专题 2.8 特殊三角形（全章知识梳理 + 题型精析 +同步练习 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 2.8 特殊三角形 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）轴对称图形 2 【题型1】轴对称图形的识别 2 知识点（二）轴对称的性质 2 【题型2】轴对称性质求值证明 3 知识点（三）轴对称——折叠问题 3 【题型3】折叠问题 4 知识点（四）最短路径问题——将军饮马问题 4 【题型4】最短路径——“将军饮马”问题 5 知识点（五）等腰三角形性质与判定 6 【题型5】利用等腰三角形性质求值证明 6 【题型6】利用等腰三角形的性质与判定求值证明 7 知识点（六）等边三角形性质与判定 8 【题型7】利用等边三角形性质与判定求值证明 8 知识点（七）逆定理也逆命题 8 【题型8】逆定理和逆命题判断 9 【题型9】线段垂直平分线性质定理的逆定理求值证明 9 知识点（八）直角三角形性质与判定 10 【题型10】利用直角三角形性质与判定求值证明 10 知识点（九）勾股定理 11 【题型11】利用勾股定理解直角三角形 11 【题型12】勾股定理解与折叠问题 12 【题型13】勾股定理解与动点问题 13 【题型14】利用勾股定理的逆定理求值证明 14 知识点（十）判定直角三角形全等的判定——（HL） 15 【题型15】直角三角形全等的判定——（HL） 15 二. 同步练习 16 【基础巩固（22题）】 16 【能力提升（24题）】 21 【中考真题12题】 27 一．知识梳理与题型分类精析 全章学习流程和知识结构： 知识点（一）轴对称图形 轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形。 【题型1】轴对称图形的识别 【例题1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列交通标志，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）《国语·楚语》中记载：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 知识点（二）轴对称的性质 （1）对称轴垂直平分连结两个对称点的线段；（2）成轴对称的两个图形是全等图形。 【题型2】轴对称性质求值证明 【例题2】（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，为等边三角形，在内作射线，点B关于射线的对称点为D，连接，作射线交于点E，连接． （1）依题意补全图形； （2）设，求的度数（用含的式子表示）； （3）判断，，之间的数量关系，并证明． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，与关于直线对称，，，则的度数为 ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 知识点（三）轴对称——折叠问题 折叠的本质是轴对称（1）折痕所在的直线就是对称轴；（2）折痕所在的直线垂直平分对应点之间的线段；（2）折痕两旁部分的图形是全等图形。 【题型3】折叠问题 【例题3】（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图1，在四边形中，，． （1）试说明：； （2）如图2，将四边形沿折叠，点C与点重合，，，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·湖北恩施·阶段练习）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，则图b中的的度数是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图将一张长方形纸条沿折叠， 点B， A分别落在，位置上，与的交点为G， 若， 则 ． 知识点（四）最短路径问题——将军饮马问题 模型：如图①所示，在直线同侧有两个不同的点、,在直线上取一点，使和最小; 方法：过点作关于直线的对称点，连接，如图②，由对称性质得到，得到; 在直线取一点，连接、，如图③由， 点为所求。 【题型4】最短路径——“将军饮马”问题 【例题4】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上． （1）画出关于直线对称的（点，，分别为点A，B，C的对应点）； （2）若D为直线上一点，则_______；（填“>”“<”或“=”） （3）在直线上找一点P，使得最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． 知识点（五）等腰三角形性质与判定 等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。这个定理也可以说成：在同一个三角形中，等边对等角。 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称“三角形三线合一”。 等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形，可以简单地说成:在同一个三角形中，等角对等边。 【题型5】利用等腰三角形性质求值证明 【例题5】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，是等边的边上的中线，，则的度数为 ． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．1 B．3 C．5 D．6 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【题型6】利用等腰三角形的性质与判定求值证明 【例题6】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点． （1）求证：是线段的中点； （2）求证：； （3）连接，试判断的形状，并说明理由． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，的两条高，交于E，连接，，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，于点，延长至点，若，，的周长为，则的值为 ．（用含的式子表示） 知识点（六）等边三角形性质与判定 等边三角形的性质：等边三角形的各个内角都等于60°。 等边三角形的判定定理:（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【题型7】利用等边三角形性质与判定求值证明 【例题7】（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在等边中，点D，E分别在边，上，，点在的延长线上，且，若，． （1）求证：是等边三角形； （2）求线段的长． 【变式1】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，已知，是内部的一点，且，点分别是上的动点，若周长的最小值等于，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·青海海东·期中）如图，，A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 知识点（七）逆定理也逆命题 （1）对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题就叫作它的逆命题；如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理。 （2）线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 【题型8】逆定理和逆命题判断 【例题8】（24-25八年级下·江西九江·期中）【教材呈现】下面是北师大版八年级下册数学教材第11页的部分内容： 定理在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）请写出上述定理的逆命题； （2）判断（1）中逆命题的真假，并说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课前预习）下列三个定理中，存在逆定理的有（   ） ①同角的余角相等； ②同位角相等，两直线平行； ③同角的补角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 【题型9】线段垂直平分线性质定理的逆定理求值证明 【例题9】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： （1）； （2）点A在的垂直平分线上． 【变式1】（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【变式2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知线段，以点，点为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为．作直线，连接．则下列说法：①四边形是轴对称图形；②平分；③直线垂直平分线段；④是等边三角形；其中正确的有 ．（填序号） 知识点（八）直角三角形性质与判定 直角三角形还有以下性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 直角三角形的判定定理:有两个角互余的三角形是直角三角形。 【题型10】利用直角三角形性质与判定求值证明 【例题10】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D是上的一点，且，点E是的中点，连结． （1）请说明； （2）吗？若成立请给出说明过程； 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，则的度数为 ． 知识点（九）勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方； 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形。 【题型11】利用勾股定理解直角三角形 【例题11】（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，和是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，连接． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点C、点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点F．若，则的面积为（　　） A．9 B．12 C．16 D．18 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，AB的垂直平分线交BC边于点D，交AB于点F，AC的垂直平分线交BC边于点E，交AC于点G，连接AD、AE若，，则的长为 ． 【题型12】勾股定理解与折叠问题 【例题12】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． （1）求的长；（2）求的值；（3）求阴影部分的面积． 【变式1】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【题型13】勾股定理解与动点问题 【例题13】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）若点运动到的中点时，的值为_______； （2）若，求的长； （3）当为直角三角形时，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在锐角中，点O是边上的一个动点，过O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F，若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．7 【变式2】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点D是上的一个动点，，过点A作交的延长线于点F．