2025年安徽省中考数学一轮复习考点突破课件---解直角三角形

解直角三角形 解直角三角形 解直角三角形 1 解直角三角形 ab c2=a2+b2 解直角三角形 典例1 如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cos C ＝，则sin B的值为(　　) A. B. C. D. D 【解析】　如图，过点A作AD⊥BC于点D.∵cos C＝，AC＝4，∴CD＝1，∴BD＝3，AD＝.在Rt△ABD中，AB＝＝2，∴sin B＝. 典例2 如图1是放置在水平桌面上的台灯，图2是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂AC＝40 cm，灯罩CD＝30 cm，灯臂与底座构成的∠CAB＝60°.CD可以绕点C上下调节一定的角度.使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳.现测得点D到桌面的距离为49.6 cm.请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？(参考数据：≈1.73) 【答案】　解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F.∵∠CEH＝∠CFH＝∠FHE＝90°， ∴四边形CEHF是矩形，∴CE＝FH. 在Rt△ACE中，∵AC＝40 cm，∠A＝60°， ∴CE＝AC·sin 60°＝34.6(cm)，∴FH＝CE＝34.6 cm. ∵DH＝49.6 cm，∴DF＝DH－FH＝49.6－34.6＝15(cm). 在Rt△CDF中，sin∠DCF＝，∴∠DCF＝30°，∴此时台灯光线为最佳. 【解析】　作CE⊥AB于点E，DH⊥AB于点H，CF⊥DH于点F.解直角三角形求出∠DCF即可判断. 本题考查解直角三角形的应用.解决此类问题需要把握两点：1.要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形；2.要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决. 第1题图 1.(2024·云南)如图，在△ABC中，若∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，则tan A＝( ) A. B. C. D. C 第2题图 2.(2024·长春)2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a km，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为( ) A.asin θ km B. km C.acos θ km D. km A 3.(2024·资阳)第14届国际数学教育大会(ICME－14)会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”.如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形(△ABE，△BCF，△CDG，△DAH)和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF∶AH＝1∶3，则sin∠ABE为( ) A. B. C. D. C 4.(2024·泰安)在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度.他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机.如图，无人机在河上方距水面高60 m的点P处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12 m(图中点A，B，C，P在同一平面内).那么大汶河此河段的宽AB为 　 　m.  　74　 5.(2024·青海)如图，某种摄像头识别到最远点A的俯角α是17°，识别到最近点B的俯角β是45°，该摄像头安装在距地面5 m的点C处，求最远点与最近点之间的距离AB.(结果取整数，参考数据：sin 17°≈0.29，cos 17°≈0.96，tan 17°≈0.31) 解：根据题意得，CE∥AD，CD＝5 m.∵CE∥AD，∴∠A＝∠α＝17°，∠CBD＝∠β＝45°.在Rt△ACD中.∵CD＝5，∴＝tan 17°＝0.31，∴AD＝≈16.1(m).在Rt△BCD中.∵∠CBD＝45°，∴∠BCD＝90°－45°＝45°，∴∠BCD＝∠CBD＝45°，∴BD＝CD＝5(m)，∴AB＝AD－BD≈16.1－5＝11.1≈11(m) 考点1　三角函数 1.(2020·安徽)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A.若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为( ) A. B. C. D.4 C 考点2 　解直角三角形的应用 2.(2024·安徽)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点B处发出，经水面点E折射到池底点A处.已知BE与水平线的夹角α＝36.9°，点B到水面的距离BC＝1.20 m，点A处水深为1.20 m，到池壁的水平距离AD＝2.50 m.点B，C，D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内.记入射角为β，折射角为γ，求的值(精确到0.1，参考数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80， tan 36.9°≈0.75.) 解：如图，过点E作EH⊥AD于点H. 由题意可知，∠CEB＝α＝36.9°，EH＝1.20 m，∴CE＝＝1.60(m)，AH＝AD－CE＝2.50－1.60＝0.90(m)，∴AE＝＝1.50(m)，∴sin γ＝＝0.60.∵sin β＝sin∠CBE＝＝cos∠CEB＝cos 36.9°＝0.80，∴≈1.3. 3.(2023·安徽)如图，O，R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40 m，R点的俯角为24.2°；无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°.求无人机从A点到B点的上升高度AB(精确到0.1 m，参考数据：sin 24.2°≈0.41，cos 24.2° ≈0.91，tan 24.2°≈0.45，sin 36.9°≈0.60， cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75). 解：由题意可知，∠ORB＝36.9°，∠ORA＝24.2°，在Rt△OAR中，cos∠ORA＝，∴OR＝AR·cos∠ORA＝40×cos 24.2°≈36.4(m)，∴AB＝OB－OA＝OR·tan∠ORB－OR·tan∠ORA≈36.4×tan 36.9°－36.4×tan 24.2°≈36.4×0.75－36.4×0.45＝10.92≈10.9(m).故无人机上升高度AB约为10.9 m. 4.