1.1 菱形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

1.1菱形的性质与判定 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级上册 一、选择题 下列关于菱形对角线的说法中，错误的是 A．对角线互相垂直 B．对角线所在直线是菱形的对称轴 C．对角线相等 D．对角线互相平分 如图，已知某广场菱形花坛 的周长是 米，，则花坛对角线 的长度等于 A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 菱形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 的坐标是 ，点 的纵坐标是 ，则点 的坐标是 A． B． C． D． 如图，在菱形 中，对角线 ， 交于点 ， 于点 ，连接 ，若 ，，则 的度数是 A． B． C． D． 在菱形 中，，点 ， 分别为 ， 上的动点，，点 从点 向点 运动的过程中， 的长度 A．逐渐增加 B．逐渐减小 C．保持不变且与 的长度相等 D．保持不变且与 的长度相等 如图，要在平行四边形 内作一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下： 甲：连接 ，作 的中垂线交 ， 于 ，，则四边形 是菱形； 乙：分别作 与 的平分线 ，，分别交 于点 ，交 于点 ，则四边形 是菱形． 对于甲、乙两人的作法，可判断 A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确 C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误 如图，在边长为 的菱形 中， 为 上一点，，连接 ，若 ，则 的长为 A． B． C． D． 如图为菱形 与 的重叠情形，其中 在 上，若 ，，，则 的长度为 A． B． C． D． 如图，菱形 中， 是锐角， 为边 上一点， 沿着 折叠，使点 的对应点 恰好落在边 上，连接 ，，给出下列结论： ①若 ，则 ； ②若点 是 的中点，则 ． 下列判断正确的是 A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 二、填空题 如图，两把完全一样的直尺叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，这个四边形一定是 ． 菱形的对角线长为 和 ，则菱形的高为 ． 如图四边形 是菱形，，则 ． 如图，在菱形 中， 和 分别是 ， 的中点．若 ，则菱形 的周长是 ． 如图，在菱形纸片 中，，，将菱形纸片翻折，使点 落在 的中点 处，折痕为 ，点 ， 分别在边 ， 上，则 的长为 ． 三、解答题 如图，，且 ， 是 的中点． (1) 求证：； (2) 若四边形 是菱形，求 的度数． 如图，在菱形 中，已知 是 上一点，且 ，． (1) 求 的度数； (2) 求证：． 如图，在菱形 中，， 为 上一点， 为射线 上一点，且 ．求证： (1) (2) ； (3) ． 如图，在菱形 中， 是 边上一点，连接 ，， 是 上的两点，连接 ，，使得 ，．求证： (1) ； (2) ． 如图，菱形 中，作 于点 ，，交 的延长线于点 ． (1) 求证：； (2) 若点 恰好是 的中点，，求 的值． 已知点 ， 分别在菱形 的边 ， 上滑动（点 不与 ， 重合），且 ． (1) 如图（），若 ，求证：； (2) 如图（），若 与 不垂直，（）中的结论还成立吗？若成立，请证明，若不成立，说明理由； (3) 如图（），若 ，，请直接写出四边形 的面积． 答案 一、选择题（共9题） 1. 【答案】C 【解析】 菱形对角线具有的性质有：对角线互相垂直，对角线互相平分， 对角线所在直线是对称轴，故A，B，D正确，C错误． 2. 【答案】A 【解析】 四边形 为菱形，设对角线交点为 ， ，，，（米）， ， 为等边三角形， （米），（米）， 在 中，根据勾股定理得：（米）， 则 米． 3. 【答案】B 【解析】连接 交 轴于 ， 则有 ，，， 所以 ． 4. 【答案】A 【解析】 四边形 是菱形， ，， ，，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选A． 5. 【答案】D 【解析】连接 ， 四边形 是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ． 6. 【答案】C 【解析】甲：如图 ， 垂直平分 ， 则有 ，， ， 又 ， ， ， 又 ， ， 故有 ， 四边形 为菱形，故甲正确． 乙：如图 ， 由题可知 平分 ， 平分 ， 则有 ，， 又 ， ， ， 即 ， ，， 四边形 为菱形， 甲、乙均正确． 7. 【答案】D 【解析】 四边形 是菱形， ，， ， ， ， ， ， 在 中， ，，， ， 在 中， ，，， ． 8. 【答案】D 【解析】连接 ，设 交 于 点， 四边形 为菱形， ，且 ， 在 中， ， ， 在 中， ， ， 又 ， ． 9. 【答案】A 【解析】① 四边形 是菱形， ，， ， ， ， ，故①正确． ②如图，延长 交 的延长线于 ， 四边形 是菱形， 是 中点， ，，， ， ， ，， ， ，故②正确． 二、填空题（共5题） 10. 【答案】菱形 【解析】如图，作 于 ，作 于 ， ，， 四边形 是平行四边形， ，，， ， ， 平行四边形 是菱形． 11. 【答案】 【解析】 菱形两条对角线分别是 和 ， 两对角线一半的长分别为 和 ， 菱形的边长 ， 设菱形的高为 ， 则菱形的面积 ， 解得 ． 12. 【答案】 【解析】 四边形 是菱形，， （菱形的每一条对角线平分一组对角）， 四边形 是菱形， （菱形的对角相等）． 13. 【答案】 14. 【答案】 【解析】如图，连接 ，． 四边形 为菱形，， ，， 是等边三角形， 是 中点， ，，， ， ， ， ， 由折叠可得 ， ， ， ． 三、解答题（共6题） 15. 【答案】 (1) ， 是 的中点， ，且 ， 四边形 是平行四边形， ． (2) 四边形 是菱形， ， ， ， ． 16. 【答案】 (1) 四边形 是菱形， ， ． ， ． 设 ，则 ． ， ， ， ． (2) 由（）得 ，． 四边形 是菱形， ， ． 由（）知，， ， ， ， ． 17. 【答案】 (1) 方法 ，，， ， ， ， ． (2) 连接 ，过点 作 交 于点 ， 可得 是等边三角形，， ， ． (3) ． 【解析】 (1) 方法 过点 作 于点 ， 于点 ，则 ， ， ， ， ． 18. 【答案】 (1) 四边形 是菱形， ，． ． 又 ，，， ． 且 ， ． 又 ， ． (2) ， ，． ， ． 19. 【答案】 (1) 四边形 是菱形， ，， ． ，， ， ， ． (2) 是 的中点，且 ， 直线 为线段 的垂直平分线， ． 20. 【答案】 (1) 四边形 是菱形， ，，． ， ， ． ， ， ． 在 和 中， ， ． (2) 若 与 不垂直，（）中的结论还成立．证明如下： 如图（），作 ，，垂足分别为点 ，． 由（）可得 ，， ． 在 和 中， ， ． (3) 四边形 的面积为 ． 【解析】 (3) 理由：如图（），连接 ， 交于点 ，作 于点 ， 于点 ． ，， 为等边三角形， ， ， 同理，， 四边形 的面积 四边形 的面积， 由（）得四边形 的面积 四边形 的面积． ，， ，， 四边形 的面积为 ， 四边形 的面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$