2.6应用一元二次方程 同步练习2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.6应用一元二次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．由于换季，某童装专柜决定降价销售减少库存．已知某款童装平均每天可售出件，每件盈利元．如果每件每降价元，那么平均每天可多售出件．若要使该款童装每天的销售利润为元，设每件降价元，则应满足（　　） A． B． C． D． 2．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 3．年年底以来，新冠疫情在全球肆虐，由于我国政府措施得当，疫情得到控制，而某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延，若某国一社区开始有人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有人感染发病．设每位发病者平均每天传染人，依题意可得（    ） A． B． C． D． 4．《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为．若四周装裱上的边衬的宽度为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）    A． B． C． D． 6．从前，有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为尺，则下列方程，满足题意的是（　　） A． B． C． D． 7．某药品经过两次降价，且第二次降低的百分率是第一次降低的百分率的2倍，药品价格由每盒72元调至56元，若设第一次降低的百分率为x，则根据题意，可得方程为（    ） A． B． C． D． 8．随着2023杭州亚运会吉祥物开幕，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”在电商平台上爆单，在某电商平台上9月24日的销量为5000个，9月25日和9月26日的总销量是30000个．若9月25日和26日的销量较前一天的平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 9．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D移动，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为．当时，t的值为（    ）    A． B． C． D． 10．某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件．通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．售价为（    ）元时，每天的利润可得到700元． A．13 B．15 C．13或15 D．10 11．在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则每个球队参赛的场数为（   ） A．7场 B．8场 C．9场 D．10场 12．如图，某摄影爱好者拍摄一张长为，宽为的北盘江大桥风景照，现要在风景照四周镶一条等宽的边，制成一幅面积为的挂图．设风景照四周所镶边的宽为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场．若共进行了28场比赛，则学校有 个队参赛． 14．如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，设小道进出口的宽度为，则可列方程为 15．为解决群众看病难的问题，一种药品连续两次降价，平均每次降价的百分率为x，已知这种药品原来每盒的价格是60元，则第一次降价后每盒的价格是 元，第二次降价后每盒的价格是 元．若经过两次降价后这种药品每盒的价格是48.6元，则可列出方程： ． 16．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去1个边长相等的小正方形，然后将纸板沿虚线折起，做成1个无盖纸盒，若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为 ． 17．望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为 ． 三、解答题 18．如图，中，，，，点从沿边向点以的速度移动，在点停止，点从点开始沿边向点以的速度移动，在点停止．    (1)如果点，分别从、同时出发，经过几秒钟，使？ (2)如果点从点先出发，点再从点出发，点出发几秒钟后？ (3)如果点、分别从、同时出发，经过几秒钟后？ 19．某商场销售一批空气加湿器，平均每天可售出30台，每台可盈利50元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每台降价1元，商场平均每天可多售出2台． (1)若该商场某天降价了5元，则当天可售出 　　台，当天共盈利 　　元； (2)在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价多少元？ 20．某汽车城销售某种型号的汽车， 每辆进货价为25万元， 市场调研表明： 当销售价为29 万元时， 平均每周能售出8辆， 而当销售价每降低万元时， 平均每周能多售出4辆． 如 果设每辆汽车降价万元， 每辆汽车的销售利润为万元．（销售利润 销售价进货价） (1)请写出关于的函数解析式___________； (2)假设这种汽车平均每周的销售利润为万元，写出与之间的函数关系式； (3)当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？ 最大利润是多少？ 21．某地区流感病毒暴发，在政府积极有效地控制下形势逐步趋于平稳，病毒感染者得到有效的治疗．假定在病毒传播过程中，每轮平均1人会传染x人．若1人患病，则经过两轮传染就共有81人患病． (1)每轮平均1人会传染多少人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮传染后，患病的人数会不会超过700？ 22．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每上涨1元，其月销售量就减少20个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，则每个台灯降价多少？ (2)在库存为1000个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8000元，则每个台灯的售价为多少？ 23．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料．当长度是多少时，矩形花园的面积为米2； 24．百货大楼服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 《2.6应用一元二次方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D D C C D D D C 题号 11 12 答案 B B 1．A 【分析】设每件降价元，可得每件盈利元，每天可售出件，根据利润的计算方法列式即可求解． 【详解】若每件降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程与销售问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握一元二次方程的运用是解题的关键． 2．C 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得． 【详解】解：由题意可知，宽为步， 则可列方程为， 故选：C． 3．D 【分析】设每位发病者平均每天传染人，根据“开始有人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有人感染发病”，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设每位发病者平均每天传染人， 依题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程——传播问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据装裱后整幅画的面积为列出一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 5．C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案． 【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为16，大正方形面积为，边长为8， ∴图2是， 即的几何解法， 故选：C． 6．C 【分析】根据题意，门框的长，宽，以及竹竿长是直角三角形的三个边长，等量关系为：门框长的平方+宽的平方=门的两个对角长的平方，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵竹竿的长为x尺，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺． ∴门框的长为尺，宽为尺， 可列方程，， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握勾股定理是解决问题的关键． 7．D 【分析】分别表示出每次降价后的价格，即可得到方程． 