专题 4.1 整式（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年七年级数学上册（人教版 2024）

专题 4.1 整式 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【题型1】情景引入； 1 知识点（一）单项式 2 【题型2】单项式的系数和次数 2 【题型3】单项式系数与次数中的规律 2 【题型4】情景引入； 2 知识点（二）多项式 3 【题型5】多项式的项、项数和次数 3 【题型6】多项式系数、指数中字母求值 3 知识点（三）整式 3 【题型7】整式 4 【题型8】整式中的规律探究问题 4 二．同步练习 5 【基础巩固（15题）】 5 【能力提升（16题）】 7 【直通中考】（10题） 10 一．知识梳理与题型分类精析 【题型1】情景引入； 【例题1】（24-25七年级上·河北衡水·阶段练习）列出下列问题中的代数式． （1）甲、乙两地相距，小明开车以的速度从甲地去乙地，到达乙地需要多少小时？ （2）长方形的长为，宽为长的，则长方形的面积为多少？ （3）一台液晶电视机的原价为元，现按原价的八五折出售，一月份共销售台，那么一月份该液晶电视机的销售额为多少元？ 【变式】（24-25七年级上·河南商丘·期中）用代数式表示： （1）的与的积； （2）为加快等新技术赋能，打造一批有竞争力的平台和企业，某市政府部门安排设备更新计划．经市场调研，某企业更新设备前每天生产件产品，更新设备后，生产效率比更新前提高了，则求更新设备后每天生产的产品件数． 知识点（一）单项式 单项式：像【例题1】和【变式】中的，，，，，这些代数式都是数或字母的积，像这样的代数式叫作单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式. 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数.一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.如果一个单项式的次数是,那么称这个单项式是次单项式. 【题型2】单项式的系数和次数 【例题2】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知单项式与的次数相同，求的值． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）下列说法中正确的是（   ） A．不是单项式 B．的系数是 C．的系数是，次数是 D．的系数为，次数为 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 【题型3】单项式系数与次数中的规律 【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）按照规律填上所缺的单项式并回答问题： （1）、、、，______； （2）试写出第2024个单项式； （3）试写出第个单项式． 【变式1】（2025·云南玉溪·一模）一列单项式按以下规律排列：x，，，，，，，…，则第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·江西抚州·二模）有一组单项式：，，，，，请你观察它们的排列规律，用你发现的规律写出第（n为正整数）个单项式为 ． 【题型4】情景引入； 【例题4】（24-25七年级上·湖北孝感·期中）用代数式表示： （1）a与b的的和； （2）a与b的平方的差； （3）一个三位数的个位上的数字是a，十位上的数字是b，百位上的数字是c，用a，b，c的代数式表示这个三位数． 知识点（二）多项式 像【例题4】中的，，，像这样，几个单项式的和叫作多项式.其中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项.多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数. 【题型5】多项式的项、项数和次数 【例题5】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）已知多项式是五次四项式． （1）求出m的值． （2）单项式的次数与已知多项式的次数相同，求n的值． 【变式1】（24-25七年级上·江西宜春·期末）多项式的次数和项数分别是（   ） A．3，5 B．8，3 C．5，2 D．5，3 【变式2】（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如果是关于的四次二项式，则 ． 【题型6】多项式系数、指数中字母求值 【例题6】（23-24七年级上·陕西渭南·期末）已知多项式是关于x，y的七次五项式，求该多项式的三次项． 【变式1】（24-25七年级上·广东广州·期中）已知为有理数，若多项式是三次三项式，则该多项式的常数项为（    ） A．或 B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·吉林·期末）若多项式是关于、的九次二项式，则的值为 ． 知识点（三）整式 单项式和多项式统称整式，即 【题型7】整式 【例题7】（24-25七年级上·全国·课后作业）按单项式、多项式、整式对下面的式子进行分类． ，，，10，，，，，，． 【变式1】（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）在代数式，，，，，π中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入所对应的横线上． ，，，，，，，． 单项式： ；多项式： ；整式： ． 【题型8】整式中的规律探究问题 【例题8】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）观察下列三行数： ，4，，，，， 0，6，，，，， 1，，4，，， （1）第一行的第7个数是______，第二行的第7个数是______． （2）第二、三行数与第一行数分别有什么关系？ （3）取每行的第8个数，计算这三个数的和． 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示．在图2中的“竖式”，可计算出是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察一列数3，8，13，18，23，28，⋯，依此规律下去，猜想第个数 （用含的式子表示），第2006个数是 ． 【例题9】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，一些点组成形如三角形的图形．如果图形的每条“边”上有个点（包括两个顶点），那么这个图形中点的总数S是多少？当时，S各是多少？ 【变式1】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2024个这样的小正方形需要小棒（　　） A．6071根 B．6072根 C．6073根 D．6074根 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察图中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第个图中小圆圈的个数为，则 （用含的代数式表示）． 二．同步练习​ 【基础巩固（15题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列式子是单项式的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级上·湖南株洲·期末）已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是  （　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）下列说法正确的是（   ） A．