21.3.1 提公因式法(练习)数学人教版五四制八年级上册

21.3.1提公因式法 一、单选题 1．用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如果多项式mx+A可分解为m（x﹣y），则A为（　　） A．m B．﹣my C．﹣y D．my 3．把进行因式分解，提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 4．下列因式分解：①；②；③．其中结果正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．把多项式分解因式，结果为（  ） A． B． C． D． 6．多项式提取公因式后，剩下的因式应是（    ）. A． B． C． D． 7．因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2时应提取的公因式是(　　)． A．abc B．2a C．2c D．2ac 8．(－8)2020＋(－8)2019能被下列哪个数整除(　　) A．3 B．5 C．7 D．9 9．若，，则之值为何？（    ）. A．101 B．－101 C．808 D．－808 10．与相同的式子是（    ）. A． B． C． D． 二、填空题 11．把一个多项式化为________________的形式，叫做把这个多项式因式分解． 12．分解因式： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________； （5）________； （6）________． 13．多项式各项的公因式是________． 14．已知多项式有一个因式是，则k的值为____． 15．分解因式： ＝______ 16．若x＋y＝6，xy＝4，则x2y＋xy2＝________． 17．已知2x+4﹣2•2x＝112，则x的值为__． 18．若a, b, c 满足，则________ 三、解答题 19．分解因式： （1）；                  （2）（其中）； （3）；                      （4）． 20．运用提公因式法分解因式： （1）； （2）． 21．把下列各式分解因式： (1)4x3-6x2； (2)2a2b+5ab+b； (3)6p(p+q)-4q(p+q)； (4)(x-1)2-x+1； (5)－3a2b＋6ab2－3ab. 22．辨别下面因式分解的正误并指明错误的原因. （1）； （2）； （3） 23．因式分解：． 24．如图，操场的两端为半圆形，中间是一个长方形． 已知半圆的半径为r，直跑道的长为l，请用关于r，l的多项式表示这个操场的面积． 这个多项式能分解因式吗？若能，请把它分解因式，并计算当r＝40m，l＝30πm时操场的面积(结果保留π)；若不能，请说明理由． 25．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 =（1+x）[1+x+x（x+1）] =（1+x）2（1+x） =（1+x）3 （1）上述分解因式的方法是______，共应用了_____次． （2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2019，则需应用上述方法______次，结果是______． （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是_______． 26．仔细阅读下面的例题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，， 解得，， ∴另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题： （1）若二次三项式可分解为，则________； （2）若二次三项式可分解为，则________； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.3.1提公因式法 一、单选题 1．用提公因式法分解因式，下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定公因式，再用原多项式除以公因式，可得另外一个因式，进而即可分解因式． 【解析】解：A. ，故该选项错误； B. ，故该选项错误； C. ，故该选项错误；     D. ，故该选项正确， 故选D． 【点睛】本题主要考查分解因式，掌握提取公因式法分解因式，是解题的关键． 2．如果多项式mx+A可分解为m（x﹣y），则A为（　　） A．m B．﹣my C．﹣y D．my 【答案】B 【分析】直接去括号，进而得出A代表的式子即可． 【解析】解：多项式mx+A可分解为m（x﹣y）， mx+A＝m（x﹣y）＝mx﹣my． A＝﹣my． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以多项式，提公因式法因式分解．正确去括号是解题关键． 3．把进行因式分解，提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，公因式为：． 4．下列因式分解：①；②；③．其中结果正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据因式分解的方法，提取公因式法进行因式分解，对照选项逐一验证即可． 【解析】根据题意知，①，因式分解错误； ②，因式分解正确； ③，因式分解错误， 正确的结果有②， 故选：B． 【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 5．把多项式分解因式，结果为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据提公因式法：提取﹣3xn，可得答案． 【解析】原式=﹣3xn（xn+2），故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了提公因式法分解因式．掌握提公因式法分解因式是解答本题的关键． 6．多项式提取公因式后，剩下的因式应是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过观察知公因式为，提取后得即可判断. 【解析】解： = = ∴此多项式的公因式为，提取公因式后，剩下的因式是. 故选B 【点睛】本题考查公因式的定义，掌握找公因式的要点是解答此题的关键，即公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的.另外题中第二项为公因式，故提取后不可漏掉1也是解答此题的关键之处. 7．因式分解6abc－4a2b2c2＋2ac2时应提取的公因式是(　　)． A．abc B．2a C．2c D．2ac 【答案】D 【分析】数字因式的公因式为2，字母因式的公因式取各项均有的字母，且该字母的指数要取各项最低. 