【详解】解：设第一次降低的百分率为x，则设第二次降低的百分率为， 第一次降价后的价格为元， 第二次降价后的价格为元， 故两次降价后的价格为， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用—增长率（降低率）问题，正确理解题意是解题的关键． 8．D 【分析】直接利用已知分别求出9月25日和26日的销量进而得出等式求出方程． 【详解】解：设9月25日和26日的销量较前一天的平均增长率为x， 9月25日销量为， 9月26日的销量为， 由于9月25日和9月26日的总销量是30000个， ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到等量关系是解题的关键． 9．D 【分析】过点作于点，则，当运动时间为秒时，，，，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：过点作于点，则，如图所示 当运动时间为秒时，，，， 依题意得：， 即， 解得：，． ∴当时，t的值为秒或秒， 故选D．    【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设涨价t元，根据每天的利润=单件利润×销售量列出方程求解即可； 【详解】解：设涨价t元， 根据题意，得：， ∴， 即， 解得：，， ∴（元）或（元）, 即售价为13或15元时，每天的利润可得到700元． 故选：C． 11．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 设参赛的队数为，根据参赛的每两个队之间都要比赛一场，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设参赛的队数为，根据题意得， 解得：，（舍去）， ∴每个球队参赛的场数为8场 故选：B． 12．B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 依题意得，矩形挂图的宽为，长为，长方形面积公式列方程． 【详解】解：由题意知，矩形挂图的宽为，长为， 依题意得，面积为， 故选：B． 13．8 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出方程是解答本题的关键． 【详解】解：设x个队伍参赛， 依题意可列方程：， 整理得：， 解得：，（舍）； 故应邀请8个队伍参赛． 故答案为：8． 14． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道进出口的宽度为，利用平移性质的应用得到种植花草的实际图形的面积就是长、宽分别为、新矩形的面积，由种植花草的面积为，即可列出关于的一元二次方程，整理后即可得出结论．根据题意得到种植花草的实际图形是一个新矩形是解题的关键． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意，得：， ， 整理，得：． 故答案为：． 15． ； ； ． 【分析】本题可先列出第一次降价后药品每盒价格的代数式，再根据第一次的价格列出第二次降价的售价的代数式，然后令它等于48.6即可列出方程． 【详解】解：第一次降价后每盒价格为元， 则第二次降价后每盒价格为元， 即． 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意列出第一次降价后商品的售价方程，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于48.6即可． 16． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分别表示底面长方形的长和宽，再根据长方形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：设剪去的小正方形的边长为，则该无盖纸盒的底面是一个两邻边长分别为的长方形， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查的是有关环形跑道的问题，解决本题的关键是设环形跑道周长为，根据甲、乙两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系．设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，根据望望和王老师两人两次相遇时所用的时间相等建立等量关系，然后将方程恒等变形后解方程就可解决问题． 【详解】解：设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，则 ， 整理得， 解得（舍去）或． 则王老师的速度与望望的速度之比为， 故答案为： 18．(1)或 (2) (3)（）秒 【分析】本题主要考查了考查了一元二次方程的应用，勾股定理： （1）设、同时出发，经过秒钟，，分别求出，则，再根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （2）设出发时，则运动的时间为秒，分别求出，则，再根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）设经过秒钟后，则，，进而得到，，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设、同时出发，经过秒钟，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 解得：，． ∵经秒点到离点处，点离点处，经秒点到离点处，点离点处，经验证，它们都符合要求． ∴、同时出发，经过或，． （2）解：设出发时，则运动的时间为秒， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ∴经秒点离点，点离点，符合题意． ∴出发后，． （3）解：设经过秒钟后，则，， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，不合题意，舍去 ∴经过秒钟后． 19．(1)40；1800 (2)商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价20元 【分析】（1）根据题意列出有算式，进行计算即可求解； （2）设每台空气加湿器应降价元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： （台）， （元）． 故答案为：40；1800． （2）设每台空气加湿器应降价元， 则每台盈利元，每天可以售出台， 依题意得：， 整理的：， 解得：，， 在尽快减少库存的前提下， 的值为20， 在尽快减少库存的前提下，商场每天要盈利2100元，每台空气加湿器应降价20元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 20．(1) (2) (3)27.5万元；50万元 【分析】（1）根据利润等于（29进货价降价）可得出关于的函数关系式，化简即可； （2）假设这种汽车平均每周的销售利润为万元，根据平均每周的销售利润等于每辆汽车的销售利润乘以销售量，可得出关于的二次函数； （3）将二次函数写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）由题意得：， ∴， （2）假设这种汽车平均每周的销售利润为万元， 则 ， （3）由（2）知 ， ∴时，最大为50， ∵（万元） ∴当每辆汽车的定价为27.5万元时，利润最大， 最大利润为50万元． 【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21．(1)每轮平均1人会传染8人 (2)三轮传染后，患病的人数会超过700 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． （1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 【详解】（1）解：由题意，得，解得（不合题意，舍去）． 故每轮平均1人会传染8人． （2）解：三轮传染后的人数为． ， ∴三轮传染后，患病的人数会超过700． 22．(1)每个台灯降价3元． (2)每个台灯的售价为38元或50元． 【分析】（1）设每个台灯降价元，根据每个台灯的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答． （2）设每个台灯的售价为元，根据每个台灯的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答． 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 【详解】解：（1）设每个台灯降价元，则每个台灯获利元，月销量为． 根据题意，得，解得． 当时，； 当时，（不合题意，舍去）． 故答案为：每个台灯降价3元． （2）设每个台灯的售价为元． ①当时，根据题意，得， 即， 解得． 当时，； 当时，（不合题意，舍去）． ②当时，根据题意，得， 即， 解得． 当时，，符合题意． 综上所述，每个台灯的售价为38元或50元． 故答案为：每个台灯的售价为38元或50元． 23．当长度是时，矩形花园的面积为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是找出题目中的等量关系．设，则；，则，求解之后根据题中条件取舍，最后可得出的值． 【详解】解：设， 则；， 则， 解得∶或（舍去）, 故当为，， ∴当长度是时，矩形花园的面积为； 24．每件童装应降价元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】解：设每件童装应降价元，由题意，得： ， 解得：或， ∵要尽快减少库存， ∴； 答：每件童装应降价元． 学科网（北京）股份有限公司 $$