2025年安徽省中考数学一轮复习考点突破课件---圆的基本性质

圆的基本性质 圆的基本性质 圆的有关概念及性质 圆的基本性质 圆的有关概念及性质 圆的基本性质 垂径 定理 及其 推论 注意： (1)推论3中，由前两个得后三个时，被平分的弦不是直径； (2)等弧指能完全重合的弧，其度数一定相同，但度数相同的弧不一定是等弧； (3)在与垂径定理有关的计算中，一般是将半径、半弦、弦心距结合构造直角三角形，利用勾股定理求解. 圆周角定理及其推论和圆内 接四边形的性质 圆的基本性质 典例1 已知☉O的直径为10 cm，AB，CD是☉O的两条弦，AB∥CD，AB＝8 cm，CD＝6 cm，则AB与CD之间的距离为　　cm.  【答案】　1或7 【解析】　本题考查垂径定理、勾股定理.分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同侧时，如图1所示，过点O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC.∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∴E，F分别为CD，AB的中点，∴CE＝DE＝CD＝×6＝3(cm)，AF＝BF＝AB＝×8＝4 (cm).在Rt△AOF中，OA＝5 cm，AF＝4 cm，根据勾股定理，得OF＝3 cm，在Rt△COE中，OC＝5 cm，CE＝3 cm，根据勾股定理得OE＝4 cm，则EF＝OE－OF＝4－3＝1(cm)；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF＝4＋3＝7(cm).综上，弦AB与CD的距离为1 cm或7 cm. 典例2 如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，☉O经过点A，C，D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交☉O于点F.求证： (1)四边形DBCF是平行四边形； (2)AF＝EF. 【答案】　证明：(1)∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B.∵DF∥BC，∴∠ADF＝∠B.∵∠BAC＝∠CFD，∴∠ADF＝∠CFD，∴BD∥CF.又∵DF∥BC，∴四边形DBCF是平行四边形. (2)如题图，连接AE.∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，∴∠AEF＝∠B.∵四边形AECF是☉O的内接四边形，∴∠ECF＋∠EAF＝180°.∵BD∥CF，∴∠ECF＋∠B＝180°，∴∠EAF＝∠B，∴∠AEF＝∠EAF，∴AF＝EF. 【解析】　本题考查等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定、圆周角的性质、圆内接四边形的性质.(1)根据等边对等角，结合平行线的性质进行代换，可证BD∥CF，从而判定四边形DBCF是平行四边形.(2)连接AE，根据平行线的性质和圆周角的性质证明∠AEF＝∠B，结合圆内接四边形的对角互补，再由平行线的性质得∠AEF＝∠EAF，从而证明AF＝EF. 1.(2024·淮北模拟)下列语句中不正确的有( ) ①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④半圆是弧. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 2.(2024·长沙)如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则☉O的半径长为( ) A.4 B.4 C.5 D.5 B 第3题图 3.(2024·通辽)如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为( ) A.1.25 m B.1.3 m C.1.4 m D.1.45 m B 第4题图 4.(2024·常州)如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，连接AD，BC，BD.若∠BCD＝20°，则∠ABD＝　 　°. 　70　 第5题图 5.(2024·长春)如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连接AD. 给出下面四个结论： ①∠ABD＝∠DAC； ②AF＝FG； ③当DG＝2，GB＝3时，FG＝； ④当＝2，AB＝6时，△DFG的面积是 . 其中正确结论的序号有　 　.  　①②③　 第6题图 6.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦AB的中点，D在上，CD⊥AB.“会圆术”给出长l的近似值s的计算公式：s＝AB＋.当OA＝2，∠AOB＝90°时，|l－s|＝　 　.(结果保留一位小数)  　0.1　 7.(2024·江西抚州校级模拟)某育花苗圃的木制大门上面一部分是半圆形，下面一部分是长方形.现有一辆装满货物的小货车要从该木制大门(大门相关尺寸如图所示)开进该苗圃，车高2.5 m，宽1.6 m.问：这辆小货车能否通过该苗圃的木制大门？ 解：∵车宽1.6 m，1.6＜2，∴要判断小货车能否通过，只要比较距大门中轴线0.8 m处的门高与车高即可.如图，过点O作OP⊥EF于点P，在PF上取点H，使得PH＝0.8 m，过点H作HM⊥AB于点D，交半圆AB于点M.易知DH＝OP＝2.3 m，OM＝OB＝1 m，OD＝PH＝0.8 m.