25不是单项式 B．的系数是 C．是四次单项式 D．是三次三项式 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）下列整式中，次数为5的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，如果一个等边三角形的边长为，第5个图形的周长是（    ）． A．7 B．11 C．12 D．15 二、填空题 7．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）单项式的次数为 ． 8．（24-25七年级下·湖南岳阳·开学考试）已知多项式的次数为a，常数项为b，则 ． 9．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）观察下列单项式：，，，，，，……则第个单项式为 ． 10．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）把多项式按m降幂排列后，第三项为 ． 11．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，···，记，，，，···，那么的值是 ． 12．（24-25七年级上·河南郑州·期末）“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是 ；若图3，是一个“幻方”，则 ． 三、解答题 13．（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）已知是关于的二次三项式，且实数b，c满足，求的值． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于多项式（其中是大于的整数）． （1）若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； （2）若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？ 15．（23-24七年级上·福建厦门·期中）给出以下七个代数式： ，，，，，， 请按要求进行分类 （1）分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类 其中①含字母的有： ②不含字母的有： （2）模仿（1）的分类方式分成三类，分类方法是 其中① ② ③ 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列说法正确的是（    ） A．整式就是多项式 B．的次数是9 C．是单项式 D．是单项式 2．（24-25七年级上·河南商丘·期中）多项式是关于的二次三项式，则取值为（   ） A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1 3．（2025·云南昆明·二模）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）一列数，其中，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．2020 D． 5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）以下四个选项是小丽同学的四道作业，其中有一道不正确，你认为是（   ） A．和m都是单项式 B．单项式的系数是 C．多项式的次数是4 D．多项式按的降幂排列为 6．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，…，则第1天到第5天一共截取的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 7．（24-25七年级上·吉林长春·期末）单项式的次数是 ． 8．（24-25七年级上·湖南郴州·期中）若关于x的多项式：与的和是一个二次三项式，则 ． 9．（24-25七年级上·广西梧州·阶段练习）观察下面一列数：按此规律，第2022个数是 ． 10．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段练习）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数…以此类推，则 ． 11．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形：将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2023个图中共有正方形的个数为 ． 12．（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）花窗映蛇岁，新春共欢颜．如图为“盘长如意”花窗，中间图案是由若干个小平行四边形按一定规律组成，其中第1个图形共有8个小平行四边形，第2个图形共有15个小平行四边形，第3个图形共有22个小平行四边形，，则第30个图形中共有 个小平行四边形． 三、解答题 13．（24-25七年级上·全国·随堂练习）运算能力  已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 14．（24-25七年级上·天津·期中）已知多项式是五次四项式，且单项式与该多项式的次数相同． （1）求的值； （2）当时，求该多项式的值． 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，某学校准备新建一个读书长廊，并用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地砖的边长均为米． （1）按图示规律，第3个图案的长度_______；第3个图案中没有花纹的正方形地砖数为_______． （2）若某个图案中带有花纹的地砖为n块，求没有花纹的地砖块数．（用含的代数式表示） 16．（24-25七年级上·河南商丘·期中）（1）例：代数式表示a、b两数和的平方：仿照上例填空：代数式表示 ．代数式表示 ． （2）试计算a、b取不同数值时，及的值，填入下表： （3）我的发现： ． （4）用你发现的规律计算： a、b的值 当，时 当，时 当，时 【直通中考】（10题） 一、单选题 1．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 4．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 二、填空题 5．（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是 ． 6．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的系数是 ． 7．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 8．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ． 9．（2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）    10．