第二十二章 第22课时 实际问题与二次函数（一）-【教与学·学导练】2025-2026学年九年级全一册数学同步课件（人教版）

数学 九年级 全一册 配人教版 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 第二十二章　二次函数 第22课时　实际问题与二次函数（一） 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 01 温故知新 02 知识重点 03 对点范例 目 录 CONTENTS 04 典例精析 05 举一反三 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 1. 一个三角形钢架ABC中，边BC与其边上的高x之和为18，这个 三角形的面积S与x之间的函数关系式是 ⁠. S＝－x2＋9x 温故知新 2. 已知矩形周长为16 cm，它的一边长为 x cm，面积为y cm2，则 y与x之间的函数关系式为 ⁠. y＝－x2＋8x 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一：运动路径问题 方法步骤： （1）利用数形结合思想与函数思想，确定函数 ⁠和自变 量的 ⁠； （2）求出抛物线的顶点、与x轴的交点或其他点的坐标； 解析式 取值范围 知识重点 （3）由二次函数的性质去分析解决问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 3. 某校羽毛球社团使用发球机辅助训练.如图22－22－1，将发球 机放置在点A处，羽毛球发射的初始位置的高为AB，AB＝1.3 m. 若羽毛球从点B发射后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分， 羽毛球在飞行过程中，在与点A的水平距离为6 m的点C处的正上 方达到最高点，且高度为h m，在与点A的水平距离为13 m的点D 处落地，则h的值是 ⁠. 图22－22－1 4.9 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 方法步骤： （1）确立自变量以及自变量的取值范围； （2）根据几何图形形状列出面积与自变量之间的 ⁠ ⁠； （3）用 ⁠求出最值以及取得最值时相应的自变量的值. 函数关系 式 公式法或配方法 知识点二：围栏问题 知识重点 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 4. 如图22－22－2，利用成直角的墙角（墙足够长），用10 m长 的栅栏围成一个矩形小花园，花园的面积S（m2）与它一边长a （m）的函数关系式是 ，面积S的最大值 是 m2. S＝－a2＋10a 25 图22－22－2 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 知识点三：动点面积问题 方法步骤： （1）以“静”制“动”，找出图形变化过程中的不变量与变量的 关系，构建函数模型； （2）确定二次函数的 ，必要时进行分类讨论； 解析式 知识重点 （3）根据二次函数的最大值或最小值的特点来解决问题. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 图22－22－3 5. 如图22－22－3，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B 开始沿边BC向点C以1 cm/s的速度移动.如果P，Q两点分别从A， B两点同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间t为 s. 2 对点范例 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 【例1】如图22－22－4，在一次高尔夫球的比赛中，某运动员在 原点O处击球，目标是离击球点10 m远的球洞，球的飞行路线是 一条抛物线，结果球的落地点距离球洞2 m（击球点、落地点、球 洞三点共线），球在空中最高处达3.2 m. 典例精析 图22－22－4 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （1）求表示球飞行的高度y（单位：m）与表示球飞出的水平距 离x（单位：m）之间的函数关系式； 解：（1）由题意知点（0，0）， （8，0），（4，3.2）在抛物 线上， ∴设y与x之间的函数关系式为y＝ax（x－8）（a≠0）. 将点（4，3.2）代入上式，得 3.2＝a×4×（4－8）. 解得a＝－0.2. ∴y＝－0.2x（x－8）＝－0.2x2＋1.6x. ∴y与x之间的函数关系式为y＝－0.2x2＋ 1.6x. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）当球的飞行高度不低于3 m时，求x的取值范围. 解：（2）令y＝3，得3＝－0.2x2＋1.6x. 整理，得x2－8x＋15＝0. 解得x1＝3，x2＝5. ∴当球的飞行高度不低于3 m时，x的取值范围是3≤x≤5. 思路点拨：（1）由题意得到抛物线经过的坐标，再根据坐标得出 抛物线的解析式； （2）通过抛物线的解析式以及图象解决问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 6. （创新题）在一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射 门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6 m时， 球达到最高点，此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m，现以 O为原点，建立如图22－22－5所示的直角坐标系. （1）求抛物线的解析式； 举一反三 图22－22－5 解：（1）由题意知抛物线的顶点坐标为（2，3）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x－2）2＋3. 把点A（8，0）代入，得0＝36a＋3. 解得a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－（x－2）2＋3. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）通过计算判断球能否进球门； 解：（2）当x＝0时，y＝－×4＋ 3≈2.67＞2.44， ∴球不能进球门. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持 不变，则当时小明应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足 球经过点O正上方2.25 m处？ 解：（3）设小明带球向正后方移动b m，则移动后的抛物线的解析式为y＝－（x－2－b）2＋3. 