21.3《因式分解》公式法 课件 2025-2026学年人教版（五四制）数学八年级上册

21.3因式分解 ——公式法 一 复习引入 1、什么是因式分解？ 2、什么是提公因式法因式分解？ 把一个多项式分解成几个整式的积的形式. 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 导入新知 做一做：你能把右面4个图形拼成一个正方形，并求出你拼成的图形的面积吗？ 同学们拼出图形为： a a b b a b a b ab a² b² ab 思考：这个大正方形的面积可以怎么求？ a b a² ab ab b² 将上面的等式倒过来看，能得到： 完全平方公式 导入新知 b a 小结 这就是用平方差公式将多项式进行因式分解。 探究新知 知识点 1 完全平方公式与完全平方式 不是，是整式乘法 是，运用提公因式法 是，运用平方差公式 是 完全平方公式 探究新知 整式乘法 因式分解 完全平方公式与因式分解关系： 完全平方式： 探究新知 完全平方式的特点： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同. 是第一项和第三项底数的积的±2倍. 观察这两个式子： 结论 完全平方式的特点： 1. 三项式（或可以看成三项的）； 2. 有两项为数或式的平方和； 3. 有一项为两数或式乘积的2倍，与符号无关. 探究新知 想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式 ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 用平方差公式进行因式分解 √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2 - ( )2的形式. （1）x2 + y2 （2）x2 - y2 （3） - x2 - y2 - ( x2 + y2 ) （4） - x2 + y2 （5）x2 - 25y2 ( x + 5y )( x - 5y ) （6）m2 - 1 ( m + 1 )( m - 1 ) ( x + y )( x- y ) ( y+x )( y-x ) 例1 分解因式： a a b b ( + ) ( - ) a2 - b2 = 解：(1)原式 = 2x 3 2x 2x 3 3 (2)原式 a b 典例精析 3 分解因式： (1) (a＋b)2－4a2； (2) 9(m＋n)2－(m－n)2. 针对训练 ＝(2m＋4n)(4m＋2n) 解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a) ＝(b－a)(3a＋b). (2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n ) ＝4(m＋2n)(2m＋n)． 若用平方差公式分解后的结果中还有公因式，一定要继续用提公因式法分解 当场编题，考考你！ ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 20232 － 20222 = ( 2mn )2 - ( 3xy )2 = ( x + z )2 - ( y + p )2 = 例 已知 x2 - y2 ＝ －2，x＋y ＝ 1，求 x - y，x，y 的值. 所以 x - y ＝ -2②. 解：因为 x2 - y2 ＝ (x＋y)(x - y) ＝ -2， x＋y ＝ 1①， 联立①②组成二元一次方程组， 解得 例 计算下列各题： (1) 1012 - 992； (2) 53.52×4 - 46.52×4. 解：(1) 原式＝(101＋99)(101－99)＝400. (2) 原式＝4(53.52－46.52) ＝4(53.5＋46.5)(53.5－46.5) ＝4×100×7 ＝ 2800. 例 求证：当 n 为整数时，多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2一定能被 8 整除． 即多项式 (2n + 1)2 - (2n - 1)2 一定能被 8 整除. 证明：原式 = (2n + 1 + 2n - 1)(2n + 1 - 2n + 1) = 4n • 2 = 8n. 因为 n 为整数， 所以 8n 一定能被 8 整除. a2 + 2ab + b2 a2 - 2ab + b2 我们把 a² + 2ab + b² 和 a² - 2ab + b² 这样的式子叫做完全平方式. 观察这两个式子： （1）每个多项式有几项？ （3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ （2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 三项 这两项都是数或式的平方和 是第一项和第三项底数的积的±2 倍 简记口诀：“首平方，尾平方，首尾两倍在中央”. 2 a b +b2 ± =(a ± b)² a2 首2 +尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和 (或差)的平方. 探究新知 三 当堂练习 1.提公因式法和公式法综合运用． 2.分组分解法． 3.x2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q). 4.因式分解的实际应用． 小结 a2-b2= (a+b)(a-b) a2±2ab+b2=(a±b)2 ma + mb + mc = m(a + b + c) 1.如果100x2+kxy+y2 可以分解为 (10x-y)2, 那么 k 的值是（ ） A.20 B.-20 C.10 D.-10 2.如果 x2+mxy+9y2 是一个完全平方式， 那么 m 的值为（ ） A.6 B.±6 C.3 D.±3 B B 限时 1 分钟. 课堂检测 限时 2 分钟. 3.把下列各式分解因式： (1) -3a3b+48ab3 ; (2) 25a2 - 4(b + c)2 ; (3) x4-8x2+16 ; (4) (x + y)2 + 6(x + y) + 9 . 课堂检测 参考答案： (1) -3ab(a+4b)(a-4b) 或 3ab(4b+a)(4b-a) ; (2) (5a+2b+2c)(5a-2b-2c) ; (3) (x+2)2(x-2)2 ; (4) (x + y+3)2 . 4.代数式 1002-992+982-972+962-952+…+22-1 的值为 5050 课堂检测 5.把下列各式分解因式： (1) (2x-3y)2 - 8x+12y + 4 ; (2) x2-5x +4 . 5.参考答案： (1) (2x-3y-2)2 ; (2) (x -1)(x-4) . 限时 2 分钟. 4.提示：分组利用平方差公式分解因式 得 199+195+191+…+3 =（199+3）×50÷2 = 5050 x2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q). 公式法因式分解 公式 平方差公式：a2-b2 = (a + b)(a - b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 完全平方公式：a2±2ab＋b2 = (a±b)2 感 谢 聆 听 $$