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图是由棱长为1的小正方体堆积成的图形．若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放 块小正方体． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 4.1 整式 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 【题型1】情景引入； 1 知识点（一）单项式 2 【题型2】单项式的系数和次数 2 【题型3】单项式系数与次数中的规律 4 【题型4】情景引入； 5 知识点（二）多项式 5 【题型5】多项式的项、项数和次数 6 【题型6】多项式系数、指数中字母求值 7 知识点（三）整式 8 【题型7】整式 8 【题型8】整式中的规律探究问题 10 二．同步练习 14 【基础巩固（15题）】 14 【能力提升（16题）】 21 【直通中考】（10题） 31 一．知识梳理与题型分类精析 【题型1】情景引入； 【例题1】（24-25七年级上·河北衡水·阶段练习）列出下列问题中的代数式． （1）甲、乙两地相距，小明开车以的速度从甲地去乙地，到达乙地需要多少小时？ （2）长方形的长为，宽为长的，则长方形的面积为多少？ （3）一台液晶电视机的原价为元，现按原价的八五折出售，一月份共销售台，那么一月份该液晶电视机的销售额为多少元？ 【答案】（1），（2），（3）， 【分析】该题主要考查了列代数式． 解：（1）解：根据题意，到达乙地需要小时; （2）解：根据题意，长方形的面积为; （3）解：根据题意，一月份该液晶电视机的销售额为元. 【变式】（24-25七年级上·河南商丘·期中）用代数式表示： （1）的与的积； （2）为加快等新技术赋能，打造一批有竞争力的平台和企业，某市政府部门安排设备更新计划．经市场调研，某企业更新设备前每天生产件产品，更新设备后，生产效率比更新前提高了，则求更新设备后每天生产的产品件数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）的表示为，与的积表示为，解答即可； （2）根据题意，得多生产件，则更新设备后每天生产的产品件数为． 本题考查了列代数式，正确理解列代数式的基本步骤和基本运算，基本运算顺序是解题的关键． 解：（1）解：的表示为，与的积表示为， 故的与的积为． （2）解：根据题意，得多生产件， 故更新设备后每天生产的产品件数为件． 知识点（一）单项式 单项式：像【例题1】和【变式】中的，，，，，这些代数式都是数或字母的积，像这样的代数式叫作单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式. 单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数.一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数.如果一个单项式的次数是,那么称这个单项式是次单项式. 【题型2】单项式的系数和次数 【例题2】（24-25七年级上·全国·课后作业）已知单项式与的次数相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的次数，根据单项式与的次数相同，进行列式得，再代入进行计算，即可作答． 解：∵单项式与的次数相同， ∴， 则． ∴． 【变式1】（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）下列说法中正确的是（   ） A．不是单项式 B．的系数是 C．的系数是，次数是 D．的系数为，次数为 【答案】C 【分析】此题考查了单项式有关概念，根据单项式系数、次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 解：、是单项式，原选项说法错误，不符合题意； 、的系数是，原选项说法错误，不符合题意； 、的系数是，次数是，原选项说法正确，符合题意； 、的系数为，次数为，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期中）单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的系数、次数，熟练掌握单项式的系数、次数的定义是解题的关键：单项式的系数、次数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，注：单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写在前面，当一个单项式的系数是或时通常省略数字不写而只写符号，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数，强调：单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，字母的指数不写的，表示这个字母的指数是，不是“没有”． 根据单项式的系数、次数的定义即可直接得出答案． 解：单项式的系数是，次数是， 故答案为：，． 【题型3】单项式系数与次数中的规律 【例题3】（2024七年级上·全国·专题练习）按照规律填上所缺的单项式并回答问题： （1）、、、，______； （2）试写出第2024个单项式； （3）试写出第个单项式． 【答案】（1）；（2）；（3）第个单项式为： 【分析】此题考查了找单项式规律．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）通过观察题意可得：每一项都是单项式，字母是a，a的指数比前面那个单项式的次数大的值，系数比前面那个单项式系数的绝对值大，奇数为正，偶数为负；由此可解出本题； （2）根据观察出的规律可以得到第2024个单项式即可； （3）通过观察题意可得：每一项都是单项式，其中系数为，字母是a，a的指数为n的值；由此可解出本题． 解：（1）解：根据观察发现后面的单项式为：； （2）解：第2024个单项式为：； （3）解：每一项都是单项式，其中系数为，字母是a，a的指数为n， 故第n个单项式为． 【变式1】（2025·云南玉溪·一模）一列单项式按以下规律排列：x，，，，，，，…，则第2025个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了寻找规律，观察单项式的符号、系数和指数的规律，得出第n个单项式的通式为，代入即可求解． 解：符号规律：单项式符号依次为正、负交替，第n项的符号为， 系数规律：系数绝对值为1, 3, 5, 7,…，即，结合符号得系数为， 指数规律：x的指数为项数n，即， ∴第n个单项式的通式为， 因此，第2025个单项式为， 故选：A． 【变式2】（2025·江西抚州·二模）有一组单项式：，，，，，请你观察它们的排列规律，用你发现的规律写出第（n为正整数）个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的构成规律，通过观察分别发现分子、分母和符号的规律，可得结果． 解：由题意可得：分子部分为，分母部分为n，奇数项为正，偶数项为负， ∴第个单项式为：， 故答案为：． 【题型4】情景引入； 【例题4】（24-25七年级上·湖北孝感·期中）用代数式表示： （1）a与b的的和； （2）a与b的平方的差； （3）一个三位数的个位上的数字是a，十位上的数字是b，百位上的数字是c，用a，b，c的代数式表示这个三位数． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】本题考查了代数式，解题的关键是根据题中的奇偶数和数字的表示方法用代数式来表示． （1）（2）根据题意列出代数式即可； （2）根据百位上的数字乘以100，十位上的数字乘以10，个位上数字乘以1，然后把得到的数加起来，即为所表示的是三位数． 