21.3《因式分解》完全平方式 课件 2025-2026学年人教版（五四制）数学八年级上册

21.3 因式分解 ——完全平方公式 复习回顾 (1)a2可以表示成什么？ a2=a·a (2)多项式与多项式相乘的法则是什么？ 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 符号语言表示为： (a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq. (3)乘法公式中的平方差公式是什么？ (a+b)(a−b)=a2−b2. 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：公式中的a，b可以表示数或式子. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2 = _____________； (2) (m+2)2 = ____________. (m+2)(m+2) m2+4m+4 =p2+p+p+1 p2+2p+1 =(p+1)(p+1) =p2+2p+1 p2+2·p·1+12 m2+2·m·2+22 两个数的和的平方等于这两个数的平方和加上这两个数乘积的2倍． 探究新知 对任意的a、b，上述发现的规律都成立吗？ ∵(a+b)2=(a+b)(a+b), =a2+ab+ab+b2, =a2+2ab+b2, ∴(a+b)2 = a2+2ab+b2． (a+b)2 = a2+2ab+b2． 两数和的完全平方公式： 文字语言： 两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍. 注意：公式中的a，b可以表示数或式子. 探究归纳 a2 ab b2 ab 几何意义： (a+b)2 a2+2ab+b2 ． = 符号语言： 你能否尝试将下列多项式因式分解? 思考1:多项式(1)拆解后,每一项分别有哪些因式? (1)m2+2mn+n2 解:原式=m·m+2·m·n+n·n m,m; 2,m,n; n,n a2+2ab+b2=(a+b)2 探究新知 =m·m+m·n+m·n+n·n =m(m+n)+n(m+n) =(m+n)(m+n) =(m+n)2 探究新知 你能否尝试将下列多项式因式分解? (2)x2-6x+9 解:原式=x·x-2·x·3+3·3 =x·x-x·3+3·3-x·3 =x(x-3)+3(3-x) =x(x-3)-3(x-3) =(x-3)2 思考2:多项式(2)拆解后,每一项分别有哪些因式? x,x; 2,x,3; 3,3 a2-2ab+b2=(a-b)2 (2)公式: (1)概念: 1.两数的平方之和加上二倍两数之积,等于两数之和的平方; 2.两数的平方之和减去二倍两数之积,等于两数之差的平方. 这样的因式分解方法,称为完全平方公式. a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 公式学习 完 全 平 方 公 式 : 运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解,统称为运用公式法. 1.平方差公式: 2.完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 a2-b2=(a+b)(a-b) 概念学习 完全平方公式的特点: 1.通常为三项式; 2.有两项可以写成平方且同号; 3.剩余项为两项之积的2倍或-2倍. 能用完全平方公式分解的多项式,有什么特点? 要点归纳 a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 总结:带平方的三项式,提公因式后优先考虑完全平方公式. 1.下列多项式,能否用完全平方公式来分解因式?若能,请将其转化成(a+b)2或(a-b)2的形式;若不能,请说明理由. (3)-2xy+x2+y2 (1)x2+4xy+4y2 (2)a2-6ab+b2 (4)x2+4ab-4b2 能 否 能 否 平方项为x2,y2;剩余项为-2xy (x-y)2 剩余项不满足2ab或-2ab. 平方项为x2,(2y)2;剩余项为2·x·2y (x+2y)2 但平方项异号. 平方项为a2,b2; 平方项为a2,(2b)2; 小试牛刀 (1)4x2+12xy+9y2 原式是完全平方式,因此原式可变形为: 2ab (2x)2+2·(2x)·(3y)+(3y)2 =(2x+3y)2 找到"a"和"b"之后,验证中间项,最后套公式. 典例解析 例:利用完全平方公式,进行因式分解: a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2. 要点归纳 运用完全平方公式分解因式的步骤: 1.造平方:找出a和b,将两项写成平方的形式; 2.作比较:将剩余项与2ab,-2ab比较,看是否符合; 3.套公式:将a,b代入公式: ( )2 + + ( )2 完全平方公式分解因式： 4x2 + 12x y + 9y2 x2 - 12 y + 36y2 =( 2x+3y )2 2x 3y 2 × 2x · 3y ( )2 - + ( )2 x 6y 2 x · 6y =( 2x-3y )2 x 3.a²+4ab+4b² =( )²+2· ( ) ·( )+( )² =( )² 2.m²-6m+9=( )² - 2· ( )·( )+( )² =( )² 1. x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )² x 2 x + 2 a a a + 2b 2b 巩固练习： m m - 3 3 x 2 m 3 2b 例:把 分解因式; 解题思路：1.确定两数；2.写成完全平方 解题思路：1.确定两数；2.写成完全平方 (a-3)2 =(x-4)2 (2x-1)2 巩固练习，用完全平方公式分解因式; 9 8x 4x2 解题思路：1.确定两数；2.