(2022· 安徽)如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90 m至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上.求A，B两点间的距离(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75). 解：如图所示.∵CE∥AD，∴∠A＝∠ECA＝37°，∴∠ABD＝∠A＋∠ADB＝37°＋53°＝90°，∴∠CBD＝90°.在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°－53°＝37°，CD＝90 m，∴cos∠BDC＝，∴BD＝CD·cos 37°≈90×0.80＝72(m).在Rt△ABD中，∠A＝37°，BD＝72 m，tan A＝，∴AB＝＝96(m).故A，B两点间的距离约96 m. 5.(2021·安徽)学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件.零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形AEFD为矩形，点B，C分别在EF，DF上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10 cm，BC＝6 cm.求零件的截面面积(参考数据：sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60). 解：由题意知AD∥EF，故∠ABE＝∠BAD＝53°.又∵∠ABC＝90°，∴∠BCF＝∠ABE＝53°.在Rt△ABE中，AE＝AB·sin∠ABE＝10×sin 53°≈10×0.80＝8(cm)，BE＝AB·cos∠ABE＝10×cos 53°≈10×0.60＝6(cm).在Rt△BCF中，BF＝BC·sin∠BCF＝6×sin 53°≈6×0.80＝4.8(cm)，CF＝BC·cos∠BCF＝6×cos 53°≈6×0.60＝3.6(cm)，∴EF＝BE＋BF＝6＋4.8＝10.8(cm)，∴四边形ABCD的面积S＝AE·EF－AE·BE－BF·CF＝8×10.8－×8×6－×4.8×3.6＝53.76(cm2)，∴零件的截面面积为53.76 cm2. 6.(2019·安徽)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB＝41.3°，若点C为运行轨道的最高点(C，O的连线垂直于AB)，求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据：sin 41.3°≈0.66，cos 41.3°≈0.75，tan 41.3°≈0.88) 解：如图，连接CD并延长，与AB 交于点D.∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝3(米).在Rt△AOD中，∠OAB＝41.3°，OA＝＝4(米)，OD＝AD·tan 41.3°≈3×0.88＝2.64(米)∴CD＝CO＋OD＝4＋2.64＝6.64(米)， 故点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米. 第1题图 考点1　三角函数 1.(2024·甘肃)如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝，则BC的长是( ) A.3 B.6 C.8 D.9 B 考点2 　解直角三角形 2.(2024·深圳)如图，在△ABC中，AB＝BC，tan B＝.D为BC上一点，且满足，过D作DE⊥AD交AC延长线于点E，则＝  　.  第2题图 第3题图 考点3 　解直角三角形的应用 3.(2024·德阳)某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10 m的小楼房AB，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°(AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上)，则建筑物CD的高为( ). A.20 m　B.15 m　C.12 m　D.(10＋5)m B 第4题图 4.(2024·武汉)黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉.在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼AB的高度.具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面102 m的C处，测得黄鹤楼顶端A的俯角为45°，底端B的俯角为63°，则测得黄鹤楼的高度是　 　m.  (参考数据：tan 63°≈2) 　51　 5.(2024·资阳)如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距海里.一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向. (1)求B，C两处的距离； (2)该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号.此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间. (注：点A，B，C，D在同一水平面内，参考数据：tan 65°≈2.1，tan 27°≈0.5) 解：(1)由题意得，∠ACB＝∠ABC＝30°， ∴AB＝AC＝海里.过A作AH⊥BC于点H， ∴∠AHC＝∠AHB＝90°，CH＝BH， ∴CH＝BH＝AB＝＝8(海里)， ∴BC＝16海里. (2)过D作DG⊥BC于G， 在Rt△BDG中，BG＝＝2DG. 在Rt△CDG中，CG＝. ∵BC＝BG－CG，∴2DG－＝16，∴DG＝10.5海里，∴CG＝5海里，∴BG＝BC＋CG＝21海里， ∴BD＝(海里)， ∴渔政船的航行时间为÷18＝(小时). 6.(2024·辽宁)如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起.起始位置示意图如图2，此时测得点A到BC所在直线的距离AC＝3 m，∠CAB＝60°，停止位置示意图如图3，此时测得∠CDB＝37°(点C，A，D在同一直线上，且直线CD与地面平行)，图3中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变. (1)求AB的长； (2)求物体上升的高度CE(结果精确到0.1 m). (参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.73) 解：(1)如题图2，在Rt△ABC中，AC＝3 m，∠CAB＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝6 m. (2)在Rt△ABC中，AB＝6 m，AC＝3 m，根据勾股定理得，BC＝＝3(m).在Rt△BCD中，∠CDB＝37°，sin 37°≈0.60，≈1.73，∴sin∠CDB＝，即≈0.60，∴BD≈8.65 m，∴CE＝BD－BA＝8.65－6＝2.65≈2.7(m)，则物体上升的高度CE约为2.7 m. $$