精品解析：2025年广东省深圳市中考数学练习卷（二）

2025年九年级第二学期深圳中考数学练习卷（二） 说明：本卷共6页，考试时间90分钟，满分100分，题前，请将姓名、考号、考点、考场和座位号填写在答题卡相应的区域，并贴好条形码．考试结束后，请将本卷和题卡一并上交． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是 正确的） 1. 位于贵州的“中国天眼”是500米口径球面射电望远镜，简称，是世界上最大的单口径球面射电望远镜（如图所示），它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 4. 如图，点P是的重心．过P作的平行线，分别交，于点D，E；作交于点F．若的面积为18，则四边形的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 化学实验室有四种溶液：分别是氢氧化钠溶液，碳酸氢钠溶液，稀盐酸溶液和稀硫酸溶液，从中随机取出两种适量溶液，充分混合，有气体生成的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱多乙余钱五倍，乙得甲十钱适等，问甲、乙怀钱各几何?”译文为：现有甲、乙两人带有一些银子，都不知道数量，甲得到乙的10两银子，甲比乙多出的银子是乙的5倍，乙得到甲的10两银子，两人的银子恰好相等，问甲、乙各带了多少两银子?设甲带了两银子，乙带了两银子，那么可列方程组为（ ） A. B. C D. 7. 如图，四边形与四边形都是菱形，点E，F在上，已知，，则值为（ ） A. B. C. D. 8. 春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为1：2.4的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点A齐平的B处，起风后小明开始往下跑26米至坡底C处，并继续沿平地向前跑16米到达D处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是37°，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方E处．已知小明视线距地面高度为1.5米，图中风筝E、A、B、C、D五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离AE约为（　　）米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） A. 34.2 B. 32.7 C. 31.2 D. 22.7 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 10. 若，则代数式值是______． 11. 如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影部分的面积为___． 12. 如图，点，在轴上，分别以，为边，在轴上方作正方形，．经过点E的反比例函数的图象交边于点．若，，则k的值为______． 13. 足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门的张角达到最大值，故可以称点Q为直线上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，为球门一部分，于点，米，米．某球员沿向球门进攻，设最佳射门点为点Q． ___． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. “绿水青山就是金山银山”，人们对生态环境的保护意识不断提高．某园区开展植树护林活动，据了解A种树木的单价比B种树木的单价多8元，且用400元购买A种树木的数量与用240元购买B种树木的数量相同． （1）求A、B两种树木的单价； （2）若该园区计划购买A，B两种树木共100棵，总费用不超过1600元，最多需要购买A种树木多少棵？ 17. 第四届全民阅读大会于2025年4月23日在山西太原开幕．大会的主题是“培育读书风尚建设文化强国”．某校借此机会举办了主题为“书香校园重读经典”的演讲比赛，满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及以上为合格，达到9分及以上为优秀．从九年级一班和九年级二班各随机抽取10名同学的成绩，并进行整理． 数据整理：小晋将随机抽取的两个班级的成绩整理成如下统计图： 数据分析：小晋对两个班级的成绩进行了如下分析： 班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 合格率 优秀率 九年级一班 7 6 九年级二班 73 8 根据上述信息回答下列问题： （1）填空： ， ， ． （2）在所抽取同学的成绩中，每班成绩前的同学可以得到“阅读小能手”的称号．被抽到的小张同学的成绩是7分，他没有得到“阅读小能手”的称号．请你判断小张是哪个班级的同学，并说明理由． （3）请你结合表格中的信息，对两个班级的成绩进行评价．（写出两条即可） 18. 如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，．求的值． 19. 综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时的位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 20. 综合与探究 问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平． 猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由 拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级第二学期深圳中考数学练习卷（二） 说明：本卷共6页，考试时间90分钟，满分100分，题前，请将姓名、考号、考点、考场和座位号填写在答题卡相应的区域，并贴好条形码．考试结束后，请将本卷和题卡一并上交． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是 正确的） 1. 位于贵州的“中国天眼”是500米口径球面射电望远镜，简称，是世界上最大的单口径球面射电望远镜（如图所示），它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形即可得到答案． 