14.2三角形全等的判定（第5课时HL） 课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

§14.2 三角形全等的判定 （第5课时） 恰 同 学 少 年 正 是 读 书 时 人教版（2024版）数学八年级上册 第十四章 全等三角形 1.理解并掌握直角三角形全等判定“斜边、直角边”条件的内容. 2.熟练利用“斜边、直角边”条件证明两个直角三角形全等. 3.通过探究判定三角形全等条件的过程，提高分析和解决问题的能力. 专心一点，多学一点吧 人教新版八年级 目标 我们这节课要学会什么？ 三条边分别相等的三角形全等（SSS）． 除了上面的方法，还有其他方法能判定两个三角形全等吗？我们继续探索三角形全等的条件. 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）. 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（ASA） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS） 想一想，我们已经学习过的判定两个三角形全等的方法有哪些？ 专心一点，多学一点 人教新版八年级 两个直角三角形中，已经有一对相等的直角，还需要满足几个条件就可以说明两个三角形全等？ （1）一边一锐角分别相等的两个直角三角形全等． （2）两直角边分别相等的两个直角三角形全等． （利用“ASA”或“AAS”） （利用“SAS”） 思考 如果满足斜边和一条直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？ 专心一点，多学一点 人教新版八年级 如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，A′B′=AB， B′C′=BC，这两个三角形全等吗？ 探究 A B C B′ A′ ┐ C′ ┐ （1）两边一角（SAS)； （2）两角一边（AAS和ASA)． （3）三条边； （4）三个角 我们学过 没有符合的条件 专心一点，多学一点 人教新版八年级 先拿出三角板，画一画， 1.画∠C =90° 2.将∠C′平移，使点C与点C′重合， 并且使射线C′A′与射线CA重合 3.在射线CB上截取线段CB, B′C′=BC， 可知点B′与点B重合 4.在射线CA上截取线段CA A B C ┐ A ' B ' C ' ┐ 由此可知，点B和点B′重合 专心一点，多学一点 人教新版八年级 接下来我们判断点A′与A是否重合吗？ 1.在直角边AC(不包括端点)上取点M 2.连结BM，AM，则∠BMA> ∠ C， ∠ BMA是钝角 3.过点M作垂直于BM的直线与线段AB 相交于点M′，则AB>BM'>BM 4.在线段CA的延长线上取点N,连结BN ，同理可得BN>AB C ┐ （C ' ） A（A ' ） B(B') M ┐ M' N 因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.再由点A'在射线CA上，A'B'=AB，可知点A'与点A重合.这样，△A'B'C'的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A'B'C'与△ABC能够完全重合，因而△A′B′C′≌△ABC. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 可以简写成“斜边、直角边”或“HL” AB=A′B′, BC=B′C′, 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). 符号语言： A B C B′ A′ ┐ ┐ C′ 敲黑板，记笔记 一定要记得，必须是直角三角形 专心一点，多学一点 人教新版八年级 例6 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证：BC=AD. 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角. 在Rt△ABC和Rt△BAD中， AB=BA， AC=BD， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）. ∴BC=AD. D A B C 分析：如果能证明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC=AD，由题意可知，两个三角形是直角三角形，考虑用HL 专心一点，多学一点 人教新版八年级 拓展例1　 Rt△ ABC 和Rt△ DEF 如图所示，∠ C ＝∠ F ＝90°. (1)若∠ A ＝∠ D ， BC ＝ EF ，则Rt△ ABC ≌Rt△ DEF 的依据是“ ”； AAS 　 (2)若∠ A ＝∠ D ， AC ＝ DF ，则Rt△ ABC ≌Rt△ DEF 的依据是“ ”； (3)若 AC ＝ DF ， CB ＝ FE ， AB ＝ DE ，则Rt△ ABC ≌Rt△ DEF 的依据是“ ”； (4)若 AC ＝ DF ， AB ＝ DE ，则Rt△ ABC ≌Rt△ DEF 的依据是“ ”； (5)若 AC ＝ DF ， CB ＝ FE ，则Rt△ ABC ≌Rt△ DEF 的依据是“ ⁠”. ASA 　 SSS 　 HL 　 SAS 　 专心一点，多学一点 人教新版八年级 拓展例2 如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q 两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ A P B C Q 已知斜边对应相等，即PQ＝AB，则还需要一条直角边对应相等，需要分类讨论 一看，是什么三角形？ 直角三角形 判断直角三角形需要找 一条直角边，一条斜边 专心一点，多学一点 人教新版八年级 分两种情况，（1）AP＝BC (2) 若AP＝AC 解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， PQ＝AB， AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm； 已知PQ＝AB，证明△ABC和△APQ全等 A B C ┐ ┐ P Q 专心一点，多学一点 人教新版八年级 (2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， PQ＝AB， AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时， △ABC才能和△APQ全等． P Q A B C ┐ ┐ 专心一点，多学一点 人教新版八年级 拓展例3 如图，已知 AD，AF分别是钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE，求证：BC＝BE. 