在Rt△OMD中，由勾股定理可得，MD＝＝0.6(m)，∴MH＝MD＋DH＝0.6＋2.3＝2.9(m).∵2.9＞2.5， ∴这辆小货车能通过该苗圃的木制大门. 考点1　圆周角定理及其推论 1.(2023·安徽)已知四边形ABCD内接于☉O，对角线BD是☉O的直径. (1)如图1，连接OA，CA，若OA⊥BD，求证：CA平分∠BCD； (2)如图2，E为☉O内一点，满足AE⊥BC，CE⊥AB.若BD＝3，AE＝3，求弦BC的长. (1)证明：∵OA⊥BD，且OB＝OD，∴AO垂直平分BD，∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB.∵∠ACD＝∠ABD，∠ADB＝∠ACB，∴∠ACD＝∠ACB，∴CA平分∠BCD. (2)解：如图，延长AE交BC于M，延长CE交AB于N.∵AE⊥BC，CE⊥AB，∴∠AMB＝∠CNB＝90°.∵BD是☉O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAD＝∠CNB，∠BCD＝∠AMB，∴AD∥NC，CD∥AM，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE＝CD＝3，∴BC＝＝3. 2.(2021·安徽)如图，圆O的半径为1，△ABC内接于圆O.若∠A＝60°，∠B＝75°，则AB＝  　.  第2题图 3.(2019·安徽)如图，△ABC内接于☉O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为  　 .  第3题图 考点2 　垂径定理及其推论 4.(2022·安徽)已知☉O的半径为7，AB是☉O的弦，点P在弦AB上.若PA＝4，PB＝6，则OP＝( ) A. B.4 C. D.5 D 5.(2021·安徽)如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E. (1)M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长； (2)点F在CD上，且CE＝EF，求证：AF⊥BD. (1)解：如图，连接OC，OD. ∵M是CD的中点且CD＝12， ∴CM＝DM＝6且OM⊥DM. 在Rt△OMD中， 由勾股定理得OD＝＝3， 故圆O的半径长为3. (2)证明：如图，连接AC，延长AF交BD于点N. 在△AEC与△AEF中， ∵AE＝AE，∠AEC＝∠AEF，EC＝EF，∴△AEC≌△AEF，∴∠EAC＝∠EAF. 又∵∠BAC＝∠BDC， ∴∠AND＝∠BAN＋∠ABN＝∠CDB＋∠ABD＝90°，∴AF⊥BD. 6.(2020·安徽)已知点A，B，C在☉O上，则下列命题为真命题的是( ) A.若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形 B.若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120° C.若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB D.若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC B 7.(2018·安徽)如图，☉O为锐角△ABC的外接圆，半径为5. (1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)； (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长. 解：(1)如图1所示. (2)连接OE，OC，EC，如图2，由(1)知AE为∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，∴，根据垂径定理知OE⊥BC，则DE＝3.∵OE＝OC＝5，∴OD＝OE－DE＝2.在Rt△ODC中，DC＝， 在Rt△DEC中，CE＝ .∴弦CE的长为. 【变式训练】 如图，以AB为直径的☉O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交☉O于点D，连接BD. (1)判断△BDE的形状，并证明你的结论； (2)若AB＝10，BE＝2，求BC的长. (1)△BDE为等腰直角三角形.证明：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC.∵∠BED＝∠BAE＋∠ABE，∠DBE＝∠DBC＋∠CBE，∴∠BED＝∠DBE，∴BD＝ED.∵AB为☉O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形. (2)解：如图，连接OC，CD，OD，OD交BC于点F. ∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD，∴BD＝CD. ∵OB＝OC，∴OD垂直平分BC. ∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，∴BD＝2. ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5.设OF＝t，则DF＝5－t.在Rt△BOF和Rt△BDF中，52－t2＝－(5－t)2，解得t＝3，∴BF＝4，∴BC＝2BF＝8. 第1题图 考点1　圆的有关性质 1.(2024·台湾)如图，皆为半圆，相交于E点，其中A，B，C，D在同一直线上，且B为AC的中点.