写成完全平方 利用完全平方公式因式分解的一般步骤： 一、提（提公因式） 二、套（套完全平方公式） 三、验（检验因式分解是否彻底） 小结 运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫做公式法. 添括号法则 a+(b+c) = a+b+c; a- (b+c) = a - b – c. a + b + c = a + ( b + c) ; a – b – c = a – ( b + c ) . 去括号 把上面两个等式的左右两边反过来，也就是添括号： 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号（简记为“负变正不变”. 知识要点 添括号法则 例 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2 原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)] = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. 解: (1) 典例精析 原式 = [(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac. 解题小结：第1小题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算. 当堂练习 1．在等号右边的括号内填上适当的项： （1）a+b-c=a+（ ） （2）a-b+c=a-（ ） （3）a-b-c=a-（ ） （4）a+b+c=a-（ ） b-c b-c b+c -b-c 2．判断下列运算是否正确． （1）2a-b-c=2a-（b-c） （2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b） （3）2x-3y+2=-（2x+3y-2） （4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c-5） × × × √ 能否用去括号法则检查添括号是否正确? (1) (6a+5b)2； =36a2+60ab+25b2； (2) (4x-3y)2 ； =16x2-24xy+9y2； (3) (2m-1)2 ； =4m2-4m+1； (4)(-2m-1)2 . =4m2+4m+1. 3.运用完全平方公式计算: 4.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 5.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①; ∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得 4xy=48 ∴xy=12. 解题时常用结论： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2. .请运用完全平方公式,将下列各式分解因式: (1)原式=a2-2·a·3+32 =(a-3)2 (2)原式=(2a)2+2·2a·1+12 =(2a+1)2 小试牛刀 (5)原式=x2+2·x· +( )2 =(x+ )2 (1)a2-6a+9; (2)4a2+4a+1; (3)x2+ +x. a: a b: 3 a: 2a b: 1 a: x b: 首项为负时,要先把负号提出来,再进一步分解. (1)3ax2+6axy+3ay2 (2)-x2-4y2+4xy 解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2) (2)原式=-(x2+4y2-4xy) =3a(x+y)2 =-[x2-2·x·2y+(2y)2] =-(x-2y)2 先提取公因式, 再考虑完全平方. 例提公因式法+完全平方公式 典例解析 (1)(a+b)2-4ab (2)(x2+y2)2-4x2y2 (1)原式=a2+2ab+b2-4ab (2)原式=(x2+y2)2-(2xy)2 =a2-2ab+b2 =(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy) 多项式无法直接分解时, 应先进行化简和整理. 解: =(a-b)2 =(x+y)2(x-y)2 例:化简+公式法;平方差+完全平方. 典例解析 1.若多项式中有公因式,应先提取公因式,再考虑能否用公式法. 2.平方异号的二项式,优先考虑平方差公式;平方同号的三项式,优先考虑完全平方公式; 3.若多项式无法直接分解,应先进行化简和整理,再进行因式分解. 小结归纳 运用各种方法进行因式分解的总体思路: 随堂练习 1.判断下列多项式是否为完全平方式,找出a,b: (1)x2-x+ ; (2)9a2b2-3ab+1; (3) m2+3mn+9n2; (4)x6-10x3-25. a: x b: 剩余项需要=-6ab a: b: 3n 平方项异号 随堂练习 2.把下列各因式分解: (1)x2-12xy+36y2; (2)16a4+24a2b2+9b4; (1)解:原式=x2-2·x·6y+(6y)2 =(x-6y)2 (2)解:原式=(4a2)2+2·4a2·3b2+(3b2)2 =(4a2+3b2)2 随堂练习 3.把下列各因式分解: (3)-2xy-x2-y2; (4)4-12(x-y)+9(x-y)2. (3)解:原式=-(2xy+x2+y2) =-(x+y)2 (4)解:原式=22-2·2·3(x-y)+[3(x-y)]2 =[2-3(x-y)]2 =(2-3x+3y)2 1.到目前为止,你一共学习了哪些分解因式的方法? 2.完全平方式的表达式怎么写? 3.在运用公式法分解因式时你学会了那些思路? (1)提公因式法 若多项式中有公因式,应先提取公因式,再考虑能否用公式法分解.注意:一提二套三检查. (2)平方差公式 (3)完全平方公式 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 课堂总结 $$