证明：∵AD，AF 分别是钝角△ABC 和△ABE的高， ∴∠D＝∠F＝90°. 在 Rt△ADC 和 Rt△AFE 中， AC＝AE， AD＝AF，∴Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL). ∴CD＝EF. 在Rt△ABD 和 Rt△ABF 中， AB＝AB， AD＝AF，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL). ∴BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE. ∴BD＝BF. 专心一点，多学一点 人教新版八年级 课堂练习 1.下列条件： ①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等； ③斜边和一直角边对应相等;④直角边和一锐角对应相等. 以上能判定两直角三角形全等的个数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，OD⊥AB于D，OP⊥AC于P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(　　) A．SSS　 B．ASA C．SSA　 D．HL D D 专心一点，多学一点 人教新版八年级 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于(　　) A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm C 4. 如图，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB 于点M,ON⊥BC于点 N.若 OM=ON,则∠ABO= °. 15 专心一点，多学一点 人教新版八年级 5.（教材练习1题）如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，且DA⊥AB，EB⊥AB. D，E到路段AB的距离相等吗?为什么? E A D B C ┐ ┐ 解：D，E到路段AB的距离相等，理由如下 由题意得：CD=CE ∵C是路段AB的中点，∴ CA＝CB ∵DA⊥AB，EB⊥AB， ∴ ∠A＝ ∠ B=90° 在Rt△CAD和 RtCBE中 CD=CE(公共边) CA=CB(已知) ∵ ∴Rt△CAD≌ RtCBE（HL）， ∴ DA＝DB 即D，E到路段AB的距离相等 专心一点，多学一点 人教新版八年级 6.（教材练习2题）如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF. 求证AE=DF. E A D B C F ┐ ┐ ∵ AE⊥BC，DF⊥BC ∴ ∠AEB＝ ∠ DFC=90° 证明: ∵CE=BF ∴CE－EF=BF－EF 即CF=BE 在Rt△ABE和 RtDCF中 AB=CD(已知) CF=BE(已证) ∵ ∴Rt△ ABE ≌ RtDCF（HL） ∴AE=DF 专心一点，多学一点 人教新版八年级 7.已知：如图，AB=CD，D、B到AC的距离DE=BF.求证：AB//CD． 证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEC=∠AFB=90°， ∵在Rt△DEC和Rt△BFA中， DE=BF AB=CD ∴Rt△DEC≌Rt△BFA(HL)， ∴∠DCE=∠BAF， ∴AB//CD． 专心一点，多学一点 人教新版八年级 8.如图，AC=BC，AE=CD，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE=7，BD=2，求DE的长． 解：∵AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D， ∴∠AEC=∠D=90°， 在Rt△AEC与Rt△CDB中 AC=BC AE=CD , ∴Rt△AEC≌Rt△CDB(HL)， ∴CE=BD=2，CD=AE=7， ∴DE=CD-CE=7-2=5， 专心一点，多学一点 人教新版八年级 9.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF, AC=DF , ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF. ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. E F D A B C ┐ ┐ 专心一点，多学一点 人教新版八年级 专心一点，多学一点 人教新版八年级 专心一点，多学一点 人教新版八年级 专心一点，多学一点 人教新版八年级 敲黑板，记笔记 直角三角形的判定 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 前提条件：在直角三角形中 专心一点，多学一点 人教新版八年级 恰 同 学 少 年 正 是 读 书 时 10．已知：如图①，点A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过点E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB＝CD. (1)求证：BD平分EF； (2)若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为如图②所示时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由． (1)证明：∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝CD,AF＝CE)) ， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE (HL)．∴BF＝DE. 在△BFG和△DEG中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BFG＝∠DEG＝90°,∠BGF＝∠DGE,BF＝DE))， ∴△BFG≌△DEG(AAS)．∴GE＝FG，∴BD平分EF； (2)解：上述结论仍然成立，理由：∵AE＝CF，∴AF＝CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝CD,AF＝CE)) ， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE (HL)．∴BF＝DE. 在△BFG和△DEG中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BFG＝∠DEG＝90°,∠BGF＝∠DGE,BF＝DE))， ∴△BFG≌△DEG(AAS)．∴GE＝FG，∴BD平分EF. $$