖排骨. 点菜时如果只点一个菜，有点炒菜和点炖菜这两类方式.也就是说，可以点：红烧 鱼块、滑溜里脊、清炒虾仁、三鲜豆腐、土豆炖牛肉和萝卜炖排骨之一，有4+2=6(种) 点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜.这就是加法原理. 如果要求炒菜和炖菜各点一个，这时我们可以把一个炒菜和一个炖菜看成一个点 菜组合，点炒菜是第一步，点炖菜是第二步，这两步缺一不可.炒菜选红烧鱼块的点菜 方法有2种：(红烧鱼块，土豆炖牛肉)、(红烧鱼块，萝卜炖排骨);类似地，选滑溜里 脊的也有2种：(滑溜里脊，土豆炖牛肉)、(滑溜里脊，萝卜炖排骨);选清炒虾仁的 也有2种：(清炒虾仁，土豆炖牛肉)、(清炒虾仁，萝卜炖排骨);选三鲜豆腐的也有2 种：(三鲜豆腐，土豆炖牛肉)、(三鲜豆腐，萝卜炖排骨).合在一起就有4×2=8(种) 点菜方法，其中4代表4种炒菜，2代表2种炖菜.这就是乘法原理. 例题1 小高一家人外出旅游，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以坐飞机.经过网上查询，出发的那一天中火车有4班，汽车有3班，飞机有2班.任意选择其中一个班次，有多少种出行方法? 练习1 书架上有8本不同的小说和10本不同的漫画，大头要从书架上任意取一本书，有多少种不同的 取法? 例题2 如图，用红、黄两种颜色给图中房子的屋顶、烟囱、门、窗四个部分涂色，每个部分只能涂一种颜色，一共有多少种不同的涂色方法? 练习2 如图，用红、黄两种颜色给图中鸭子的眼睛、嘴巴、身子三个部分涂色，每个部分只能涂一种颜色，一共有多少种不同的涂色方法? 分类是指完成一件事情有几类不同方法，从中任意选取一类即可，它们之间可以 相互替代，任意选取一类都可以完成这件事.这种情况下一般要用到加法原理. 分步是指完成一件事情有几个不同步骤，每一步都必须执行，它们之间不可以相 互替代，少一步都不能完成这件事.这种情况下一般要用到乘法原理. 有些问题中，既有分类的关系，又有分步的关系。这时应该分清主次关系，弄清楚 到底是“分类中含有分步”,还是“分步中含有分类”.如果是某一大类里面又可以再 分为几小步，那么应该在这一类里面用乘法原理进行计算，最后再用加法原理把各类 中的情况加在一起.当然我们以后也会碰到某一大步里面又可以再分为几小类的情况， 这就要先用加法原理算出每一大步中有多少种情况，再用乘法原理把总数算出来. 例3 如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路。如果要求所走路线不能重复，请问：从甲地到丙地共有多少条不同的路线? 练3 如图，任意两地之间的路线都已在图中标示出来，如果要求所走路线不能重复，请问：从甲地到丙地共有多少条不同的路线? 我们总结一下加法原理与乘法原理之间的区别. 加法原理 类与类之间会满足下列要求： 1.只能选择其中的某一类，而不能几类同时选； 2.类与类之间可以相互替代，只需要选择某一类就可以满足要求. 比如，飞机、火车或汽车是可以随意选择的，小高一家人只选择其中一种交通工 具，就能到达目的地了. 乘法原理 步与步之间满足下列要求： 1.每步都只是整件事情的一个部分，必须全部完成才能满足结论； 2.步骤之前有先后的顺序，先确定好一步，再做下一步， ……,直到最后. 比如，衣服和帽子都要选择，只是可以有先后的步骤关系.在这里，衣服和帽子先 选哪种都可以.但有的时候却不能随意安排顺序，这种问题稍微难一些，我们在日后 会接触到. 在本讲的最后，我们来介绍标数法.标数法是解决路径条数问题的重要方法。 如下图所示，我们要计算蚂蚁从A 点沿箭头的方向爬到B 点的不同路线有多少条. 由于蚂蚁只能向上走或者向右走，因此对于最下面一行中的每个点，蚂蚁只有一 种方法可以到达，对于最左边一列中的点也是同样的结论(特别地，我们把A 点处标 上1,表示蚂蚁从A 点出发到达A 点，只有原地不动这一种方式).我们用标数法标出 蚂蚁到达每个点的路线数，已经得到的结果如下图所示. 容易看出，蚂蚁可以从C 点或者D 点到达E 点，而且只有这两类不同的方式，那 么我们可以在E 点处标上数字1+1=2(把C 点与D 点的数字相加),表示蚂蚁到达E 点有两条路线.同样道理，蚂蚁可以从E 点或者F 点到达G 点，那么蚂蚁到达G 点就 有2+1=3(条)路线(把E 点与F 点的数字相加).最后可以得到蚂蚁到达B 点有4 条路线，如下图所示. 例题4 如图，在图中，从A 点沿线段走到B 点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法? 练习4.1 如图，在图中，从A 点沿线段走到B点，每次只能向上或向右走一步，共有多少种不同走法? 勇攀高峰 老师要求乐乐在黑板上写出一个减法算式，要求被减数必须是三位数，减数必须是两位数.请 问：乐乐共有多少种不同的写法? 书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并 且这些书都各不相同.请问： (1)如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法? (2)如果从每一层中各任取1本，共有多少种不同的取法? (3)如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法? - 46 - 学科网（北京）股份有限公司 加减乘除的由来 加减乘除(+、 一、×、÷)等数学符号是我们每一个人最熟悉的符号，因为不光在数 学学习中离不开它们，几乎每天的日常的生活也离不开它们.别看它们这么简单，直到 17世纪中叶才全部形成. 法国数学家许凯早在1484年写成的《算术三篇》中，开始使用一些编写符号，如用 D 表示加法，用M 表示减法。这两个符号最早出现在德国数学家维德曼写的《商业速算 法》中，他用“+”表示超过，用“一”表示不足.到1514年，荷兰的赫克首次用“+” 表示加法，用“一”表示减法。1544年，德国数学家施蒂费尔在《整数算术》中也正式用 “+”和“一”表示加减，这两个符号逐渐被公认为真正的算术符号，广泛采用. 