专题 1.8 三角形的初步知识（全章知识梳理 + 题型精析 +同步练习）基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 1.8 三角形的初步知识 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 全章知识结构和学习流程： 2 知识点（一）三角形内角和定理 2 【题型1】利用三角形内角和求值 2 【题型2】利用三角形内角和证明 4 知识点（二）三角形外角性质 7 【题型3】利用三角形外角性质求值证明 7 【题型4】利用三角形内角和外角性质综合求值证明 9 知识点（三）三角形三条重要线段 11 【题型5】利用三角形三条重要线段求值 11 【题型6】利用三角形三条重要线段求值证明 13 知识点（四）三角形三边关系 16 【题型5】构造三角形的条件 16 【题型6】确定第三边取值范围 18 知识点（五）定义、命题与证明 20 【题型7】定义、命题的判断 20 【题型8】证明的基本过程 22 知识点（六）全等三角形性质与判定 26 【题型9】选择合适或添加条件证明三角形全等 26 【题型10】三角形全等的性质与判定综合求值证明 29 【题型11】三角形全等几何模型 33 知识点（七）线段的垂直平分线与角平分线的性质 36 【题型12】利用线段垂直平分线的性质求值 36 【题型13】利用角平分线性质求值 39 【题型14】线段垂直平分线、角平分线性质综合 42 【题型15】全等三角形与角平分线、线段垂直平分线综合 45 二. 同步练习 51 【基础巩固（22题）】 51 【能力提升（23题）】 69 【中考真题12题】 90 一.知识梳理与题型分类精析 全章知识结构和学习流程： 知识点（一）三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 【题型1】利用三角形内角和求值 【例题1】 （24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）平行，理由见分析；（2） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 解：（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和，对顶角相等，直角三角形两锐角互余的应用； 根据，得，再，即可求解； 解：∵，如图； ∴ ∵， ∴ ∴ 故答案为： . 【变式2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，将一角折叠，若，则 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解． 解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型2】利用三角形内角和证明 【例题2】 （24-25七年级下·上海·阶段练习）在的的延长线上任取两点D，E，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 【分析】题目主要考查了三角形内角和定理及对顶角相等，理解题意是解题关键． （1）根据对顶角相等及三角形内角和定理即可证明； （2）根据角平分线得出，再由题意结合图形确定，，求解即可． 解：（1）证明：根据题意得， ∵， ∴； （2）∵和的平分线交于点， ∴， ∴①， 由（1）得， 即②， 得：， ∴． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，的平分线交于点，连接，平分，交于点，若的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义得，在中，由三角形内角和定理可得，由角平分线定义得，，进而可求得．本题主要考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义以及三角形内角和定理是解题的关键． 解：∵中，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， 在中，， ∵，的平分线交于点， ∴平分， ∴， 又∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，于点，于点，则下列各角中，与一定相等的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查垂直的定义，角的和差，熟练掌握垂直的定义是解题的关键．根据，即可得到结论． 解：， ， ， ， ， 故选B． 知识点（二）三角形外角性质 三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和。 【题型3】利用三角形外角性质求值证明 【例题3】 （25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，分别平分和，与相交于点M．探究与，之间的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角和，角平分线性质，构造辅助线使用三角形外角和的性质是解决本题的关键． 先通过构造辅助线，由三角形外角和得到，同理可得，再由角平分线的性质求解即可． 解：延长交于点N， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴①， 同理可得②， ①②，得. ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业），，， ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的外角性质即可求解，掌握三角形的外角性质是解题的关键． 解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，的外角分别记为，，．若，则 ． 【答案】 【分析】这道题主要考查三角形外角的性质与三角形内角和定理，题目中给出，设未知数表示外角，，，利用“外角和为”列方程求出，进而得到每个外角的度数；再根据“外角与相邻内角互补”，算出每个内角的度数，最后求出内角的比例． 解：设，，， 则由三角形外角和定理得： 解得：， 即，，， ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 【题型4】利用三角形内角和外角性质综合求值证明 【例题4】 （24-25八年级下·四川达州·阶段练习）如图，中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，求与的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性质；能熟练利用三角形的内角和定理，直角三角形的特征，三角形外角性质进行求解是解题的关键． 由三角形内角和定理，直角三角形的特征得，再由即可求得；由三角形的外角性质得，即可求解． 解：， ， ， ， ， ， 由三角形的外角性质得，． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质．熟练掌握这两个性质是解决本题的关键． 先根据角平分线的性质求出相关角的度数，再利用三角形外角的性质求出的度数． 解：因为是中的平分线，且， 所以． 因为是的外角的平分线，且， 同理可得． 在中，是的一个外角， 所以， 即． 将，代入可得：． 在中，是的一个外角， 可得． 已知，， 那么，即． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，的外角分别记为，，．若，则 ． 【答案】 【分析】这道题主要考查三角形外角的性质与三角形内角和定理，题目中给出，设未知数表示外角，，，利用“外角和为”列方程求出，进而得到每个外角的度数；再根据“外角与相邻内角互补”，算出每个内角的度数，最后求出内角的比例． 解：设，，， 则由三角形外角和定理得： 解得：， 即，，， ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 知识点（三）三角形三条重要线段 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线； 连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫作三角形的中线； 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线。 【题型5】利用三角形三条重要线段求值 【例题5】 （23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，、为的高，且，点F为的中点，连接． （1）求的面积； （2）求和的周长差． 【答案】（1）3；（2）2 【分析】本题考查了三角形的中线性质与面积公式（）的应用，解题关键是灵活运用中线对面积的分割作用及周长差的化简逻辑． （1）先利用三角形面积公式结合为高求出的面积，再根据F是中点，由中线分三角形面积的性质得到的面积； （2）先通过为高结合面积求出的长度，再根据F是中点得到，进而分析和的周长差． 解：（1）解：是的高， F为的中点，是的中线， ； （2）解： 是的高， ，即， 解得． F是的中点， ， 又是公共边，的周长为，的周长为， 和的周长差为． 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，的面积是12，点、、、分别是、、、的中点，则四边形的面积是（   ） A．6 B．5 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．根据中线的性质可得，，相加可得结果． 解：∵点、、、分别是、、、的中点， 是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ， 同理可得：， 四边形的面积为：． 故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若三角形的底边长为，该底边上的高为，则此三角形的面积为 （　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形面积计算公式和平方差公式，解题的关键是根据三角形的面积公式列出算式并利用平方差公式进行正确的计算． 利用三角形的面积等于底与高乘积的一半列式求解即可． 解：三角形的面积为：， 故选A. 【题型6】利用三角形三条重要线段求值证明 【例题6】 （25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了角平分线的定义，与高有关的计算题，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据角平分线的定义，得，结合，，故，最后根据对顶角相等，则． 解：证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，，故A，B，D正确； 无法证明，故C错误． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥． 解：是的中线， ， 故④正确，符合题意； 是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 故③正确，符合题意； 由已知条件不能确定， 与的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意； ∵不一定是的中点，无法证明，故①错误，不符合题意； ∵，是高， ∴ ∴，故⑥正确 综上，符合题意的有4个， 故选：C 知识点（四）三角形三边关系 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 【题型5】构造三角形的条件 【例题5】 （25-26八年级上·全国·课后作业）长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 【答案】有两种选法，理由见分析 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：；；；． 