若＝58°，则的度数为( ) A.58° B.60° C.62° D.64° D 第2题图 2.(2024·泰安)如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上两点，BA平分∠CBD，若∠AOD＝50°，则∠A的度数为( ) A.65° B.55° C.50° D.75° A 第3题图 考点2 　垂径定理及其推论 3.(2024·新疆)如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD，垂足为E.若CD＝8，OD＝5，则BE的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 B 第4题图 4.(2024·凉山州)数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40 cm，CD＝10 cm，则圆形工件的半径为( ) A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm C 第5题图 5.(2024·北京)如图，☉O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D＝35°，则∠C＝　 　°.  　55　 第6题图 考点3 　圆周角定理和圆内接四边形 6.(2024·赤峰)如图，AD是☉O的直径，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是( ) A.61° B.63° C.65° D.67° B 第7题图 7.(2024·湖南)如图，AB，AC为☉O的两条弦，连接OB，OC.若∠A＝45°，则∠BOC的度数为( ) A.60° B.75° C.90° D.135° C 第8题图 8.(2024·湖北)AB为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且∠CAB＝50°.①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB，BC于D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于点P；③作射线BP.则∠ABP＝( ) A.40° B.25° C.20° D.15° C 第9题图 9.(2024·重庆B卷)如图，AB是☉O的弦，OC⊥AB交☉O于点C，点D是☉O上一点，连接BD，CD.若∠D＝28°，则∠OAB的度数为( ) A.28° B.34° C.56° D.62° B 第10题图 10.(2024·连云港)如图，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝　 　°.  　90　 第11题图 11.(2024·南充)如图，AB是☉O的直径，位于AB两侧的点C，D均在☉O上，∠BOC＝30°，则∠ADC＝　 　°.  　75　 12.(2024·江西)如图，AB是☉O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB.将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为 　 .  第12题图 2－或2　 13.(2024·浙江)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD＜AC，∠ADC＜∠BAD，延长AD至点E，使AE＝AC，延长 BA 至点F，连接EF，使∠AFE＝∠ADC. (1)若∠AFE＝60°，CD为直径，求∠ABD的度数. (2)求证：①EF∥BC；②EF＝BD. (1)解：CD为直径，∴∠CAD＝90°，∵∠AFE＝∠ADC＝60°，∠ACD＝90°－60°＝30°，∴∠ABD＝∠ACD＝30°. (2)证明：①如图，延长AB至M，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠CBM＝∠ADC.又∵∠AFE＝∠ADC， ∴∠AFE＝∠CBM，∴EF∥BC. ②过点D作DG∥BC交☉O于点G，连接AG，CG.∵DG∥BC，∴∠BCD＝∠CDG，，∴BD＝CG.四边形ACGD是圆内接四边形，∴∠GDE＝∠ACG.∵EF∥DG，∴∠DEF＝∠GDE，∴∠DEF＝∠ACG.∵∠AFE＝∠ADC，∠ADC＝∠AGC，∴∠AFE＝∠AGC.∵AE＝AC，∴△AEF≌△ACG(AAS)，∴EF＝CG，∴EF＝BD. 14.(2024·新疆)如图，在☉O中，AB是☉O的直径.弦CD交AB于点E，. (1)求证：△ACD∽△ECB； (2)若AC＝3，BC＝1，求CE的长. (1)证明：，∴∠ACD＝∠BCD.∵∠ADC和∠ABC都是所对的圆周角，∴∠ADC＝∠ABC，∴△ACD∽△ECB. (2)解：∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，由(1)知∠ACD＝∠BCD＝45°，∴CD平分∠ACB，AD＝BD.过点D作DM⊥AC交AC于点M，作DN⊥CB交CB的延长线于点N，∴DM＝DN，在Rt△ADM和Rt△BDN中，AD＝BD，DM＝DN，∴Rt△ADM≌Rt△BDN，∴AM＝BN.在Rt△CDM和Rt△CDN中，CD＝CD，DM＝DN，∴Rt△CDM≌Rt△CDN，∴CM＝CN.设AM＝BN＝x.∵AC＝3，BC＝1，∴3－x＝1＋x，解得x＝1，∴CM＝CN＝2.∵∠ACD＝45°，∴CD＝2.∵△ACD∽△ECB，∴. ∵AC＝3，BC＝1，CD＝2，∴CE＝. $$