第四章 一次函数 同步训练 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

第四章 一次函数 一、单选题 1．下列函数是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若点在第一象限，则函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．一次函数中，当时，的值是（　　） A．10 B． C．2 D． 4．甘肃省定西市的特色美食——马铃薯制品的销售额（单位：万元）与广告投入（单位：万元）成一次函数关系．已知当广告投入10万元时，销售额为1000万元；当广告投入90万元时，销售额为5000万元．则当广告投入70万元时，销售额为（　　） A．4000万元 B．4500万元 C．5000万元 D．5500万元 5．将直线向下平移个单位长度后得到某正比例函数的图象，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知正比例函数的图象上一点且，，那么t的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．不确定 7．某型号汽车油箱的剩余油量与行驶时间之间的关系如图所示的一次函数关系，根据图象可知，这辆汽车行驶每小时的耗油量与行驶的最长时间分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，已知是轴上的一点，分别为直线和轴上的动点，当的周长最小时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．直线（与x轴交于点，则关于x的方程的解为 ． 10．如图是张老师复印资料时，剩余张数和工作时间的函数关系图象，根据图中提供的信息可以知道，张老师这次刚好复印完资料所需的工作时间为 分钟． 11．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线与轴、轴分别交于点，，点是直线上的一个动点，则线段的最小值为 ． 12．如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点，点D的横坐标为1，直线交x轴于点C，． （1） ； （2）若在坐标平面内存在点F（不与D重合），使，则点F的坐标为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，点，，，…都在轴上，点，，，…都在直线上，，且，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积是 ． 三、解答题 14．某移动公司设了两类通讯业务，类收费标准为不管通话时间多长使用者都应缴50元月租费，然后每通话1分钟，付元；类收费标准为用户不缴月租费，每通话1分钟，付话费元．若一个月通讯分钟，两种方式费用分别是，元． (1)分别求出，与之间的函数关系式． (2)某人估计一个月通话时间为300分钟，选哪种通讯方式更合算，请书写计算过程． (3)小明选的方式，他计算了一下，若是方式，他本月话费将会比现在多50元，请你算一下小明在方式下的实际话费是多少元？ 15．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元． (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元． ①求的最大值． ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4400元，求的值． 16．某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）． 用水量x（立方米） 应交水费y（元） 不超过12立方米 每立方米3.5元 超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元 (1)求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； (2)若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？ 17．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距地的路程与各自行驶的时间之间的关系如图所示． (1)两地相距 ， ； (2)求点E的坐标，并写出点E坐标所表示的实际意义； (3)求乙车距B地的路程y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； 18．学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．尝试用你积累的经验和方法解决下面的问题： (1)如下图，在平面直角坐标系中，画出函数的图象． (2)结合所画的函数图象，写出函数的两条性质． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数为一次函数．需逐一判断各选项是否符合该形式． 【详解】解：选项A：，其中的次数为2，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意． 选项B：，符合的形式（，），且，因此是一次函数，故本选项符合题意． 选项C：，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意． 选项D：，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意． 故选：B 2．A 【分析】本题考查判断一次函数的图象所经过的性质，根据点在第一象限，得到，进而判断出直线经过的象限即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， ∴直线过第一，二，三象限； 故选A． 3．C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：在一次函数中，当时，． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：设， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 即投入70万元时，销售量为4000万元， 故选：A． 5．C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的图象及正比例函数的图象，熟知“上加下减”的平移法则及正比例函数的定义是解题的关键．根据“上加下减”的平移法则，表示出平移后的直线解析式，再由此时的图象是正比例函数的图象即可解决问题． 【详解】解：由题知，将直线向下平移个单位长度后，所得函数的解析式为． 此函数图象为正比例函数的图象， ， 解得． 故选：． 6．A 【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质．根据，确定点的横、纵坐标异号，得到正比例函数的图象经过第二、四象限，据此得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴该点的横、纵坐标异号， ∴正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 解得． 故选A． 7．A 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、有理数的混合运算的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 根据图象列式计算，即可得出答案，． 【详解】解：由图可得：这辆汽车行驶每小时的耗油量， 行驶的最长时间为． 故选：A． 8．C 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，坐标与轴对称，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，与轴的交点即为点，与直线的交点即为点，求出直线的解析式，与直线联立，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴时，，时，， ∴， ∴， ∴， 作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交于点，作， 则：的周长，， ∴当在线段上时，的周长最小， ∵，，， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵对称， ∴为的中点， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 故选C． 