在第一种情况中：，能构成三角形； 在第二种情况中：，不能构成三角形； 在第三种情况中：，不能构成三角形； 在第四种情况中：，能构成三角形； 综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 【变式1】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据两边之和大于第三边即可判断求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 解：、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 、∵， ∴能组成三角形，该选项符合题意； 、∵， ∴不能组成三角形，该选项不合题意； 故选：． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）设是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了绝对值非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边关系以及周长的求法． 先根据绝对值非负数的性质求出，，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可． 解：， ∴， ∴， 分两种情况： （1）当2为底边长时，腰长为5， ，能组成三角形， 此时三角形的周长为； （2）当5为底边长时，腰长为2， ，不能组成三角形． 综上可知，此三角形的周长为12． 故答案为：12． 【题型6】确定第三边取值范围 【例题6】 （24-25七年级下·四川达州·阶段练习）已知，，是的三边． （1）若，．求第三边的取值范围； （2）若，，第三边为奇数，判断的形状； （3）化简． 【答案】（1）；（2）为等腰三角形；（3） 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，整式的加减，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． （）根据三角形的三边关系即可求解； （）根据三角形的三边关系得，然后求出，最后通过等腰三角形定义即可求解； （）根据三角形的三边关系得，，，然后化简即可． 解：（1）解：∵，，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵第三边为奇数， ∴， ∴三边为，，， ∴为等腰三角形； （3）解：∵，，， ∴ ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）的两边分别为方程组的解，第三边能被3整除，这样的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形三边关系，二元一次方程组的求解，首先利用加减消元法求出x，y的值，再根据三角形三边关系：①任意两边之和大于第三边；②任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，即可得出答案． 解：方程组 ，整理得：， 解得：， 的两边分别为4，6， 设第三边长为a，则， 第三边能被3整除， 或6或9， 所以这样的三角形有3个． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求线段的取值范围． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形的三边关系． （1）根据D是边的中点得出，由得到，，根据可以求证； （2）由，得出，根据三角形三边关系得出，进而得出结论． 解：（1）证明：∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵在中，， 即， ∴． 知识点（五）定义、命题与证明 一般地，能明确说明某一名称或术语的意义的句子,叫作该名称或术语的定义； 一般地，判断某一件事情的句子叫作命题； 通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确。因此,要判断一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论）,一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明。 【题型7】定义、命题的判断 【例题7】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查的是命题与定理，掌握平行线的判定和性质是解题关键． （1）根据题意写出命题即可； （2）根据平行线的判定和性质证明． 解：（1）解：可构造三个命题： 命题一：如果，，那么； 命题二：如果，，那么； 命题三：如果，，那么； （2）解：①选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ②选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ③选择“如果，，那么”进行验证： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该命题为真命题； ∴综上所述，三个命题都是真命题． 【变式1】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）可以用一个数的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题，这个数可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理、真命题与假命题；正确判断真命题与假命题是解决问题的关键．由整除的性质得出是假命题，即可得出结论． 解：可以用一个的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题， 这个值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是 ，结论是 ，利用反证法证明该命题时，我们要假设 ． 【答案】 与都不为零 和至少有一个等于0 【分析】本题考查了命题和反证法，根据命题的结构特征和反证法的定义解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键 解：“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是，结论是与都不为零，利用反证法证明该命题时，我们要假设和至少有一个等于， 故答案为：，与都不为零，和至少有一个等于． 【题型8】证明的基本过程 【例题8】 （24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了举例说明假命题．熟练掌握举例说明假命题是解题的关键． 由 ，，可知是说明命题“若，则”是假命题的反例，然后作答即可． 解：∵ ，， ∴是说明命题“若，则”是假命题的反例， 故选：D． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）某餐馆有M、N、P、Q、R等特色菜，因人手不足和食材调配原因，顾客需根据如下规则点菜： ①不能同时点M和N； ②如果点了P，就要点Q或R； ③在Q和S中必须点一个，且只能点一个． 则以下组合中，符合点菜规则的是（　　） A．Q、M、N B．S、N、P C．P、N、Q D．M、P、R 【答案】C 【分析】本题考查数学逻辑的知识，解题的关键是掌握数学逻辑推理．根据点菜规则，依次对各选项分析即可． 解：A、∵不能同时点M和N， ∴选项A不符合点菜规则； B、∵如果点了P，就要点Q或R，在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴还需要点R， ∴选项B不符合点菜规则； C、∵如果点了P，就要点Q或R，在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴选项C符合点菜规则； D、∵在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴还需点S． ∴选项D不符合点菜规则； 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，分别是的角平分线和高线，点F在延长线上，，交于点G，交于点H．给出下列结论：①；②；③；④． 其中结论正确的为 ．（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】对于①，根据直角三角形的性质及同角的余角相等，即可判断结果； 对于②，通过举反例“当，时，．”计算可得②的结论不成立； 对于③，根据三角形的外角性质，即可判断结果； 对于④，根据是的角平分线，，可得，再利用三角形的外角性质，可逐步推得结论成立． 解：对于①， 是的高线， ， ， ， ， ， ①正确； 对于②， 举反例，当，时，． 理由如下： 当，时， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 而， ， ②错误； 对于③， 是的外角， ， 是的外角， ， 而由①知， ， ， ③正确； 对于④， 设与交于点，与交于点， 是的角平分线， ， ， ， 又，， ， ④正确． 故答案为：①③④． 【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高，举反例的方法，熟练掌握相关知识及方法是解答本题的关键． 知识点（六）全等三角形性质与判定 三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”） 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”） 两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 【题型9】选择合适或添加条件证明三角形全等 【例题9】 （24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． （1）你选择添加的选项是______（填序号）； （2）添加条件后，请证明． 【答案】（1）①或②或③；（2）见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的性质， （1）添加①或②或③均可证明全等； （2）由平行线的性质可得，如果选择①利用边角边证明三角形全等，如果选择②用角边角证明三角形全等，如果选择③角角边证明三角形全等． 解：（1）解：选择①或②或③ （2）选择①，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择②，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 选择③，证明如下： ∵， ∴即， 在和中 ， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，垂足分别为，则在下列条件中选择一个就可以判定的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，解题的关键在于掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．根据相关判断判定方法逐项判断，即可解题． 解：∵于点于点， ， ， ， 故①可以判定 ； ∵， ∴， ∵， ； 故②可以判定 ； ， ， 故③可以判定； ， ，即， ， ， 故④可以判定； 综上所述，①②③④可以判定； 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·福建莆田·期末）按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②④ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理有以及直角三角形全等的判定定理还有． 