解：（1）解：a与b的的和可表示为：； （2）解：a与b的平方的差可表示为：； （3）解：因为个位，十位，百位上的数字分别是a，b，c， 所以这个三位数为：． 知识点（二）多项式 像【例题4】中的，，，像这样，几个单项式的和叫作多项式.其中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项.多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数. 【题型5】多项式的项、项数和次数 【例题5】（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）已知多项式是五次四项式． （1）求出m的值． （2）单项式的次数与已知多项式的次数相同，求n的值． 【答案】（1）5；（2） 【分析】本题主要考查了多项式的次数和单项式的次数，关键是根据多项式的次数和单项式的次数解答． （1）根据多项式的次数得出m的值． （2）由（1）可知：，把代入单项式，再根据单项式的次数也是5即可得出，进而可求出n的值． 解：（1）解：∵多项式是五次四项式， ∴， （2）解：由（1）可知：， ∴单项式为， ∵单项式的次数与该多项式的次数相同， ∴， ∴ 【变式1】（24-25七年级上·江西宜春·期末）多项式的次数和项数分别是（   ） A．3，5 B．8，3 C．5，2 D．5，3 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数与项数，根据有几个单项式有几项，单项式中最高的次数是多项式的次直接判断即可得到答案． 解：由题意可得， 多项式有3项，最高次数是5次， 故答案为：D． 【变式2】（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如果是关于的四次二项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的相关定义，理解四次二项式是解答本题的关键． 题目是四次二项式，所以不含的项，令其系数为，求出的值即可． 解：是关于的四次二项式， ， ， 故答案为：． 【题型6】多项式系数、指数中字母求值 【例题6】（23-24七年级上·陕西渭南·期末）已知多项式是关于x，y的七次五项式，求该多项式的三次项． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数和项数，单项式的个数是多项式的项数，单项式的最高次项的次数是多项式的次数，据此列式计算，即可作答． 解：∵多项式是关于x，y的七次五项式， ∴， 即， 故该多项式为， ∴该多项式的三次项是． 【变式1】（24-25七年级上·广东广州·期中）已知为有理数，若多项式是三次三项式，则该多项式的常数项为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的次数和项数定义，根据三次三项式的定义，多项式需满足最高次数为3且共有三个项。通过分析各项的次数及存在性，确定有理数m的值，进而求出常数项． 解：∵多项式是三次三项式， ∴且， ∴且， 解得：． ∴该多项式的常数项为． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·吉林·期末）若多项式是关于、的九次二项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的概念，多项式中次数最高项的次数就是多项式的次数，解题的关键是掌握多项式的有关概念．根据九次二项式的定义可得，且，计算即可． 解：由题可知：， 解得∶ ， 故答案为：． 知识点（三）整式 单项式和多项式统称整式，即 【题型7】整式 【例题7】（24-25七年级上·全国·课后作业）按单项式、多项式、整式对下面的式子进行分类． ，，，10，，，，，，． 【答案】单项式：，10，，；多项式：，，，；整式：，，，10，，，，（ 与 的分母中含有字母，是分式，不是整式） 【分析】此题考查单项式，多项式，整式的定义，正确理解各定义是解题的关键； 根据单项式，多项式，整式的定义进行判断即可 解：单项式：，10，，． 多项式：，，，． 整式：，，，10，，，，． （与 的分母中含有字母，是分式，不是整式） 【变式1】（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）在代数式，，，，，π中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了整式的定义，熟记定义是解本题的关键． 根据整式包括单项式和多项式进行解答即可． 解：代数式中， 整式有：，共 4 个， 故选：B． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）下列代数式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？分别填入所对应的横线上． ，，，，，，，． 单项式： ； 多项式： ； 整式： ． 【答案】 ，，， ，， ，，，，，， 【分析】本题主要考查了单项式、多项式及整式的定义．根据单项式、多项式及整式的概念来分类：1、单项式：数与字母的乘积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式．（1）数字与字母的乘积的形式叫做单项式；（2）单个字母也是单项式；（3）单个数字是单项式；2、多项式：由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式． 解：依题意， 单项式：，，，； 多项式：，，； 整式：，，，，，，； 故答案为：，，，；，，；，，，，，，． 【题型8】整式中的规律探究问题 【例题8】（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）观察下列三行数： ，4，，，，， 0，6，，，，， 1，，4，，， （1）第一行的第7个数是______，第二行的第7个数是______． （2）第二、三行数与第一行数分别有什么关系？ （3）取每行的第8个数，计算这三个数的和． 【答案】（1），；（2）第二行数是第一行相应位置的数加2，第三行数是第一行数相应位置的数乘；（3） 【分析】本题考查了数字规律探究．找出数字规律是解题的关键． （1）观察符号（奇负偶正）和绝对值（后2项是前项2倍），归纳出第项为，代入即可；通过同一位置数字对比，得出第二行是第一行对应项，即可求解； （2）通过对比第二行与第一行，可知第二行是第一行对应项；通过对比第三行与第一行，可知第三行是第一行对应项乘； （3）根据归纳出的规律求出每一行的第8项数然后相加即可． 解：（1）解：观察第一行数可以发现： 符号规律：奇数项为负，偶数项为正，可用来表示符号，表示项数； 绝对值规律：后一个数的绝对值是前一个数绝对值的2倍，第二个数的绝对值是，第三个数的绝对值是，以此类推，第个数的绝对值为． 那么第一行第个数的规律为： ， 当时，， 所以第一行的第7个数是； 观察第二行数与第一行数，可以发现： 第二行数是第一行相应数加2得到的，即第二行第个数为：， 当时，， 所以第二行的第7个数是． 故答案为：：，． （2）解：由（1）可知第二行数是第一行相应数加2得到的； 观察第三行数与第一行数，可以发现： ，，，，， 所以第三行的数是第一行数相应位置的数乘，即第三行第个数为：． （3）解：第一项第8个数：当时，， 第二项第8个数：当时，， 第三项第8个数：当时，， 所以这三个数的和为：． 