以符号“×”代表乘是英国数学家奥特雷德首创的.他于1631年出版的《数学之钥》 中引入这种记法.据说是由加法符号“+”变动而来，因为乘法运算是从相同数的连加 运算发展而来的.后来，莱布尼兹认为“×”容易与“X”相混淆，建议用“。”表示乘号，这样，“。”也得到了承认. 除法符号“÷”,最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行，奥屈特用“:”表示除 或比，也有人用分数线表示比，后来有人把二者结合起来就变成了“÷”.瑞士的数学家 拉哈的著作中正式把“÷”作为除号.符号“÷”是英国的瓦里斯最初使用的，后来在英 国得到了推广.除的本意是分，符号“÷”的中间的横线把上、下两部分分开，形象地表 示了“分”. 至此，四则运算符号齐备了. 第6讲 行程问题初步 · 模块一 路程、时间和速度 · 模块二 基本相遇问题 · 模块三 寻找隐藏路程和 · 模块四 不同时出发的相遇问题 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 院子里两棵槐树之间的距离是10米， 一只小猫从一棵槐树跑到10米外的另一棵 槐树需要5秒，那么小猫每秒跑10÷5=2(米). 行程问题是研究路程、时间和速度之间的关系.速度是衡量运动快慢的量.一般我 们选用1个单位的时间，如用1小时或1分钟或1秒，用1个单位的时间内经过的路 程的多少来表示速度的大小。因此，我们有了速度的定义： 速度、时间和路程是行程问题中最重要的三个量，它们之间的关系如下： 那么本文一开始提到的小猫跑过的距离10米就为路程，行程问题中常用的路程单 位是米和千米.而小猫跑了5秒就是时间，时间的常用单位有秒、分钟和小时.那么 小猫的速度就是2米/秒，行程问题中常用的速度单位有米/秒、米/分和千米/时. 例题1 甲、乙两地相距360千米， 一辆汽车原计划用8小时从甲地到乙地，那么汽车每小时应该行驶 多少千米?实际上汽车行驶了一半路程后发生了故障，在途中停留了1小时.如果按照原定的 时间到达乙地，汽车在后一半路程每小时应该行驶多少千米? 练习1 兔子和乌龟赛跑，从A 地跑到B 地，全程共6000米.兔子计划5分钟跑完全程，结果比赛时兔子实际每分钟跑的路程要比计划的要少200米.那么兔子实际跑完全程用了多长时间? 两个运动物体在一条直线上运动，行进的方向可能相同，也可能相反.当它们行 进方向相反时，如果它们面对面地接近，我们就称为“相向而行”;如果它们背对背 地远离，我们就称为“相背而行”.两人之间的“相遇问题”既可以是“相向而行” 也可以是“相背而行”,其中“相向而行”的相遇问题更常见一些. 相遇问题关心的是两个人的“速度和”以及“路程和”。根据行程问题基本公 式，我们可以类似得到相遇问题的三个基本公式： 在使用上述公式的时侯一定要注意，两个运动物体必须同时行进.如果整个相遇 过程中并不是同时行进的，这个公式就不能直接应用了，需要分段考虑. 例题2 A 、B两地相距4800米，甲、乙两人分别从A 、B两地同时出发，相向而行，如果甲每分钟走60 米 ，乙每分钟走100米，请问： (1)甲从A 走到B 需要多长时间? (2)两个人从出发到相遇需要多长时间? 练习2 阿呆和阿瓜从相距5000米的A、B 两地同时出发，相向而行.阿呆每分钟走150米，阿瓜每分 钟走350米，那么两人从出发到相遇需要多长时间? 例3 一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距350千米的两地出发相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行60千米，问： (1)2小时后两车相距多少千米? (2)出发几小时后两车第一次相距50千米? (3)出发几小时后两车第二次相距50千米? 练3 A、B 两地相距400千米，甲、乙两车分别从A、B 同时出发，相向而行.甲车的速度为每小时 60千米，乙车的速度为每小时40千米，请问： (1)出发几小时后甲、乙两车第一次相距100千米? (2)再过多长时间两车第二次相距100千米? 对一些复杂的行程问题，单靠凭空想象已经无能为力了，这时就需要用一种形象 的语言，把运动过程直观地表现出来，这就是我们解行程问题最得力的助手——线 段 图 . 画线段图时要特别注意： (1)专人专线：如果我们考虑的是两个或多个对象的运动，可以把它们的运动路 线并排摆放，要注意不同人的运动路线不同； (2)同时性：如果运动时间分为几个阶段，那么应该在运动路线上表示相应的时刻 . 比如上图表示汽车A 与汽车B 分别从甲地、乙地同时出发，从开始①时刻到②时 刻两车相遇，从②时刻到③时刻表示两车相遇后各自的运动情况.这样一来，我们就 可以借助线段图把整个行程过程看得更清楚.画线段图是解行程问题最基本的方法.通 过作图，可以将题目中的条件梳理清楚，还可以通过对图形的观察，挖掘出很多字面 上看不出来的隐藏条件，进而找到解题的突破口. 例题4 甲、乙两地相距350千米，一辆汽车在早上8点从甲地出发，以每小时40千米的速度开往乙 地.2小时后另一辆汽车以每小时50千米的速度从乙地开往甲地.请问：什么时候两车在途中 相遇? 练习4.1 小王和小许从相距5000米的各自的家里出发，相向而行.小王每分钟走200米，小许每分钟走300米.小王出发10分钟后小许才从家出发，那么小王走了多长时间两人才相遇? 勇攀高峰 (1)小高跑400米用50秒，旗鱼每小时能游180千米.请问：谁的速度更快? (2)飞毛腿跑280米要用14秒，鸵鸟奔跑的速度是72千米╱时，请问：谁的速度更快? 甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发相向而行，已知甲每分钟走50米，乙走完全程要18分 钟，出发3分钟后，甲、乙仍相距450米.请问：还要过多少分钟，甲、乙两人才能相遇? - 56 - 学科网（北京）股份有限公司 动物们的速度 跑得最快——猎豹是跑得最快的动物，每小时可跑145千米. 游得最快——游泳速度最快的动物是旗鱼，游速每小时达120千米，比轮船正常航行 速度要快三四倍. 爬形类动物的速度冠军——太平洋中的棱皮龟，其游泳速度最高达每小时35.2千米. 飞得最快的昆虫——澳大利亚蜻蜓，它短距离的冲刺速度可达每小时58千米. 跑得最快的鸟——鸵鸟，它每小时可以跑72千米. 长跑最快的动物——藏羚羊具有特别善奔跑的优点，奔跑速度可达每小时0~110千米， 即使是妊娠期满临产的雌藏羚，也会以很快的速度疾奔，它还是高原严酷环境下奔跑最 快的动物. 长距离飞得最快的动物——雨燕，它的时速高达170千米，最快352千米.一般速度为 每小时110~190千米，是长距离飞行最快的鸟类. 第7讲 追及问题 · 模块一 基本追及问题 · 模块二 不同时出发的追及问题 · 模块三 寻找隐藏路程差 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 上一讲我们学习了基本行程问题中的相遇问题，这一讲我们来学习行程中的另一 类重要问题——追及问题 . 基本追及问题是指两个人在同一直线上同向而行的行程问题，主要分两种情况： 一种是后面的人速度快，经过一段时间追上了另一个人；另一种是前面的人速度快， 两人的距离越来越远。 相遇问题考虑的是“路程和”与“速度和”,而追及问题中两人是同向而行，因 此我们考虑的是两人的“路程差”以及“速度差”.仿照行程问题基本公式，我们同样可以得到追及问题的三个基本公式： 例题1 A、B 两地相距260米，甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发，同向而行(乙在前，甲在后).甲 每秒钟走5米，乙每秒钟走3米，那么甲出发多长时间后可以追上乙? 练习1 京、津两地相距120千米，客车和货车分别从北京和天津同时出发，同向而行，客车在前，货车在后.已知客车每小时行100千米，货车每小时行120千米.那么出发后多长时间货车追上客车? 例题2 乐乐步行上学，每分钟行75米.乐乐离家12分钟后，爸爸发现他忘了带文具盒，马上骑自行 车去追，每分钟行375米.求爸爸追上乐乐所需要的时间. 练习2 龟、兔赛跑，龟比兔先出发100分钟，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米.请问兔出发后多久追上乌龟? 例3 一辆公共汽车和一辆小轿车从相距100千米的两地同时出发，同向而行，公共汽车在前，每小时行40千米，小轿车在后，每小时行60千米.请问： (1)经过2小时后两车相距多少千米? (2)出发几个小时后小轿车会领先公共汽车100千米? 练3 阿呆和阿瓜沿着同一条路线上学，阿呆每秒钟跑3米，阿瓜每秒钟跑7米.现在阿瓜落后阿呆50米，那么再过多长时间阿瓜会领先阿呆50米? 例题4 一辆公共汽车早上6点从A 城出发，以每小时40千米的速度向B 城驶去.3小时后一辆小轿车 以每小时75千米的速度也从A 城出发到B 城。当小轿车到达B 城后，公共汽车离B 城还有160 千米.问：小轿车什么时候到达B 城? 练习4 高速路上自西向东分布着A、B、C、D 四个加油站，其中A、B 之间的距离是20千米，C、D 之 间的距离是40千米.上午6:00快、慢两车分别从A、B两地出发向东前进，快车的速度是每小 时80千米，慢车的速度是每小时60千米.当快车到达D 加油站的时候，慢车正好到达C. 那 么快车从A 到达D 一共行了几个小时? 勇攀高峰 1、 乙两车同时从东、西两地出发，相向而行.甲车每小时行36千米，乙车每小时行30千米， 两车在距离中点9千米处相遇，求东、西两地间的距离。 丫丫一家开车去外地旅游，预计每小时行驶45千米.实际上，由于高速公路堵车，汽车每小时 只行驶30千米，因此比预计时间晚到了2小时.请问：丫丫一家在路上实际花了几个小时? - 65 - 学科网（北京）股份有限公司 阿基里斯追不上龟? 阿基里斯是荷马史诗中最善跑的英雄，芝诺是一名古希腊哲学家.芝诺认为，如果 阿基里斯在乌龟后100米追乌龟，阿基里斯永远追不上乌龟.他的论证简要说来是这样 的，阿基里斯要追上乌龟，首先必须到达乌龟原来的起跑点.可他跑到乌龟的起跑点需 要一定时间，因而当他跑到乌龟的起跑点时，乌龟已经前进了一段路了，于是他又必须 花一定的时间赶到乌龟的新的所在的点.而当他赶到乌龟新的所在的点时，乌龟又已经 前进了一段路了.因而如此下去，阿基里斯永远也追不上乌龟. 聪明的小朋友你同意芝诺的看法吗? 第8讲 数列基础 · 模块一 双重数列计算 · 模块二 数组规律计算 · 模块三 复杂数组 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 我们以前学习过找规律以及等差数列，本讲内容就是以这两块知识为基础，并通 过找规律、应用等差数列和周期性解决问题. 本讲所学的很多数列的规律可要比等差数列复杂得多.例如：1,1,1,2,1,3, 1,4, …这样的数列，我们就要把奇数项和偶数项分开来看，或者是两项两项地看. 又如：1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6, … 奇数项和偶数项的规律不是特 别明显，两项两项地看也没有好的发现，但三项三项地看就很容易发现规律了.对于 规律较复杂的数列，我们不能拿别的数列规律生搬硬套，要具体问题具体分析. 首先让我们来寻找以下数列的规律. 解决多重数列问题，首先要把原数列拆成几个简单数列进行分析，而分析过程中， 最关键的一步就是要判断清楚原多重数列的最后一项到底是属于哪一重的，进而才能 确定两重的项数是否相等. 例题1 观察数列的规律：10,1,10,2,10,3,10,4,10,5,10,6, … ,50 . 请回答以下问题： (1)这个数列中有多少项是10? (2)这个数列中所有项的总和是多少? 练习1 观察数列的规律：1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,4 ………30,4. 请回答以下问题： (1) 这个数列中有多少项是4? (2) 这个数列中所有项的总和是多少? 例题2 观察数列的规律：1,2,2,4,3,6,1,8,2,10,3,12,1,14,2,16,3,18………50. 请回答以下问题： (1) 这个数列中有多少项是2? (2) 这个数列所有项的总和是多少? 练习2 观察数列的规律：1,30,3,28,1,26,3,24,1,22,3,20,1,18,3,16, … ,2 .请回 答以下问题： (1)这个数列中有多少项是3? (2)这个数列所有项的总和是多少? 例3 观察数列的规律：1,2,2,4,3,6,4,8,5,10,6,12,7,14,8,16,9, … ,19 .请回答以下问题： (1)这个数列共有多少项? (2)这个数列所有项的总和是多少? 练3 观察数列的规律：40,1,38,2,36,3,34,4,32,5,30,6,28,7,26,8………2 . 请回 答以下问题： (1) 这个数列共有多少项? (2) 这个数列所有项的总和是多少? 例题4 观察数组(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)………的规律 .求： (1)第10组中三个数的和； (2)前10组中所有数的和. 练习4 观察数组(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)………的规律 .求： (1)第15组中三个数的和； (2)前20组中所有数的和. 勇攀高峰 观察数列的规律：2,3,4,6,6,9,8,12,10,15,12,18,14,21,16,24,18,27, … , 60. 请问：这个数列一共可能有多少项? 一列由两个数组成的数组：(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1), (4, 2),(4,3),(4,4),(5,1), … . 请问： (1)第70组内的两个数之和是多少? (2)前55组中“5”这个数出现了多少次? - 73 - 学科网（北京）股份有限公司 斐波那契数列 斐波那契数列，又叫兔子数列，用文字来描述，就是由0和1开始，之后的每一个 数都是由前面两个数相加.如下：0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, 233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,.. (一)兔子数列 在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥纳多(又名斐波那契),他描述兔子 生长的数目时用上了这个数列，如下为兔子繁殖的规律： ①第一个月有一对刚诞生的兔子 ②第二个月他们可以生育 ③每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子 ④兔子永不死去 ⑤每个月兔子对数为：1,2,3,5,8,13,... (二)神奇的自然现象 百合花的花瓣是3枚，梅花是5枚，而苹果、梨、杏等蔷薇科植物花瓣也都是5枚， 飞燕草是8枚，瓜叶菊是13枚，向日葵有的是21枚，有的是34枚，雏菊有的是34枚、 55枚或89枚.这些花瓣数正好就是“斐波那契数”. 第9讲 合理安排时间问题 · 模块一 合理安排时间 · 模块二 合理安排顺序 · 模块三 最短路线问题 · 模块四 合理安排车站位置 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 统筹方法，是一种研究如何安排工作进程的方法。为什么要合理安排工作进程 呢?我们举一个例子. 比如，想泡壶茶喝。茶叶有，但还没有烧水，而且水壶、茶壶、茶杯都没有洗 过.怎么办? 办法一：洗水壶，灌上凉水，放在火上；在等待水开的时间里，洗茶壶、洗茶 杯、拿茶叶；等水烧开了，泡茶. 办法二：洗水壶、茶壶、茶杯，拿茶叶；一切就绪，灌水烧水；等水烧开了，泡 茶. 办法三：洗水壶，灌上凉水，放在火上，坐待水开；水开了之后，洗茶壶、茶 杯，拿茶叶，再泡茶. 我们很容易看出第一种办法最好，后两种办法多多少少都浪费了时间. 在这个简单的例子中，有些工作可以同时做，比如烧水时可以洗茶壶、拿茶叶.有些工作有先后顺序的要求，比如洗水壶要安排在烧开水之前，而不能水烧开了 再去洗水壶.如何根据实际情况，合理地安排工作顺序，使得总时间或总花费最少， 正是统筹法研究的问题. 例题1 丫丫中午做一道菜，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐2分钟，切肉片2分钟， 准备葱姜蒜3分钟，准备佐料1分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟.请问：丫丫 烧好这道菜最短需要多少分钟? 练习1 妈妈让冬冬给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟， 洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟.冬冬估算了一下，完成这些工作要花20分钟.为了尽 快给客人沏茶，你认为最合理的安排，最少需要多少分钟? 例题2 小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了A、B、C、D、E 五个顾客.A 买糖果需要2分钟； B 买大米需要6分钟；C 买香烟和啤酒需要4分钟；D 买水果需要3分钟；E 买蔬菜需要5分钟.请 问：售货员应该如何安排五个人的顺序，使得这五个人排队等候所用时间的总和最少?最少是 多少?(只计算每个人排队的时间，不计算买东西的时间) 练习2 理发店里只有一位理发师，但同时来了五位顾客，理发师一次只能给一位顾客理发.由于顾客要求的发型不同，理发师给这五位顾客理发分别需要10、12、16、20、25分钟。怎样安排他们 理发的顺序，才能使这五人排队等候所用时间的总和最少?最少是多少? 在统筹规划问题中，我们往往需要找到最短时间、最短距离、最少花费等最优方 案.在这类问题中，比较和调整是常用技巧.当我们不能直接得到最优方案时，可以 从一个可行的方案出发，通过适当的调整让方案更优.如果任何调整都不能使方案更 优，此时的方案就是最优方案.例3 如图是一张道路图，每段路旁标注的数表示小山羊走完这段路所需的分钟数.请问：小山羊从A出发走到B 最快需要多少分钟? 练3 如图是某城市的道路图，每段路旁标注的数表示走完这段路所需用的分钟数.