根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 解：①根据、、，不能画出三角形，不符合题意； ②根据，，可得，符合能画出唯一三角形，符合题意； ③根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意； ④根据，，符合能画出唯一三角形，符合题意； ⑤根据，，符合不能画出唯一三角形，不符合题意． 故答案为：②④． 【题型10】三角形全等的性质与判定综合求值证明 【例题10】 （24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，，，． （1）求证：； （2）连接，与相交于点． 若，求的长； 若，的周长为，且，求的值． 【答案】（1）证明见分析；（2）， 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，完全平方公式计算，熟练掌握全等三角形的判定和性质，完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． （1）由已知得和都是直角三角形，再依据“”即可判定和全等； （2）①连接交于点，由（1）的结论得，进而可依据“”判定和全等得再根据即可得出的长； ②根据得，则，再根据的周长为得，则，再将代入即可得出的值． 解：（1）证明：， ， 和都是直角三角形， 在和中，， ； （2）解：连接交于点，如图所示： 由（1）可知：， ， 在和中， ， ， ， ， ； 解：由可知：， ， ， ， 的周长为， ， ， ， 即， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分，，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，证明，得，再证明得，进而得，由此即可得出的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图， ∵点为的中点，，， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，点E是的中点，连接与三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由． 【答案】，理由见分析． 【分析】本题考查了梯形，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，正确添加辅助线构造全等三角形解决问题是解题的关键． 延长交的延长线于点，利用全等三角形的性质证明，，进而即可得出结论． 解：，理由如下： 如图，延长交的延长线于点， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． 【题型11】三角形全等几何模型 【例题11】 （23-24八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； （2）如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【答案】（1），；（2）见分析 【分析】本题考查一线三直角全等问题， （1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则． 解：（1））解：于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由， 同理（1）得， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【变式1】（20-21八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长． 解：在线段AC上作AF=AB， ∵AE是的平分线， ∴∠CAE=∠BAE， 又∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEB（SAS）， ∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB， ∵AB∥CD， ∴∠D+∠B=180°， ∵∠AFE+∠CFE=180°， ∴∠D=∠CFE， ∵， ∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠CEF=∠CED， 在△CEF和△CED中 ∵, ∴△CEF≌△CED（AAS） ∴CD=CF， ∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=， 故选：B． 【点拨】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期末）在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 解：∵点是边的中点，， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点（七）线段的垂直平分线与角平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 角平分线上的点到角两边的距离相等 【题型12】利用线段垂直平分线的性质求值 【例题12】 （23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，当时，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定（）与性质以及垂直平分线的性质，熟练掌握这些知识（全等三角形的判定条件；垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等）是解题的关键． （1）要证明，根据，从而得到一组角相等，再结合是中点及对顶角相等，利用“”（角边角）判定全等． （2）先由（1）中的全等三角形得出相关线段相等，再根据垂直条件得出是的垂直平分线，进而得到，最后结合已知线段长度计算． 解：（1）证明：， （两直线平行，内错角相等）， 为的中点， ， 又（对顶角相等）， ； （2）解：由（1）知， ，， ， ， ， ， ，， 是的垂直平分线， ． 【变式1】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，连接交于点，若，则的长为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图．直接利用基本作图方法得出即可． 解：由基本作图方法可得：， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质. 通过延长构造全等三角形，利用平行线性质和中点条件证，转化线段为，结合及，得垂直平分，推出，最后计算CE． 解：连接，并延长 交 延长线于 ， 因为， 所以， 又是中点， 即， 且， ∴ 则 ， 点 在 垂直平分线上， 故 ， 由 ， 是 中点， 得 ， 所以 ． 故答案为：3． 【题型13】利用角平分线性质求值 【例题13】 （24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，在三角形中，，，于点G． （1）求证：； （2）若平分，平分交于点H，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了平行线判定与性质，角平分线性质，需熟练掌握平行线的判定定理与性质，根据角平分线的性质求解度数是解决本题的关键． （1）根据平行线的判定，由“同位角相等，两直线平行”可得，再由平行的性质可得再由等量代换即可证明； （2）根据平行可得，再由垂直可得直角，再由角平分线的性质可求解的度数，即可求解的度数． 解：（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 平分， ， ， 交于点F， ， ， 平分， ， ∴的度数是． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　） A．11 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查角平分线的性质，根据三角形的中线求面积，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答． 根据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可． 解：过点作，， 为的角平分线， ， ，， ， 为中点， ， 设，，则， ， ． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分平分，连接，作，则的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题考查角平分线的性质，作于点H，于点F，由角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，，进而可得，即可求出的面积． 解：如图，作于点H，于点F， 平分平分， ，， ， ， 故答案为：8． 【题型14】线段垂直平分线、角平分线性质综合 【例题14】 （24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： （1）等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； （2）在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 【答案】（1）作图见分析；（2） 【分析】（）作线段的垂直平分线，作的角平分线，直线与射线相交于点，由线段垂直平分线的性质可得，由角平分线的性质可得点到两边的距离相等，故点即为所求； （）由角平分线的定义得，进而由等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，角平分线的作法和性质，等腰三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 解：（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）在中，，，作图痕迹如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线，垂直平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角相等，根据三角形内角和定理求出，由作图痕迹可得垂直平分，平分，进而求出，，再利用三角形内角和定理求出，最后利用三角形外角的性质求出，利用对顶角相等即可得出结果． 解：如图， ∵在中，，， ∴， 由作图痕迹可得垂直平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径面弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的尺规作图和性质．过点作于点，根据题意得到，然后根据垂直平分线的性质得到，，然后利用的面积为求出，进而利用代数求解即可． 解：过点作于点， 由作图可知，射线为的平分线， ， 直线为线段的垂直平分线， ，， 的面积为， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【题型15】全等三角形与角平分线、线段垂直平分线综合 【例题15】 （23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在中，，点在上，且． （1）求的度数； （2）如图2，于点，于点，连接交于点． ①求证：垂直平分； ②若，，且．求的长（用含，的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①见分析；② 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，结合三角形内角和性质列式，得，即可求解； （2）①由角平分线的性质和线段垂直平分线的性质即可求解； ②在上截取，连接．证明，由全等三角形的性质得出，由等腰三角形的性质可解答． 