设，则y与x的关系式为 【题型14】利用勾股定理的逆定理求值证明 【例题14】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）通过计算比较两条路线谁更短． 【变式1】（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是 ． 知识点（十）判定直角三角形全等的判定——（HL） 直角三角形全等还有下面的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 【题型15】直角三角形全等的判定——（HL） 【例题15】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点，分别在边，上，且，平分，过点作于点，作于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【变式1】（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，平分，过点D作于点E．若，，则的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，在中，，，，分别平分，，点C在线段上，当，时， ． 二. 同步练习​ 【基础巩固（22题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列人工智能图标中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）等腰三角形的一边长为4，它的周长为16，则它的腰长为（   ） A．4 B．6 C．4或6 D．10或12 3．（24-25八年级下·浙江台州·阶段练习）如图，在中，，是的中点，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 4．（24-25八年级上·云南·期末）如图，已知为等边三角形，是上一点，是的延长线上一点，且若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在四边形中，，，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　） A．3 B．6 C．6 D．7 二、填空题 9．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）命题“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为 ． 11．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知是等边三角形，点B，C，D，F在同一直线上，， ，则 ．    12．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，，则线段的长为 ． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，是边上的一点，是轴对称图形，所在直线是它的对称轴．若的周长为，则 ． 14．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边的对称点分别为，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是 ． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，连接为上一点，连接且．若，则的长为 ． 16．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，点在线段上，且不与端点重合，分别以、为边作等边和，且点、在同侧，连结、交于点，、分别与、交于点、，有以下四个结论： ①； ②若，在不添加字母与辅助线的情况下，图中只有两对全等三角形； ③； ④平分． 以上结论中正确的为 ．（只填写序号） 三、解答题 17．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）在中，是的中点，交于点． （1）求的度数；（2）求证： 18．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）在中，已知是角平分线，，． （1）求，的度数； （2）若于点，求的度数． 19．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 20．（24-25八年级下·广东江门·开学考试）如图，是等边三角形，．动点P，Q分别从点A、B同时出发，动点P以的速度沿向终点C运动．动点Q以的速度沿射线运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．点P出发后，过点P作交于点E，连结，以为边作等边三角形，连结，设点P的运动时间为． （1）用含t的代数式表示的长为________； （2）求的长（用含t的代数式表示）； （3）当的边与垂直时，求出此时t的值． 21．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 22．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，点B在线段上，点E在线段上，为的高，，． （1）求证：； （2）如图：于F，于G，探究与的关系，并证明你的结论． 【能力提升（24题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）在等腰中，与的度数之比是，则的度数是（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25七年级下·甘肃甘南·阶段练习）如图，把两条长边平行的纸条折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 4．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）一张等腰直角三角形彩色纸如图放置，已知，，现要沿边向上依次截取宽度均为的长方形纸条，如图所示．已知截得的长方形纸片中有一块是正方形，则这块正方形纸片是第（      ）块． A．五 B．六 C．七 D．八 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，于点D，平分交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，D是的中点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知是等腰三角形，，是直角三角形，为斜边上的中线，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，点为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下结论：①；②为等边三角形；③；④平分；正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）已知等腰三角形的两边长满足，则该等腰三角形的周长为 ． 12．（24-25八年级下·陕西汉中·阶段练习）如图，中，，是的中线，已知，为过点的一条直线，且，则的度数是 ． 13．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，和的垂直平分线交于点，连结、、，写出和的数量关系 ． 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）周末小明和爸爸一起外出露营，如图为爸爸所支帐篷示意图，正面为等腰三角形，已知帐篷的长，宽，高，则帐篷一面长方形的面积为 ． 15．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ． 16．（24-25八年级上·天津·期末）如图，，点M，N分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 17．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，四边形中，，点E，F分别为对角线的中点，连接．（1） ；（2）的面积为 ． 18．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 三、解答题 19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形． 20．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，，求的长． 21．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知：如图，点B在线段上，和都是等边三角形，且在同侧，连接交于点G，连接交于点H，交于点O，连接． （1）求证：；（2）求的度数．（3）求证：； 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，和均为等腰直角三角形，，点D在上，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在长方形中，． （1）如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； （2）如图②，将沿翻折，若交于点，求的长； （3）如图③，为边上的一点，将沿翻折得到分别交边于点，且，求的长． 24．（24-25八年级上·四川自贡·期末）已知，在四边形中，，． （1）如图1，连接．若，求证：． （2）如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． （3）若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2025·四川遂宁·中考真题）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 6．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 7．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 8．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 三、解答题 9．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． （1）求证：； （2）用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 10．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 11．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 12．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全上表中的勾股数． （2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.8 特殊三角形 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点（一）轴对称图形 2 【题型1】轴对称图形的识别 2 知识点（二）轴对称的性质 3 【题型2】轴对称性质求值证明 3 知识点（三）轴对称——折叠问题 6 【题型3】折叠问题 7 知识点（四）最短路径问题——将军饮马问题 9 【题型4】最短路径——“将军饮马”问题 9 知识点（五）等腰三角形性质与判定 13 【题型5】利用等腰三角形性质求值证明 13 【题型6】利用等腰三角形的性质与判定求值证明 16 知识点（六）等边三角形性质与判定 19 【题型7】利用等边三角形性质与判定求值证明 19 知识点（七）逆定理也逆命题 23 【题型8】逆定理和逆命题判断 23 【题型9】线段垂直平分线性质定理的逆定理求值证明 25 知识点（八）直角三角形性质与判定 28 【题型10】利用直角三角形性质与判定求值证明 28 知识点（九）勾股定理 30 【题型11】利用勾股定理解直角三角形 30 【题型12】勾股定理解与折叠问题 34 【题型13】勾股定理解与动点问题 38 【题型14】利用勾股定理的逆定理求值证明 41 知识点（十）判定直角三角形全等的判定——（HL） 43 【题型15】直角三角形全等的判定——（HL） 44 二. 