【变式1】（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示．在图2中的“竖式”，可计算出是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】本题考查了数字的规律探究．解题的关键在于根据题意推导一般性规律．由可知，，，；由可知，，，；由可知，，，；得到，，推出，即可解答． 解：由可知，，，； 由可知，，，； 由可知，，，； ∴，， ∴ ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察一列数3，8，13，18，23，28，⋯，依此规律下去，猜想第个数 （用含的式子表示），第2006个数是 ． 【答案】 10028 【分析】此题考查数字的变化规律，代数式求值，找出y与之间的联系，得出规律，即可解答． 解：数字的序号为，其值为，由已知得 ；；；； ……… 仔细观察发现，序号每增加1，值就增加5，与第1个数相比，第个数应增加，∴第个数应为，即， 当时，． 故答案为：，10028． 【例题9】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，一些点组成形如三角形的图形．如果图形的每条“边”上有个点（包括两个顶点），那么这个图形中点的总数S是多少？当时，S各是多少？ 【答案】当时，；当时，；当时，． 【分析】本题考查了图形类规律问题，解题的关键是观察三角形的图案，得到规律，，进行解答即可． 解：由图形可知，当时，； 当时，； 当时，； ， ∴， 当时，， 当时，， 当时，． 【变式1】（24-25七年级上·河北唐山·阶段练习）按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，则搭2024个这样的小正方形需要小棒（　　） A．6071根 B．6072根 C．6073根 D．6074根 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个正方形的联系，找出其中的规律． 通过归纳与总结得出规律：正方形每增加1，火柴棒的个数增加3，由此求出第个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可． 解：搭2个正方形需要根火柴棒； 搭3个正方形需要根火柴棒； ， 搭个这样的正方形需要根火柴棒， 搭2024个这样的正方形需要根火柴棒． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）观察图中小圆圈的摆放规律，并按这样的规律继续摆放，记第个图中小圆圈的个数为，则 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】此题考查图形的变化规律问题，观察可知，时，，n每增加一个数时，m就增加3个数，用代数式表示出来即可． 解：根据所给的具体数据，发现： ，，，…． 以此类推，第n个圈中，． 故答案为：． 二．同步练习​ 【基础巩固（15题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列式子是单项式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的定义，熟练掌握单项式的定义是解题的关键． 单项式是由数字与字母的乘积或单独的数字、字母构成的式子，不含加减运算，逐一判断即可． 解：A．：包含加法运算“”，由m和n两个单项式组成，不属于单项式，故不符合题意； B．：单独一个数字，是单项式，符合题意； C．：分母中含有字母，不属于整式，故不是单项式，不符合题意； D．：包含减法运算“”，由和两个单项式组成，不是单项式，不符合题意； 故选：B． 2．（21-22七年级上·湖南株洲·期末）已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是  （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式的系数和次数的意义即可解答． 解：A．3xy的系数是3，次数是2，故此选项不符合题意； B.3x2y2的系数是3，次数是4，故此选项不符合题意； C．-3x2y2的系数是-3，次数是4，故此选项符合题意； D．4x3的系数是4，次数是3，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点拨】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数和次数的意义是解题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）下列说法正确的是（   ） A．25不是单项式 B．的系数是 C．是四次单项式 D．是三次三项式 【答案】C 【分析】本题考查了单项式系数和次数的定义，多项式次数的定义，理解定义是解题的关键．根据单项式中数字因数叫单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数；多项式中次数最高项的次数叫做多项式的次数解答． 解：A. 25是单独的数字，属于单项式，故A错误； B. 的系数为数字因数，而非，故B错误； C. 中，的指数为3，的指数为1，次数为，是四次单项式，故C正确； D. 由二次项、一次项和常数项组成，最高次数为2，是二次三项式，故D错误． 故选：C． 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）下列整式中，次数为5的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要根据单项式和多项式次数的定义，分别对每个选项进行分析，判断其次数是否为5．本题主要考查了单项式和多项式次数的定义，熟练掌握单项式次数是所有字母指数和，多项式次数是次数最高项的次数是解题的关键． 解：∵单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和， ∴中的指数为1， ∴的次数为1，故A选项错误． ∵单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和， ∴中的指数为2，的指数为1， ∴的次数为，故B选项错误． ∵多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数， ∴中的次数为，的次数为5， ∴的次数为6，故C选项错误． ∵多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数， ∴中的次数为，的次数为， ∴的次数为5，故D选项正确． 故选：D． 5．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如果多项式是关于的三次三项式，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的项数，次数的求解，代数式求值，根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多项式的单项式的个数． 解：多项式是关于的三次三项式， ，， ，， ． 故选：B． 6．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，如果一个等边三角形的边长为，第5个图形的周长是（    ）． A．7 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】通过观察前几个图形的周长，找出其规律，进而推导出第个图形的周长表达式，最后计算第个图形的周长．