【详解】解；从上面看，看到图形是一个圆，故“中国天眼”的俯视图是圆， 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、完全平方公式、幂的乘方及同底数幂相乘法则．需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A： 与不是同类项，无法合并．例如，当时，左边为，右边为，显然不等．故A错误． 选项B： 根据完全平方公式，，而选项B缺少项．例如，当时，左边为，右边为，不等．故B错误． 选项C： 幂的乘方运算：．例如，当时，左边为，右边为，相等．故C正确． 选项D： 同底数幂相乘法则：，而选项D结果为．例如，当时，左边为，右边为，不等．故D错误． 故选：C． 3. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 【答案】B 【解析】 【详解】∵直尺的对边互相平行， ∴∠1=∠3， ∵∠3+∠2=45°， ∴∠1+∠2=45°， ∵∠1=20°， ∴∠2=45°﹣∠1=25°， 故选：B． 4. 如图，点P是的重心．过P作的平行线，分别交，于点D，E；作交于点F．若的面积为18，则四边形的面积为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形重心的有关系性质，相似三角形的判定以及性质，连接并延长交于G，由重心的性质得，，由平行线截直线成比例可得出，，再证明，，由相似三角形的性质可得出，，分别求出和，进一步即可得出答案． 【详解】解：连接并延长交于G，由重心的性质得，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴四边形的面积， 故选：B． 5. 化学实验室有四种溶液：分别是氢氧化钠溶液，碳酸氢钠溶液，稀盐酸溶液和稀硫酸溶液，从中随机取出两种适量溶液，充分混合，有气体生成的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】：此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案， 【详解】解：氢氧化钠溶液，碳酸氢钠溶液，稀盐酸溶液和稀硫酸溶液，分别用表示， 画树状图如图： 四种溶液中随机取出两种溶液，共有12种可能，其中两种溶液混合后产生气体的有：（）碳酸氢钠溶液和稀盐酸溶液、（）碳酸氢钠溶液和稀硫酸溶液4种情况，所以有气体生成的概率是． 故选：C． 6. 我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有甲、乙怀钱，各不知其数，甲得乙十钱多乙余钱五倍，乙得甲十钱适等，问甲、乙怀钱各几何?”译文为：现有甲、乙两人带有一些银子，都不知道数量，甲得到乙10两银子，甲比乙多出的银子是乙的5倍，乙得到甲的10两银子，两人的银子恰好相等，问甲、乙各带了多少两银子?设甲带了两银子，乙带了两银子，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“甲得到乙的10两银子，甲比乙多出的银子是乙的5倍”、“乙得到甲的10两银子，两人的银子恰好相等”建立方程组即可得． 【详解】解：由题意可列方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键． 7. 如图，四边形与四边形都是菱形，点E，F在上，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形的对角线平分对角，结合，建立勾股定理，表示出，的长，进而即可解决问题． 【详解】解：过点E作于点M，连接，如图所示： ∵四边形与四边形都是菱形，点E，F在上，，， ∴，， 则在中，，则， 那么， 所以， 在中，，则， 那么，则，， ∴， 即， 故选：D 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，表示出，的长是解题关键． 8. 春天是放风筝的好时节，小明为了让风筝顺利起飞，特地将风筝放在坡度为1：2.4的山坡上，并站在视线刚好与风筝起飞点A齐平的B处，起风后小明开始往下跑26米至坡底C处，并继续沿平地向前跑16米到达D处后站在原地开始调整，小明将手中的线轴刚好举到与视线齐平处测得风筝的仰角是37°，此时风筝恰好升高到起飞时的正上方E处．已知小明视线距地面高度为1.5米，图中风筝E、A、B、C、D五点在同一平面，则风筝上升的垂直距离AE约为（　　）米．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） A. 34.2 B. 32.7 C. 31.2 D. 22.7 【答案】D 【解析】 【分析】根据AN∥SC，则，求出：AN＝3.6＝RS，AR＝NS＝BS＋NB，则AM＝10，RD＝RS＋SC＋CD＝3.6＋24＋16＝43.6＝MG，EM＝MGtan37°＝32.7，最后根据AE＝EM−AM，即可求解． 【详解】解：设小明在B处视线的点为N，延长NB交CD于点S，过点G作GM平行于地面交AE于点M， 坡度为1：2.4，BC＝26，则BC＝10，SC＝24，BS＝10， ∵AN∥SC，∴， 即：，解得：AN＝3.6＝RS， AR＝NS＝BS+NB＝10+1.5＝11.5，则AM＝10， RD＝RS+SC+CD＝3.6+24+16＝43.6＝MG， EM＝MGtan37°＝32.7， AE＝EM﹣AM＝32.7﹣10＝22.7， 故选：D． 【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】题考查了二次根式有意义的条件，负数没有平方根列出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 若，则代数式的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查了代数式求值．根据，把化成，再把整体代入化简后的算式计算即可． 详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：5． 11. 如图，在中，，分别以为边向上作正方形、正方形、正方形，点E在上，若，，则图中阴影部分的面积为___． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查求阴影部分的面积，全等三角形的性质和判定，勾股定理．勾股定理求出，根据条件证明，利用全等三角形的性质即可得到，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴， ∵是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴阴影部分的面积， 故答案为：12． 