第二十二章 第23课时 实际问题与二次函数（二）-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级全一册数学同步课件（人教版）

该初中数学课件聚焦九年级二次函数实际应用，核心内容包括利润问题（常规型、图表型）和拱桥问题，通过“温故知新”复习二次函数最值及利润公式，以知识重点分层次搭建学习支架，衔接旧知与实际应用的逻辑脉络。 其亮点在于结合生活实例，如服装销售、玩具盈利等利润问题及抛物线型拱桥，通过表格数据抽象函数关系培养数学眼光，列方程与求最值训练数学思维，坐标系建模体现数学语言表达。典例精析步骤清晰，举一反三强化应用，助力学生提升建模能力与解题技巧，为教师提供结构化教学资源，提高课堂效率。

数学 九年级 全一册 配人教版 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 第二十二章　二次函数 第23课时　实际问题与二次函数（二） 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 典例精析 05 举一反三 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 1. 二次函数y＝－（x－h）2－3的最大值是 ⁠. －3 温故知新 2. 一件衣服的进价是48元，售价为65元，则该件衣服的利润 是 元. 17 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一：利润问题——常规型 审清题意，记住公式： 利润＝售价－ ⁠ 利润率＝ ×100％ 总利润＝单个商品的利润× ⁠ 通过公式建立函数模型，把利润问题转化为函数的最值问题. 进价 ​ 销售量 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 3. 某件商品的销售利润y（元）与商品单价x（元）之间满足y＝ －x2＋6x－7，不考虑其他因素，该商品的单价定为 元时， 销售一件该商品获得的利润最大，最大利润为 元. 3 2 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 知识点二：利润问题——借助图象或表格 先根据图象或表格列出利润与自变量之间的函数关系式，再结 合 的取值范围，利用二次函数的性质求解. 自变量 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 4. 某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第x天的售 价与日销售量的相关信息如下表所示.已知商品的进价为20元/ 件，设该商品的日销售利润为y元. 第x天 售价/（元·件－1） 日销售量/件 1≤x≤30 x＋40 100－2x 则y与x的函数解析式为 ⁠. y＝－2x2＋60x＋2 000（1≤x≤30） 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）求出函数 和自变量的取值范围； （4）由二次函数的性质去分析解决问题. 解析式 知识点三：拱桥问题 方法步骤： （1）建立 ，构建函数模型； （2）把已知条件转化为点的 ⁠； 平面直角坐标系 坐标 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 5. 某涵洞是抛物线形，截面如图22－23－1所示，现测得水面宽 AB＝1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m，在图中直角坐标 系内，涵洞所在抛物线的函数表达式是 ⁠. 图22－23－1 y＝－x2 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 【例1】（RJ九上P50探究2改编）新年前夕，某超市在销售中发 现：某服装平均每天可售出30套，每套盈利45元.为了迎接新年， 商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减 少库存.经市场调查，如果每套降价1元，那么平均每天就可多售 出2套. 典例精析 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （1）要想平均每天在销售服装上盈利1 750元，那么每套应降价 多少元？ 解：（1）设每套降价x元. 由题意，得（45－x）（30＋2x）＝1 750. 解得x1＝10，x2＝20. ∵尽快减少库存， ∴x＝20. 答：每套应降价20元. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）商场要想每天获取最大利润，每套应降价多少元？最大利润 是多少？ 解：（2）设每天获得的利润为w元. 由题意，得w＝（45－x）（30＋2x）＝－2x2＋60x＋1 350＝－2 （x－15）2＋1 800.∵－2＜0， ∴当x＝15时，w有最大值，最大值为1 800. 答：商场要想每天获取最大利润，每套应降价15元，最大利润为 1 800元. 思路点拨：（1）由总利润＝每套利润×销售量，列方程即可解得 答案；（2）列出函数关系式，再由二次函数的性质解答即可. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 6. 某网店销售一款小熊玩具，每个的进价为20元，在销售过程中 调查发现，当销售单价为30元时，每周平均可卖出120个.如果调 整销售单价，每个涨价1元，每周平均少卖出4个. （1）该网店要想每周在销售这款小熊玩具上盈利1 500元，每个 应涨价多少元？ 解：（1）设每个涨价x元. 由题意，得（30－20＋x）（120－4x）＝1 500. 解得x1＝5，x2＝15. 答：每个应涨价5元或15元. 举一反三 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）当销售单价定为多少时，该网店每周在销售这款小熊玩具上 的利润最大？并求出最大利润. 解：（2）设该网店每周在销售这款小熊玩具上的利润为w元. 由题意，得w＝（30－20＋x）（120－4x）＝－4x2＋80x＋1 200 ＝－4（x－10）2＋1 600. ∵－4＜0， ∴当x＝10时，w有最大值，最大值为1 600. 此时销售单价为30＋10＝40（元）. 答：当销售单价定为40元时，该网店每周在销售这款小熊玩具上 的利润最大，最大利润为1 600元. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 【例2】“书香润暖城，阅读启新篇”，全市第九届师生共读期 间，某书店销售一批经典书籍，一天可售出20本，每本成本价6 元.