【解析】解：该多项式中，三个单项式的数字公因式为2，字母公因式为ac，则应提取的公因式是2ac， 故选择D. 【点睛】本题考查了提公因式时公因式的确定. 8．(－8)2020＋(－8)2019能被下列哪个数整除(　　) A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据乘方的性质，提取公因式（-8）2019，整理即可得到是7的倍数，所以能被7整除． 【解析】解：(−8)2020+(−8)2019 =(−8)(−8)2019+(−8)2019 =(−8+1)(−8)2019 =−7×(−8)2019 =7×82019 所以能被7整除． 故答案选：C． 【点睛】本题考查的知识点是因式分解的应用，解题的关键是熟练的掌握因式分解的应用． 9．若，，则之值为何？（    ）. A．101 B．－101 C．808 D．－808 【答案】D 【分析】先提取公因式101，然后利用数的拆分进行简便计算，从而求解. 【解析】= = = = = = 【点睛】本题考查提取公因式进行简便计算，准确进行数的拆分使计算简便是解题关键. 10．与相同的式子是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】试题分析：首先对题目中的式子利用提取公因式法进行因式分解，然后再判断． 原式=（3x+2）（－3+4）+（x＋1）（3﹣4）=－（3－4）（2x+1） 考点：因式分解 二、填空题 11．把一个多项式化为________________的形式，叫做把这个多项式因式分解． 【答案】几个整式的积的形式 【分析】根据因式分解的定义直接填空即可． 【解析】解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式． 故答案为：几个整式的积的形式． 【点睛】本题主要考查了因式分解定义，注意因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式． 12．分解因式： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________； （5）________； （6）________． 【答案】                              【分析】（1）提取公因式即可得到答案； （2）提取公因式即可得到答案； （3）提取公因式即可得到答案； （4）提取公因式即可得到答案； （5）提取公因式即可得到答案； （6）提取公因式即可得到答案． 【解析】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 故答案为：；；；；；． 【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握分解因式的方法． 13．多项式各项的公因式是________． 【答案】 【分析】根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式2y，即可求解． 【解析】解：∵多项式系数的最大公约数是2，相同字母的最低指数次幂y， ∴该多项式的公因式为2y， 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式的公因式，掌握多项式每项公因式的求法是解题的关键． 14．已知多项式有一个因式是，则k的值为____． 【答案】-9 【分析】令=（x+3）A的形式，当x=-3时，可以转化为关于k的一元一次方程，解方程即可求出k的值． 【解析】令=（x+3）A， 当x=-3时，-27+27+9+k=0， 解得k=-9， 故答案为：-9． 【点睛】本题考查了因式分解—提公因式法，令x+3=0，则x=-3，代入因式分解的式子转化为关于k的一元一次方程是解题的关键． 15．分解因式： ＝______ 【答案】 【分析】直接运用提公因式法分解即可． 【解析】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的基本方法是解题的关键． 16．若x＋y＝6，xy＝4，则x2y＋xy2＝________． 【答案】24 【分析】先对后面的式子进行因式分解，然后根据已知条件代值即可． 【解析】 x＋y＝6，xy＝4， x2y＋xy2 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查提取公因式进行因式分解，属于基础题，比较容易，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 17．已知2x+4﹣2•2x＝112，则x的值为__． 【答案】3 【分析】根据题意直接利用同底数幂的乘法运算法则以及提取公因式法分解因式，进而得出答案． 【解析】解：∵2x+4﹣2•2x＝112， ∴2x+1×（23﹣1）＝112， 故2x+1＝16＝24， 解得：x＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法运算以及提取公因式法分解因式，熟练并正确掌握相关运算法则是解题的关键． 18．若a, b, c 满足，则________ 【答案】 【分析】关键整式的乘法法则运算，并整体代入变形即可. 【解析】因为 所以 ，即 因为 所以 因为 所以 因为 所以 即 因为 即 故答案为： 【点睛】本题考查的是整式的乘法，熟练掌握乘法法则并会对算式进行变形是关键. 三、解答题 19．分解因式： （1）；                  （2）（其中）； （3）；                      （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）提取公因式即可求解； （2）提取公因式即可求解； （3）提取公因式即可求解； （4）提取公因式即可求解． 【解析】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键在于能够熟练掌握分解因式的方法． 20．运用提公因式法分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）利用提公因式法分解即可； （2）把看作一个整体利用提公因式法分解． 【解析】解：（1）． （2）． 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，正确提取公因式是解题的关键． 21．把下列各式分解因式： (1)4x3-6x2； (2)2a2b+5ab+b； (3)6p(p+q)-4q(p+q)； (4)(x-1)2-x+1； (5)－3a2b＋6ab2－3ab. 【答案】(1)2x2(2x-3)；(2)b(2a2+5a+1)；(3)2(p+q)(3p-2q)；(4)(x-1)(x-2)；(5)－3ab(a－2b＋1). 