2025年安徽省中考数学一轮复习考点突破课件---矩形、菱形与正方形

矩形、菱形与正方形 两 中心 轴 相等 四 矩形、菱形与正方形 相等 矩形的性 质及判定 互相平分 平行四边形 三 平行四边形 面积计算公式:S=长×宽=两对角线分成的每个小三角形面积的4倍,即S=ab=4S△AOB(a,b分别是两邻边长) 一 矩形、菱形与正方形 矩形的性 质及判定 两 中心 轴 平分 垂直 菱形的性质及判定 四 矩形、菱形与正方形 菱形的性质 垂直 垂直 四 面积计算公式:S=底×高=两条对角线乘积的一半,即S对角线长) 邻边 菱形的性质及判定 矩形、菱形与正方形 四 中心 轴 垂直平分 相等 四 正方形的性质及判定 四条边 矩形、菱形与正方形 正方形 的性质 面积计算公式:S=边长2 边长,n为正方形的对角线长) 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系: 菱形 正方形的性质及判定 矩形、菱形与正方形 典例1 如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处.若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于( ) A.66°　　　B.60°　　　 C.57°　　　D.48° C 【解析】　∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°.由折叠的性质，得∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，∴∠A'BE＝∠ABE＝×(90°－∠DBC)＝×(90°－24°)＝33°，∴∠A'EB＝90°－∠A'BE＝90°－33°＝57°. 典例2 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE. (1)求证：△BAE≌△CDE； (2)求∠AEB的度数. 【答案】　(1)证明：∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°.∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°.在△BAE和△CDE中，，∴△BAE≌△CDE(SAS). (2)解：∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB.∵∠EAB＝150°，∴∠AEB＝×(180°－150°)＝15°. 【解析】　(1)利用等边三角形的性质得到AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，利用正方形的性质得到AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，所以∠EAB＝∠EDC＝150°，然后根据“SAS”判定△BAE≌△CDE.(2)先证明AB＝AE，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠AEB的度数. 典例3 在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE. (1)求证：四边形EFGH为平行四边形； (2)若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长. 【答案】　(1)证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°.又∵BF＝DH，∴AD＋DH＝BC＋BF，即AH＝CF.在Rt△AEH中，EH＝.在Rt△CFG中，FG＝.∵AE＝CG，∴EH＝FG.同理得，EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形. (2)解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝1.设AE＝x，则BE＝x＋1.∵在Rt△BEF中，∠BEF＝45°，∴BE＝BF.∵BF＝DH，∴DH＝BE＝x＋1，∴AH＝AD＋DH＝x＋2.∵在Rt△AEH中，tan∠AEH＝2，∴AH＝2AE，∴2＋x＝2x，∴x＝2，即AE＝2. 【解析】　(1)由矩形的性质和BF＝DH，得出AH＝CF.根据勾股定理得出EH＝FG，同理得EF＝HG，从而证明四边形EFGH为平行四边形.(2)直接设AE为x，表示出BE，AH的长，利用正切列出方程即可求出AE的长. 1.(2024·泸州)已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是( ) A.∠A＝90° B.∠B＝∠C C.AC＝BD D.AC⊥BD D 2.(2024·通辽)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是( ) A.∠BAC＝∠BCA B.∠ABD＝∠CBD C.OA2＋OB2＝AD2 D.AD2＋OA2＝OD2 D 第3题图 3.(2024·甘孜州)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，则菱形ABCD的周长为　 　.  　8　 4.(2024·巴中)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F.若AB＝3，BC＝4，则点F到BD的距离为  　.  第4题图 5.(2024·德阳)如图，四边形ABCD是矩形，△ADG是正三角形，点F是GD的中点，点P是矩形ABCD内一点，且△PBC是以BC为底的等腰三角形，则△PCD的面积与△FCD的面积的比值是　 　.  　2　 6.(2024·陕西)如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF，求证：AF＝DE. 证明：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°. ∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE. 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE(SAS)，∴AF＝DE. 7.(2024·广安)如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的点，BE＝BF，求证：∠DEF＝∠DFE. 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C. ∵BE＝BF，∴AB－BE＝BC－BF，∴AE＝CF. 在△DAE和△DCF 中， ∴△DAE≌△DCF(SAS)，∴DE＝DF， ∴∠DEF＝∠DFE. 8.(2024·安庆模拟)如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O. (1)求证：四边形ABEF是正方形； (2)若AD＝AE，AF＝1，求DG的长. (1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°.∵EF⊥AD，∴∠DAB＝∠B＝∠EFA＝90°，∴四边形ABEF为矩形.∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE＝45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴AB＝BE，∴矩形ABEF为正方形. (2)解：∵四边形ABEF为正方形，AF＝1，∴BE＝AF＝1. ∵DG⊥AE，∴∠AGD＝∠B＝90°. 在△ADG和△AEB中， ∴△ADG≌△AEB(AAS)，∴DG＝BE＝1. 考点1　与矩形有关的证明与计算 1.(2018·安徽)矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC.若△APD是等腰三角形，则PE的长为　 　.  3或 2.(2016·安徽)如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10.