同步练习 47 【基础巩固（22题）】 47 【能力提升（24题）】 65 【中考真题12题】 90 一．知识梳理与题型分类精析 全章学习流程和知识结构： 知识点（一）轴对称图形 轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形。 【题型1】轴对称图形的识别 【例题1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列交通标志，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 解：A、该图形是轴对称图形，符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选A． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此求解即可． 解：A 、B、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以都不是轴对称图形． C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）《国语·楚语》中记载：“夫美也者，上下、内外、小大、远近皆无害焉，故曰美．”这一记载充分表明传统美的本质特征在于对称和谐．中国建筑布局一般都是采用均衡对称的方式建造，更具脱俗的美感和生命力．下列建筑物的简图中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的识别； 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐项判断即可． 解：根据轴对称图形的定义可得：A、C、D均能找到一条直线，使得直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，不符合题意； B不是轴对称图形，符合题意． 故选：B． 知识点（二）轴对称的性质 （1）对称轴垂直平分连结两个对称点的线段；（2）成轴对称的两个图形是全等图形。 【题型2】轴对称性质求值证明 【例题2】（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，为等边三角形，在内作射线，点B关于射线的对称点为D，连接，作射线交于点E，连接． （1）依题意补全图形； （2）设，求的度数（用含的式子表示）； （3）判断，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见分析；（2）；（3），见分析． 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）先得出，，再得出，，进而得出，，求出，即可得出结论； （3）如图2，在上取一点F，使，先判断出是等边三角形，得出，，再判断出，得出，即可得出结论； 解：（1）解：补全图形如图1所示： （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点B关于射线的对称点为点D， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （3）； 证明：如图2，在上取一点F，使， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 【点拨】此题是几何变换综合题，主要考查了对称性，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解（3）的关键． 【变式1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，与关于直线对称，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，掌握轴对称的性质是解题关键．由轴对称的性质可知，，，再利用三角形内角和定理求解即可． 解：与关于直线对称，，， ，， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据直线是四边形的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 解：∵直线是四边形的对称轴， ∴点A与点B对应， ∴，，， ∵点P是直线上的点， ∴，， ∴A，C，D正确，B错误， 故选：B． 知识点（三）轴对称——折叠问题 折叠的本质是轴对称（1）折痕所在的直线就是对称轴；（2）折痕所在的直线垂直平分对应点之间的线段；（2）折痕两旁部分的图形是全等图形。 【题型3】折叠问题 【例题3】（24-25七年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图1，在四边形中，，． （1）试说明：； （2）如图2，将四边形沿折叠，点C与点重合，，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查平行线的判定与性质、折叠性质，熟练掌握平行线的性质和折叠性质是解答的关键． （1）根据平行线的性质得到，再等量代换得到，进而根据同旁内角互补，两直线平行可得结论； （2）由折叠的性质，．再由平行线的性质得到，进而求得，由可求得答案． 解：（1）证明：因为，所以． 因为，所以． 所以． （2）解：由折叠的性质，得，． 因为，所以． 所以． 由（1）得， 所以． 【变式1】（24-25七年级下·湖北恩施·阶段练习）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，则图b中的的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查平行线的性质，根据折叠的性质求出，再根据平行线的性质求解即可． 解：∵，将纸带沿折叠成图b， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图将一张长方形纸条沿折叠， 点B， A分别落在，位置上，与的交点为G， 若， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质，关键是由折叠的性质得到，由平行线的性质推出．设，由折叠的性质得到，则，求出，由平行线的性质推出，即可得到． 解： 设， ∴， 由折叠的性质得到， ∴， 解得， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点（四）最短路径问题——将军饮马问题 模型：如图①所示，在直线同侧有两个不同的点、,在直线上取一点，使和最小; 方法：过点作关于直线的对称点，连接，如图②，由对称性质得到，得到; 在直线取一点，连接、，如图③由， 点为所求。 【题型4】最短路径——“将军饮马”问题 【例题4】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在正方形网格中，的顶点A，B，C均在格点上． （1）画出关于直线对称的（点，，分别为点A，B，C的对应点）； （2）若D为直线上一点，则_______；（填“>”“<”或“=”） （3）在直线上找一点P，使得最小．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见分析；（2）=；（3）见分析 【分析】（1）根据对称点与对称轴是垂直等距原理画图即可； （2）根据线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等，解答即可； （3）根据点A关于的对称点，连接，交于点P，点P即为所求． 本题考查了坐标的对称问题，线段和最小作图计算，熟练掌握对称的原理，正确作图是解题的关键． 解：（1）解：轴对称的原理：对称点连线垂直轴，对称点与轴等距，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等， 得, 故答案为：=． （3）解：根据点A关于的对称点，连接，交于点P， 则点P即为所求． 【变式1】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称求最短距离，垂直平分线的性质，等面积法求三角形的高，利用轴对称和垂线段最短将线段和的最小转化为线段是解题的关键． 延长至点，使得，利用轴对称和垂线段最短说明 当时，有最小值，为的长，再利用等面积法求的长． 解：延长至点，使得，连接，，，如下图所示： 又， 垂直平分， ， ， 当，D，E三点共线时，等号成立， 当时，有最小值，即有最小值，为的长． 当时，由得， ， 解得， 综上可知，的最小值为． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查最短路线问题，解答中涉及垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上截取，连接，，证明，得到，由此得到，当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，过点C作交于点F，根据面积求出的长即可解决问题． 解：在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时， 如图，过点C作交于点， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 知识点（五）等腰三角形性质与判定 等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。这个定理也可以说成：在同一个三角形中，等边对等角。 等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称“三角形三线合一”。 等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形，可以简单地说成:在同一个三角形中，等角对等边。 【题型5】利用等腰三角形性质求值证明 【例题5】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，是等边的边上的中线，，则的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是利用等边三角形的中线性质求出相关角的度数，结合等腰三角形等边对等角的性质推导角度关系． 根据等边三角形性质，得出，为中线则平分且求出和；由可得为等腰三角形，利用内角和求出的度数；最后通过与的差求出的度数． 解：∵是等边三角形， ∴，． ∵是边上的中线， ∴ 平分（等边三角形三线合一）， ∴，． ∵ ∴ 是等腰三角形，． 在中，， ∴， 即， 解得． ∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在等腰三角形 中， 是底边 上的高线， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 的长为（     ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，证明是解答本题的关键．先证明，即有，再根据“三线合一”的性质即可求解． 解：∵，是底边上的高线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵根据题意有，， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】此题考查角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，等腰三角形的性质： （1）根据角平分线及平行线推出，即可得到． （2）根据平行线的性质求出，再利用等腰三角形的性质求出的度数． 解：（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴． 【题型6】利用等腰三角形的性质与判定求值证明 【例题6】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为，过点作交的延长线于点，连接，交于点． （1）求证：是线段的中点； （2）求证：； （3）连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）为等腰三角形，理由见分析 【分析】（1）先证明，，进一步证明，再结合等腰三角形的性质可得结论； （2）先证明，可得，结合，可得，进一步可得结论； （3）先证明，结合，可得，可得，从而可得结论． 解：（1）证明： ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ∴，即E是线段的中点． （2）证明：由（1）可得． ，D为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即． （3）解： 为等腰三角形． 理由：如图，连接， ∵E是线段的中点，， ， 由（2），得， ， ， ∴为等腰三角形． 【点拨】本题考查的是平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，的两条高，交于E，连接，，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，先证明，得出，再证明，得出，根据等腰三角形的性质求出，根据，求出，即可得出答案． 解：∵的两条高，交于E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，于点，延长至点，若，，的周长为，则的值为 ．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，等腰三角形的判定与性质，由三角形外角性质可得，所以，又，则，根据的周长为，即，得出，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点（六）等边三角形性质与判定 等边三角形的性质：等边三角形的各个内角都等于60°。 等边三角形的判定定理:（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【题型7】利用等边三角形性质与判定求值证明 【例题7】（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在等边中，点D，E分别在边，上，，点在的延长线上，且，若，． （1）求证：是等边三角形； （2）求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2）6 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、含角的直角三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是利用平行线性质得到角的关系以判定等边三角形，通过作垂线构造直角三角形，结合等腰三角形三线合一建立线段间的等量关系． （1）由等边三角形的各角为，结合利用平行线的同位角相等可得，再结合即可证明是等边三角形； （2）设由是等边三角形得结合可得过E作利用得，进而得由和得再通过建立关于x的方程，求解即可得的长． 解：（1）解：证明：∵是等边三角形 ∴． ∵， ∴，， ∴是等边三角形． （2）如图，过点作，垂足为点，则，设．由（1）得是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 即，解得， ∴线段的长为6． 【变式1】（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，已知，是内部的一点，且，点分别是上的动点，若周长的最小值等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质，作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，由轴对称的性质可得，，，，，，即得，可知当点在上时，的周长的最小，最小值，进而得到是等边三角形，即得到，再根据轴对称的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，如图， 由轴对称的性质可得，，，，，，， ∴， 可知当点在上时，的周长的最小，最小值， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，即， 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·青海海东·期中）如图，，A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点P，Q同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、动点问题及一元一次方程的应用．解题的关键是分情况讨论等腰三角形的构成条件． （1）用t表示线段长度：分情况为确定；或定； （2）分二种情况讨论，排除时，、两种无解情况． 解：由题意，动点P速度为速度为运动时间为则． ∵A在延长线上， ∴当P在A到O之间时， 当P在O到B之间时，． 又，A在延长线上，故． 要使为等腰三角形，分以下二种情况： ①若，不可能与其它边相等,因是钝角，是三角形内的最大角，根据“大角对大边”可知最长. ∴，, ∴ 解得 ②若因，使为等腰三角形时，必构成等边三角形， ∴ 解得． 综上，t的值为或． 故答案为：或． 知识点（七）逆定理也逆命题 （1）对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题就叫作它的逆命题；如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理。 （2）线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 【题型8】逆定理和逆命题判断 【例题8】（24-25八年级下·江西九江·期中）【教材呈现】下面是北师大版八年级下册数学教材第11页的部分内容： 定理在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）请写出上述定理的逆命题； （2）判断（1）中逆命题的真假，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）此命题是真命题，理由见分析 【分析】此题考查了命题，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）交换原命题的题设和结论即可； （2）延长至点D，使，连接，证明是等边三角形，得到，根据等腰三角形的三线合一证明即可． 解：（1）逆命题为：在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角是； （2）此命题是真命题，理由如下： 已知：在中，， 求证：． 证明：延长至点D，使，连接， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴ ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课前预习）下列三个定理中，存在逆定理的有（   ） ①同角的余角相等； ②同位角相等，两直线平行； ③同角的补角相等． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查的是真假命题的判断，逆命题，逆定理的含义，先分别写出命题的逆命题，再判断逆命题的真假即可得到答案． 解：同角的余角相等的逆命题是：相等的两个角是同一个角的余角；该逆命题是假命题，不存在逆定理，故①不符合题意； 同位角相等，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同位角相等；该逆命题是真命题，存在逆定理；故②符合题意； 同角的补角相等的逆命题是：相等的两个角是同一个角的补角；该逆命题是假命题，不存在逆定理，故③不符合题意； 故选：B 【变式2】（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 【题型9】线段垂直平分线性质定理的逆定理求值证明 【例题9】（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，中，，D为边的中点，F为的延长线上一点，过点F作于G点，并交于E点，试说明下列结论成立的理由： （1）； （2）点A在的垂直平分线上． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的判定，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后利用垂直于同一条直线的两条直线平行，即可解答； （2）先利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用等角对等边可得，即可解答． 解：（1）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 【变式1】（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）已知两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得出如下结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，根据即可求证，即可判断①；根据，可得垂直平分，即可判断②③；根据，即可判断④． 解：①在和中， ， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵，， ∴垂直平分， 即， 故②③正确，符合题意； ④ ， 故④错误，不符合题意； 综上：正确的有①②③． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知线段，以点，点为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为．作直线，连接．则下列说法：①四边形是轴对称图形；②平分；③直线垂直平分线段；④是等边三角形；其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，轴对称图形的识别，根据题意可得，据此可判断①；可证明，得到四边形是轴对称图形，，据此可判断②③；根据现有条件无法证明是等边三角形，据此可判断④． 解：由题意得，， ∴直线垂直平分线段，故③正确； 又∵， ∴， ∴四边形是轴对称图形，，故①正确； ∴平分，故②正确； 根据现有条件无法证明是等边三角形，故④错误， 故答案为：①②③． 知识点（八）直角三角形性质与判定 直角三角形还有以下性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 直角三角形的判定定理:有两个角互余的三角形是直角三角形。 【题型10】利用直角三角形性质与判定求值证明 【例题10】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D是上的一点，且，点E是的中点，连结． （1）请说明； （2）吗？若成立请给出说明过程； 【答案】（1）见分析；（2）成立，过程见分析 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． （1）由直角三角形斜边中线得到，则，由三角形外角可得，再结合已知条件即可证明； （2）由（1）可得，即，即可证明． 解：（1）解， ． 点E是的中点， ． ． ， ． ， ． （2）解：由（1）得， 又， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，，点D在边上，连接．若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的内角和定理．当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理或直角三角形的两锐角的关系可得结论． 解：分两种情况： 如图①，当时，． ， ． 如图②，当时， ， ， ． 综上所述，的度数为或． 知识点（九）勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方； 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形。 【题型11】利用勾股定理解直角三角形 【例题11】（24-25八年级下·安徽淮南·阶段练习）如图，在四边形中，，和是四边形的对角线，点E，F分别是，的中点，连接． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】（1）连接，．由直角三角形中线的性质可得，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可证明； （2）由（1）知，再求得，根据勾股定理即可求得的长． 本题主要考查了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 解：（1）证明：如图，连接，． ∵，点E是的中点， ∴，． ∴． ∵点F是的中点， ∴． （2）解：由（1）知， 又∵， ∴． ∵，点F为的中点， ∴． ∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点C、点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线交于点F．若，则的面积为（　　） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题考查尺规基本作图-作角平分线，全等三角形的判定与性质，勾股定理．正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 连结．利用勾股定理求得，再证明，得出，，，从而得出．然后设，则．利用勾股定理建立方程求解，得出，最后用三角形面积公式求解． 解：如图，连结． ，，， ． 由作图步骤可知平分， ． 在和中， ∴ ∴，，． ， ． 设，则． 在中，，解得， ， ． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，AB的垂直平分线交BC边于点D，交AB于点F，AC的垂直平分线交BC边于点E，交AC于点G，连接AD、AE若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 由线段垂直平分线的性质推出，，得到，设，由勾股定理得到，求出，得到． 解：垂直平分，垂直平分， ，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：5． 【题型12】勾股定理解与折叠问题 【例题12】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． （1）求的长； （2）求的值； （3）求阴影部分的面积． 【答案】（1）3；（2）20；（3） 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 解：（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 【变式1】（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、勾股定理是解题的关键．由题意易得，由折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理可进行求解． 解：由题意，得， 由翻折的性质得， 设，则， 在直角三角形中，， 即， 解得， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． （1）如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； （2）如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，关键是根据翻折性质以及勾股定理解答． （1）由折叠的性质可得．设，则．在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； （2）当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得．设．由折叠的性质得，．从而得到．在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 解：（1）在长方形中， 为线段的中点， ． 由折叠的性质，得． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得． ． 故答案为： （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长．线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，如图． ， 在中，由勾股定理得． 设． 由折叠的性质得，． ． 在中，由勾股定理得， ． 解得 线段的值最小时，的长度为． 故答案为： 【题型13】勾股定理解与动点问题 【例题13】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）若点运动到的中点时，的值为_______； （2）若，求的长； （3）当为直角三角形时，求的值． 【答案】（1）1；（2）；（3）2或 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而得的长，再除以点运动的速度即可求解． （2）由题知当时，，， 在中，根据勾股定理列方程求出t的值，即可得的长． （2）分两种情况：①当为直角时，点P与点C重合；②当为直角时，利用勾股定理求解即可得． 本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 解：（1）解：∵在中，，，， ∴， 若点运动到的中点，则， 则． （2）解：由题知， 如图，当时，，， 在中，， ∴， 解得， ∴． （3）解：如图①，当为直角时，点P与点C重合，，即； 如图②，当为直角时，，， 在中，， 在中，， 即， 解得 ． 故或时，为直角三角形． 【变式1】（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在锐角中，点O是边上的一个动点，过O作直线，设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F，若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．7 【答案】C 【分析】根据平行线的性质以及角平分线的性质得出，，由等腰三角形的判定即可得出点O是的中点；利用勾股定理可求得的长，根据直角三角形斜边中线的性质可求得的长． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴； ∴点O是的中点， ∵、分别平分和， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理，勾股定理是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点D是上的一个动点，，过点A作交的延长线于点F．设，则y与x的关系式为 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．证明，可得，，求出即可得解． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【题型14】利用勾股定理的逆定理求值证明 【例题14】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）通过计算比较两条路线谁更短． 【答案】（1），见分析；（2）路线更短 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理，实数大小比较解答即可． 本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 解：（1）解：， 理由如下：在中，米，米，米， ， ， ， ． （2）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， （米），（米）， ， 路线更短． 【变式1】（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 解：连接，    ∵ ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是 ． 【答案】/105度 【分析】根据，可知为直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半，可知，利用等边对等角，可求得，，接着利用外角，推出，最后利用求得答案． 解： 中，，不妨设，，， ，，， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点拨】本题考查了勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的定义，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 知识点（十）判定直角三角形全等的判定——（HL） 直角三角形全等还有下面的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”） 【题型15】直角三角形全等的判定——（HL） 【例题15】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，点，分别在边，上，且，平分，过点作于点，作于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明过程见分析；（2）的长为 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）由角平分线的性质可得线段长度相等，结合已知可证得，对应角相等，即可证得结论； （2）在边上截取，可证得，对应边相等，结合已知可得等边三角形，等量代换，代入已知条件计算即可． 解：（1）证明：∵，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，在边上取一点，使得． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． ∴． 【变式1】（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，平分，过点D作于点E．若，，则的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质． 由勾股定理得到，根据角平分线的性质得到，证明，可知，设，根据勾股定理求出，即可求出的周长． 解：∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的周长， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·湖南娄底·期末）如图，在中，，，，分别平分，，点C在线段上，当，时， ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，同样的方法可得，然后根据求解即可得． 解：如图，过点作于点， ∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， 故答案为：． 二. 同步练习​ 【基础巩固（22题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列人工智能图标中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称的定义．根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 解：选项A、B、D都不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）等腰三角形的一边长为4，它的周长为16，则它的腰长为（   ） A．4 B．6 C．4或6 D．10或12 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的定义，三角形的存在性解答即可． 本题考查了等腰三角形的定义，三角形的存在性问题，正确分类计算是解题的关键． 解：∵等腰三角形的一边长为4，周长为16， ∴等腰三角形的三边长为4，4，8或6，6，4， 当三边为4，4，8时，，三角形不存在； 当三边为6，6，4时，，三角形存在， 故腰长为：6； 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江台州·阶段练习）如图，在中，，是的中点，，则的长为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解． 解：在中，是的中点， ， 故选：D． 4．（24-25八年级上·云南·期末）如图，已知为等边三角形，是上一点，是的延长线上一点，且若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的面积；根据等边三角形的性质得到，，进而得到，再结合，得到，即可求出结果． 解：是等边三角形， ， ， ，， 边上的高与边上的高相同， ， 的面积为， ， 边上的高与的边上的高相同， ， ， ． 