解：（1）解： 设 则 在中 解得：， 的度数为； （2）①由（1）得：，， ， 即：平分， 于点，于点， ，， ， ，两点均在的垂直平分线上， 垂直平分； ②在上截取，连接． 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据等角的余角相等对①进行判断；先利用角平分线的定义和三角形内角和得到，再加上，，则可对②进行判断；根据线段垂直平分线的性质得，所以，然后证明，则可对③进行判断；利用三角形外角性质对④进行判断． 解：，， ，， ， ，所以①正确； 是的角平分线， ， ， 而， ，所以②正确； 垂直平分， ， ， ， ， ，所以③正确； ， ，所以④正确． 故选：D． 【点拨】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义和三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为 ． 【答案】 【分析】过点作于，于，于，在上截取，连接，根据角平分线的性质得到，证明得到，证明得到，证明，得到，再证明，得到．则可求出，设，根据，可得；根据，可得，据此可得答案． 解：如图，过点作于，于，于，在上截取，连接， 平分， ， 同理可得， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，（平行线间间距相等）， ， ， 在和中， ， ， ． 的周长 ， ∴， 设， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线是解题的关键． 二. 同步练习​ 【基础巩固（22题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东东莞·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据两边之和大于第三边判断即可． 本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 解：∵，与两边之和大于第三边一致， ∴A符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴B不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴C不符合题意； ∵，与两边之和大于第三边不一致，构不成三角形， ∴D不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形角度的计算，三角形内角和定理，解题的关键在于按比例算出各角度． 根据三角形内角和分别算出各角度即可判断． 解：， ， ∴的形状是锐角三角形，故A正确． 故选：A． 3．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）在下列各图形中，线段是的边上高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．根据三角形高的画法知，过点A作，垂足为D，其中线段是的高，再结合图形进行判断． 解：根据三角形高的画法知： A、线段是的边上高，故选项A不符合题意； B、线段是的边上高，故选项B符合题意； C、线段不是的边上高，故选项C不符合题意； D、线段是的边上高，故选项D不符合题意； 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，交的延长线于点，，则的长是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】本题考查三角形面积公式的应用及等量关系的建立．解题关键在于利用同一三角形面积的不同表达方式建立关于未知边长的等式，从而求解．具体地，根据面积公式：，再代入已知值，即可求解． 解：，，， ， ， ， ． 故选：A． 5．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 6．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角 ．作法如下：如图所示， 是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点 C的射线即是的平分线 ．这种作法的道理是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据作图，可知：，结合，利用证明，即可． 解：由题意，可知：， 又∵， ∴， ∴，即：射线即是的平分线； 故依据为； 故选B． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解答的关键．证明，利用全等三角形的对应边相等即可求解． 解：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 8．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 9．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质，由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，再结合三角形的外角性质可得，最后根据平角的定义即可求解． 解：由条件可知， 在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ， ， ，， ， ． 故选：C． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是内一点且到三边的距离相等，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 由题意可知平分，即，再运用三角形内角和定理求解即可． 解：∵是内一点且到三边的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 二、填空题 11．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”： ． 【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的叙述，“同角的余角相等”的条件是：两个角是同一个角的余角，结论是：这两个角相等，由此即可得出答案，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：由题意得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/63度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，由，，，得，然后代入即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）如图，已知，则 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质定理． 延长交于点，利用三角形外角的性质定理进行求解即可． 解：如图，延长交于点， ， , 故答案为：． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）长方形的面积为，点为的中点，点为上的一点，的面积为，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，连接，根据矩形的性质得长方形的面积，然后求出长方形的面积，进而可得阴影部分的面积，根据同高三角形的底之比等于面积之比计算出空白部分三角形面积是解题的关键． 解：连接，连接， ∵是的中点， ∴长方形的面积， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴长方形的面积， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，点D，E，F分别是上的点．若，则 °． 【答案】92 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，先通过已知条件证明，得到，再利用三角形内角和定理求出，最后求出． 解：在和中， ， ， ∴， ∵，且 ， ∴， 又， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：92． 16．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，设，则，，证明，得出，，再证明，得出，求出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：设，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，是它的角平分线，于点，若，，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图所示，过点D作于F，利用角平分线的性质得到，即可利用三角形面积公式求出答案． 解：如图所示，过点D作于F， ∵平分，，，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：6． 18．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质. 通过延长构造全等三角形，利用平行线性质和中点条件证，转化线段为，结合及，得垂直平分，推出，最后计算CE． 解：连接，并延长 交 延长线于 ， 因为， 所以， 又是中点， 即， 且， ∴ 则 ， 点 在 垂直平分线上， 故 ， 由 ， 是 中点， 得 ， 所以 ． 故答案为：3． 三、解答题 19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题． （1）写出所有的真命题：______；（命题写成“______”的形式，用序号表示） （2）请选择一个真命题加以证明． 【答案】（1），；（2）见分析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是选择合适的判定方法证明． （1）根据全等三角形的判定方法选择条件和结论即可； （2）根据选择的条件结合全等三角形的判定方法分别证明即可． 解：（1）解：，； （2）解：选择命题时，证明如下： 在和中，， ， ． 选择命题时，证明如下： 在和中，， ， ． 20．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题主要考查了平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质． （1）通过两角和等于，然后通过等量代换即可证明； （2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明． 解：（1）证明：在等腰直角三角形中，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：连接． 由平移的性质得． ∴， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴． 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 21．（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． （1）如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． （2）当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 【答案】（1）相等，理由见分析；（2）3或8 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，同角的余角相等．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． （1）证明，即得出； （2）分类讨论：当时和时，分别证明，即可求解． 