12. 如图，点，在轴上，分别以，为边，在轴上方作正方形，．经过点E的反比例函数的图象交边于点．若，，则k的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，设正方形的边长为，根据题意，，由反比例函数系数得到，解得，即可求得，代入即可求得的值． 【详解】设正方形的边长为， ， ， 点，在轴上，分别以，为边，在轴上方作正方形，，， ，， 反比例函数的图象交于点、， ， 整理得， 解得或（舍去）， ， ， 故答案为：12． 13. 足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门的张角达到最大值，故可以称点Q为直线上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，为球门一部分，于点，米，米．某球员沿向球门进攻，设最佳射门点为点Q． ___． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识．证明，利用相似三角形的性质求出，过点B作于点H．利用面积法求出，再利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，过点B作于点H． ∵， ∴， ∵．， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数的混合运算，零指数幂，二次根式的混合运算，解题关键是注意运算顺序． 先求出零指数幂，余弦值，化简二次根式，绝对值，再计算二次根式的四则混合运算． 【详解】解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【解析】 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】解： = = =， 当时， ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 16. “绿水青山就是金山银山”，人们对生态环境的保护意识不断提高．某园区开展植树护林活动，据了解A种树木的单价比B种树木的单价多8元，且用400元购买A种树木的数量与用240元购买B种树木的数量相同． （1）求A、B两种树木的单价； （2）若该园区计划购买A，B两种树木共100棵，总费用不超过1600元，最多需要购买A种树木多少棵？ 【答案】（1）每棵A种树木的售价是20元，每棵B种树木的售价是12元 （2）最多需要购买A种树木50棵 【解析】 【分析】（1）根据A、B两种树木单价的关系设未知数，利用“用400元购买A种树木的数量与用240元购买B种树木的数量相同”这一条件列分式方程求解． （2）设购买A种树木的数量，进而表示出B种树木数量，依据“总费用不超过1600元”列一元一次不等式求解 ． 【小问1详解】 解：设每棵B种树木的单价是元，每棵A种树木的单价元 ∵ 用元购买A种树木的数量与用元购买B种树木的数量相同，数量总价单价 ∴ 解得 经检验：是原方程的解， ∴ 答：每棵A种树木的售价是20元，每棵B种树木的售价是12元． 【小问2详解】 解：设需要购买A种树木棵，则购买B种树木棵 ∵ 总费用不超过元，总费用A种树木费用B种树木费用，A种树木单价元，B种树木单价元 ∴ 解得 答：最多需要购买A种树木50棵． 17. 第四届全民阅读大会于2025年4月23日在山西太原开幕．大会的主题是“培育读书风尚建设文化强国”．某校借此机会举办了主题为“书香校园重读经典”的演讲比赛，满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及以上为合格，达到9分及以上为优秀．从九年级一班和九年级二班各随机抽取10名同学的成绩，并进行整理． 数据整理：小晋将随机抽取的两个班级的成绩整理成如下统计图： 数据分析：小晋对两个班级的成绩进行了如下分析： 班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 合格率 优秀率 九年级一班 7 6 九年级二班 7.3 8 根据上述信息回答下列问题： （1）填空： ， ， ． （2）在所抽取同学的成绩中，每班成绩前的同学可以得到“阅读小能手”的称号．被抽到的小张同学的成绩是7分，他没有得到“阅读小能手”的称号．请你判断小张是哪个班级的同学，并说明理由． （3）请你结合表格中的信息，对两个班级的成绩进行评价．（写出两条即可） 【答案】（1）8，6， （2）小张是九年级二班的同学，见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查求众数，中位数，根据条形统计图中数据进行分析是解题的关键； （1）根据条形统计图结合众数，中位数的定义进行求解，根据成绩达到6分及以上为合格，求合格率； （2）根据两个班的中位数，，且小张同学没有得到“阅读小能手”称号，即可求解； （3）答案不唯一，例如，从优秀率或合格率或平均分等角度分析，即可求解． 【小问1详解】 解：根据条形统计图可得，九年级一班得分中分的最多，则， 九年级二班得分分别为：则中位数为， ； 【小问2详解】 解：小张是九年级二班的同学，理由如下： 九年级一班成绩的中位数是分，九年级二班成绩的中位数是分，小张的成绩是分 ∵，且小张同学没有得到“阅读小能手”称号， ∴小张是力年级二班的同学； 【小问3详解】 解：答案不唯一，例如： ①九年级一班成绩的优秀率为，高于九年级二班成绩的优秀率，所以从优秀率角度看，九年级一班的成绩比九年级二班的成绩好； ②九年级一班成绩的合格率为，高于九年级二班成绩的合格率，所以从合格率角度看，九年级一班的成绩比九年级二班的成绩好； ③九年级二班成绩的平均数为7.3分，高于九年级一班成绩的平均数7分，所以从平均数角度看，九年级二班的成绩比九年级一班的成绩好； ④九年级二班成绩的中位数为8分，高于九年级一班成绩的中位数6分，所以从中位数角度看，九年级二班的成绩比九年级一班的成绩好； ⑤九年级二班成绩的众数为8分，高于九年级一班成绩的众数6分，所以从众数角度看，九年级二班的成绩比九年级一班的成绩好；等等． 18. 如图，为的内接三角形，为的直径，将沿直线翻折到，点在上．连接，交于点，延长，，两线相交于点，过点作的切线交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，．