邮递员从A 点沿 道路到达B 点至少要经过多长时间? 例题4 如图，一条路上从西向东有A、B、C、D、E五所学校，分别有200人、300人、400人、500人、 600人.任意相邻的两所学校之间的距离都是100米.现在要在某所学校的门口修建一个公共汽 车站，使所有人到达车站的距离之和最小，那么车站应该建在什么地方?这时距离之和是多少? 练习4 如图，有八个村庄A₁ 、A₂ 、A₃ 、A₄ 、A₅ 、A₆ 、A₇ 、A₈分布在公路两侧，由一些小路与公 路相连.现要在公路上设一个汽车站，并且使得汽车站到各村庄的距离之和最小，那么车站应 设在哪里? 勇攀高峰 北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台.这些车床准备分配给武汉11台、西安5台， 每台车床的运费如下表所示，单位为元.那么总运费最少是多少元? 西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的，不拆开零售.已知5个一袋的售价是8元，3个 一袋的售价是5元，要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱? - 81 - 学科网（北京）股份有限公司 丁渭施工 宋代沈括的《梦溪笔谈》记载有这样一个故事：祥符中，禁火.时丁晋公主营复宫室， 患取土远，公乃令凿通衢取土，不日皆成巨堑.乃决汴水入堑中，引诸道竹木排筏及船运 杂材，尽自堑中入至宫门.事毕，却以斥弃瓦砾灰尘壤实於堑中，复为街衢。 一举而三役 济，计省费以亿万计. 描述的是中国古代有一个丁渭施工的故事，蕴含着运筹学的思想. 传说宋真宗在位时，皇宫曾起火.一夜之间，大片的宫室楼台殿阁亭榭变成了废墟.为 了修复这些宫殿，宋真宗派当时的晋国公丁渭主持修缮工程.当时，要完成这项重大的 建筑工程，面临着三个大问题：第一，需要把大量的废墟垃圾清理掉；第二，要运来大批 木材和石料；第三，要运来大量新土.不论是运走垃圾还是运来建筑材料和新土，都涉及 到大量的运输问题。如果安排不当，施工现场会杂乱无章，正常的交通和生活秩序都会 受到严重影响. 丁渭研究了工程之后，制订了这样的施工方案：首先，从施工现场向外挖了若干条大 深沟，把挖出来的土作为施工需要的新土备用，于是就解决了新土问题.第二步，从城外 把汴水引入所挖的大沟中，于是就可以利用木排及船只运送木材石料，解决了木材石料 的运输问题.最后，等到材料运输任务完成之后，再把沟中的水排掉，把工地上的垃圾填 入沟内，使沟重新变为平地. 简单归纳起来，就是这样一个过程：挖沟(取土) → 引水入沟(水道运输) →填沟(处 理垃圾). 按照这个施工方案，不仅节约了许多时间和经费，而且使工地秩序井然，使城内的交 通和生活秩序不受施工太大的影响，因而确实是很科学的施工方案. 实可谓“丁渭施工， 一举三得”,成为中国古代项目管理实践中非常典型的进行统筹 规划的案例. 第10讲 书中的秘密 · 模块一 数码与页码 · 模块二 求数字个数 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 打开一本书，为了标清每页的先后顺序，都会标明每页的页码.而这些页码就是由 0～9这10个数字组成的数，这些数字称为数码.根据一本书的页码数，就能够知道数 码个数，同样，知道数码个数，就能判断一本书的页码数，也就是一本书的页数，这就 是我们马上要学习的页码问题. 例题1 一本书一共有102页.请问：印刷时页码一共使用了多少个数码? 练习1 一本书一共有98页.请问：印刷时页码一共使用了多少个数码? 例题2 一本书印刷时一共使用了143个数码.请问：这本书一共有多少页? 练习2 一本书印刷时一共使用了91个数码.请问：这本书一共有多少页? 一本书中，很多数码是重复的，并且重复的次数各不相同.如果一本书有10页， 只有数字1被使用了2次，而其他数字只使用了1次，所以一共是11个数码.在页码 问题中，经常会问某个数字一共出现多少次. 例3 一本书一共有100页.请问：印刷时页码中一共有多少个数个位是1? 练3 一本书一共有50页.请问：印刷时页码中一共有多少个数个位是1? 例题4 一本书一共有80页.请问：印刷时页码中一共有多少个数字1? 练习4 一本书一共有40页.请问：印刷时页码中一共有多少个数字1? 勇攀高峰 一本书印刷时一共需要492个数码.请问：这本书一共多少页? 一本书一共有234页.请问：印刷时页码中一共有多少个数字0? - 88 - 学科网（北京）股份有限公司 第11讲 旋转与平衡 · 模块一 旋转 · 模块二 旋转与平移 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 生活中风扇和风车在旋转的时候都不会飞出来，是因为它们在旋转的时候，都有 固定的支点.我们把这个支点叫做旋转中心，旋转有三个非常重要的要素， 一个是旋 转中心，旋转方向和旋转角度.旋转后图形的位置和方向会发生改变，但是图形的大 小和形状不变. 我们来看一个钟表问题，分针和时针都是以表盘的中心为旋转中心，用手拨动表 盘的时候，分针和时针可以顺时针与逆时针旋转.我们所有旋转方向只有顺时针和逆 时针这两种. 例题1 观察这个钟表，回答下列问题. (1)分针从指向数字“3”的时刻开始，绕点O 顺时针旋转120度，最后分针会指向数字几? (2)分针从指向数字“4”的时刻开始，绕点0逆时针旋转570度，最后分针会指向数字几? (3)分针从指向数字“5”的时刻开始，直到最后分针会指向数字“3”,分针至少要绕点0顺 时针旋转多少度? (4)从7:35到8:54,分针绕点0是如何旋转的，旋转了多少度? 练习1 从4:00到8:47这段时间里，钟表的分针旋转了多少度? 图形旋转的画图方法，需要我们注意图形的旋转中心，旋转方向和旋转角度.图形 在旋转的时候，图形上的任意一条边和任意一个点，旋转中心，旋转方向和旋转角度 都是一样的.例题2 请分别画出图中长方形和直角三角形绕0点顺时针旋转90°、180°、270°后的图形. 练习2 请画出图中三角形绕0点逆时针旋转180°后的图形. 例3 请画出将下面图形先绕点O 顺时针旋转90度，再向右平移3格的图形. 