解：（1）解：相等，理由如下： ∵，，， ∴， ∴； （2）解：分类讨论：当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 综上可知t的值为3或8． 22．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）（1）观察推理：如图①，中，，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，，垂足分别为D、E．求证：； （2）类比探究：如图②，中，，将斜边绕点A逆时针旋转至，连接，求的面积． （3）拓展提升：如图③，等边中，，点O在上，且，动点P从点E沿射线以速度运动，连结，将线段绕点O逆时针旋转得到线段．要使点F恰好落在射线上，求点P运动的时间t．    【答案】（1）见分析（2）8（3） 【分析】（1）由可证； （2）由可证，可得，由三角形的面积公式可求解； （3）利用旋转的性质得，再证明得到，则，然后计算点P运动的时间t． 解：（1）证明：如图1， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：如图2，作于D，    ，，， ∵斜边绕点A逆时针旋转至， ， 即， 而， ， 在和中， ， ， ， 的面积； （3）解：当点P在线段的延长线上时，点F恰好落在射线上，    ，， ， ∵线段绕点O逆时针旋转得到线段， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在和， ， ， ， ， ∴点P运动的时间． 【点拨】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 【能力提升（23题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·内蒙古乌海·阶段练习）已知是的三条边，化简的结果为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系，绝对值的化简，利用三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）判断绝对值内表达式的符号，进而化简绝对值即可． 解：a，b，c是的三边长， ，， 则，， ， ， 原式， 故选：B． 2．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）下列命题中，真命题是（    ） A．负数有平方根 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，如果，，那么 D．连接两点之间的线段叫两点间的距离 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据平方根，平行线的性质与判定、垂线段最短及两点间的距离判断即可． 解：A. 负数没有平方根，原命题是假命题，故该选项不符合题意； B. 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 在同一平面内，如果，，那么，原命题是真命题，故该选项符合题意；     D. 连接两点之间的线段的长度叫两点间的距离，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 利用全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 解：A.∵， ∴， ∴， 即，该选项正确，不符合题意； B. ∵， ∴， 由A.选项得， 又， ， ∴，该选项正确，不符合题意； C. ∵， ∴， 由B.选项得， ∴， 即， 又， , ∴，该选项正确，不符合题意； D.由以上条件，无法确定 ，该选项错误，符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，已知，点是边延长线上一点，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，先求三角形内角和定理求出的度数，再由平行线的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得，根据角平分线得，根据高得，可得，根据对顶角相等即可得． 解：， ， 为的角平分线， ， 为的高， ， ， ， 故选：B． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高和角平分线，对顶角相等，解题的关键是掌握这些知识并能灵活运用． 6．（24-25八年级上·天津和平·期末）在中，，中线将这个三角形的周长分为15和21两部分，则的长为（   ） A．16 B．11 C．16或8 D．11或1 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形三边关系，二元一次方程组的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键．设，，则，分两种情况列二元一次方程求解，再利用三角形的三边关系检验即可． 解：设，， 是中线， ， 中线将这个三角形的周长分为15和21两部分， 当，时， 则， 解得：； 即的三边长为、、，符合题意； 当，时， 则， 解得：； 即的三边长为、、，符合题意； 综上可知，的长为16或8， 故选：C． 7．（2025·河南郑州·三模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，，，，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等求出的度数，再根据三角形外角的性质求出的度数，最后根据平角的定义即可求出的度数，掌握相关知识是解题的关键． 解：如图，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识点，根据三角形的知识求出相应各个角的度数是解题的关键． 根据三角形的内角和求出，再求出，然后通过证明、并利用全等三角形的性质，再利用外角的性质求解即可． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴. 故选：B． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，是边的垂直平分线，，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线．熟练掌握线段垂直平分线性质，三角形周长定义，是解决问题的关键．根据线段垂直平分线性质得到，得到，即可得到的周长为13． 解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴, ∵， ∴的周长：． 故选D． 10．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，是的平分线，是中线，、相交于点，于，若，，若的面积是，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作于，由角平分线的性质推出，求出，由三角形的面积公式得到的面积的面积，得，即可求出． 解：如图，过作于， ∵是的平分线，， ∴， ∵是中线，，的面积是， ∴，的面积的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【点拨】本题考查角平分线的性质，三角形中线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键． 二、填空题 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，是的高，平分交于点E．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算. 由高的定义及直角三角形两锐角互余求出，再由角平分线定义，结合三角形内角和求解即可得到答案． 解：是的高， ， ， ， 平分， ， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 【答案】43 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，最后根据三角形内角和定理即可求出答案． 解：如图，连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又 ，， ， 即， 在中，， ∴， 故答案为：43． 13．（24-25八年级上·北京昌平·期中）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ． 【答案】 3 如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么 【分析】本题主要考查了判断命题真假，不等式的性质，写出命题的题设和结论当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件 为结论时，据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明． 解：当选取，作为条件，为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件，为结论时， ∵， ∴当时，则 ，即，符合题意； 当时，则 ，即，不符合题意； ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件 为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 综上所述，可以组成真命题的个数为3个，命题为：如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么． 故答案为：3；如果，，那．么或如果，，那么或如果，，那么． 14．（21-22八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查垂直平分线性质，三角形内角和定理，角度计算，正确记忆相关知识点是解题关键．根据题意利用垂直平分线性质可得，再利用三角形内角和定理可得，继而得到本题答案． 解：在中，，， ， 的垂直平分线分别交、于点、， ， ， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；与的平分线交于点，得；则 ． 【答案】/3度 【分析】利用角平分线的性质以及三角形外角与内角的关系，逐步推导得出与的数量关系，进而求出．本题主要考查三角形外角性质、角平分线定义，熟练掌握三角形外角与内角的关系，以及通过递推得出与的数量关系是解题关键． 解：平分，平分， ，． 又，， ， ∴． 同理可得． ∴． ∴． ∵，，则． 故答案为：． 16．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形面积分成相等的两部分． 连接，根据中线将三角形面积分成相等的两部分可知阴影部分的面积是的面积的，依此可求解． 解：连接， 点D、E、F分别是线段、、的中点， ，，， ， ∴， 的面积为10， ， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点D是边的中点，，的平分线交于内一点P，连接．若，则 °． 【答案】/32度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，可利用证明得到，再由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得，据此计算求解即可． 解：∵， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵的平分线交于内一点P， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算，过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小． 解：在中，于点，，如图，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小值为， 故答案为：． 