点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰好落在线段BF上的点H处.有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG＋DF＝FG.其中正确的是　 　(把所有正确结论的序号都选上).  　①③④　 【变式训练】 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段OB，OA上的点.若AE＝BF，AB＝5，AF＝1，BE＝3，则BF的长为  　.  考点2 　与菱形有关的证明与计算 3.(2024·安徽)如图1，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，点M，N分别在边AD，BC上，且AM＝CN.点E，F分别是BD与AN，CM的交点. (1)求证：OE＝OF； (2)连接BM交AC于点H，连接HE，HF. (ⅰ)如图2，若HE∥AB，求证：HF∥AD； (ⅱ)如图3，若▱ABCD为菱形，且MD＝2AM，∠EHF＝60°，求的值. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴AM∥CN.∵AM＝CN，∴四边形AMCN是平行四边形，∴AN∥CM，∴∠OAE＝∠OCF. 在△AOE与△COF中， ∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF. (2)(ⅰ)证明：∵HE∥AB，∴.∵OB＝OD，OE＝OF，∴.∵∠HOF＝∠AOD，∴△HOF∽△AOD，∴∠OHF＝∠OAD，∴HF∥AD. (ⅱ)解：∵▱ABCD为菱形，∴AC⊥BD.∵OE＝OF，∠EHF＝60°，∴∠EHO＝∠FHO＝30°，∴OH＝OE.∵AM∥BC，MD＝2AM，∴，即HC＝3AH，∴OA＋OH＝3(OA－OH)，∴OA＝2OH.∵BN∥AD，MD＝2AM，AM＝CN，∴，即3BE＝2ED，∴3(OB－OE)＝2(OB＋OE)，∴OB＝5OE，∴，∴的值是. 【变式训练】 如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°.动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF.点E关于AD，AB的对称点分别为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点分别为F1，F2.在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是( ) A.菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B.菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C.平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 A 考点3 　与正方形有关的证明与计算 4.(2022·安徽)如图，四边形ABCD是正方形，点E在边AD上，△BEF是以E为直角顶点的等腰直角三角形，EF，BF分别交CD于点M，N，过点F作AD的垂线交AD的延长线于点G.连接DF，请完成下列问题： (1)∠FDG＝　 　°；  (2)若DE＝1，DF＝2，则MN＝ 　.  　45　 第1题图 考点1　矩形的性质与判定 1.(2024·辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为( ) A.30° B.45° C.60° D.120° C 第2题图 2.(2024·长春)在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α的大小为( ) A.54° B.60° C.70° D.72° D 第3题图 3.(2024·成都)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( ) A.AB＝AD B.AC⊥BD C.AC＝BD D.∠ACB＝∠ACD C 4.(2024·常州)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB，CD于点E，F.若AD＝8，BE＝10，则tan∠ABD＝  　.  第4题图 5.(2024·长春)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵O是AB的中点，∴OA＝OB. 在△AOD和△BOC中， ∴△AOD≌△BOC(ASA)，∴DA＝CB.∵∠A＝∠B＝90°，∴DA∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形. 考点2 　菱形的性质与判定 6.(2024·甘肃)如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止.设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长为( ) A.2 B.3 C. D.2 C 第7题图 7.(2024·济宁)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE.若OE＝3，则菱形的边长为( ) A.6 B.8 C.10 D.12 A 8.(2024·广西)如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为　 　cm.  第8题图 8 9.(2024·扬州)如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD. (1)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由； (2)已知矩形纸条宽度为2 cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8 cm2，求此时直线AD，CD所夹锐角∠1的度数. 解：(1)四边形ABCD是菱形，理由：如图1，作CH⊥AB，垂足为H，CG⊥AD，垂足为G.∵两个纸条为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形.∵S▱ABCD＝AB·CH＝AD·CG，且CH＝CG，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形. (2)如图2，作AM⊥CD，垂足为M.∵S菱形ABCD＝CD·AM＝8 cm2，且AM＝2 cm，∴CD＝4 cm，∴AD＝CD＝4 cm.在Rt△ADM中，sin ∠1＝，∴∠1＝30°. 第10题图 考点3 　正方形的性质与判定 10.(2024·临沂)如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN＝120°，则n的值为( ) A.12 B.10 C.8 D.6 A 第11题图 11.(2024·内蒙古)如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是( ) A.2 B.2＋ C.4－2 D. A 第12题图 12.(2024·黑龙江龙东地区)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 ，使得菱形ABCD为正方形.  AC＝BD(答案不唯一) 13.(2024·北京)如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G.若AD＝5，CG＝4，则△AEF的面积为  　.  第13题图 14.(2024·天津)如图，正方形ABCD的边长为3，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，连接DE. (Ⅰ)线段AE的长为　 　；  (Ⅱ)若F为DE的中点，则线段AF的长为 　.  　2　 矩形的判 菱形的判 正方形的判 $$