故选：B． 5．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）如图在四边形中，和都是直角，且．现将沿翻折，点的对应点为，与边相交于点，恰好是的角平分线，若，则的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题考查了折叠的性质、角平分线的定义，全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的性质和折叠的性质是解决问题的关键．延长和相交于点，根据翻折的性质可以证明，可得，再证明，可得． 解：如图，延长和相交于点， 由翻折可知：，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 故选：C． 6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，在等边中，，垂足为，是上一点，．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，，，再证明，进一步可得答案． 解：在等边中，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A 7．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在四边形中，，，若，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理的应用以及几何图形中的垂直关系，证明，通过勾股定理计算出是解题的关键． 首先利用全等三角形对应边相等得到，再通过勾股定理求出的长度，最后依据全等三角形对应边相等得出的长度． 解：， ， ，且, ， ， ， 即是直角三角形， 在中， ，即：， ， ， 故选：A． 8．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图是一种落地灯的简易示意图，已知悬杆的部分的长度与支杆相等，且．若的长度为，则此时两点之间的距离为（　　） A．3 B．6 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 连接，证明是等边三角形，得，即可得出结论． 解：如图，连接， 由题意可知，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即此时两点之间的距离为． 故选：B ． 二、填空题 9．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）命题“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【分析】本题考查写出命题的逆命题，判断命题的真假，熟练掌握该知识点是解题关键． 逆命题即将原命题的结论变为已知，原命题的已知变为结论，再判断命题的真假即可求解． 解：“若两数之积为正数，则这两数为正数”的逆命题是：如果两个数都是正数，那么它们的积是正数，是真命题． 故答案为：真． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，是等边三角形，在中，，连接交于点E，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了等边三角形及等腰三角形的性质，由为等边三角形，可得，再由，可得，从而得出，再根据等腰三角形的性质得，最后求解即可． 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，已知是等边三角形，点B，C，D，F在同一直线上，， ，则 ．    【答案】15 【分析】本题考查等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质的应用是解答的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴, ∴． 故答案为：15． 12．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点，若，，则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到，则可得的长，同理可得，据此求解即可． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 故答案为：3． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，是边上的一点，是轴对称图形，所在直线是它的对称轴．若的周长为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；进行线段的等量代换后得到是正确解答本题的关键．由已知条件，利用轴对称图形的性质得，再利用给出的周长即可求出的长． 解：是轴对称图形，直线是它的对称轴， ， 的周长等于，， ， ． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边的对称点分别为，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，三角形的面积，连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度的最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：连接，如图， ∵点关于边的对称点分别为， ∴，， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度的最小， 当时，， 即， ∴， ∴， 即线段长度的最小值是， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，连接为上一点，连接且．若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，根据“”证即可得解． 解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：10． 16．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，点在线段上，且不与端点重合，分别以、为边作等边和，且点、在同侧，连结、交于点，、分别与、交于点、，有以下四个结论： ①； ②若，在不添加字母与辅助线的情况下，图中只有两对全等三角形； ③； ④平分． 以上结论中正确的为 ．（只填写序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识；根据等边三角形的性质可得，，，求出，即可证明，①正确；利用证明和，可得②错误；利用三角形外角的性质可求出，③正确；作于点，作于点，利用全等三角形的性质以及三角形的面积公式求得，即可判断④正确．掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 解：、均为等边三角形， ，，， ∴，即， ，①正确； ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 同理， 图中至少有三对全等三角形，②错误； ∵， ∴， ∴，③正确； 作于点，作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，④正确； 综上，正确结论的是①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题 17．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）在中，是的中点，交于点． （1）求的度数； （2）求证： 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，根据已知，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，，根据垂直的定义得出，进而得出，根据等角对等边，即可求解． 解：（1）解：，是的中点        即   又     （2）证明：∵，， ∴， ，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 18．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末）在中，已知是角平分线，，． （1）求，的度数； （2）若于点，求的度数． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质； （1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理求得，进而根据三角形的外角的性质，求得； （2）根据角平分线的定义得出，进而根据直角三角形的两锐角互余，即可求解． 解：（1）解：∵是的角平分线，， ∴， 又∵ ∴， ∴； （2）解：∵是的角平分线，， ∴， ∵ ． 19．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，为的中点，连接垂直平分，分别交于点，交于点，交于点，连接． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握相关知识是解题的关键； 对于（1），根据等腰三角形的性质得是的垂直平分线，可得，再根据线段垂直平分线的性质得，即可得，此题可解； 对于（2），根据等腰三角形的性质可求，再根据直角三角形的两个锐角互余得出答案． 解：（1）证明：∵，点D是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵，点D是的中点，， ∴． 在中，． 20．（24-25八年级下·广东江门·开学考试）如图，是等边三角形，．动点P，Q分别从点A、B同时出发，动点P以的速度沿向终点C运动．动点Q以的速度沿射线运动．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．点P出发后，过点P作交于点E，连结，以为边作等边三角形，连结，设点P的运动时间为． （1）用含t的代数式表示的长为________； （2）求的长（用含t的代数式表示）； （3）当的边与垂直时，求出此时t的值． 【答案】（1）或；（2）；（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解一元一次方程等知识，结合图形分析是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． （1）分两种情况讨论：点Q在线段上，点Q在射线上； （2）证明，从而得到，求出即可； （3）分两种情况，和进行求解． 解：（1）解：由题意得 ， 是等边三角形， ． 分两种情况∶ 当点Q在线段上时，； 当点Q在射线上时，； 的长为或； （2）解：是等边三角形， ，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ， 是等边三角形， ，． ， ，即． ． ． ，，， ； （3）解：当时， 是等边三角形， 是高，也是中线． ． ， ，解得：； ②当时，如图， ，， ． ， ． ． ，， ， 解得∶ 综合上述，当的边与垂直时，t的值为或． 21．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 解：（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得，在中，， ， ， 市受到台风影响的时间持续． 22．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，点B在线段上，点E在线段上，为的高，，． （1）求证：； （2）如图：于F，于G，探究与的关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见分析；（2）且，证明见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）利用证明，即可； （2）根据全等三角形的性质可得，，再由，可得，再证明，可得，即可解答． 解：（1）证明：∵为的高， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：且，证明如下： ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 综上所述，与的关系为且． 