三、解答题 19．（19-20七年级下·湖北武汉·期末）已知，如图，在中，平分交于点H，D、E分别在的延长线上，，． （1）求证：； （2）若比大．求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）由平行线的性质与角平分线的定义推出．再由，得到，则． （2）设，则，．由平行线的性质得到．由角平分线的定义得到，则．进而得到，解方程求得x值，再结合三角形内角和定理进行求解即可得． 解：（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：设，则， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ∵比大， ∴， 即， 解得． ∴， ∴． 20．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，有如下四个论断：①，②，③，④． （1）若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） （2）若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 【答案】（1）假；（2）添加，理由见分析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题关键． （1）利用平行线的判定方法进而判断即可； （2）利用平行线的判定方法添加，根据平行线的性质得出，利用角的和差关系即可求出，根据平行线的判定定理即可得结论． 解：（1）解：∵、不是、被第三条直线所截的角， ∴若，无法判定， ∴若，则是假命题， 故答案为：假 （2）解：添加条件， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 21．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点为延长线上的一点，连接． （1）求的度数． （2）若，求证：． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． （1）由三角形的外角性质可求得，再由角平分线的定义即可求的度数； （2）结合（1）可求得，利用同位角相等，两直线平行即可判定． 解：（1）解：∵，，是的外角， ∴， ∵平分， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）． 特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：； 归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：； 拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）5 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积计算，三角形的外角性质等知识点的综合应用，判断出两三角形全等是解本题的关键． （1）根据图②，求出，根据证两三角形全等即可； （2）根据图③，运用三角形外角性质求出，根据证两三角形全等即可； （3）根据图④，由的面积为15，可求出的面积为5 ，根据，得出与的面积之和等于的面积，据此即可得出答案． 解：（1）证明：如图②，∵， ， ， ， 在和中，， ． （2）证明：如图③， ， ， ， ，   在和中， ， ． （3）如图④，∵的面积为， ∴的面积， 由（2）可得， 即：， ， 即与的面积之和等于的面积5 ， 故答案为：5． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）在等腰直角中，，点P是边上垂直平分线上的一点，连结，交于点M，N是点M关于的对称点，连结并延长交于点D，连结交于点G． （1）如图①，点P在的下方时，①求证：； ②请猜想线段，，三者之间的数量关系，并加以证明； （2）如图②，若点P移动到的内部时，其他条件不变，线段，，三者有什么数量关系，请画出图形，直接写出结果，不必证明． 【答案】（1）①证明见分析②证明见分析；（2），画图见分析 【分析】本题考查了垂直平分线、角平分线、三角形全等等知识，解题的关键是对垂直平分线、三角形全等的运用． （1）①作的平分线交于点Q， 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点，易得，，结合对顶角的知识解答即可；通过证明、，进而解答即可；②由①可得，，运用等量代换，进而解答即可； （2）通过证明、，得到，，运用等量代换，进而解答即可． 解：（1）证明：①如图．作的平分线交于点Q， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，， ． ，， 在与中 ． 在与中 ． ． ， ． ． ． ②，， ，． ， ． （2）证明∶如图．作的平分线交于点K．， 于点H． ，， ． 点P是边上垂直平分线上的一点， N是点M关于的对称点， ，，． ． ，即． 在和中 ． ，． 在和中 ． ． ， ． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 3．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，尺柜作图，由平行线的性质可求，由角平分线的定义得，然后再根据平行线的性质可得的度数． 解：∵，， ∴， 由作图可知，平分， ∴． ∵， ∴． 故选C． 5．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识； 根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案. 解：A、∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形； B、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形； 故选：D. 6．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图作垂线，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，根据作图可知，证明，得到，，进而求出的长，得到垂直平分，得到，进而推出的周长等于的长即可． 解：由作图可知，，设交于点，则：， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴垂直平分，， ∴， ∴的周长为； 故选B 二、填空题 7．（2025·四川乐山·中考真题）如图，的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查的是三角形的外角的定义和性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和求解即可． 解： 故答案为： 8．（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ． 【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 解：当，时，，但是． 故答案为：，1（答案不唯一）． 三、解答题 9．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 解：证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2）11 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由“”直接证明即可； （2）由，，再由线段和差即可得到，最后由即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．（2025·广东广州·中考真题）如图，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明，进而根据即可证明． 解：证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴ 12．（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． （1）若，则； （2）对于任意实数，一定有； （3）两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【答案】（1）假命题，见分析；（2）假命题，见分析；（3）真命题，证明见分析；（4）假命题，见分析． 【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可 根据真命题和假命题的定义判断并说明即可． 解：（1）解：是假命题，反例： 当时， ，， ∴结论不成立； （2）解：是假命题，反例： 当时， ， ∴结论不成立； （3）解：是真命题，证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）解：是假命题，反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 1.8 三角形的初步知识 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 全章知识结构和学习流程： 1 知识点（一）三角形内角和定理 2 【题型1】利用三角形内角和求值 2 【题型2】利用三角形内角和证明 3 知识点（二）三角形外角性质 3 【题型3】利用三角形外角性质求值证明 4 【题型4】利用三角形内角和外角性质综合求值证明 4 知识点（三）三角形三条重要线段 5 【题型5】利用三角形三条重要线段求值 5 【题型6】利用三角形三条重要线段求值证明 6 知识点（四）三角形三边关系 7 【题型5】构造三角形的条件 7 【题型6】确定第三边取值范围 7 知识点（五）定义、命题与证明 8 【题型7】定义、命题的判断 8 【题型8】证明的基本过程 8 知识点（六）全等三角形性质与判定 9 【题型9】选择合适或添加条件证明三角形全等 9 【题型10】三角形全等的性质与判定综合求值证明 10 【题型11】三角形全等几何模型 11 知识点（七）线段的垂直平分线与角平分线的性质 12 【题型12】利用线段垂直平分线的性质求值 12 【题型13】利用角平分线性质求值 13 【题型14】线段垂直平分线、角平分线性质综合 13 【题型15】全等三角形与角平分线、线段垂直平分线综合 14 二. 同步练习 15 【基础巩固（22题）】 15 【能力提升（23题）】 20 【中考真题12题】 26 一.知识梳理与题型分类精析 全章知识结构和学习流程： 知识点（一）三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 【题型1】利用三角形内角和求值 【例题1】 （24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的度数． 【变式1】（24-25七年级下·四川绵阳·期末）一块木块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角大小是 ． 【变式2】（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）如图，将一角折叠，若，则 ． 【题型2】利用三角形内角和证明 【例题2】 （24-25七年级下·上海·阶段练习）在的的延长线上任取两点D，E，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，的平分线交于点，连接，平分，交于点，若的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，于点，于点，则下列各角中，与一定相等的是（   ）    A． B． C． D． 知识点（二）三角形外角性质 三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和。 