求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠可得，根据切线的定义可得，即可得证； （2）根据题意证明，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （3）根据，设，则，得出，根据折叠的性质可得出，则，进而求得，根据，进而根据正切的定义，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵将沿直线翻折到， ∴， ∵为的直径，是切线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是切线， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； 【小问3详解】 解：∵，设，则， ∴， ∴， ∵由折叠可得， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，折叠问题，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 19. 综合与实践 树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1） 初始时，矩形义卖区与遮阳伞投影的平面图如图2所示，在上，，，，，，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中，也随之移动（始终在边所在直线上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为移动到落在上的情形． 【问题提出】 西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时位置． 设遮阳区的面积为，从初始时向右移动的距离为． 【直观感知】（1）从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大如何变化？ 【初步探究】（2）求图3情形的与的值； 【深入研究】（3）从图3情形起右移至与重合，求该过程中关于的解析式； 【问题解决】（4）当遮阳区面积最大时，向右移动了多少？（直接写出结果） 【答案】（1）随的增大而增大；（2），；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得，根据平行四边形的面积公式得，然后分别求出当时，当时，关于的解析式，即可得出结论； （2）根据（1）的结论可得答案； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积，推出，，得，，再根据即可得出结论； （4）分别确定：当时，当时，当时，各个范围内的最大值，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，，，，在边所在直线上， ∴，，， 又∵如图2，在上，，， ∴， ， 当时，如图，设交于点，交于点，则， 此时遮阳区的面积为的面积， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 当时，如图，设交于点，则，，， 此时遮阳区的面积为四边形的面积， ∵， ∴四边形为梯形， ∴， ∴当时，随的增大而增大，的值从增大到； 综上所述，从初始起右移至图3情形的过程中，随的增大而增大； （2）如图3，此时点落在上，则， 由（1）知：当时，； ∴图3情形时，，； （3）当时，如图，设向右移动后得到，设交于点，交于点，交于点，则，， 此时遮阳区的面积为六边形的面积， ∴，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴从图3情形起右移至与重合，该过程中关于解析式为； （4）当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， 当时，的最大值为：； 当时，， ∵ ∴当时，的最大值为：， 综上所述，当时，取得最大值，最大值为， ∴当遮阳区面积最大时，向右移动了． 【点睛】本题考查平移的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，列函数关系式，二次函数的最值，等积变换等知识点，利用分类讨论的思想及数形结合的思想解决问题是解题的关键． 20. 综合与探究 问题情境：如图，在纸片中，，点D在边上，．沿过点D的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点E，得到，然后展平． 猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由 拓展延伸：（2）如图，继续沿过点D的直线折叠该纸片，使点A的对应点落在射线上，且折痕与边交于点F，然后展平．连接交边于点G，连接． ①若，判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）①．理由见解析；②5或 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得，，再根据平行线的性质可得，进而得到，由等角对等边推出，从而证明，即可四边形是菱形； （2）①由（1）推出，由折叠的性质得到，结合已知可得，进而推出，得到，再根据三角形内角和定理即可求出，即可得到与的位置关系；②分是以为腰为底的等腰三角形和是以为腰为底的等腰三角形两种情况讨论，如图，延长交于点H，设交点为，利用三角形相似的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：①，理由如下： 由（1）知四边形是菱形， ∴， 由折叠的性质得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解：②∵，，， ∴， 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，延长交于点H，设交点为，则， ∵，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，，， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 当是以为腰为底的等腰三角形时，如图，则， 同理得，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵是以为腰为底的等腰三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，合理作出辅助线，构造三角形全等，结合分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $