24.3 正多边形和圆课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

24.3 正多边形和圆 A B C D E 各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形. 三条边相等，三个角相等（60度）。 四条边相等，四个角相等（900）。 正三角形 正方形 一 .正多边形定义 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形 叫做正n边形。 思考: 菱形是正多边形吗?矩形是正多边形呢? 菱形, 矩形都不是正多边形 活动1　理解正多边形和圆的关系,理解正多边形的有关概念 [猜想证明] 1.将一个圆五等分,依次连接各分点得到一个五边形,这个五边形一定是圆的内接正多边形吗?如果是,请你证明这个结论. 解:一定是.证明:如图所示,把☉O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到五边形ABCDE. ∵, ∴AB=BC=CD=DE=EA,=3, ∴∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在☉O上, ∴五边形ABCDE是☉O的内接正五边形. 正多边形与圆的关系 把圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形. 识 联系 探究新知 已知：如图， O 中内接五边形 ABCDE， . 求证：五边形ABCDE是正五边形. 证明： 同理， 五边形ABCDE是正五边形. 五边形ABCDE是 O 的内接正五边形， O是正五边形ABCDE 的外接圆. 6 探究新知 已知：如图， O 中内接五边形 ABCDE， . 求证：五边形ABCDE是正五边形. 证明： 同理， 五边形ABCDE是正五边形. 正n边形呢？ 7 正多边形的相关概念 那么圆中的元素和正多边形有什么关系呢？ 半径R 边心距r 中心角 O 中心 中心到正多边形一边 的距离叫做正多边形的边心距. 正多边形每一边 所对的圆心角叫做正多边形的 中心角， 外接圆的半径叫做正多 边形的半径， 外接圆的圆心叫做正多边形的 中心， 8 探究新知 　　已知⊙O 的半径为 R ，画圆的内接正三角形． 9 探究新知 　　已知⊙O 的半径为 R ，画圆的内接正三角形． 10 探究新知 　　已知⊙O 的半径为 R ，画圆的内接正三角形． 11 探究新知 9. 图中正六边形ABCDEF的中心角是_______; 它的度数是_________; 10. 你发现正六边形ABCDEF的半径与边长具有 什么数量关系？为什么？　 B A E F C D .O ∠AOB 60° 12 巩固练习 11. 判断题. (1)各边都相等的多边形是正多边形. （ ） (2)一个圆有且只有一个内接正多边形. （ ） × × 13 巩固练习 E F C D . . O 中心角 A B G 边心距把 △AOB 分成 2个全等的直角三角形 设正多边形的边长为a,半径为R,则周长为L=na. R a 14 巩固练习 正n边形的一个内角的度数是_____________________; 中心角是___________; 正多边形的中心角与外角的大小关系是______________. 相等 15 巩固练习 课本P108习题24.3复习巩固第1题 正多边形 边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 60° 1 4 1 6 A A A A 16 巩固练习 【例】有一个亭子它的地基是半径为4 m的正六边形, 求地基的周长和面积(精确到0.1m2). F A D E . . O B C r R P 17 实际生活中，经常遇到画正多边形的问题，比如画一个六角螺帽的平面图，画一个五角星等，这些问题都与等分圆周有关. 怎样画任意正n边形呢？ 将圆 n 等分，然后顺次连接各等分点，即得到所要作的正n 边形. 思考：怎样等分圆？ 合 作 探 究 先用量角器画一个度数为 的圆心角，则此圆心角所对的弧就是圆的 ，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n 等分点，顺次连接各等分点，就得到圆的内接正n 边形，如图① . 1. 用量角器等分圆 合 作 探 究 在⊙ O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可把圆周四等分，从而作出正方形，若再逐次平分各边所对的弧，就可以作边数逐次倍增的正多边形，如正八边形、正十六边形等. 2. 用尺规等分圆 对于一些特殊的正n 边形，如正方形、正八边形，可以用圆规和直尺作图. 如图 ② . 合 作 探 究 $$