第二十三章 专题三 模型拓展——旋转模型-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级全一册数学同步课件（人教版）

数学 九年级 全一册 配人教版 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 第二十三章　 旋 转 专题三　模型拓展——旋转模型 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型一：等边三角形手拉手模型 已知：△AOB与△COD都是等边三角形. 结论： ①△OAC≌△OBD； ②∠AEB＝∠AOB； ③OE平分∠AED. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 1. 如图Z23－3－1，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线， △ABC是等边三角形.线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE， 连接AE. （1）求证：AE＝BD； （1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°. ∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE， ∴CE＝CD，∠ECD＝60°. ∴∠ECD＋∠ACD＝∠BCA＋∠ACD，即∠ACE＝∠BCD. 在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD（SAS）.∴AE＝BD. 图Z23－3－1 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）若∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝4，求BD的长. （2）解：如答图Z23－3－1，连接DE. ∵CE＝CD，∠ECD＝60°， ∴△CDE是等边三角形. ∴∠CDE＝60°，ED＝CD＝4. ∵∠ADC＝30°， ∴∠ADE＝∠ADC＋∠CDE＝30°＋60°＝90°. 在Rt△ADE中，AD＝3，由勾股定理，得AE＝＝ ＝5. ∴BD＝AE＝5. 答图Z23－3－1 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 类型二：等腰直角三角形手拉手模型 已知：△AOB与△COD都是等腰直角三角形. 结论： ①△OAC≌△OBD； ②∠AEB＝90°； ③OE平分∠AED. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 2. 如图Z23－3－2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝10 cm，D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝6 cm，连接BD，将 △ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点 为点E，连接DE，DE交AC于点F，则AF的长为 cm. 2 图Z23－3－2 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 类型三：正方形手拉手模型 已知：四边形AEFG与四边形ABCD都是正方形. 结论： ①△ABE≌△ADG； ②BE⊥DG. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 3. 如图Z23－3－3，在△ABC中，以AB，AC为边分别作正方形 AFEB和正方形ACGH，连接FC，BH. （1）利用旋转的观点，在此题中△AFC绕着点 ⁠逆时针旋 转 °可得到△ ⁠； （2）CF与BH相等吗？请说明理由； 解：（2）CF＝BH. 理由如下： ∵四边形ABEF，ACGH是正方形， ∴AF＝AB，AC＝AH，∠FAB＝∠HAC＝90°. ∴∠FAB＋∠BAC＝∠HAC＋∠BAC，即∠FAC＝∠HAB. ∴△FAC≌△BAH（SAS）.∴FC＝HB. A 90 ABH 图Z23－3－3 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）CF 与BH垂直吗？请说明理由. 解：（3）CF⊥BH. 理由如下： 如答图Z23－3－2，设AB，CF交于点M，CF与BH交于点N. 由（2）知△FAC≌△BAH， ∴∠CFA＝∠HBA. ∵∠AMF＝∠BMN， ∴∠BNM＝∠FAM＝90°. ∴CF⊥BH. 答图Z23－3－2 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 已知：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°， 将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACF，使AB和AC重合. 结论： 类型四：等腰直角三角形半角模型 ①△AEF≌△AED； ②EF＝DE，CF＝BD. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 4. 如图Z23－3－4，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°. （1）若BD＝2，CE＝4，求DE的长； 图Z23－3－4 解：（1）如答图Z23－3－3，将△ABD绕 点A逆时针旋转90°至 △ACD'，则AB与AC重合，连接ED'. 由旋转，可得CD'＝BD＝2， ∠CAD'＝∠BAD，AD'＝AD， ∠DAD'＝90°，∠ACD'＝∠ABD. ∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°， ∴∠D'AE＝90°－45°＝45°. ∴∠D'AE＝∠DAE. 答图Z23－3－3 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 在△AD'E和△ADE中，​ ∴△AD'E≌△ADE（SAS）. ∴D'E＝DE. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°. ∴∠D'CE＝45°＋45°＝90°. 在Rt△CD'E中，CE＝4，CD'＝2，由勾股定理，得D'E＝ ＝＝2. ∴DE＝2. 答图Z23－3－3 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）若∠AEB＝75°，求线段BD与CE的数量关系. 解：（2）由（1）得∠D'CE＝90°，△AD'E≌△ADE， ∴D'E＝DE，∠AED'＝∠AEB＝75°. ∴∠CED'＝180°－75°－75°＝30°. ∴CE＝CD'. ∴CE＝BD. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 类型五：正方形半角模型 已知：在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，将△ABF绕点A顺时针 旋转得到△ADG，使AB和AD重合. 结论： ①△AEF≌△AEG； ②EF＝EG＝BF＋DE. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 5. 如图Z23－3－5，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD 上，且∠EAF＝45°，分别连接EF，BD，BD与AF，AE分别相交 于点M，N. （1）为了证明“EF＝BE＋DF”，小明延长CB至点G，使BG＝ DF，连接AG，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程； 图Z23－3－5 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （1）证明：如答图Z23－3－4.∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADF＝∠ABE＝∠ABG＝90°. ∵BG＝DF，∴△ABG≌△ADF（SAS）. ∴∠DAF＝∠BAG，AF＝AG. ∵∠EAF＝45°， ∴∠GAE＝∠BAG＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝ 90°－45°＝45°.∴∠EAF＝∠GAE. ∵AE＝AE， ∴△AEF≌△AEG（SAS）. ∴EF＝EG. ∵EG＝BE＋BG， ∴EF＝BE＋DF. 答图Z23－3－4 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）若正方形ABCD的边长为6，BE＝2，求DF的长； （2）解：∵BC＝6，BE＝2， ∴EC＝4. 由（1）得EF＝BE＋DF＝2＋DF， ∴在Rt△CEF中，EF2＝CE2＋CF2，即（2＋DF）2＝42 ＋（6－DF）2， 解得DF＝3. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）请直接写出线段BN，MN，DM三者之间的数量关系. （3）解：BN2＋DM2＝MN2. 【提示】如答图Z23－3－5，在AG上截取AH＝AM，连 接HN，BH. 在△AHB和△AMD中，​ ∴△AHB≌△AMD（SAS）. ∴BH＝DM，∠ABH＝∠ADB＝45°. 又∵∠ABD＝45°，∴∠HBN＝90°. 在Rt△HBN中，BN2＋BH2＝HN2. 答图Z23－3－5 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 在△AHN和△AMN中， ∴△AHN≌△AMN（SAS）. ∴MN＝HN. ∴BN2＋DM2＝MN2. 答图Z23－3－5 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 $$