现打算降价销售，若销售量y与销售单价x之间成一次函数，如 下表： 单价x/（元·本－1） 18 17 16 15 14 销售量y/本 20 22 24 26 28 典例精析 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （1）求y关于x的函数解析式； 解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b. 把（18，20）和（17，22）代入， 得 解得 ∴y关于x的函数解析式为y＝－2x＋56. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）若书店每天要盈利224元，则需降价多少元？ （2）由题意，得（x－6）（－2x＋56）＝224. 整理，得x2－34x＋280＝0. 解得x1＝14，x2＝20（不合题意，舍去）. ∴18－14＝4（元）. 答：需降价4元. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）当每本书售价多少元时，书店每天可获最大利润？最大利润 是多少？ （3）设书店每天获得的利润为w元. 由题意，得w＝（x－6）（－2x＋56）＝－2x2＋68x－336＝－2 （x－17）2＋242. ∵－2＜0， ∴当x＝17时，w有最大值，最大值为242. 答：当每本书售价17元时，书店每天可获最大利润，最大利润是 242元. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 思路点拨：（1）由表格数据，设出y与x的函数解析式，再用待定 系数法求出一次函数解析式； （2）根据“每本书的利润×销售量＝总利润”列出方程，解方程 即可； （3）根据“每本书的利润×销售量＝总利润”列出函数解析式， 再由函数的性质求最值. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 7. 糖炒板栗是冬季深受大家喜爱的小吃.已知糖炒板栗每斤成本 为10元.某夜市摊主在试销阶段，每斤的销售价x（元）与糖炒板 栗日销售量y（斤）之间的关系如下表： x/元 15 20 30 … y/斤 100 80 40 … 若日销售量y是销售价x的一次函数. 举一反三 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （1）求y关于x的函数解析式； 解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b. 将（15，100），（20，80）代入， 得 解得 ∴y关于x的函数解析式为y＝－4x＋160. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种糖炒板栗 每日销售的利润w（元）最大，每斤的销售价应定为多少元？每 日销售的最大利润是多少元？ 解：（2）由题意，得w＝y（x－10） ＝（－4x＋160）（x－10） ＝－4x2＋200x－1 600 ＝－4（x－25）2＋900. ∵－4＜0， ∴当x＝25时，w有最大值，最大值为900. 答：每斤的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是900元. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 【例3】（RJ九上P51探究3 改编）如图22－23－2是抛物线型拱 桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m. 图22－23－2 典例精析 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 解：（1）建立直角坐标系如答图22－23－1. 由题意，得抛物线的顶点坐标为（0，0）且经过点（－2，－ 2）. 设抛物线的解析式为y＝ax2. 把点（－2，－2）代入，得－2＝4a. 解得a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－x2. 答图22－23－1 （1）以抛物线的顶点为原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐 标系，请在图中画出坐标系，并求出抛物线的解析式； 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）当水面下降1 m，即当y＝－3时，此时水面宽度也就是直线y＝－3与抛物线相交的两点之间的距离. 把y＝－3代入y＝－x2，得－3＝－x2. 解得x1＝，x2＝－. 则＝2. ∴水面宽度为2 m. 答：当水面下降1 m时，水面宽度是2 m. （2）当水面下降1 m时，水面宽度是多少米？ 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 思路点拨：（1）根据题目建立直角坐标系，再用待定系数法求二 次函数的解析式； （2）通过把y＝－3代入抛物线的解析式即可得出答案. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 8. 如图22－23－3①是一座抛物线型拱桥，如图22－23－3②是拱 桥的示意图，桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时 刻，桥拱内的水面宽OA＝8 m，桥拱顶点B到水面的距离是4 m. （1）求抛物线的函数解析式； 解：（1）由题意，得抛物线的 顶点为B（4，4），且经过点O （0，0）. 设抛物线的解析式为y＝a（x－4）2＋4. 将点O（0，0）代入，得0＝a（0－4）2＋4.解得a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－（x－4）2＋4. 举一反三 图22－23－3 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）一只宽为1.2 m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方 且距点O 0.4 m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68 m的 工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥 拱，请说明理由.（假设船底与水面齐平） 解：（2）工人的头顶不会触碰到桥拱.理由如下： ∵打捞船距点O 0.4 m，打捞船宽1.2 m，工人直立在打捞船中间， ∴工人距点O距离为0.4＋×1.2＝1（m）. ∴将x＝1代入y＝－（x－4）2＋4，得y＝－（1－4）2＋4＝1.75. ∵1.75 m＞1.68 m， ∴工人的头顶不会触碰到桥拱. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 $$