本题主要考查了图形规律的探索，熟练掌握通过分析前几个图形的周长变化找出规律是解题的关键． 解：第个图形是等边三角形，边长为，周长为． 第个图形由个等边三角形组成，周长为． 第个图形由个等边三角形组成，周长为． 以此类推，第个图形的周长为． 当时，周长为． 故选：A． 二、填空题 7．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）单项式的次数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的次数，次数指所有字母的指数和，即可得到答案． 解：单项式的次数为， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·湖南岳阳·开学考试）已知多项式的次数为a，常数项为b，则 ． 【答案】9 【分析】根据多项式的次数，常数项定义，解答即可． 本题考查了多项式的次数，常数项，熟练掌握定义是解题的关键． 解：根据题意，得多项式的次数为a，常数项为b， 则， 则， 故答案为：9． 9．（24-25七年级上·宁夏银川·期末）观察下列单项式：，，，，，，……则第个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了探索数字类规律，仔细观察发现规律是解题的关键．根据单项式的系数发现规律即可作答． 解：由题知， 所给单项式的系数依次为2，，6，，10，…， 所以第n个单项式的系数可表示为：； 所给单项式的次数依次为：1，2，3，4，5，…， 所以第n个单项式的次数可表示为：n， 所以第n个单项式可表示为：． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）把多项式按m降幂排列后，第三项为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．按照字母m的指数从大到小排列即可． 解：多项式按m降幂排列为， 第三项为， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”．从图中取一列数：1，3，6，10，···，记，，，，···，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形和数字类的规律探究，求代数式的值，正确发现规律是解题的关键． 根据前几个数字的变化得到，计算出，，进而代入计算即可． 解：因为，，，，···， 所以， 故， ， ∴ ． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·河南郑州·期末）“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2所示）．观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是 ；若图3，是一个“幻方”，则 ． 【答案】 每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等 【分析】此题考查了数字规律，有理数的加法，弄清题意是解本题的关键．计算每横行、每竖行、每条对角线上的三数和，便可回答结果；根据题意确定出“幻方”需要的条件，即可确定出b的值． 解：观察图1、图2，根据“九宫图”中各数字之间的关系，我们可以总结出“幻方”需要满足的条件是：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等； ∵， ∴， 即． 故答案为：每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等， 三、解答题 13．（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）已知是关于的二次三项式，且实数b，c满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式，非负数的性质，解题的关键是根据多项式的定义求得a，再根据非负数的性质求得b、c，再代入计算即可． 解：是关于的二次三项式， 且， ， ， ， ， ． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于多项式（其中是大于的整数）． （1）若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； （2）若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？ 【答案】（1）1；（2）且 【分析】本题考查多项式，理解多项式的相关定义是解答的关键． （1）利用多项式的定义，得出的次数进而得出答案； （2）利用多项式的定义，得出的次数与系数进而得出答案． 解：（1）解：时，原多项式变为， ∵该多项式是关于的三次三项式， ∴，解得，即的值为1； （2）解：由题意得：且，即且． 15．（23-24七年级上·福建厦门·期中）给出以下七个代数式： ，，，，，， 请按要求进行分类 （1）分成两类，分类方法是：分成含字母与不含字母两类 其中①含字母的有： ②不含字母的有： （2）模仿（1）的分类方式 分成三类，分类方法是 其中① ② ③ 【答案】（1）①、、、、；②、；（2）分成单项式次数为0、1、3三类，①、；②、；③、、 【分析】本题主要考查了单项式以及单项式的次数． （1）根据单项式的分类，即可求解； （2）根据单项式的次数，即可求解． 解：（1）解：①含字母的有：、、、、； ②不含字母的有：、； （2）解：模仿（1）的分类方式分成三类，分类方法是（分成单项式次数为0、1、3三类） 其中①单项式次数为0的有：、； ②单项式次数为1的有：、； ③单项式次数为3的有：、、 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列说法正确的是（    ） A．整式就是多项式 B．的次数是9 C．是单项式 D．是单项式 【答案】C 【分析】本题考查整式、单项式及多项式的概念，熟练掌握整式、单项式及多项式的概念是解题的关键．根据定义逐一分析选项即可． 解：整式包括多项式和单项式，故选项A错误； 的次数是，故选项B错误； 是单项式，故选项C正确； 是多项式，故选项D错误； 故选C． 2．（24-25七年级上·河南商丘·期中）多项式是关于的二次三项式，则取值为（   ） A．0 B．4 C．4或0 D．-4或1 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式，熟练掌握多项式的次数：多项式中最高次项的次数，叫做多项式的次数；一个多项式有几项就叫几项式是解题的关键． 根据多项式的定义得且，求解即可． 解：∵多项式是关于的二次三项式， ∴且， ∴， 故选：A． 3．（2025·云南昆明·二模）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的规律探寻，判断出单项式的次数，系数与序号之间的关系是解决本题的关键．分别分析a的系数与次数的变化规律，写出第n个单项式的表达式． 解：， ， ， ， ， …… ∴第个单项式是， 故选：D． 4．（24-25七年级上·江西赣州·阶段练习）一列数，其中，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．2020 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类规律问题，同时考查了有理数的加减乘除乘方的运算，注意观察总结规律，并能正确应用规律是解答此题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出这列数的前几个数据，从而可以发现数字的变化特点，然后即可求得所求式子的值． 