2.1认识一元二次方程 同步练习2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.1认识一元二次方程 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列方程是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若是关于x的一元二次方程的根，则的值（    ） A．1 B． C．2 D． 3．将一元二次方程化为一般形式后二次项系数为5，常数项为，则一次项系数是（   ） A．5 B． C．4 D． 4．若关于的一元二次方程0的常数项为0，则等于（    ） A．1 B．2 C．1或 D．0 5．一元二次方程化成一般形式后a，b，c的值分别为（    ）． A．1， B．1，2，3 C．1， D．1， 6．根据下列表格对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（  ） A． B． C． D． 7．用公式法解一元二次方程时，的值分别为（   ） A． B． C． D． 8．把一元二方程化成一般形式，则，，的值分别是(    ) A．，，     B．，，     C．，，     D．，， 9．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A． B． C． D． 10．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（    ） A．2017 B．2019 C．2021 D．2023 11．下列一定是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 12．根据下表中的对应值，判断方程的一个解的范围是（    ） x A． B． C． D． 二、填空题 13．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 14．把一元二次方程化为一般形式，若二次项系数是1，则常数项是 ． 15．将一元二次方程化为一般形式为 ． 16．已知为方程的根，那么的值为 ． 17．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 三、解答题 18．已知一元二次方程 (1)如果方程有一个根是1，那么a、b、c之间有什么关系？ (2)如果方程有一个根是，那么a、b、c之间有什么关系？ (3)如果方程有一个根是0，那么方程的系数或常数项有什么特征？ 19．阅读下列材料： 方程两边同时除以，得，即．因为，所以． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知方程，则_____；_____． (2)若m是方程的根，求的值． 20．已知代数式． (1)化简代数式； (2)若m是方程的一个根．求代数式的值． 21．先化简，再求值：，其中x为方程的根． 22．已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围． 23．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 24．填表： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 《2.1认识一元二次方程》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C A B B D B C 题号 11 12 答案 D C 1．A 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故符合题意； B、是分式方程，故不合题意； C、是二元一次方程，故不合题意； D、整理后为，是一元一次方程，故不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2．B 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程中求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的根， ∴，则， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，熟知方程的解满足方程是解答的关键． 3．B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程化成一般形式进行解答即可． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，一次项系数为， 故选：B． 4．C 【分析】先判断关于的一元二次方程0的常数项为，再根据题意得，即可求出m的值． 【详解】∵关于的一元二次方程0的常数项， 由题意得， ∴， 解得． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的概念：形如的方程叫做一元二次方程，其中分别叫做二次项、一次项和常数项．熟练掌握二元一次方程的概念是解题的关键． 5．A 【分析】首先将已知方程进行整理，化为一元二次方程的一般形式，再来确定a，b，c的值. 【详解】解：一元二次方程化成一般形式， ∴，，， 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程，属于基础题. 6．B 【分析】本题考查二次函数和一元二次方程的根的联系，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，根据上表可知当时，的取值范围为：，即可． 【详解】由上表可知当，关于的方程的一个解的范围为：， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 将方程化为标准形式后，确定各项系数． 【详解】解：由题可知原方程为； 移项，得； 已知方程的标准形式为， 一元二次方程中， 二次项系数，一次项系数，常数项； 的值分别为； 故选B． 8．D 【分析】方程整理为一般形式，找出各项系数和常数项即可． 【详解】 方程整理得：， 则，， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的一般形式． 9．B 【分析】先将该方程化为一般式，即可解答． 【详解】解：， ， ∴二次项系数为4，一次项系数为5，常数项为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的相关定义，解题的关键是掌握，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项． 10．C 【分析】先将代数式变形整理，然后将代入原方程，利用整体思想代入求值． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是， ， ， ． ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，理解方程的解的概念，运用整体思想解题是关键． 11．D 【分析】根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，即，不是一元二次方程，不符合题意； B、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程是解题的关键． 12．C 【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，找到相近的函数值分别为正值、负值对应的自变量即可求解． 【详解】解：∵当时，； 当时，； ∴方程的一个解的范围是 故选：C 13． 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 14． 【分析】先将方程左边展开，再移项，化成一般式，即可得出常数项． 【详解】解：∵ ∴， ∴常数项是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，熟练掌握，叫一元二次方程的一般式，其中叫二次项，叫一次项，c是常数项是解题的关键． 15． 【分析】利用完全平方公式和单项式乘以多项式的法则展开，再移项、合并同类项即可． 【详解】解： ∴， 移项得，， 合并同类项得，， 即一元二次方程化为一般形式为， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，需要利用完全平方公式和单项式乘以多项式的法则展开，然后通过移项将等号右边的式子移到等号左边，合并同类项，其中等号右边必须等于0. 16． 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．根据一元二次方程的解的定义得到，然后对原式进行化简，再将整体代入即可． 【详解】解：∵a为方程的根， ∴， ∵ ， 将代入，则 原式 ， 故答案为：． 17． 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：依题意可得， 解得， 故答案为：． 18．(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一元二次方程的解，当已知一元二次方程的解时，将其代入即可求出其他参数的值或是关系，正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键． （1）将代入原方程即可； （2）将代入原方程即可； （3）将代入原方程即可． 【详解】（1）解：将代入原方程得：，即； （2）解：将代入原方程得：，即； （3）解：将代入原方程可得：， ∴． 19．(1)4，18 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，完全平方公式，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得到，进而得到，再仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4；18； （2）解：∵m是方程的根， ∴， ∴（时不满足原方程）， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．(1) (2) 【分析】（1）先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项即可 （2）根据方程的根得到，然后代入代数式即可 【详解】（1）解： （2）∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了整式的化简求值和一元二次方程的根，能够熟练的使用整式的运算法则进行计算是解决问题的关键 21．， 【分析】先将小括号内进行通分计算，括号外面的分子分母进行因式分解，然后将除法转化为乘法进行约分计算，最后将整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵x为方程的根， ， ∴原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，解题的关键是准确的对分式进行化简，再把方程变为整体代入进行计算． 22． 【分析】根据二次项系数非零可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：对方程进行整理，即为：， ∵方程为一元二次方程， ∴，即， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键． 23．(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 24．见解析 【分析】根据一元二次方程的一般形式：，进行填写即可． 【详解】解： 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 1 2 0 0 0 3 9 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握：，其中，分别为二次项系数，一次项系数，常数项，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$