练3 请画出将下面图形先绕点0逆时针旋转90度，再向左平移4格的图形 例题4 如图，三角形ABC 经过怎样的运动变成三角形A'B'C'? 练习4 如图，平行四边形ABCD 经过怎样的运动变成平行四边形A'B'C'D'? 勇攀高峰 - 96 - 学科网（北京）股份有限公司 会跳舞的山鸡 三国时期，有人送给曹操一对会跳舞的山鸡.不久，其中一只山鸡死去了，失去伙伴 的另一只山鸡再也没有跳过舞.于是，曹操向众人许诺：谁能让山鸡跳起舞就重重有赏.文 武大臣们想了许多办法都失败了，只有一个六七岁、名叫苍舒的小男孩想出一个好办法， 他让大臣拿来一个东西放在山鸡的面前.山鸡看了，真的跳起了舞. 聪明的小朋友，你知道苍舒拿来的是什么东西吗?为什么山鸡一看到它就高兴地跳 起了舞? 没错，苍舒拿来的就是镜子，山鸡看到镜子中的自己，以为死去的伙伴又活过来了， 高兴地跳起了舞. 这便是成语“山鸡舞镜”的由来. 第12讲 计算奇偶性判断 · 模块一 多数运算的奇偶性 · 模块二 奇偶性论证 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 一个整数要么是奇数，要么是偶数，二者必居其一，这个属性叫做这个数的奇偶 性.利用奇数与偶数的分类及其特殊性质，可以“简捷”地求解一些与整数有关的问 题，我们把这种通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法称为“奇偶分析法”. 在正式开始本讲的学习之前，我们首先需要较熟练的掌握以下结论，有助于我们 更好的去思考问题： 一、加减法性质 加法性质： 奇数+奇数=偶数， 奇数+偶数=奇数，偶数+奇数=奇数，偶数+偶数=偶数. 减法性质： 奇数-奇数=偶数，奇数-偶数=奇数，偶数-奇数=奇数，偶数-偶数=偶数. 1、相邻2个自然数一定是一个是奇数、一个是偶数，其和一定是奇数. 2、通过观察可以看出，一个数加偶数不会改变奇偶性，所以和的奇偶性是由奇 数的个数决定的.奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数；任意个偶数的和 是偶数. 3、可看出两个数的和与差奇偶性相同.一些数相加减，最后的结果的奇偶性也 是由奇数的个数决定的，即“奇数个奇数的和差是奇数，偶数个奇数的和差是偶数； 任意个偶数的和差是偶数”. 二、乘法性质 奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数， 偶数×奇数=偶数，偶数×偶数=偶数. 当乘数都是奇数时，乘积是奇数(反过来，如果若干个整数的乘积是奇数，那么 其中的每一个乘数都是奇数);只要乘数里出现至少1个偶数，那么乘积就是偶数 (反过来，如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个乘数是偶数.)—— 所以乘积的奇偶性是由是否存在偶数决定的. 例题1 (1)1+2+3+4+…+2012的和是奇数还是偶数? (2)在1、2、3…2013的每一个数前，添上加号或减号，请问：能否找到一种添法，使得算式结 果为0? 练习1 1-2+3+4-5+6+7-8+9+…+2011-2012+2013的结果是奇数还是偶数? 例题2 (1)1×2+2×3+3×4+…+99×100的结果是奇数还是偶数? (2)1×3+3×5+…+19×21的结果是奇数还是偶数? 练习2 1×3+3×5+5×7+…+2011×2013的结果是奇数还是偶数? 例3 一次宴会上，客人们相互握手，每两人之间都握一次手，请问：所有人握手次数之和是奇数还是偶数?握过奇数次手的人数是奇数还是偶数? 练3 湖湘杯足球赛采用单循环赛，赛制规定：每场比赛胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.比赛结束后，所有队的得分总和是奇数还是偶数? 例题4 桌上放有5枚硬币，第一次翻动1枚，第二次翻动2枚，第三次翻动3枚，第四次翻动4枚， 第五次翻动5枚.能否恰当地选择每次翻动的硬币，使得最后桌上所有的硬币都翻过来?如果 桌上有6枚硬币，按类似的方法翻动6次，能否使得所有的硬币都翻过来? 练习4 桌上放有6枚正面朝下的硬币，第一次翻动其中的5枚，第二次翻动其中的4枚，第三次翻动 其中的3枚，第四次翻动2枚，第五次翻动1枚.请问：能否恰当地选择每次翻动的硬币，使 得最后桌上所有的硬币正面都朝上? 勇攀高峰 (1)有2013个自然数的和是偶数，那么它们的乘积是奇数还是偶数? (2)有2012个自然数的和是奇数，那么它们的乘积是奇数还是偶数? 在1~15中选出10个数填入下图的圆圈中，每两个有线相连的圆圈中的数相加，请问：这14个 和能否恰好是5~18? - 104 - 学科网（北京）股份有限公司 数论急先锋——神秘的奇偶数 奇偶数有很多特别的性质，让我们来总结一下吧： (1)运算性质：在加减法运算中，出现偶数不改变奇偶，而每出现一个奇数就改变一 次奇偶；乘法运算中，乘数中一旦出现偶数，结果就是偶数，否则结果就是奇数. (2)两个自然数的和与差同奇偶。 (3)任意相邻的两个自然数必是一奇一偶，并且这两个数互质. (4)差为2”的两个奇数互质. (5)从1开始，前n 个奇数的和等于n². (6)任意两个奇数的平方差是8的倍数. (7)偶数的平方一定是4的倍数，奇数的平方除以4和8都余1. (8)相邻两个偶数的最大公约数是2,相邻两个奇数的最大公约数是1. (9)相邻两个偶数的最小公倍数是两数乘积的一半，相邻两个奇数的最小公倍数是两 数之积. (10)完全平方数有奇数个不同的约数，非完全平方数有偶数个不同的约数. 哥德巴赫猜想：任意一个不小于4的偶数都可以拆成两个质数的和. 例 如 ： 4 = 2 + 2 , 6 = 3 + 3 , 8 = 3 + 5 , 1 0 = 3 + 7 , 1 2 = 5 + 7 , 1 4 = 3 + 1 1 , 16=3+13,18=5+13, … … 第13讲 和差与和倍 · 模块一 和差问题 · 模块二 和倍问题 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 1、和差问题 已知两个数的和与差，求出这两个数各是多少的应用题，叫和差应用题。解答和差应用题的基本数量关系是： （和－差）÷2=小数 小数＋差=大数（和－小数=大数） 或：（和＋差）÷2=大数 大数－差=小数（和－大数=小数） 2、解题策略 解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，设法把若干个不相等的数变为相等的数，某些复杂的应用题没有直接告诉我们两个数的和与差，可以通过转化求它们的和与差，再按照和差问题的解法来解答。 例题1 期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分。两人各考了多少分？ 练习1.1 两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克。两筐水果各重多少千克？ 练习1.2 三、四年级同学共植树128棵，四年级比三年级多植树20棵，求三、四年级各植树多少棵？ 例题2 两筐梨子共有120个，如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数相等。两筐原来各有多少个梨？ 练习2.1 某机床厂第一、二两个车间共有车床96部，如果第一车间拨给第二车间8部，那么两个车间车床数相等。两个车间各有车床多少部？ 练习2.2 哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票，这时哥哥还比弟弟多2张。哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？ 例3 把一条100米长的绳子剪成三段，要求第二段比第一段多16米，第三段比第一段少18米。三段绳子各长多少米？ 练3.1 四个人年龄之和是88岁，最小的3岁，他与最大的年龄之和比另外两个人年龄之和大8岁。最大的年龄是多少岁？ 练3.2 今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3年前，小勇比妈妈小26岁。今年妈妈和小勇各多少岁 例题4 某工厂第一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第三车间多15人。三个车间各有工人多少人？ 练 4.1 有三只船共运木板9800块，第一只船比其余两船共运的少1400块，第二只船比第三只船多运200块。三只船各运木板多少块？ 练 4.2 某工厂将857元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元。三名优秀工人各得多少元？ 勇攀高峰 某校四个年龄共有438名学生，其中一年级119人，四年级101人，一、二年级的总人数比三、四年级的总人数多52人。二、三年级各有多少人？ 小军一家四口年龄之和是129岁，小军7岁，妈妈30岁，小军与爷爷年龄这和比他父母年龄之和大5岁。爷爷和爸爸的年龄各是多少岁？ - 112 - 学科网（北京）股份有限公司 第14讲 和倍与差倍问题 · 模块一 和倍问题 · 模块二 差倍问题 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 和倍问题就是已知两个数的和以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题． 它的结构可用下图来表达： 倍数（小数） 几倍数（大数）和 数量关系式：两数和÷（倍数+1）=小数（1倍数） 小数×倍数=大数（几倍数） 两数和—小数=大数（几倍数） 和倍问题的特点是已知两个数的和与大数是小数的几倍，要求两个数，一般是把较小数看作1倍数，大数就是几倍数，这样就可知总和相当于小数的几倍了，可求出小数，再求大数. 和倍问题的数量关系式是： 和÷(倍数+)=小数 小数×倍数=大数 或 和一小数=大数 如果要求两个数的差，要先求份数： 份数×(倍数－)=两数差. 解决和倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系。 例题1 小华和爷爷今年共72岁，爷爷的岁数是小华的7倍.爷爷比小华大多少岁？ 练1.1 一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？ 练1.2 师、徒两人共加工105个零件，师傅加工的个数比徒弟的3倍还多5个，师傅和徒弟各加工零件多少个？ 例题2 维尼熊和跳跳虎去摘苹果.维尼熊爬上树去摘，跳跳虎在地上跳着摘.跳跳虎每摘7个，维尼熊只能摘4个.维尼熊摘了80分钟，跳跳虎摘了50分钟就累了，不摘了.他们回来后数了一下，共摘2010个苹果，那么其中维尼熊摘的有多少个. 练2.1 二⑴班的图书角里有故事书和连环画共47本，如果故事书拿走7本后，故事书的本数就是连环画的4倍.原有连环画和故事书各有多少本？ 练2.2 甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？ 差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题． 差倍问题的特点与和倍问题类似。解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。 解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量 差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－)=倍数(较小数) 倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数 解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系． 年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。例3 李爷爷家养的鸭比鹅多18只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？ 练3.1 思考乐学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍还多3箱，学而思学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？ 练3.2 有两根铁丝，第一根长18米，第二根长10米，两根铁丝用去同样长的一段后，第一根剩下的长度是第二根剩下长度的3倍，两根铁丝各剩下多少米？ 例题4 为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。回校后，小明补给小光28元。小明、小光各带了多少元，每本书价多少元。 练习4.1 姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，几年后姐弟俩岁数和是40岁？姐姐到时多少岁了？ 勇攀高峰 为了过冬，小白兔和小黑兔都储藏了一些胡萝卜。已知小白兔储藏的胡萝卜数量是小黑兔储藏数量的3倍。它们各吃了5个胡萝卜后，小白兔剩下的胡萝卜数量是小黑兔剩下数量的4倍。那么它们剩下的胡萝卜共有多少个。 甲、乙、丙三个小朋友共有73块巧克力，如果丙吃掉3块，那么乙和丙的巧克力就一样多；如果乙给甲2块巧克力，那么甲的巧克力就是乙的2倍，丙原有多少块巧克力． - 121 - 学科网（北京）股份有限公司 第15讲 有余数的除法 · 模块一 整除问题 · 模块二 余数问题 · - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 1、在整数除法运算中，分为“能整除”和“不能整除”两种情况，不能整除就产生余数。如：26÷4的商是6，余数是2，可以记作：26÷4=6……2。 2、被除数、除数、商、余数之间的基本数量关系是： 被除数÷除数=商……余数 被除数＝除数×商＋余数 除数＝（被除数－余数）÷商 3、在有余数的除法里，余数必须比除数小。 解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。 例1 [ 　]÷6＝8……[ 　]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？ 练1.1 下面题中被除数最大可填________，最小可填_______。 [ 　]÷8＝3……[ 　] 练1.2 下面算式中，被除数最小是几？ ①[ 　]÷[ 　]＝4……［　　］ ②[ 　]÷[ 　]＝7……［　　］ ③[ 　]÷[ 　]＝9……［　　］ 例题2 算式28÷[ 　]＝[ 　]……4中，除数和商分别是______和______。 练2 下面算式中，除数和商各是几？ ①22÷[ 　]＝[ 　]……4 ②65÷[ 　]＝[ 　]……2 例3 算式[ 　]÷7＝[ 　]……[ 　]中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？ 练3 一个三位数除以15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。 算式[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……4中，除数和商相等，被除数最小是几？ 例4 下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几？ ①[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……6 ②[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……8 ③[ 　]÷[ 　]＝[ 　]……3 练4 被除数是77，比除数的8倍还多5，除数是多少？ 勇攀高峰 被除数是38，余数是2，求除数和商各是多少？请写出所有的算式。 余数是12，除数比余数大6，是商的2倍，被除数是多少？ - 128 - 学科网（北京）股份有限公司 第16讲 复杂的差倍问题 · 模块一 最小量统一 · 模块二 链式问题 - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 例1 孙悟空、猪八戒、沙僧三人去天上比赛摘蟠桃，孙悟空摘的蟠桃数量是沙僧的2倍，猪八戒摘的是沙僧的3倍，他们一共摘了300个蟠桃。请问：他们三人各摘了多少个蟠桃? 练习1 小高、乐乐和丫丫比赛跳绳。小高跳的个数是乐乐的4倍，丫丫跳的个数是乐乐的2倍，三人一共跳了280下.请问：乐乐跳了多少下? 例题2 孙悟空、猪八戒、沙僧三人在地面上比赛抓妖怪，猪八戒抓的妖怪个数是沙僧的3倍，孙悟空 抓的是猪八戒的2倍，他们共抓了300个妖怪.请问：他们三人分别抓了多少个妖怪? 练习2 三个火枪手共有子弹180发，其中小火枪手的子弹数目是中火枪手的2倍，中火枪手的子弹数 目是大火枪手的3倍.请问：小火枪手比大火枪手多多少发子弹? 例3 孙悟空、猪八戒、沙僧三人去海里比赛捕鱼，沙僧捕的数量比猪八戒的2倍多3条，猪八戒捕 的是孙悟空的2倍，且三人一共捕了59条.请问：猪八戒捕了多少条鱼? 练3 小高、乐乐、丽丽一起去郊外钓鱼，已知小高钓的鱼比乐乐的3倍多1条，乐乐钓的鱼是卡 莉娅的3倍，一共钓了92条鱼.请问：小高钓了多少条鱼? 例题4 孙悟空、猪八戒、沙僧决定休息一会儿吃些包子，猪八戒吃的包子数是孙悟空的2倍，孙悟空吃的包子比沙僧的2倍多6个，他们一共吃了102个包子.请问：猪八戒吃了多少个包子? 练习4.1 小老鼠、小鸭子和小白兔三人比赛包饺子，10分钟内他们一共包了34个饺子.小老鼠包的饺子个数是小鸭子的2倍，小鸭子比小白兔包的饺子多6个.请问：他们分别包了多少个饺子? 勇攀高峰 孙悟空、猪八戒、沙僧三人决定进行一场“吹气球比赛”决胜负，1分钟内吹破气球个数最多的 人获胜.他们共吹破110个气球，其中孙悟空吹破的气球比沙僧的3倍多4个，猪八戒吹破的 气球比孙悟空的2倍少2个.请问：获胜者吹破了多少个气球? 农场里一共养了635只鸡、鸭、鹅，鸡比鸭的2倍少4只，鸭比鹅的2倍多3只.请问农场里 鸡、鸭、鹅分别有多少只? - 136 - 学科网（北京）股份有限公司 $$