【分析】（1）直接利用提取公因式法，提取公因式2x2，进而分解因式得出答案； （2）直接利用提取公因式法，提取公因式b，进而分解因式得出答案； （3）直接利用提取公因式法，提取公因式2（p+q），进而分解因式得出答案； （4）直接利用提取公因式法，提取公因式（x﹣1），进而分解因式得出答案． （5）直接利用提取公因式法，提取公因式﹣3ab，进而分解因式得出答案． 【解析】（1）原式==； （2）原式= b•2a2+ b•5a+ b•1=b(2a2+5a+1)； （3）原式=2(p+q)•3p-2(p+q)•2q=2(p+q)(3p-2q)； （4）原式=(x-1)2-（x-1）=(x-1)(x-1-1)= (x-1)(x-2)； （5）原式=-3ab•a+（-3ab）•（-2b）+（-3ab）•1=－3ab(a－2b＋1)． 【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键． 22．辨别下面因式分解的正误并指明错误的原因. （1）； （2）； （3） 【答案】(1)错误，原因是另一个因式漏项了；(2)错误，原因是公因式没有提完；(3)错误，原因是与整式乘法相混淆 【分析】（1）根据提取公因式的方法，第三项提取公因式的结果为1即可判断； （2）根据公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；字母取各项都含有的相同字母，相同字母的指数取次数最低的确定公因式为2x3，即可判断； （3）根据因式分解的定义确定原式的变形是整式乘法运算，不是因式分解. 【解析】（1）∵ ∴原式错误，原因是另一个因式漏项了； （2）∵ ∴原式错误，原因是公因式没有提完； （3）∵因式分解是把一个多项式分解为几个因式乘积的形式 ∴是整式乘法运算，不是因式， ∴原式错误，原因是与整式乘法相混淆 【点睛】本题考查因式分解的定义及因式分解的方法，不要把整式乘法和因式分解两种运算相混淆和正确用提取公因式法因式分解是解答此题的关键. 23．因式分解：． 【答案】 【分析】先根据整式的混合运算法则进行化简，然后利用提公因式法即可求解． 【解析】解：原式 【点睛】此题主要考查提公因式法分解因式，解题的关键是先进行化简． 24．如图，操场的两端为半圆形，中间是一个长方形． 已知半圆的半径为r，直跑道的长为l，请用关于r，l的多项式表示这个操场的面积． 这个多项式能分解因式吗？若能，请把它分解因式，并计算当r＝40m，l＝30πm时操场的面积(结果保留π)；若不能，请说明理由． 【答案】πr2＋2rl；能分解因式；πr2＋2rl＝r(πr＋2l)；当r＝40m，l＝30πm时，操场的面积＝4000π(m2)． 【分析】根据操场面积=圆的面积+长方形面积列式即可，然后提公因式分解，最后代入求值． 【解析】操场面积=圆的面积+长方形面积=πr2＋2rl= r(πr＋2l)． 当r=40m，l=30πm时，操场的面积=40×（40π+2×30π）=4000π(m2)． 【点睛】本题考查了因式分解的应用．正确列代数式是解题的关键． 25．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）2 =（1+x）[1+x+x（x+1）] =（1+x）2（1+x） =（1+x）3 （1）上述分解因式的方法是______，共应用了_____次． （2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）2019，则需应用上述方法______次，结果是______． （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）结果是_______． 【答案】（1）提公因式法；2；（2）2019；（x+1）2020；（3）（x+1）n+1. 【分析】（1）根据已知计算过程直接得出因式分解的方法即可； （2）根据已知分解因式的方法可以得出答案； （3）由（1）中计算发现规律进而得出答案． 【解析】（1）因式分解的方法是提公因式法，共应用了2次； 故答案为：提公因式法，2； （2）1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2019 =(1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(x+1)2018] =(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x) +…+x(x+1)2017] …. =(1+x)2020 则需应用上述方法2019次，结果是(1+x)2020； 故答案为2019，(1+x)2020； (3)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n =(1+x)[1+x+x(1+x)+…+x(x+1)n-1] =(1+x)(1+x)[1+x+x(1+x) +…+x(x+1)n-2] …. =(1+x)n+1. 故答案为：(1+x)n+1. 【点睛】本题考查因式分解——提公因式法，解题的关键是正确找出公因式. 26．仔细阅读下面的例题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式及m的值． 解：设另一个因式为，得， 则， ，， 解得，， ∴另一个因式为，m的值为6． 依照以上方法解答下列问题： （1）若二次三项式可分解为，则________； （2）若二次三项式可分解为，则________； （3）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，k的值为5． 【分析】（1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）（2x+3）（x﹣2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），可知2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，继而求出n和k的值及另一个因式． 【解析】解：（1）∵＝x2+（a﹣1）x﹣a＝， ∴a﹣1＝﹣5， 解得：a＝﹣4； 故答案是：﹣4 （2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6＝2x2+bx﹣6， ∴b＝﹣1． 故答案是：﹣1． （3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n）， 则2x2+9x﹣k＝2x2+（2n﹣1）x﹣n， ∴2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n， 解得n＝5，k＝5， ∴另一个因式为x+5，k的值为5． 【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$