解：， ， ， ， ……， 这列数是，，，，，， 发现这列数每三个循环， ，且， ， 故选：A． 5．（24-25七年级上·河南南阳·期中）以下四个选项是小丽同学的四道作业，其中有一道不正确，你认为是（   ） A．和m都是单项式 B．单项式的系数是 C．多项式的次数是4 D．多项式按的降幂排列为 【答案】D 【分析】本题考查了单项式与多项式，正确把握相关定义是解题的关键． 分别利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而得出答案． 解：A．和m都是单项式，故该选项正确，不合题意； B．单项式的系数是，故该选项正确，不合题意； C．多项式的次数是4，故该选项正确，不合题意； D．多项式按的降幂排列为，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 6．（23-24七年级上·广东梅州·阶段练习）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，…，则第1天到第5天一共截取的长度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】此题考查了数字类的规律，正确理解题意，列出算式是解题的关键． 根据每次截取的长度都是前一次截取剩余长度的一半求出第1天到第5天截取的长度，再相加即可. 解：第1天截取的长度为米， 第2天截取的长度为米， 第3天截取的长度为米， 第4天截取的长度为米， 第5天截取的长度为米， 故第1天到第5天一共截取的长度为（米）． 故选：A 二、填空题 7．（24-25七年级上·吉林长春·期末）单项式的次数是 ． 【答案】6/六 【分析】本题主要考查了单项式的次数，掌握单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数是解题的关键． 根据单项式次数的定义即可解答． 解：单项式的次数是． 故答案为：6． 8．（24-25七年级上·湖南郴州·期中）若关于x的多项式：与的和是一个二次三项式，则 ． 【答案】4或2 【分析】本题考查了多项式的次数、项数概念及分类讨论思想，解题关键是根据“和为二次三项式”的条件，分情况讨论消去三次项的方式． 根据“和为二次三项式”的条件，分情况讨论、的值，进而求解． 解： 情况一：通过“系数为”消去三次项， 因为和是二次三项式， 所以三次项必须不存在，即三次项系数；同时，为保证最高次数是， 所以的次数得是或，即或． 把，代入，得． 把， 代入，得    ． 情况二：通过“同类项抵消”消去三次项 若，则和式中为，此时要消去三次项， ∴，即． ∵和为三项式， ∴一次项系数（即），此时和式为，是二次三项式． 把，代入，得． 综上，或． 故答案为：4或2． 9．（24-25七年级上·广西梧州·阶段练习）观察下面一列数：按此规律，第2022个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的规律型：数字的变化类，由所给的数可得，奇数项为正，偶数项为负，其分母为，据此即可作答． 解：， ， ， ， ， ， 第个数为：， 第2022个数为：． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·贵州铜仁·阶段练习）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数…以此类推，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了数字的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律． 由，可得，，，……，可推导一般性规律为：每3个循环一次，由，可得，求解即可． 解：由题意知，∵， ∴，，，…… ∴可推导一般性规律为：每3个循环一次， ∵， ∴， 故答案为：3． 11．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）将图①中的正方形剪开得到图②，图②中共有4个正方形：将图②中的一个正方形剪开得到图③，图③中共有7个正方形；将图③中的一个正方形剪开得到图④，图④中共有10个正方形……如此下去，则第2023个图中共有正方形的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律． 探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．据图形的变化，后一个图形的正方形的个数都比前一个图形的正方形的个数多3个，第个图形的正方形的个数为，即可求解． 解：图①中共有1正方形， 图②中共有4个正方形， 图③中共有7个正方形，即； 图④中共有10个正方形，即；， 图中共有正方形的个数为； 所以第2023个图中共有正方形的个数为：． 故答案为：． 12．（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）花窗映蛇岁，新春共欢颜．如图为“盘长如意”花窗，中间图案是由若干个小平行四边形按一定规律组成，其中第1个图形共有8个小平行四边形，第2个图形共有15个小平行四边形，第3个图形共有22个小平行四边形，，则第30个图形中共有 个小平行四边形． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现小平行四边形的个数依次增加是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中小平行四边形的个数，发现规律即可解决问题． 解：由所给图形可知，第个图形中小平行四边形的个数为：； 第2个图形中小平行四边形的个数为：； 第3个图形中小平行四边形的个数为：； …， 所以第n个图形中小平行四边形的个数为． 当时，， 即第个图形中小平行四边形的个数为个． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级上·全国·随堂练习）运算能力  已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求的值． 【答案】10 【分析】此题主要考查了相反数，倒数，多项式的项数与次数，单项式的系数与次数，以及有理数的混合运算，解题的关键是正确确定m和n的值． 利用单项式的次数、多项式次数和项数的确定方法可得m和n的值，然后再结合相反数和互为倒数的定义进行计算即可． 解：因为多项式是六次四项式， 所以， 所以． 因为单项式的次数与这个多项式的次数 相同，所以， 所以， 所以． 因为a，b互为相反数，c，d互为倒数， 所以， 所以． 14．（24-25七年级上·天津·期中）已知多项式是五次四项式，且单项式与该多项式的次数相同． （1）求的值； （2）当时，求该多项式的值． 【答案】（1），；；（2） 【分析】本题考查了多项式的相关运算． （1）由“五次”可知，即可求出，进而根据“单项式与该多项式的次数相同”得到，即可求出； （2）直接将代入计算即可． 解：（1）解：由题意，得， 解得； ∵单项式与该多项式的次数相同， ∴， ∴； （2）解：当时， 原式． 15．