把点（0，2.25）代入，得2.25＝－（－2－b）2＋3. 解得b1＝1，b2＝－5（不合题意，舍去）. ∴当小明带球向正后方移动1 m射门，才 能让足球经过点O正上方2.25 m处. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 【例2】（RJ九上P57 T7改编）如图22－22－6，张大叔要用总长 为80 m的篱笆围成一个一边靠墙（墙长30 m）的矩形养鸡场 ABCD. 设BC边的长为x m，矩形ABCD的面积为S m2. （1）求S与x的关系式及x的取值范围； 图22－22－6 典例精析 解：（1）∵BC＝x m，AB＋BC＋CD＝80 m， ∴AB＝CD＝ m. ∴S与x的关系式为S＝x·＝－x2＋40x. ∵解得0＜x≤30. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）由（1）得S＝－x2＋40x＝－（x－40）2＋800. ∵－＜0， ∴当x＜40时，S随x的增大而增大. 又∵0＜x≤30， ∴当x＝30时，S有最大值，S最大值＝－×（30－40）2＋800＝ 750. ∴养鸡场的最大占地面积为750 m2. （2）求养鸡场的最大占地面积. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 思路点拨：（1）由BC＝x m，AB＋BC＋CD＝80 m，知AB＝CD ＝ m，再根据矩形的面积公式求解可得答案.由0＜BC≤30， AB＞0可得x的取值范围； （2）根据二次函数的性质与x的取值范围进行解题即可. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 7. 如图22－22－7，为了改善小区环境，某小区决定要在一块空 地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙（墙长35 m）， 另三边用总长为60 m的栅栏围住，若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2. （1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自 变量x的取值范围； 图22－22－7 解：（1）由题意，得AB＝CD＝ m. ∴y与x之间的函数关系式为y＝x·＝－x2＋30x. 自变量x的取值范围是0＜x≤35. 举一反三 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）当x为何值时，满足条件的绿化带面积最大. 解：（2）y＝－x2＋30x＝－（x－30）2＋450. ∵－＜0，0＜x≤35， ∴当x＝30时，y有最大值，为450. ∴当x＝30时，满足条件的绿化带面积最大. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 【例3】如图22－22－8，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm， BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度运动，点 Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度运动.P，Q分别从A，B 同时出发，当P，Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运 动.设运动的时间为t s. （1）当t为何值时，PQ的长度等于2 cm？ 图22－22－8 解：（1）由题意，得AP＝t cm，BQ＝2t cm，PB＝（5－t）cm. 在Rt△PBQ中，由勾股定理，得PB2＋BQ2＝PQ2， 即（5－t）2＋（2t）2＝（2）2. 解得t1＝3，t2＝－1（不合题意，舍去）. ∴当t＝3时，PQ的长度等于2 cm. 典例精析 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）当P，Q出发几秒时，△BPQ的面积最大？最大面积是多 少？ （2）∵当P，Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动， ∴解得0≤t≤. ∴S△BPQ＝PB·BQ＝（5－t）·2t＝－t2＋5t＝－＋. ∵－1＜0， ∴当t＝时，S△BPQ有最大值，最大值为. ∴当点P，Q出发 s时，△BPQ的面积最大，最大面积为 cm2. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 思路点拨：（1）利用t的代数式分别表示出线段AP，BQ，PB，利 用勾股定理列出关于t的方程，解方程即可得出结论； （2）利用三角形的面积公式即可得到S△BPQ关于t的函数解析式， 再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 8. 如图22－22－9，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝24 cm，BC＝ 7 cm，点P在BC上，从点B向点C运动（不包括点C），速度为2 cm/s；点Q在AC上，从点C向点A运动（不包括点A），速度为5 cm/s.若点P，Q分别从点B，C同时运动，且运动时间记为t s. （1）当t为何值时，P，Q两点的距离为5 cm？ 举一反三 图22－22－9 （1）当P，Q两点的距离为5 cm时， 在Rt△PCQ中，由勾股定理，得PC2＋CQ2＝PQ2， 即（7－2t）2＋（5t）2＝（5）2. 解得t1＝1，t2＝－（不合题意，舍去）. ∴当t＝1时，P，Q两点的距离为5 cm. 解：由题意，得PC＝（7－2t） cm，CQ＝5t cm. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （2）当t为何值时，△PCQ的面积为15 cm2？ （2）S△PCQ＝PC·CQ＝（7－2t）·5t＝－5t2＋t. 当△PCQ的面积为15 cm2时， 得－5t2＋t＝15. 解得t1＝1.5，t2＝2. ∴当t＝1.5或t＝2时，△PCQ的面积为15 cm2. 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 （3）S四边形BPQA＝S△ABC－S△PCQ＝×7×24－ ＝5t2－t＋84＝5＋. ∵5＞0， ∴当t＝时，S四边形BPQA有最小值，最小值为. ∴当点P运动 s时，四边形BPQA的面积最小，最小面积 是 cm2. （3）当点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面 积是多少？ 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 谢 谢 ! 返回目录 教与学 学导练 数学 九年级 全一册 配人教版 $$