【能力提升（24题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟悉掌握轴对称的特点是解题的关键． 根据轴对称图形的特点逐一判断即可． 解：A，B，D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；C图形是轴对称图形，故C符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）在等腰中，与的度数之比是，则的度数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，根据与的度数之比是，设，，分为顶角和为底角，两种情况进行讨论求解即可． 解：∵与的度数之比是， ∴设，， 当为顶角时，则：， ∴， ∴， ∴； 当为底角时，则：， ∴， ∴， ∴； 故或； 故选D． 3．（24-25七年级下·甘肃甘南·阶段练习）如图，把两条长边平行的纸条折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据平行线的性质和折叠的知识，进行作答，即可求解； 解：∵把两条长边平行的纸条折叠，， ∴，， ∵， ∴， 故选：C； ， 4．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在四边形中，分别是边上的动点，当的周长最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接则当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小，则易得的大小． 解：如图，作点A关于的对称点E、F，连接分别交于点H、G，连接 由对称性知： ∴ ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，的周长最小； ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 此时 故选：B． 【点拨】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，两点间线段最短等知识，解答本题的关键要明确：涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 5．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在等边中，是边上的中线，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，当周长最小时，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等边三角形性质与判定、全等三角形的判定与性质及线段垂直平分线性质，连接，证明得出，作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，的周长最小，再证明是等边三角形，得出垂直平分，进而求出结论． 解：如图，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点E在射线上运动（）， 作点A关于直线的对称点M，连接交于，此时的值最小，即的周长最小， ∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 故选：A． 6．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）一张等腰直角三角形彩色纸如图放置，已知，，现要沿边向上依次截取宽度均为的长方形纸条，如图所示．已知截得的长方形纸片中有一块是正方形，则这块正方形纸片是第（      ）块． A．五 B．六 C．七 D．八 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，根据题意得，，所求的正方形距离顶点C有，进而即可求出答案． 解：，， ，，， 的高和底边比为， 沿边向上依次截取宽度均为的长方形纸条，长方形上边与顶点组成的三角形与相似，其高和底边的比均为， 若截得的长方形纸片中有一块是正方形，则这块正方形的长度也是， 这块正方形距离顶点C有，此时正方形的边为，， ， 正方形纸片是第7块， 故选：C． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，于点D，平分交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，首先由垂直定义得到，利用角平分线求出，根据三角形内角和定理求得，即可根据，得出的度数． 解：∵， ∴， ∵，平分， ∴ ∴ ∵， ∴． 故选C． 8．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，D是的中点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形的性质得到，得到为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 解：， ， ∵D是的中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 故选：C． 9．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知是等腰三角形，，是直角三角形，为斜边上的中线，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定理． 由直角三角形的性质，可得，由等腰三角形的性质，可知，根据勾股定理计算即可得的长． 解：∵是直角三角形，为斜边上的中线， ∴点为的中点，， ∵， ∴， 又∵是等腰三角形，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：． 10．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图，点为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接、，以下结论：①；②为等边三角形；③；④平分；正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由和等边是正三角形，其性质得三边相等，三个角为，平角的定义和角的和差得，边角边证明，其性质得结论①正确；根据等边三角形的判定得是等边三角形，结论②正确；根据全等三角形的性质和三角形内角和定理即可得结论③正确；角角边证明，其性质和角平分线性质定理的逆定理求出点在的平分线上，结论④正确． 解：∵和是正三角形， ， 又 ∵， ， 在和中， ， ， ， ∴结论①正确； ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形，故②正确； ， ， 又，，， ， ，结论③正确； 过点分别作于点、两点，如图2所示： ， ， 在和中， ， ， ， 又 ∵在的内部， ∴点在的平分线上， ∴结论④正确； 综合所述，共有 4个结论正确． 故选：D． 【点拨】本题综合考查了全等三角的判定与性质，等边三角形的判定，三角形的内角和定理，角平分线性质定理的逆定理等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上． 二、填空题 11．（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）已知等腰三角形的两边长满足，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】22 【分析】先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系判断出等腰三角形的腰与底边长，进而可得出结论．本题主要考查了绝对值非负性，等腰三角形的性质以及三角形三边关系，解题的关键是分类讨论，此题难度不大． 解：∵，，， ∴，， 解得，， ①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9， ， 不能组成三角形， ②4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9， 能组成三角形， 周长． 综上所述，这个等腰三角形的周长为22． 故答案为：22． 12．（24-25八年级下·陕西汉中·阶段练习）如图，中，，是的中线，已知，为过点的一条直线，且，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 综合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可得的度数，根据平行线的性质即可得的度数． 解：∵中，，是的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，和的垂直平分线交于点，连结、、，写出和的数量关系 ． 【答案】 【分析】利用垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到角相等，再结合三角形的内角和定理来推导和的数量关系．本题主要考查了线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 ）以及三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线性质是解题的关键． 解：∵ 在的垂直平分线上，在的垂直平分线上 ∴ ，， ∴，， ∵，， ∴， ∴ 故答案为： ． 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）周末小明和爸爸一起外出露营，如图为爸爸所支帐篷示意图，正面为等腰三角形，已知帐篷的长，宽，高，则帐篷一面长方形的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理．熟练掌握等腰三角形的性质和利用勾股定理求出的长是解题的关键． 先由等腰三角形“三线合一”求出，再根据勾股定理求出的长，即可由长方形的面积公式求解． 解：等腰三角形，高，宽， ∴， 由勾股定理，得， ∴长方形的面积． 故答案为：3． 15．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段和差计算．通过构造辅助线得到和全等是解决本题的关键． 首先通过延长中线构造全等三角形，将已知的边和角进行转化，然后利用等腰三角形等角对等边的性质来求出线段的长． 解：延长到点M，使，连接，如图． 已知，， 所以． 因为是的中线， 所以． 在和中： ， 所以≌． 所以，． 又因为， 可得． 因为，且， 可得． 所以， 又因为， 所以． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·天津·期末）如图，，点M，N分别是边上的定点，点P，Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称最短问题、三角形的内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活利用轴对称的性质求最值成为解题的关键． 如图：过作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，再根据三角形的外角的性质和平角的定义求解即可． 解： 解：如图：过作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小， ，，， ， ， ． 故答案为：． 17．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，四边形中，，点E，F分别为对角线的中点，连接．（1） ；（2）的面积为 ． 【答案】 45 1 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，线段垂直平分线的判定，等腰三角形得判定与性质等知识点． 先由直角三角形斜边中线得到，则垂直平分，，证明为等腰直角三角形，再由三线合一即可求解，再由三角形的中线等分面积进行求解，然后由即可求解． 解：连接， ∵，点E，F分别为对角线的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴； ∵为中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：45，1． 18．（24-25七年级下·湖北荆门·期末）按国际标准，A系列纸为长方形．将纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点B落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点E与点D恰好重合．则 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，第一次折叠后得到正方形，第二次折叠，得出，由此可解． 解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ， 第二次折叠，得出， ， 故答案为：． 三、解答题 19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形． 【答案】见分析 【分析】此题主要考查了复杂作图，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂线的画法． 首先作射线，截取，再作的中垂线，垂足为O，然后截取，再画腰即可． 解：如图，即为所求． 20．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是进一步得到，利用即可得出结论． 解：（1）证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； （2）如图，连接， 平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 21．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）已知：如图，点B在线段上，和都是等边三角形，且在同侧，连接交于点G，连接交于点H，交于点O，连接． （1）求证：； （2）求的度数． （3）求证：； 【答案】（1）见详解；（2）；（3）见详解 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，难度不大，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由等边三角形的性质可证得，可求得； （2）由（1）中的全等得，结合，和三角形内角和定理即可得出； （3）由全等三角形的性质得出，证出，证明，可得； 解：（1）证明：∵均为等边三角形， ， ， 即， 在与中， ， ， ． （2）解：由（1）知：， ， ，， ． （3）证明：∵， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． 22．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，和均为等腰直角三角形，，点D在上，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的定义等知识，证明是关键． （1）由等腰三角形定义得到，证明．即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，即可得到，根据直角三角形两锐角互余即可得到答案． 解：（1）证明：和均为等腰直角三角形，， ， ． 在和中， ． （2）解：， ， ． ． ． 23．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在长方形中，． （1）如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长； （2）如图②，将沿翻折，若交于点，求的长； （3）如图③，为边上的一点，将沿翻折得到分别交边于点，且，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】设，在中，根据，构建方程即可解决问题； 首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题； 设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 解：（1）解：根据折叠的性质，得． 因为四边形是长方形， 所以． 设，则， 在Rt中，因为， 所以，解得， 所以． （2）因为四边形是长方形， 所以． 根据折叠的性质，得． 又因为， 所以． 因为交于点， 所以， 所以， 所以． 设，则． 在Rt中，因为， 所以，解得， 所以． （3）因为四边形是长方形， 所以． 根据折叠的性质，得， 所以． 又因为， 所以，所以， 所以． 又因为， 设，则， 所以． 在Rt中，，解得， 所以． 【点拨】此题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． 24．（24-25八年级上·四川自贡·期末）已知，在四边形中，，． （1）如图1，连接．若，求证：． （2）如图2，点，分别在线段，上，且满足，求证． （3）若点在的延长线上，点在的延长线上，连接，，，仍然满足．请在图3中补全图形，根据图形直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）图见分析， 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、四边形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）延长至点，使，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质证明； （3）在延长线上找一点，使得，连接，分别证明、，根据全等三角形的性质、四边形内角和为解答． 解：（1）证明：， ∴， ∵， ， 在和中， ， ； （2）证明：延长至点，使，连接，如图2， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ，， 在和中， ， ； （3）解：如图3，． 理由如下：在延长线上找一点，使得，连接， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2025·四川遂宁·中考真题）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是关键； 根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判定即可得解. 解：A、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不能看作是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、能看作是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 3．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作射线交于点G，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识； 根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解. 解：根据题意可得：平分，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：A. 4．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 二、填空题 5．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰中，，，D是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，由勾股定理可得，由垂线段最短可得，当时，有最小值，则此时点D为的中点，则由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得． 解：∵在等腰中，，， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∵， ∴当时，点D为的中点， ∴此时， 故答案为：． 6．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，则梯子顶端的高度h为 m． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为，进行列式计算，即可作答． 解：∵长为的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为， ∴， 故答案为：． 7．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 8．（2025·四川广安·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线交于点E．若，，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； 易得，连接，如图，据题意可得：，垂直平分，可得，，证明，再利用勾股定理即可求出答案. 解：∵，， ∴, 连接，如图，据题意可得：，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，根据勾股定理可得； 故答案为：12. 三、解答题 9．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，点D，E在上，． （1）求证：； （2）用直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查等边对等角，全等三角形的判定，尺规作图作一个角的平分线，熟练掌握全等三角形的证明方法和尺规作图的方法是解题的关键． （1）先利用得出，再利用证明即可； （2）利用根据角平分线的作图方法作图即可． 解：（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：如图，即为所求作． 10．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 解：（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 11．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 解：（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即. 12．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数． 3，4，5 7，24，25 11，60，61 15，112，113 19，180，181 4，3，5 8，15，17 12，35，37 16，63，65 20，21，29 5，12，13 9，12，15 13，84，85 17，144，145 21，28，35 6，8，10 10，___，26 14，48，50 18，80，82 22，120，122 （1）请补全上表中的勾股数． （2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明． （3）某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为．如果每个三角形最短边都种21株花，那么这块绿地最少需要种植多少株花？ 【答案】（1）；（2），，，其中、、都是正整数，，证明见分析；（3）280 【分析】（1）先由表中勾股数规律，令，，，由勾股数定义列方程求解即可得到答案； （2）由表中数据，分别用代数式表示出，，，再由整式混合运算求证即可得证明； （3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案． 解：（1）解：由表中勾股数的规律可知，令，，， 则由勾股数定义可知， 即， ， 解得或（舍去）； 故答案为：24． （2）解：由题意，，，，其中、、都是正整数，，证明过程如下： ，，， ， ， ， ， ； （3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示： 设，即直角三角形中最短边为， 仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为，三角形最短边种株花， ， 由题意可知，最小为， 那么 ， 那么这块绿地最少需要种植株花． 【点拨】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$