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示，某学校准备新建一个读书长廊，并用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地砖的边长均为米． （1）按图示规律，第3个图案的长度_______；第3个图案中没有花纹的正方形地砖数为_______． （2）若某个图案中带有花纹的地砖为n块，求没有花纹的地砖块数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）米；18块；（2）块 【分析】本题考查列代数式，找出图形之间的联系得到运算规律，利用规律可得出一般性的结论，解题的关键是找到规律． （1）观察题目中的已知图形，即可得第3个图案边长和第3个图案没有花纹的正方形地砖数量； （2）观察题目中的已知图形，可得前3个图案中有花纹的地面砖数和正方形地砖总数，并发现其中的规律，根据规律，即可得第n个图案有花纹的地面砖数和正方形地砖总数． 解：（1）解：根据题意得：第1个图案的长度米，没有花纹的正方形地砖数为 第2个图案的长度米，没有花纹的正方形地砖数为， 第3个图案的长度米，没有花纹的正方形地砖数为， 故答案为：米；18 （2）解：根据题意得：第1个图案的正方形地砖总数为，带有花纹的地砖为1块， 第2个图案的正方形地砖总数为，带有花纹的地砖为2块， 第3个图案的正方形地砖总数为，带有花纹的地砖为3块， ……， 第n个图案中的正方形地砖总数为，带有花纹的地砖为n块， ∴没有花纹的地砖块数为块． 16．（24-25七年级上·河南商丘·期中）（1）例：代数式表示a、b两数和的平方：仿照上例填空：代数式表示 ．代数式表示 ． （2）试计算a、b取不同数值时，及的值，填入下表： （3）我的发现： ． （4）用你发现的规律计算： a、b的值 当，时 当，时 当，时 【答案】（1）、b两数平方的差；a、b两数的和与两数的差的积；（2）24，12，；24，12，；（3）；（4） 【分析】本题考查了求代数式的值，用语言描述代数式； （1）根据代数式中所含的运算描述，注意运算顺序； （2）求出代数式的值并填入表中即可； （3）根据表中求得的值即可得到； （4）利用（3）中的规律计算即可． 解：（1）代数式表示、b两数平方的差；代数式表示a、b两数的和与两数的差的积； 故答案为：、b两数平方的差；a、b两数的和与两数的差的积； （2）填表如下： a、b的值 当，时 当，时 当，时 24 12 24 12 故答案为：24，12，，24，12，； （3）由上述计算知，有； 故答案为：； （4）： ． 【直通中考】（10题） 一、单选题 1．（2025·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知，每一个代数式都是只含有字母a的单项式，其中系数是从1开始的连续的奇数，据此规律求解即可． 解：第1个代数式为， 第2个代数式为， 第3个代数式为， 第4个代数式为， 第5个代数式为， ……， 以此类推，可知，第n个代数式是， 故选：A． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（    ） A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、318 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，题目难度不大，通过观察、分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是解答该题的关键．根据题意得出已知数组的规律得出结果即可 解：∵， ， ， ∴第5个数为， 第6个数为， 第7个数为， 故选：D． 3．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前几个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中三角形的个数． 解：第1个图案有4个三角形，即， 第2个图案有7个三角形，即， 第3个图案有10个三角形，即， …， 按此规律摆下去，第n个图案有个三角形， 则第674个图案中三角形的个数为：（个）． 故选：B． 4．（2025·重庆·中考真题）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．32 B．28 C．24 D．20 【答案】C 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 二、填空题 5．（2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是 ． 【答案】 【分析】根据单项式次数的定义进行解答即可． 解：单项式中，的指数是，的指数是， ∴此单项式的次数为：． 故答案为：． 【点拨】本题考查单项式的次数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．理解和掌握单项式次数的定义是解题的关键． 6．（2024·吉林长春·中考真题）单项式的系数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是单项式，熟知单项式中的数字因数叫做单项式的系数是解题的关键． 根据单项式系数的定义解答即可． 解：单项式的系数是． 故答案为：． 7．（2024·江西·中考真题）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ． 【答案】 【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可． 解：∵a，，，，…， ∴第n个单项式的系数是1； ∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…， ∴第n个式子是． ∴第100个式子是． 故答案为：． 8．（2025·河南·中考真题）观察，根据这些式子的变化规律，可得第个式子为 ． 【答案】 【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键．分析已知式子，得到第个式子为，即可得到答案． 解：第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：， 第4个式子：， …… 观察发现，第个式子为， 故答案为： 9．（2023·山西·中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）    【答案】 【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，，可得第个图案中有白色圆片的总数为． 解：第1个图案中有4个白色圆片， 第2个图案中有6个白色圆片， 第3个图案中有8个白色圆片， 第4个图案中有10个白色圆片， ， ∴第个图案中有个白色圆片． 故答案为：． 【点拨】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律． 10．（2024·四川攀枝花·中考真题）如图是由棱长为1的小正方体堆积成的图形．若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放 块小正方体． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，解答本题的关键是明确题意，发现题目中小正方体个数的变化特点，利用数形结合的思想解答． 根据题目中的图形，可以写出前几个图形中小正方体的个数，可以发现小正方体个数的变化规律，从而可以求得第n个叠放的图形中，小正方体总数，再将代入即可求解． 解：由图可得， 第1层中小正方体的个数为：1， 第2层中小正方体的个数为：， 第3层中小正方体的个数为：， 第4层中小正方体的个数为：， … 则第n层中，小正方体木块总数是：， ∴第8层需要摆放块小正方体， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$