9． 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程，根据方程与一次函数的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知，方程的解可看成一次函数的图象与轴交点的横坐标， 因为直线与轴交于点， 所以的解为． 故答案为：． 10．20 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用．利用待定系数法求出函数解析式，即可求解． 【详解】解：根据题意得：剩余张数和工作时间的函数关系是一次函数关系， 设该函数解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为， 当时，， 解得：， 即张老师这次刚好复印完资料所需的工作时间为20分钟． 故答案为：20 11． 【分析】连接，过点P作于点M，根据垂线段最短，当点Q 与点M重合时，取得最小值，利用三角形面积不变性，列式解答即可． 本题考查了垂线段最短，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握垂线段最短，是解题的关键． 【详解】解：连接，过点P作于点M，根据垂线段最短， 当点Q 与点M重合时，取得最小值， ∵直线与轴、轴分别交于点，， ∴,, ∴, ∴, ∵点的坐标为， ∴, ∵, ∴, 故答案为：． 12． 或或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）依据一次函数，求得，，根据点D的横坐标为1，可得，运用待定系数法即可得到直线的函数表达式；求得，，再根据的面积的面积的面积，进行计算即可； （2）在另三个象限内分别找到点F，使得以点C，O，F为顶点的三角形与全等． 【详解】解：（1）一次函数， 令，则；令，则， ∴，， ∵， ∴点D的横坐标为1， ∴，即， 设直线的函数表达式为， 把代入解析式得，， 解得，， ∴直线的函数表达式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积的面积的面积； 故答案为：4； （2）如图， ∵，，， 当点F在第二象限时，点F的坐标为； 当点F在第三象限时，点F的坐标为； 当点F在第四象限时，点F的坐标为． 故答案为：或或． 13． 【分析】本题属于规律探索的问题，熟悉等腰直角三角形的性质以及一次函数的特点是解题的关键．找出，，，…，面积之间的规律，根据规律即可求出的面积． 【详解】解：由题意得， ∴将代入， 则， ∴， ∵，，，…，，…分别是以，，，…，，…为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，则； ，则； ，则， ……， ，则， ∴的面积为． 故答案为：． 14．(1)， (2)选择类更合算，见解析 (3)小明在方式下的实际话费是150元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，读懂题意准确理解两类缴费的方式是解题的关键． （1）根据类的费用是月租费加上乘以通话时间，类的费用是乘以通话时间的，列出等式即可； （2）根据（1）的结论当时，分别求得，，由此即可求解； （3）根据题意可知选择方式的费用比选择方式的费用多50元，可列出等量关系，解之得到通话时间代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得， ， ． （2）解： 通话时间为300分钟，根据（1）中的结论得， （元），（元）， 因为， 所以选择类更合算． （3）解：根据题意得，， 所以， 解方程得，， 即小明打电话的时间为1000分钟， 所以（元）， 所以小明在方式下的实际话费是150元． 15．(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元 (2)a的值为 【分析】本题主要考查一次函数和二元一次方程组的应用等知识点， （1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是x元和y元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）①根据甲、乙头盔的购进数量关系以及利润公式得到利润函数，再结合甲头盔数量的限制条件求出利润最大值，②根据进价调整后的利润表达式，分情况讨论不同条件下利润最小值时对应的a值； 熟练掌握二元一次方程组的解法、根据各量之间的数量关系写函数关系式并判断其增减性是解题的关键． 【详解】（1）设甲种型号头盔的进货单价是x元，乙种型号头盔的进货单价是y元， 根据题意，得 ，解得， ∴甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元； （2）①∵甲种型号头盔购进了x个，甲、乙两种型号头盔共300个， ∴乙种型号头盔购进了个， ∴ ， ∵甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍， ∴解不等式组得，， ∴， ∵，其中， ∴w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值， (元)； ②∵甲种头盔进货单价上调了元后变为元，乙种头盔进货单价下调了a元后变为元， ∴ ， ∵， ∴当，即/时，w随x的增大而增大。 ∴当时，w取得最小值4400， ∴， ∴， 当，即号时，w随x的增大而减小。 ∴当时，w取得最小值4400， ∴， ∴， 又∵时取不符合条件，舍去， ∴a的值为． 16．(1) (2)该户居民用水20立方米 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）根据表格中的数据，可以写出每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式； （2）先判断该户居民用水量的范围，然后根据（1）中的关系式，即可计算出该户居民用水多少立方米． 【详解】（1）解：由题意可得， 当时，， 当时，， 由上可得，每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式是； （2）解：∵， ∴该户居民用水超过12立方米， 设该户居民用水a立方米， 则， 解得， 答：该户居民用水20立方米． 17．(1)540，6 (2)；甲、乙出发3h后在距离B地处相遇 (3)或 【分析】此题考查的知识点是一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数的解析式． （1）根据图象和题意直接得出结论； （2）先求出甲的速度，再求出乙的速度，然后求出乙的路程，从而求出E点坐标，并说出E的实际意义； （3）根据乙的图象，用待定系数法分段求出函数解析式； 【详解】（1）解：由图象可知：两地相距， 乙在时与甲相遇，然后乙车立即以原速原路返回到地， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意知：（）， ∴（， ∴， ∴， ∴， 点E的实际意义为：甲、乙两车出发3小时后在距离B地处相遇； （3）解：当时，图象过原点和E点， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 当时，设， 把和代入得， ， 解得：， ∴， 综上：； 18．(1)图见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，掌握作图方法和相关知识是解题的关键． （1）根据描点法作图即可； （2）根据函数图象归纳函数性质即可． 【详解】（1）解：列表如下： 0 1 2 3 4 3 2 1 2 3 4 描点、连线，函数的图象如图所示． （2）示例：①函数的图象位于第一、二象限，在第一象限y随x的增大而增大，在第二象限y随x的增大而减小；②函数有最小值，最小值为1．（答案不唯一） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$