【题型3】利用三角形外角性质求值证明 【例题3】 （25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在四边形中，，分别平分和，与相交于点M．探究与，之间的数量关系． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业），，， ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，的外角分别记为，，．若，则 ． 【题型4】利用三角形内角和外角性质综合求值证明 【例题4】 （24-25八年级下·四川达州·阶段练习）如图，中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，求与的度数． 【变式1】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，是的平分线，是的外角的平分线，，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，的外角分别记为，，．若，则 ． 知识点（三）三角形三条重要线段 在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线； 连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫作三角形的中线； 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线。 【题型5】利用三角形三条重要线段求值 【例题5】 （23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，、为的高，且，点F为的中点，连接． （1）求的面积；（2）求和的周长差． 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，的面积是12，点、、、分别是、、、的中点，则四边形的面积是（   ） A．6 B．5 C． D．4 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若三角形的底边长为，该底边上的高为，则此三角形的面积为 （　） A． B． C． D． 【题型6】利用三角形三条重要线段求值证明 【例题6】 （25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃临夏·阶段练习）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，给出以下结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点（四）三角形三边关系 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 【题型5】构造三角形的条件 【例题5】 （25-26八年级上·全国·课后作业）长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 【变式1】（24-25八年级上·吉林·阶段练习）以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）设是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是 ． 【题型6】确定第三边取值范围 【例题6】 （24-25七年级下·四川达州·阶段练习）已知，，是的三边． （1）若，．求第三边的取值范围； （2）若，，第三边为奇数，判断的形状； （3）化简． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）的两边分别为方程组的解，第三边能被3整除，这样的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，D是边的中点，过点C画直线，使，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求线段的取值范围． 知识点（五）定义、命题与证明 一般地，能明确说明某一名称或术语的意义的句子,叫作该名称或术语的定义； 一般地，判断某一件事情的句子叫作命题； 通过实验、观察、归纳得到的结论可能正确,也可能不正确。因此,要判断一个命题是真命题,往往需要从命题的条件出发,根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论）,一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫作证明。 【题型7】定义、命题的判断 【例题7】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，现有以下三个条件：①，②，③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题有真命题吗？若有真命题，请给予证明． 【变式1】（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）可以用一个数的值说明命题“如果能被整除，那么它也能被整除”是假命题，这个数可以是 ． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）“如果，那么与都不为零”这个命题的条件是 ，结论是 ，利用反证法证明该命题时，我们要假设 ． 【题型8】证明的基本过程 【例题8】 （24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）某餐馆有M、N、P、Q、R等特色菜，因人手不足和食材调配原因，顾客需根据如下规则点菜： ①不能同时点M和N； ②如果点了P，就要点Q或R； ③在Q和S中必须点一个，且只能点一个． 则以下组合中，符合点菜规则的是（　　） A．Q、M、N B．S、N、P C．P、N、Q D．M、P、R 【变式2】（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，在中，，分别是的角平分线和高线，点F在延长线上，，交于点G，交于点H．给出下列结论：①；②；③；④． 其中结论正确的为 ．（填序号）． 知识点（六）全等三角形性质与判定 三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”） 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”） 两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 【题型9】选择合适或添加条件证明三角形全等 【例题9】 （24-25九年级上·贵州遵义·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，请从以下三个选项中①，②，③，选择一个选项作为已知条件，使得． （1）你选择添加的选项是______（填序号）； （2）添加条件后，请证明． 【变式1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，垂足分别为，则在下列条件中选择一个就可以判定的是（   ） ①；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【变式2】（24-25八年级上·福建莆田·期末）按照下列条件，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，．能画出唯一确定的三角形的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【题型10】三角形全等的性质与判定综合求值证明 【例题10】 （24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，，，． （1）求证：； （2）连接，与相交于点． 若，求的长； 若，的周长为，且，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分，，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式2】（24-25八年级下·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，点E是的中点，连接与三条线段之间有什么样的数量关系？请说明理由． 【题型11】三角形全等几何模型 【例题11】 （23-24八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； （2）如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【变式1】（20-21八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期末）在中，，，，点是边的中点，的角平分线交于点．作直线，在直线上有一点F，连结、，则的最大值是 ． 知识点（七）线段的垂直平分线与角平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 角平分线上的点到角两边的距离相等 【题型12】利用线段垂直平分线的性质求值 【例题12】 （23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，当时，，，求的长． 【变式1】（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，连接交于点，若，则的长为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【变式2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则 ． 【题型13】利用角平分线性质求值 【例题13】 （24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，在三角形中，，，于点G． （1）求证：； （2）若平分，平分交于点H，求的度数． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，为中点，为的角平分线，的面积记为，的面积记为，则为（　　） A．11 B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分平分，连接，作，则的面积是 ． 【题型14】线段垂直平分线、角平分线性质综合 【例题14】 （24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，射线上一点．求作： （1）等腰，使得，点在内部，且点到两边的距离相等； （2）在（）的条件下，若，求等腰三角形顶角的度数． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）在中，，，作图痕迹如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，已知在中，边的垂直平分线交于点，再以点为圆心，任意长为半径画弧交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径面弧交于点，作射线恰好交于点；若，，的面积为，则的面积为 ． 【题型15】全等三角形与角平分线、线段垂直平分线综合 【例题15】 （23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图1，在中，，点在上，且． （1）求的度数； （2）如图2，于点，于点，连接交于点． ①求证：垂直平分； ②若，，且．求的长（用含，的式子表示）． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论： ①； ②； ③； ④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为 ． 二. 