21.3.1 提公因式法（教学课件）数学人教版五四制八年级上册

八年级上册数学 第二十一章 整式的乘法与因式分解 21.3.1 提公因式法 如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？ a b c m 方法一：m(a+b+c) 方法二：ma+mb+mc m(a+b+c)=ma+mb+mc 整式乘法 ? 情景引入 知识点一：因式分解 1.运用整式乘法法则或公式填空： (1) m(a+b+c)= ； (2) (x+1)(x-1)= ； (3) (a+b)2 = . ma+mb+mc x2 -1 a2 +2ab+b2 2.根据等式的性质填空： (1) ma+mb+mc=( )( ) (2) x2 -1 =( )( ) (3) a2 +2ab+b2 =( )2 m a+b+c x+1 x-1 a+b 都是多项式化为几个整式的积的形式 比一比，这些式子有什么共同点？ 定义： 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. x2-1 (x+1)(x-1) 因式分解 整式乘法 x2-1 = (x+1)(x-1) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是方向相反的变形，即 例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　) ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式． 在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明为什么？ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ 辨一辨： am+bm+c=m(a+b)+c 24x2y=3x ·8xy x2-1=(x+1)(x-1) (2x+1)2=4x2+4x+1 x2+x=x2(1+ ) 2x+4y+6z=2(x+2y+3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式， 是整式乘法 每个因式必须是整式 知识点二：用提公因式法分解因式 pa+pb+pc 多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的公因式. 相同因式p 问题1 观察下列多项式，它们有什么共同特点？ x2＋x 相同因式x 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. ( a+b+c ) pa+ pb +pc p = 找 3x 2 – 6 xy 的公因式. 系数：最大公约数 3 字母：相同的字母 x 所以公因式是3x 指数：相同字母的最低次数 1 问题2 如何确定一个多项式的公因式？ 例2 下列各多项式的公因式是什么？ 3 a a2 2(m+n) 3mn -2xy (1) 3x+6y (2)ab-2ac (3) a 2 - a 3 (4)9 m 2n-6mn (5)-6 x 2 y-8 xy 2 (6)4 (m+n) 2 +2(m+n) 确定公因式的“四看” (1)看系数，即提取各项系数的最大公约数，首项系数含负号时，通常提取“－”号； (2)看字母，即提取各项都含有的字母； (3)看相同字母的指数，即提取各相同字母的最低次数； (4)看整体，即提相同的多项式，有的多项式表面上看不同，但实质上相同或互为相反数． 归纳总结 (1) 8a3b2 + 12ab3c； 例3 把下列各式分解因式. (2) 2a(b+c) - 3(b+c). 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式. 解：（1） 8a3b2 + 12ab3c =4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc =4ab2(2a2+3bc)； （2） 2a(b+c)-3(b+c) =(b+c)(2a-3). 如何检查因式分解是否正确？ 做整式乘法运算. 提公因式法分解因式的注意点: (1)当多项式的某项恰好是公因式本身时，提取该项之后应保留其系数1； (2)提取公因式后，若另一因式化简后又有公因式，应再次提取；(3)可用单项式乘多项式的法则检验结果是否正确． 归纳总结 例3 计算： (1)39×37－13×91； (2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14. (2)原式＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016. ＝13×20＝260； 解：(1)原式＝3×13×37－13×91 ＝13×(3×37－91) 方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便． 例4 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值． ∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28. 解：∵a＋b＝7，ab＝4， 方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可. 例5 已知，那么代数式的值是（     ） A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001 解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． B 1．下列因式分解结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．多项式4ab2+16a2b2﹣12a3b2c的公因式是（　　） A．4ab2c B．ab2 C．4ab2 D．4a3b2c 3.已知多项式3x2+mx+n分解因式的结果为(3x+2)(x-1)，则m,n的值分别为（ ） A. m=1, n=-2 B. m=-1, n=-2 C. m=2,n=-2 D. m=-2，n=-2 B C B 课堂练习 4.把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（     ） A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5 5．计算的结果为（     ） A．2021 B．20210 C．202100 D．2021000 6．相邻边长为a，b的矩形，若它的周长为20，面积为24，则的值为（     ） A．480 B．240 C．120 D．100 A C B 7．一个两位数，将它的十位数字与个位数字对换，这两个两位数的和一定被_____整除． 8．已知方程，则代数式的值是_______． 9．已知，则多项式的值为________． 10．若，则等于______. 11 -10 2017 2018 11．因式分解： (1) ; (2); (3) (4) （1）解：原式= （2）解：原式= （3）解：原式= （4）解：原式= 12．因式分解： (1); (2) (2x+1)(3x-2)－. 解： ． 解：（2x+1）（3x-2）－ =（2x+1）（3x-2-2x-1） =（2x+1）（x-3） 13．先因式分解，再计算求值： ，其中． 解： 当时， 原式． 14．已知，求的值． 解：∵6x−3y−1＝0，xy＝2， ∴2x−y＝， ∴当2x−y＝，xy＝2时， 原式＝（xy）3•（2x−y） ＝23× ＝． 15．阅读理解，并解答下面的问题： 拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）． 例：分解因式：＋4x＋3 解：原式＝＋x＋3x＋3把4x分成x和3x， ＝（＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组 ＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式 ＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式 请类比上面的示例，分解因式：＋5x＋6 解：原式=＋2x＋3x＋6 ． 16．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)] =(1+x)2(1+x) =(1+x)3 (1)上述分解因式的方法是____________，共应用了______次. (2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)2004，则需应用上述方法______次，结果是_______. (3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)n(n为正整数). （3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2···+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1． 提公因式法 2 2004 (x+1)2005 我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即 因式分解 整式乘法 课堂小结 正确找出多项式的公因式的步骤： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数. 一看系数　 二看字母　 三看指数 最大公约数　 相同字母　 最低指数 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如：pa+pb+pc的公因式是p. ma+mb+mc= m(a+b+c) 公因式 提公因式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 谢 谢！ $$