同步练习​ 【基础巩固（22题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东东莞·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）在中，，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 3．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）在下列各图形中，线段是的边上高的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，交的延长线于点，，则的长是（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 5．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，直线，若，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角 ．作法如下：如图所示， 是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点 C的射线即是的平分线 ．这种作法的道理是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，为内一点，过点的直线分别交于点，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，是内一点且到三边的距离相等，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）把“同角的余角相等”改成“如果…，那么…”： ． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 ． 13．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）如图，已知，则 ． 14．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）长方形的面积为，点为的中点，点为上的一点，的面积为，则阴影部分的面积为 ． 15．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，点D，E，F分别是上的点．若，则 °． 16．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点在上，满足，过点作，且，连接，，过点作交的延长线于点，与交于点，若，则 ． 17．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，是它的角平分线，于点，若，，则的面积为 ． 18．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则 ． 三、解答题 19．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③．请选择其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论构成一个命题． （1）写出所有的真命题：______；（命题写成“______”的形式，用序号表示） （2）请选择一个真命题加以证明． 20．（24-25八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图，在中，．线段是由线段平移得到的，点F在边上，是以为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在的延长线上． （1）求证：； （2）求证：． 21．（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． （1）如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． （2）当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 22．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）（1）观察推理：如图①，中，，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，，垂足分别为D、E．求证：； （2）类比探究：如图②，中，，将斜边绕点A逆时针旋转至，连接，求的面积． （3）拓展提升：如图③，等边中，，点O在上，且，动点P从点E沿射线以速度运动，连结，将线段绕点O逆时针旋转得到线段．要使点F恰好落在射线上，求点P运动的时间t．    【能力提升（23题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·内蒙古乌海·阶段练习）已知是的三条边，化简的结果为（   ） A． B． C． D．0 2．（24-25七年级下·广西南宁·阶段练习）下列命题中，真命题是（    ） A．负数有平方根 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．在同一平面内，如果，，那么 D．连接两点之间的线段叫两点间的距离 3．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，已知，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，已知，点是边延长线上一点，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如图，中，为的角平分线，为的高，，那么是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·天津和平·期末）在中，，中线将这个三角形的周长分为15和21两部分，则的长为（   ） A．16 B．11 C．16或8 D．11或1 7．（2025·河南郑州·三模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，，，，，则的度数是（） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，是边的垂直平分线，，则的周长是（   ） A．8 B．10 C．12 D．13 10．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，是的平分线，是中线，、相交于点，于，若，，若的面积是，则的长为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，是的高，平分交于点E．若，，则的度数为 ． 12．（24-25七年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 13．（24-25八年级上·北京昌平·期中）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ． 14．（21-22八年级上·山西临汾·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，则 ． 15．（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）如图，在中，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；与的平分线交于点，得；则 ． 16．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，点D、E、F分别是线段、、的中点．若的面积为10，则阴影部分图形的面积为 ． 17．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点D是边的中点，，的平分线交于内一点P，连接．若，则 °． 18．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在中，于点，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 三、解答题 19．（19-20七年级下·湖北武汉·期末）已知，如图，在中，平分交于点H，D、E分别在的延长线上，，． （1）求证：； （2）若比大．求的度数． 20．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，有如下四个论断：①，②，③，④． （1）若，则，试判断命题的真假__________（选“真”或“假”） （2）若（1）中命题为真命题，请说明理由，若上述命题为假命题，请你在原条件的四个论断中再选择一合适的条件_________，使该命题成为真命题，并说明理由． 21．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点为延长线上的一点，连接． （1）求的度数． （2）若，求证：． 22．（25-26七年级上·全国·课后作业）问题情境：如图①，在直角三角形中，于点D，可知：（不需要证明）． 特例探究：如图②，，射线在这个角的内部，点在的边上，且于点于点D．证明：； 归纳证明：如图③，点在的边上，点在内部的射线上，分别是的外角．已知．求证：； 拓展应用：如图④，在中，．点D在边上，，点在线段上，．若的面积为15，则与的面积之和为 ． 23．（25-26七年级上·全国·课后作业）在等腰直角中，，点P是边上垂直平分线上的一点，连结，交于点M，N是点M关于的对称点，连结并延长交于点D，连结交于点G． （1）如图①，点P在的下方时，①求证：； ②请猜想线段，，三者之间的数量关系，并加以证明； （2）如图②，若点P移动到的内部时，其他条件不变，线段，，三者有什么数量关系，请画出图形，直接写出结果，不必证明． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 2．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在射线上，分别截取，使；再分别以点M和点N为圆心、大于线段一半的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点D，作射线；过点D作交于点E．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 6．（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，，，的平分线与相交于点．在线段上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，与射线相交于点和点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，与相交于点，连接．则的周长为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 二、填空题 7．（2025·四川乐山·中考真题）如图，的度数为 ． 8．（2025·北京·中考真题）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ． 三、解答题 9．（2025·陕西·中考真题）如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 10．（2025·四川内江·中考真题）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，． （1）求证：； （2）若，求的长． 11．（2025·广东广州·中考真题）如图，，，．求证：． 12．（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． （1）若，则； （2）对于任意实数，一定有； （3）两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$